2.2 Neistoty merania. Kým chyba je daná len jedným číslom (napr. absolútna chyba I = - 0,3 kg.m 2 ), neistota u x určuje interval hodnôt x

Transkript

1 . Neistoty merania Už vieme, čo je chyba merania, od čoho závisí a ako j môžeme vypočítať. Pri meraniach sa stretneme aj s neistoto merania, ktorá tiež vyjadrje presnosť merania. Ako je definovaná a ako sa líši od chyby merania? Neistota merania je parameter charakterizjúci interval hodnôt meranej veličiny okolo výsledk merania, ktorý podľa očakávania obsahje sktočnú hodnot veličiny. Je kvantitatívnym kazovateľom výsledk a vyjadrje aj kvalit merania. Kým chyba je daná len jedným číslom (napr. absolútna chyba I = - 0,3 kg.m ), neistota rčje interval hodnôt,, čo bdeme zapisovať. Napríklad: Pri meraní moment zotrvačnosti obdĺžnikovej dosky pomoco fyzikálneho kyvadla bola odmeraná hodnota moment zotrvačnosti vyjadrená pomoco neistoty v tvare interval I = (4,77 ± 0,0).10-3 kg.m. Výraz ± 0, kg.m je neistota merania, ktorá vyjadrje interval, v ktorom sa nachádza meraná veličina. V tomto prípade je moment zotrvačnosti z interval I (4, ,0.10-3, 4, , ) kg.m. Pri rčovaní neistoty sa vychádza z teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky pre náhodné procesy (náhodné chyby). Základno kvantitatívno charakteristiko neistoty je štandardná neistota. Pri spracovaní nameraných hodnôt sa rozlišje absolútna štandardná neistota a relatívna štandardná neistota. Absolútn štandardnú neistot veličiny označjeme. Jej matematické vyjadrenie závisí od metódy merania meranej veličiny a je vyjadrená v jednotkách meranej veličiny. Väčšino je daná kombinovano štandardno neistoto. V prípade priameho merania absolútn štandardnú neistot predstavje kombinovaná štandardná neistota C, (.4) A B kde A je štandardná neistota typ A, B je štandardná neistota typ B.

2 Štandardná neistota typ A je daná výberovo smerodajno odchýlko výberového priemer (pri počte meraní n = 10 alebo n > 10) 1 n A ( i ) n( n 1) i1, (.5) kde n je počet meraní, i je výsledok i-teho merania, výraz i predstavje odchýlk meranej veličiny od sktočnej hodnoty (konvenčne pravá hodnota). Štandardná neistota typ A vyjadrje neistot výsledk získaného opakovaným meraním a zohľadňje náhodné vplyvy pri meraní. Štandardná neistota typ B vyjadrje neistot, ktorá je spôsobená najmä konštrkcio prístroja, ktorým je veličina meraná. V prípade rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti odchýliek i pre štandardnú neistot typ B platí z B z, 3 kde z je imálna dovolená odchýlka meracieho zariadenia. (.6) V prípade iného rozdelenia pravdepodobnosti odchyliek by štandardná neistota typ B mala iný tvar zápis. Najčastejšie sa predpokladá rovnomerné rozdelenie pravdepodobnosti. Maimálna dovolená odchýlka predstavje presnosť meracieho prístroja a jej rčenie závisí od meracieho zariadenia a metódy merania. V prípade priameho merania meranej veličiny príslšným meracím prístrojom j rčíme nasledovne: a) Pri rčičkových elektrických meracích prístrojoch je imálna dovolená odchýlka na danom rozsah daná triedo presnosti p (v %) a počíta sa podľa vzťah z p. rozsah 100. (.7)

3 Príklad 3: Určte presnosť - imáln dovolenú odchýlk voltmetra, pomoco ktorého bola odmeraná hodnota napätia na rozsah 60 V, ak trieda presnosti voltmetra je 0,5 %. Na rčenie presnosti voltmetra požijeme vzťah (.7), kde p = 0,5 % a rozsah je 60 V. Potom z = U = (0,5 / 100). 60 = 0,3 V Maimálna dovolená odchýlka voltmetra na rozsah 60 V bde 0,3 V. Často je trieda presnosti vedená na meracom prístroji ako číslo nad vlnovko pri meraní so striedavým prúdom alebo nad rovno čiaro pri meraní s jednosmerným prúdom (napr.: 0,5). Na niektorých meracích prístrojoch, ktoré požívame v našich laboratóriách je trieda presnosti vedená v dolnej časti stpnice (obr. ). Obr. b) Pre všetky ostatné meracie prístroje (napr. teplomer, stopky, váhy, voltmeter s digitálno stpnico) je imálna dovolená odchýlka daná hodnoto najmenšieho dielika stpnice. Príklad 4: Zistite imáln dovolenú odchýlk prístroja: a) pásmového meradla, ktorým odmeriame vzdialenosť dvoch bodov, b) digitálneho teplomera, ktorým odmeriame teplot v miestnosti 1,46C. a) Pre pásmové meradlo je z = l = 0,001 m, lebo najmenší možný dielik, ktorý môžeme pomoco neho odmerať vzdialenosť, je 1 mm. b) Na digitálnom teplomeri, ktorým odmeriame teplot v miestnosti 1,46 C, je najmenší možný dielik 0,01 C, potom z = t = 0,01 C. Maimálna dovolená odchýlka z pásmového meradla je 1 mm a teplomera 0,01 C.

4 Ako rčíme imáln dovolenú odchýlk v prípade nepriameho merania? Bde sa postp jej rčenia líšiť? Pri nepriamom meraní veličiny z, keď z (,,..., ), imáln dovolenú odchýlk vypočítame podľa vzťah f 1 n z z z z. (.8) ( 1,..., n) 1... n 1 n V špeciálnych prípadoch, ak sa hodnota meranej veličiny rčje ako 1. rozdiel alebo súčet dvoch rôznych nameraných veličín z = y, z = + y, potom jej imálna dovolená odchýlka sa rčí podľa vzťah (.8) z z z ( y) ( y) (, y) y y 1. 1 y y y y.. Napríklad: Pri meraní hmotnostnej tepelnej kapacity kovového valčeka pomoco kalorimetra je hmotnosť vody v kalorimetri rčená z rozdiel hmotnosti prázdneho kalorimetra m 1 a hmotnosti kalorimetra s vodo m ; m = m 1 m. Potom imálna dovolená odchýlka rčenia hmotnosti vody v kalorimetri bde daná súčtom imálnych dovolených odchyliek hmotnosti prázdneho kalorimetra m 1 a hmotnosti kalorimetra s vodo m : m = m 1 + m = 0,1 + 0,1 = 0, g.. podiel nameranej veličiny a čísla k z k, potom jej imálna dovolená odchýlka bde daná podielom imálnej dovolenej odchýlky meracieho prístroja, ktorým sme merali príslšnú veličin, a čísla k: z. k Napríklad: Pri rčovaní doby kmit pomoco reverzného kyvadla sa pomoco stopiek s digitálnym displejom s presnosťo 0,01 s odmeria doba t, za ktorú reverzné kyvadlo vykoná 5 kmitov. Doba jedného kmit T = t / 5. Maimálna dovolená odchýlka stopiek pri meraní jedného kmit bde T = t / 5 = 0,01 / 5 = 0,0004 s. Ako ž bolo vedené, opakovaným meraním môžeme spresniť výsledok merania danej veličiny. Redkjeme ním náhodné vplyvy. Metód opakovaného merania veličiny požijeme

5 vždy vtedy, ak pre meranie danej veličiny máme k dispozícii taký merací prístroj, ktorého imálna dovolená odchýlka je menšia ako náhodné vplyvy, ktoré sa pri meraní veličiny vyskytjú. Teraz ž môžeme odpovedať na otázk z úvod kapitoly, akých chýb sa dopstím pri meraní na stopkách a ako rčíme ich presnosť. Presnosť stopiek sa rčí ako najmenší dielik stpnice. Pri meraní pomoco stopiek sa najčastejšie môžeme dopstiť hrbých chýb a osobnej chyby, ktorá je spôsobená oneskoreným zapntím alebo vypntím stopiek. Vieme ako je daná kombinovaná štandardná neistota v prípade priameho merania. Aký bde jej tvar v prípade nepriameho merania veličiny? Pri rčení kombinovanej štandardnej neistoty veličiny = f (y 1,..., y k ), ktorá bola odmeraná nepriamo metódo je výsledná kombinovaná štandardná neistota veličiny daná výrazom k C Cy, (.9) i i1 yi kde f ( y,y y,..., ) y y i 1 k je parciálna derivácia veličiny podľa veličiny y i. i Podrobnejšie sa vyjadrením kombinovanej štandardnej neistoty pre rôzne metódy merania zaoberá časť.3. Pod relatívno štandardno neistoto rozmieme podiel príslšnej absolútnej štandardnej neistoty a nameranej veličiny. Matematické vyjadrenie relatívnej štandardnej neistoty r 100 %. (.10) Niekedy je výhodne pri vyhodnocovaní výsledkov merania rčiť najprv relatívn štandardnú neistot a potom pomoco nej rčiť absolútn štandardnú neistot. Tento postp sa požíva

6 v prípade, ak meraná veličina je vyjadrená len súčinom a podielom priamo meraných veličín napr.: n a b j c d m k, kde j, k, m, n sú racionálne čísla. Potom relatívna štandardná neistota je vyjadrená v tvare a b c d r n m j k, (.11) a b c d kde a, b, c, d sú absolútne štandardné neistoty priamo meraných veličín a, b, c, d. Absolútna štandardná neistota rčená pomoco nej má tvar = r. (.1) Napríklad: Vzťah pre tiažové zrýchlenie rčené pomoco matematického kyvadla je v tvare súčin a podiel priamo meraných veličín 4 T g l. V takomto prípade najprv rčíme relatívn štandardnú neistot podľa (.11) v tvare T l rg a pomoco nej T l potom absolútn štandardnú neistot g g. rg V úvode tejto podkapitoly sme spomenli, že štandardné neistoty rčjú interval hodnôt. Podľa teórie pravdepodobnosti je to interval, v ktorom leží sktočná hodnota meranej veličiny s pravdepodobnosťo 68,3 % alebo 0,683. Teda v intervale ( ) až ( ), rozloženom symetricky okolo najpravdepodobnejšej hodnoty, sa nachádza 68,3 % všetkých meraní alebo s pravdepodobnosťo 0,683 bde ľbovoľný výsledok merania patriť do tohto interval (obr. 3). V prai sa často požadje, aby hodnota neistoty vytvárala interval s väčšo pravdepodobnosťo pokrytia sktočnej hodnoty. To vyjadrje rozšírená neistota U. Rozšírená neistota je daná ako súčin kombinovanej neistoty a faktora rozšírenia (pokrytia) k. Jej matematický zápis

7 U = k C, (.13) kde hodnota faktora pokrytia k sa volí. Pre pravdepodobnosť 95,5 % jeho hodnota bde k =, pre pravdepodobnosť 99,7 %, k = 3. To znamená, že ak k =, potom sktočná hodnota meranej veličiny bde s pravdepodobnosťo 95,5 % ležať v intervale U. C Obr. 3

8 Preskúšajte sa. 1. Určte imáln dovolenú odchýlk merania nasledjúcich meracích zariadení: a) váh, ktorými bola rčená hmotnosť obdĺžnikovej dosky 503,54 g, b) ampérmetra, ktorým bol odmeraný prúd na rozsah 0, A pri triede presnosti 0,5 %, c) pásmového meradla, ktorým boli odmerané dve vzdialenosti, ktorých rozdiel vyjadroval vzdialenosť do ktorej sa dostal zvk, d) voltmetra, ktorého displej zobrazoval hodnot 0,014 V, e) mikrometra na obr.1 na str. 1, f) všetkých odmeraných veličín v tab., pri meraní neboli požité elektrické rčičkové prístroje, N počet molekúl vzdch. V (ml) p (kpa) T (K) N Vypočítajte štandardnú neistot typ B Tab. a) teploty, ktorá bola rčená pyrometrom. Výrobca dáva, že presnosť pyrometra na rozsah C je C, b) napätia, ktoré bolo odmerané pomoco rčičkového elektrického voltmetra na rozsah 10 V, trieda presnosti bola 0, %, c) objem vzdch v injekčnej striekačke, ak V = 0,001 l. V úlohách 3-6 vyberte správne tvrdenie. 3. Vyberte správne tvrdenie. Štandardná neistota typ B vyjadrje neistot a) ktorá je spôsobená eperimentátorom, b) ktorá je spôsobená konštrkcio prístroja, c) ktorá vznikne pri opakovanom meraní. 4. Vyberte správne tvrdenie. Maimáln dovolenú odchýlk stopiek, ktorými sme odmerali čas 100,49 s, rčíme

9 a) ako najmenší dielik stpnice meradla, b) ako najväčší dielik stpnice meradla, c) pomoco triedy presnosti na danom rozsah prístroja. Napíšte hodnot imálnej dovolenej odchýlky pre tento prípad. 5. Vyberte správne tvrdenie. Štandardná neistota typ A vyjadrje neistot a) ktorá je spôsobená eperimentátorom, b) ktorá je spôsobená konštrkcio prístroja, c) ktorá vznikne pri opakovanom meraní. 6. Vyberte správne tvrdenie. Trieda presnosti ampérmetra je 0, % na rozsah 5 A. Maimálne dovolená odchýlka ampérmetra bde a) I = 0, A, b) I = 0,01 A, c) I = 0,05 A. 7. Priemer gľôčky bol odmeraný priamo viackrát. Vypočítajte štandardnú neistot typ B priemer gľôčky, ak imálna dovolená odchýlka mikrometra, ktorým bol priemer gľôčky meraný je 0, m. Vypočítajte štandardnú neistot typ A priemer gľôčky, ak kombinovaná štandardná neistota priemer je, m. 8. Vypočítajte výberový priemer a štandardnú neistot typ A brzdného napätia fotónky, ak interval odmeraných piatich hodnôt napätia je 0,08 V; 0,089 V; 0,085 V; 0,090 V; 0,083 V. 9. Vypočítajte relatívn a absolútn štandardnú neistot moment zotrvačnosti štvorcovej 1 dosky ( I mb ), kde strana dosky b = 30 cm, hmotnosť dosky m = 0,45 kg, 1 b = 1 mm a m = 0,05 g. 10. Vypočítajte relatívn a absolútn štandardnú neistot objem valčeka s podstavo priemer 15,69 mm a výško 53, mm. Výška valček bola rčená pomoco posvného meradla a priemer bol rčený mikrometrom. 11. Vypočítajte absolútn a relatívn štandardnú neistot merania odpor, ak rozšírená neistota U R = 0,3836 a faktor rozšírenia je. Hodnota odpor je 53.