Tajemství skalárního součinu

Transkript

1 Tajemství skalárního součinu Jan Hamhalter katedra matematiky, FEL ČVUT Otevřené Elektronické Systémy 28. února 2013 Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 1

2 A.Einstein: Tajemství je základem veškerého umění a veškeré vědy". Galileo Galilei: Pouze matematické otázky můžeme klást přírodě a příroda nám také může odpovědět pouze v matematickém jazyce" Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 2

3 E.P.Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Richard Courant Lecture in Mathematical Sciences delivered at New York University, May 11, The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning." Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 3

4 Standardní skalární součin v R 3 : x = (x 1, x 2, x 3 ) y = (y 1, y 2, y 3 ) x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. velikost vektoru: odchylka vektorů: x = x x. cos α = x y x y. x a y jsou kolineární x y = ± x y x a y jsou kolmé x y = 0 Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 4

5 C n... n-tice komplexních čísel. Standardní skalární součin v C n ( R n ): velikost vektoru: x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n x = x x = x x n 2. Vlastnosti skalárního součinu: x, y, z C n, α, β C : 1 x y = y x. 2 ( x + y) z = x z + y z. 3 (α x) y = α ( x y). 4 x x 0. 5 x x = 0 právě tehdy když x = 0. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 5

6 Obecně je skalární součin na C n zobrazení (, ) : C n C n C splňující podmínky (1) (5) výše. Například: ( x, y) = c 1 x 1 y c n x n y n kde c 1,..., c n jsou kladná čísla. Vektory x a y se nazývají kolmé (vůči danému skalárnímu součinu), jestliže ( x, y) = 0. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 6

7 Pythagorova věta: Jsou-li x a y C n kolmé, pak x + y 2 = x 2 + y 2. Rovnoběžníkové pravidlo: Pro vektory x a y C n platí x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. Rovnoběžníkové pravidlo je poznávacím znamením geometrie skalárního součinu. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 7

8 Eukleidovská báze: e 1 = (1, 0,..., 0),, e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1). Pro každý vektor x C n platí: x = ( x e 1 ) e ( x e n ) e n. Definice: Posloupnost vektorů g 1, g 2,..., g n v C n se nazývá ortonormální báze, jestliže platí 1 g i = 1 pro všechna i = 1, 2,... n. 2 Vektory g 1, g 2,... g n jsou navzájem kolmé. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 8

9 Předpokládejme, že x = α 1 g 1 + α 2 g α n g n, kde α 1,..., α n C a g 1, g 2,..., g n je ortonormální báze. Pak x = ( x g 1 ) g 1 + ( x g 2 ) g ( x g n ) g n. Věta: Pro každý vektor x C n a každou ortonormální bázi g 1, g 2,..., g n v C n platí: x = ( x g 1 ) g 1 + ( x g 2 ) g ( x g n ) g n. Skalární součiny reprezentují (kódují) informaci. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 9

10 Příklady: Eukleidovská báze, "libovolný systém kolmých souřadnic". Fourierova báze: Pro k = 1, 2,..., n, ω = cos 2π n + i sin 2π n = ωn = 1. položme: f k = 1 ( ) 1, ω k 1, ω 2(k 1),..., ω (n 1)(k 1). n Nebo-li: f k (j) = 1 n ω (j 1)(k 1), j = 1,..., n. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 10

11 Příklad: n = (1, 1), (1, 1). 2 2 n = (1, 1, 1, 1), 1 2 (1, i, 1, i), 1 2 (1, 1, 1, 1), 1 (1, i, 1, i). 2 Význam: fk je vzorkováním funkce ( ) ( 2π 2π ω k (t) = cos (k 1)t + i sin n n pro t = 0,..., n 1. ) (k 1)t Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 11

12 Diskrétní Fourierova transformace: x ( x f 1,..., x f n ). Rozklad do Fourierovy báze znamená vyjádření signálu jako kompozice čistých frekvencí. Skalární součiny s prvky báze určují amplitudy. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 12

13 Reálná a imaginární složka Fourierovy reprezentace: odhalí kompozici kosínové a sínové vlny x(t) = cos 2π (80t) + 2 sin(2π (50t) + Šum. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 13

14 Dva extrémy: Eukleidovská báze je ideálně lokalizovaná v čase, špatně ve frekvenci. Fourierova báze je ideálně lokalizovaná ve frekvenci, špatně v čase. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 14

15 Komprese dat: Analyzujeme vektor x C n. Máme k dispozici ortonormální bázi v C n : g 1, g 2,..., g n. Tedy n x = ( x g j ) g j j=1 Koeficienty v rozvoji seřadíme podle velikosti: x g 1 x g 2 Vezmeme k n největších a aproximujeme k x ( x g j ) g j Komprese s poměrem n : k. j=1 Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 15

16 Vlnkové báze (Wavelet bases) Základní teorie vyvinuta v 80. a 90. letech. Nové chytré ortonormální báze. Výhody vlnkových bází: Dobře lokalizované v prostoru i frekvenci. Snadno se generují pomocí celočíselných posunů a dyadické změny měřítka. Mají fraktální povahu. Zaměřují se na různé úrovně rozlišení - stromová struktura dat. Jsou schopny postihnout prudké změny. Umožňují dobrou kompresi. Existuje široká škála waveletových bází. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 16

17 Příklad z historie: Komprese otisků prstů FBI (1993). Datová náročnost: Každý čtvereční palec se rozdělí na 500 x 500 bloků, "pixels", kterým se přiřadí stupeň šedi (8 bitů). Jeden otisk = 1,5 x 1,6 inches = bytů. Karta s otisky prstů = 10 megabytes karet = terabytes JPEG = standard komprese: Joint Photographic Expert Group Soutěž FBI nevyhrál JPEG, ale skupina Los Alamos National Laboratory, která navrhla waveletovou kompresi. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 17

18 Komprese JPEG - rozdělení na bloky a pak použita Fourierova báze. Komprese waveletová - efektivní při velké redukci dat. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 18

19 Jan Hamhalter Tajemství skalárního souc inu 19

20 Komprese Leny provedena pomocí Daubeschies weveletů Ingrid Daubechies (90. léta). Lena Sjömblom, Playboy, November Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 20

21 Skalární součin umožní spočítat nejbližší bod, tedy nejlepší aproximaci: Zjednodušená verze úlohy: Je dán vektor x R n a jednotkový vektor y R. Nalezněte na "přímce" {α y α R} bod nejbližší k bodu x. Geometrická intuice: Nejbližší bod, z = α y, je bod, pro který platí, z ( x z). Odtud dostaneme: α = x y z = ( x y) y. Obecný případ řeší Metoda Nejmenších Čtverců (F.Gauss) Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 21

22 Matematický model fotonu: Polarizace fotonu (stav) je dána jednotkovým dvojrozměrným komplexním vektorem x = (a, b) C 2. Pravděpodobnost, že foton přejde ze stavu x C 2 do stavu y C 2 je rovna x y 2. Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 22

23 Pravděpodobnost, že foton přejde přes filtr s horizontální polarizací je (a, b) (1, 0) 2 = a 2. Pravděpodobnost, že foton přejde přes filtr s vertikální polarizací je (a, b) (0, 1) 2 = b 2. Co se děje při horizontálním a pak vertikálním filtru? Co se děje při horizontálním, šikmém, vertikálním filtru? Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 23

24 Děkuji za pozornost!!! M.W.Frazier: An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra, Springer E.P.Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Richard Courant Lecture in Mathematical Sciences delivered at New York University, May 11, Jan Hamhalter Tajemství skalárního součinu 24