3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc

Transkript

1 3 eterminanty 3. eterminaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc Začneme úlohou, v ktorej je potrebné riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. a x + a 2 x 2 = c a 22 a 2 x + a 22 x 2 = c 2 a 2 Ak prvú rovnicu vynásobíme číslom a 22, druhú číslom -a 2 a obe rovnice následne sčítame, dostaneme rovnicu o jednej neznámej x. (a a 22 a 2 a 2 )x = c a 22 c 2 a 2 Podobne môžeme pomocou vhodných násobkov (akých?) získať rovnicu o neznámej x 2. (a a 22 a 2 a 2 )x 2 = a c 2 a 2 c Riešenie sústavy potom má tvar ca ca, a c x = x2 = a c. aa22 a2a2 aa22 a2a2 Poznamenajme, že tento postup môžeme použiť iba v prípade, že výraz v menovateli je rôzny od nuly. Všimnime si teraz podobnosť vzorcov pre riešenie jednotlivých neznámych. Menovatele oboch vzorcov sú rovnaké a aj výrazy v čitateľoch sú dosť podobné. Takéto súčty súčinov budeme nazývať determinant matice druhého stupňa. a, a,2 Nech A = je matica nad množinou R. Potom výraz a a 22 a 2 a 2 nazývame a2, a2,2 determinantom (druhého stupňa) prislúchajúcim k matici A a označujeme ho a, a,2 a, a 2,2 a,2 a = 2, A a a =. 2, 2,2 Poznámka. Pre výpočet je dobré si zapamätať, že od súčinu prvkov na hlavnej diagonále (ktorá je vyznačená červenou farbou) odpočítame súčin prvkov na vedľajšej diagonále (ktorá je vyznačená modrou farbou). V zmysle tejto definície potom riešenie predchádzajúcej sústavy môžeme zapísať v tvare: c a2 a c c2 a22 a2 c2 x = x2 = a a2 a a2 a a a a Príklad 3.. Riešte sústavu rovníc použitím predchádzajúcich vzorcov. 2x 3y = x + 4y = 6 a a2 2 3 A = = = 24 ( 3) = a2 a22 4 c a x = = = 4 ( 3) 6= 22 x = x = = 2 c2 a A a c 2 = y 26 a c = 6 = = y y = = = A K = 2 2 {( 2;) } 45

2 3.2 eterminanty tretieho stupňa, Sarrusovo pravidlo Podobnú úvahu, ako sme urobili v prípade sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych, urobíme teraz aj v prípade troch rovníc o troch neznámych. a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = c a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3 Násobme prvú rovnicu číslom a 22 a 33 a 23 a 32, druhú rovnicu číslom a 3 a 32 a 2 a 33, tretiu číslom a 2 a 23 a 3 a 22, potom prvé dve pričítajme k tretej a dostaneme: (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x = c a 22 a 33 c a 23 a 32 + c 2 a 3 a 32 c 2 a 2 a 33 + c 3 a 2 a 23 c 3 a 3 a 22 Podobne môžeme pomocou vhodných násobkov eliminovať ďalšie neznáme a dostaneme (čitateľovi doporučujeme, aby si premyslel výber týchto vhodných násobkov): (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x 2 = a c 2 a 33 a a 23 c 3 + a 3 a 2 c 3 c a 2 a 33 + c a 23 a 3 a 3 c 2 a 3 (a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 )x 3 = a a 22 c 3 a c 2 a 32 + c a 2 a 32 a 2 a 2 c 3 + a 2 c 2 a 3 c a 22 a 3 Opäť si všimnime, že pri neznámych sme dostali rovnaké výrazy a naviac aj výrazy na pravých stranách sú podobné. Takéto súčty súčinov budeme nazývať determinanty tretieho stupňa Nech A je štvorcová matica tretieho stupňa s prvkami z množiny reálnych čísel. Potom determinantom (tretieho stupňa) prislúchajúcim k matici A nazývame výraz a a2 a3 aa22a33 + a3a2a32 + a2a23a3 aa23a32 a2a2a33 a3a22a3 = a2 a22 a23 = A. a3 a32 a33 c a2 a3 a c a3 a a2 c Ak označíme postupne A = c a a, A = a c a, A = a a c, potom c3 a32 a 33 a3 c3 a 33 a3 a32 c 3 v zmysle predchádzajúcej definície riešenie sústavy troch rovníc dostávame v tvare A A2 A3 x =, x2 =, x3 =. A A A Poznamenajme znova, že determinant matice sústavy musí byť rôzny od nuly. Výraz pre výpočet determinantu tretieho stupňa je komplikovanejší ako pri výpočte determinantu druhého stupňa. Teraz si uvedieme Sarrusovo pravidlo, ktoré nám umožní ľahšie zapamätanie vzorca pre výpočet determinantu tretieho stupňa. Pod determinant pripíšeme prvý a druhý riadok príslušnej matice. Pre takto zostrojenú schému urobíme súčet súčinov trojíc v smere hlavnej diagonály (vyznačené červenou farbou) a od týchto odčítame súčiny trojíc v smere vedľajšej diagonály (vyznačené modrou farbou). a a2 a3 a2 a22 a23 a3 a32 a33 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a a2 a3 a a a

3 Príklad 3.2. Riešte sústavu rovníc použitím predchádzajúcich vzorcov. 2x 3y + 3z = x + 4y + z = 6 y 2z = a a2 a A = a2 a22 a23 = 4 = a3 a32 a ( 2) ( 3) ( 3) ( 2) = = 2 c a2 a3 3 3 = c2 a22 a23 = 6 4 = c3 a32 a ( 2) ( 3) 34 ( 3) 6 ( 2) = = 42 a c a = a2 c2 a23 = 6 = a3 c3 a ( 2) ( 2) = = 2 a a2 c 2 3 A = a2 a22 c2 = 4 6 = a3 a32 c = = 0 42 x = = = 2 A 2 K = {( 2;;0 )} 2 2 y = = = A z = = = 0 A eterminanty n-tého stupňa, ich výpočet Označenie: Nech A je štvorcová matica stupňa n>. Znakom A ij budeme označovať maticu, ktorá vznikne z matice A vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Je to znova štvorcová matica stupňa n-. a a2 an a2 a22 a2n eterminantom štvorcovej matice A = stupňa n je číslo, označené an an2 ann A, ktoré sa rovná:. A =a, ak matica A je stupňa, t.j. A=(a ) 2. A =a A - a 2 A 2 + a 3 A (-) n+ a n A n, ak matica je stupňa n>. 47

4 Poznámka. Táto definícia sa nazýva rekurentná definícia. Pomocou tejto definície vypočítame determinant matice stupňa n pomocou determinantov matíc stupňa n-. Poznámka. Číslo ( ) i + = k A sa nazýva algebraický doplnok prvku a ik matice A. ik ik Príklad 3.3. Použitím predchádzajúcej definície vypočítajte determinant A = A = ( ) = ( 7) ( ) ( 27) ( 40) = = 54 Vlastnosti determinantov Príklad 3.4. Rozviňte determinant podľa prvkov prvého riadku a potom podľa prvkov druhého stĺpca: Všimnime si, že determinant tretieho stupňa (a nielen tretieho) má tú vlastnosť, že v každom súčinovom člene sa nachádza prvok z každého riadku aj z každého stĺpca. Môžeme teda z determinantu vyňať pred zátvorku prvky ľubovoľného riadku alebo ľubovoľného stĺpca. Tejto procedúre hovoríme rozvoj determinantu podľa prvkov príslušného riadku, resp. príslušného stĺpca. Ukážeme si teraz rozvoj determinantu podľa prvého riadku. Majme determinant a a2 a3 a2 a22 a23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3. a a a Ak z jednotlivých súčinov vyberieme pred zátvorky prvky prvého riadku, dostaneme a (a 22 a 33 a 23 a 32 ) + a 2 (a 23 a 3 a 2 a 33 ) + a 3 (a 2 a 32 a 22 a 3 ). Ak teraz využijeme tú skutočnosť, že výrazy v zátvorkách sú vlastne isté determinanty druhého stupňa, možeme predchádzajúci výraz v súlade s dohovorom na začiatku podkapitoly zapísať v tvare a A - a 2 A 2 + a 3 A 3. Tento výraz sa nazýva rozvoj determinantu podľa prvkov prvého riadku. Podobne, ak z determinantu a a2 a3 a2 a22 a23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 a 3 a3 a32 a33 vyberieme pred zátvorky prvky druhého stĺpca, dostaneme a 2 (a 23 a 3 a 2 a 33 )+a 22 (a a 33 a 3 a 3 )+a 32 (a 3 a 2 a a 23 ) = - a 2 A 2 + a 22 A 22 - a 32 A 32. Tento výraz sa nazýva rozvoj podľa prvkov druhého stĺpca. Upozorňujeme čitateľa na zmenu znamienok. Podrobnejšie sa určovaniu znamienok budeme venovať vo vete 3.3. Nasledujúce vety nám opisujú niektoré základné vlastnosti determinantov. Vybrali sme hlavne tie vlastnosti, ktoré sú potrebné pre výpočet determinantov. Poznamenajme, že pre 48

5 determinanty vyššieho stupňa ako 3 neexistuje pre výpočet pravidlo podobné Sarrusovmu pravidlu. Môžeme ich počítať iba postupným znižovaním rádu s použitím nasledujúcich viet. Veta 3.. Ak všetky prvky niektorého riadku (stĺpca) matice A sú rovné 0, tak A = 0. Veta 3.2. eterminant násobíme číslom tak, že ním násobíme niektorý riadok alebo stĺpec determinantu. Veta 3.3. Pre determinant matice A a pre ľubovoľné i, j {, 2,...,n} platí: A = ( ) i+ a i A i ( ) i+n a in A in, A = ( ) +j a j A j ( ) n+j a n j A nj. Veta 3.4. Nech matica B vznikne z A trasponovaním. Potom B = A. Veta 3.5. Ak v determinante sú dva riadky navzájom rovné, tak determinant sa rovná 0. (Platí aj pre stĺpce.) Veta 3.6. Hodnota determinantu matice A sa nezmení, keď k nejakému riadku pričítame násobok iného riadku. (Platí aj pre stĺpce.) Poznámka. Posledná veta je dôležitá najmä pre skutočnosť, že jej použitím vieme vyrábať v riadkoch, prípadne stĺpcoch, nuly bez toho, aby sa zmenila hodnota determinantu. Po vyrobení núl v niektorom riadku alebo stĺpci následne urobíme rozvoj determinantu pomocou tohto riadku, resp. stĺpca. Príklad 3.5. Ak v determinante pričítame 2-násobok 2. riadku k 3. riadku, dostaneme, pričom sa hodnota determinantu nezmení. ruhý zápis determinantu je však pre výpočet jednoduchší. Stačí urobiť rozvoj podľa tretieho riadku: = = = 63 =

6 3.4 Použitie determinantov Použitie determinantov pri riešení sústav rovníc Našou úlohou bude riešiť nasledujúcu sústavu rovníc použitím determinantov. V úvode tohto paragrafu sme úlohu vyriešili v prípade n=2, resp. n=3. Nasledujúca veta, ktorá sa nazýva Cramerovo pravidlo, je zovšeobecnením predchádzajúcich výsledkov pre ľubovoľné n. Veta 3.7. (Cramerovo pravidlo) Nech a x a n x n = c a 2 x a 2n x n = c 2... a n x a nn x n = c n je sústava n lineárnych rovníc o n neznámych. Nech determinant matice sústavy je A An rôzny od nuly. Potom sústava má jediné riešenie x =,, xn A = A, kde c a2 a3 a, n a n c2 a22 a23 a2, n a2n A =, A cn an2 an3 an, n a nn a a2 a3 a, n c a2 a22 a23 a2, n c2 A n =. an an2 an3 an, n c n 2 a c a3 a, n a n a2 c2 a23 a2, n a2n =, an cn an3 an, n a nn Príklad 3.6. Riešte sústavu rovníc: 2x 3y + 3z + 5t = -4 x + 4y + z - t = 7 y 2z +2t = - 3x - t = A = = A3 = = A 474 x = = = 2 A 237 {( 2;;0; ) } K = A A A2 237 y = = = A = = A = = A3 0 z = = = 0 A = = A4 237 t = = = A

7 Použitie determinantov na výpočet inverznej matice S výpočtom inverznej matice sme sa už stretli v kapitole 2. Tam sme inverznú maticu počítali pomocou ERO. Nasledujúca veta nám dáva návod, ako môžeme inverznú maticu vypočítať pomocou determinantov. 2 n A A A 2 22 n2 Veta 3.8. Nech A je regulárna matica. Potom A = A A A. n 2n nn A A A Príklad Nájdite inverznú maticu k matici A = Vypočítame jednotlivé determinanty: 2 A = 2 2 = = = = 0 + = 9 2 = = ( 0 + 3) = = = 2 6= 4 2 = = ( 0 ) = = = 5 3= = = 2 2= = = 2 4= Inverzná matica k matici A je A 2 23 = = ( 6) = = = ( 2) = = =

8 Príklad Nájdite inverznú maticu k matici A = Vypočítame jednotlivé determinanty: A = = = 0 = = 0 = 20 2 = 0 0 = = 0 0 = 7 4 = 0 = = 0 = 4 22 = 0 0 = = 0 0 = = 4 3 = = 4 3 = = 0 = = 3 = = 4 = = 4 3 = = 4 3 = = 3 = = 4 =

9 Inverzná matica k matici A je A = Z kapitoly o maticiach vieme, že inverzná matica existuje iba k regulárnej matici. V predchádzajúcej vete sú použité zlomky, v ktorých je menovateľom determinant matice A. Korektnosť vzorca pre regulárne matice zabezpečuje nasledujúca veta. Veta 3.9. Štvorcová matica je regulárna vtedy a len vtedy, keď jej determinant je rôzny od 0. Štvorcová matica je singulárna vtedy a len vtedy, keď sa jej determinant rovná 0. Príklad Zistite, či je matica A = 0 regulárna alebo singulárna. 0 0 Vypočítame determinant matice A. Ak bude tento determinant nulový, matica je singulárna, inak je regulárna. 4 A = 0 = = Pretože determinant je nenulový, matica je regulárna. Príklad Zistite, či je matica A = regulárna alebo singulárna Pretože determinant A = = 3 0 (pozri príklad 3.8.) matica je regulárna

10 Príklad Zistite, či je matica A = regulárna alebo singulárna A = = = Matica je singulárna. (Pri výpočte hodnoty determinantu sme najprv pričítali (-2)-násobok. riadku k 4. riadku a potom sme využili poznatok, že ak matica obsahuje nulový riadok, jej determinant je nulový.) 3.5 Úlohy Vypočítajte hodnoty determinantov nasledujúcich matíc, ak existujú.. ( 5 ) Riešenia:. 5 = ( ) 5 ( 2) = = + =

11 = = = = 2 ( 7) ( ) + 0 ( 3) ( 2) + ( ) ( 2) = = = 2 3 = ( ) ( 2) 2 ( 2) 4 3 ( ) 5 2 2= = = = 6 5 = 6 5 = ( 2) ( ) ( ) 5 6 ( 2) = = Matica nie je štvorcová, preto determinant neexistuje ,4 0,6 0, = = 5 = = , = 5 2 = 5 2 ( 3 4 ( 2) 0) = = , = = = 2 =

12 , = 2 4,5 9 = = , = = Pri výpočte sme najprv pričítali (-)-násobok. riadku k 2. riadku a potom sme využili skutočnosť, že determinant matice obsahujúcej nulový riadok je nula = = = Pri výpočte sme najprv pričítali (-)-násobok. riadku k 3. riadku, potom sme pričítali (-)-násobok 2. riadku k 3. riadku a napokon sme využili skutočnosť, že determinant matice obsahujúcej nulový riadok je nula. Použitím determinantov riešte sústavy rovníc. x+ 2y = x y = 0 x+ y+ z = x+ 2 y+ z = x+ 3z = y+ 3z = 3 2x+ 0 y+ z = 5 x+ 3 y = 2 a+ b+ c+ d = 2 2a+ 3 b+ d = 5 b+ 3 c+ d = a 5 b+ c+ 2d = A = = 6= 7 3 A x = = 7 0 = 7 Ay = = 0 2 = Ax 7 Ay 2 x= = = y = = = 3 K = ;3 A 7 A 7 {[ ]} 56

13 3. A = 2 2 = = 7 8= A = 2 = = = 3 x A = 2 = = 5 53 = 2 y A = 2 2 = = = z A x x = = = 3 A A y 2 x = = = 2 A A z z = = = A A = 2 0 = = 9 30 = A = 5 0 = = = 22 x A = 2 5 = = 5 5= 0 y A = = = = z 3 2 K = {[ 3;2; ]} A x 22 x = = = 2 A A y 0 x = = = 0 A A z z = = = A K = {[ 2;0;] } A = = = 3 = =

14 A a = = = = 5 = ( ) = A b = = = 3 = = A c A d = = = = = = = = 3 = = a= Aa Ab = = b= = = A A c= Ac 0 Ad 0 = = 0 d = = = 0 A A K = ;;0;0 {[ ]} Pomocou determinantov nájdite inverznú maticu k danej matici. Ak existuje, urobte aj skúšku správnosti Riešenia: 6. 2 A = = 4 3= 3 2 = 2 = 2 = 3 = 3 = = = 2 =

15 2 2 A = = Skúška správnosti: A A ( 3) 2 ( ) = = = ( 3) 3( ) A = 2 = = = = 2 2 = = 3 = = = = 2 22 = = 5 23 = = = = 4 32 = = 2 33 = = A = = Skúška správnosti: A A = 2 = A = 0 = = = = 2 = = 2 3 = = = = 2 22 = = 2 23 = = = = 32 = = 0 33 = =

16 A = = Skúška správnosti: A A = 0 0= A = = = Pretože determinant matice A je nulový, inverzná matica k matici A neexistuje A = = = 0 2 = 2 4= = 5 3 = = 5 3 = 9 4 = = = 5 3 = 6 22 = 5 5 = = 5 3 = 6 24 = = = 2 = 9 32 = 5 5 = = 2 =

17 = 2 = = 2 = 42 = = = 2 = 44 = 2 = = = A = = Skúška správnosti: A A = =