Zvyškové triedy podľa modulu

Transkript

1 Zvyškové triedy podľa modulu Tomáš Madaras 2011 Pre dané prirodzené číslo m 2 je relácia kongruencie podľa modulu m na množine Z reláciou ekvivalencie, teda jej prislúcha rozklad Z na systém navzájom disjunktných podmnožín. Definícia Nech m N, m 2, a Z. Množina a m = {b Z a b (mod m)} sa nazýva a-tá zvyšková trieda podľa modulu m. Množina Z m = {0 m, 1 m,..., (m 1) m } sa nazýva množina zvyškových tried podľa modulu m. Príklad Pre m = 2 je Z 2 tvorená dvomi množinami 0 2 a 1 2, ktoré reprezentujú všetky párne a všetky nepárne čísla; Z 3 = {0 3, 1 3, 2 3 } tvoria tri množiny čísel: tie, ktoré sú deliteľné 3 a tie, ktoré po delení 3 dávajú zvyšok 1 resp. 2.

2 Z hľadiska abstraktnej algebry možno zvyškové triedy podľa daného modulu považovať za istý druh objektov podobných prirodzeným číslam, teda možno pre ne definovať reláciu rovnosti a operácie súčtu a súčinu. Lema Pre ľubovoľné a, b Z, m N je a m = b m práve vtedy, keď a b (mod m).

3 Definícia Nech m N, m 2. Na množine Z m definujeme operáciu súčtu zvyškových tried nasledovne: a m b m = (a + b) m. Pozn.: operácia + na pravej strane uvedenej rovnosti je súčet celých čísel (čo je opäť nejaké celé číslo, ktoré určuje istú zvyškovú triedu); na ľavej strane je "súčet" množín. Vlastnosti operácie : komutatívnosť: ( a m, b m Z m ) a m b m = b m a m asociatívnosť: ( a m, b m, c m Z m ) (a m b m ) c m = a m (b m c m ) ( 0 m Z m )( a m Z m ) a m 0 m = a m ( a m Z m )( b m Z m ) a m b m = 0 m

4 Definícia Nech m N, m 2. Na množine Z m definujeme operáciu súčinu zvyškových tried nasledovne: a m b m = (a b) m. Pozn.: operácia na pravej strane uvedenej rovnosti je súčin celých čísel; na ľavej strane je "súčin" množín. Vlastnosti operácie : komutatívnosť: ( a m, b m Z m ) a m b m = b m a m asociatívnosť: ( a m, b m, c m Z m ) (a m b m ) c m = a m (b m c m ) ( 1 m Z m )( a m Z m ) a m 1 m = a m ( a m, b m, c m Z m ) a m (b m c m ) = (a m b m ) (a m c m ) ( a m, b m, c m Z m ) (a m b m ) c m = (a m c m ) (b m c m )

5 Pre dve celé čísla a, b platí, že ak a b = 0, tak a alebo b je rovné 0. Zvyškové triedy sú v tomto iné: Veta Nech m N, m 2. Potom v Z m platí ( a m, b m Z m ) a m b m = 0 m (a m = 0 m b m = 0 m ) práve vtedy, keď m je prvočíslo. Dôkaz: Najprv dokážeme priamu implikáciu. Dôkaz je nepriamy - nech m > 1 je zložené číslo. Potom m = a b, kde 1 < a, b < m. Z toho ďalej dostávame 0 m = m m = (a b) m = a m b m ; pritom z nerovností 1 < a, b < m vyplýva, že a m 0 m, b m 0 m. Spätná implikácia: nech m je prvočíslo a a m b m = 0 m. Z toho dostávame, že (a b) m = 0 m, teda ab 0 (mod m), z čoho vyplýva, že m ab. Teda musí byť m a alebo m b; to znamená, že a 0 (mod m) alebo b 0 (mod m), teda a m = 0 m alebo b m = 0 m.

6 Pre každé prirodzené číslo m 2 a pre každú zvyškovú triedu a m Z m existuje "záporná" zvyšková trieda ( a) m tak, že a m + ( a) m = 0 m, teda popri sčítaní zvyškových tried (operácia ) možno definovať aj ich odčítanie, ktoré má rovnaké vlastnosti, ako odčítanie bežných čísel. Na druhej strane, nie vždy možno pre zvyškové triedy definovať operáciu delenia tak, aby bola podobná deleniu reálnych čísel: Príklad V Z 5 má každá "nenulová" zvyšková trieda a 5 svoju "prevrátenú hodnotu" tak, že ich súčin je 1 5 : = 1 5, = 1 5, = 1 5 (teda 1 5, 4 5 sú sami sebe prevrátené hodnoty, 2 5 je prevrátená hodnota k 3 5 a vice versa). V Z 6 však zvyšková trieda 2 6 prevrátenú hodnotu nemá: = 2 6, = 4 6, = 0 6, = 2 6, = 4 6.

7 Veta Nech m N, m 2. Potom v Z m platí ( a m Z m, a m 0 m )( b m Z m ) a m b m = 1 m práve vtedy, keď m je prvočíslo. Ak teda m je prvočíslo, tak Z m spolu s operáciami, má podobné vlastnosti, ako množina reálnych (resp. racionálnych) čísel s obvyklými operáciami +, ; hovoríme, že trojice (Z m,, ) a (R, +, ) tvoria tzv. pole.

8 Definícia Nech X je ľubovoľná množina a, X X X sú binárne operácie na X. Trojica (X,, ) sa nazýva pole, ak platí: komutatívnosť pre : ( a, b X) a b = b a asociatívnosť pre : ( a, b, c X) (a b) c = a (b c) existencia nuly pre : ( 0 X)( a X) a 0 = a existencia opačného ("záporného") prvku pre : ( a X)( b X) a b = 0 komutatívnosť pre : ( a, b X) a b = b a asociatívnosť pre : ( a, b, c X) (a b) c = a (b c) existencia jednotky pre : ( 1 X)( a X) a 1 = a

9 Definícia Definícia (pokr.) existencia inverzného prvku ("prevrátenej hodnoty") pre : ( a X, a 0)( b X) a b = 1 distributívnosť vzhľadom na zľava: ( a, b, c X) a (b c) = (a b) (a c) distributívnosť vzhľadom na sprava: ( a, b, c X) (a b) c = (a c) (b c)

10 Príklad Nech X = {0, 1, a, b} a operácie sú dané nasledujúcimi tabuľkami: 0 1 a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a 0 1 a b a b b a a a b 0 1 b b a 1 0 Trojica (X,, ) tvorí 4-prvkové pole (platnosť jednotlivých zákonov pre operácie sa dá overiť napr. pomocou počítača). Všimnime si, že operácia je v tomto prípad iná, než operácia súčtu zvyškových ried v Z 4.