Centrální plánování cest pro mnoho agentů Centralized Multi-agent Path Planning

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Centrální plánování cest pro mnoho agentů Centralized Multi-agent Path Planning"

Transkript

1 Centrální plánování cest pro mnoho agentů Centralized Multi-agent Path Planning RNDr. Pavel Surynek, Ph.D. KTIML Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze

2 Motivace (1) Přesouvání kontejnerů (agent = kontejner) Intenzivní doprava (agent = automobil (v zácpě)) Přesuny dat (agent = datový paket) Zobecněné výtahy (agent = výtah) 2 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

3 Motivace (2) Filmová počítačová grafika (masové scény) Počítačové hry (pohyb jednotek v RTS) (Lucasfilm Ltd., ) 3 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

4 Úloha plánování cest pro mnoho agentů (1) Ryan, 2007; Surynek, 2009 Formální popis instance problému plánování cest pro mnoho agentů: Prostředí modelujeme jako neorientovaný graf, kde vrcholy reprezentují pozice v prostředí a hrany možnost průchodu. Instance je čtveřice Σ = (G, R, S R0, S R+ ), kde: G=(V,E) je neorientovaný graf, R = {r 1,r 2,...,r ν }, kde ν< V je množina agentů, S R0 : R V je prostá funkce určující počáteční rozmístění agentů a S R+ : R V je prostá funkce určující cílové rozmístění agentů. Čas modelujeme diskrétně. Časové kroky a jejich uspořádání jsou izomorfní přirozeným číslům. 4 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

5 Úloha plánování cest pro mnoho agentů (2) Ryan, 2007; Surynek, 2009 Dynamicita úlohy je následující: Agent nacházející se v časovém kroku i v jistém vrcholu se může přesunout do sousedního vrcholu v časovém kroku i+1, jestliže je tento pohyb povolený a žádný jiný agent nevstupuje současně do stejného vrcholu. Pohyb započatý v kroku i a ukončený v kroku i+1 je povolený, když: cílový vrchol pohybu je v kroku i volný, nebo cílový vrchol pohybu je v kroku i právě uvolňovaný povoleným pohybem. Pro dané Σ = (G, R, S R0, S R+ ), chceme najít: Posloupnost pohybů pro každého agenta tak, že je splněna podmínka dynamicity úlohy a každý agent dosáhne cílového vrcholu. 5 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

6 Příklad instance a poznámky v 1 v 2 v S R 0 S R + v 4 v 7 v 1 v 4 v 7 v 5 v 8 v 2 v 5 v 8 v 6 v 9 v v 6 v 9 1 Řešení problému plánování cest pro mnoho agentů, kde R={1,2,3} délka řešení=5 O 1 =[v 1, v 4, v 7, v 8, v 9 ] O 2 =[v 2, v 1, v 4, v 7, v 8 ] O 3 =[v 3, v 2, v 1, v 4, v 7 ] Časový krok: Definice zabraňuje kolizím, zároveň umožňuje vysoký paralelismus. Srovnejte s úlohami pohybu kamenů po grafu: Pohyb je povolen pouze do vrcholu, který je v daném kroku volný. Lloydova 9, 15, (n 2-1)-puzzle Nižší paralelismus. 6 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

7 Známé výsledky (1) Zajímavý je především případ s 2-souvislým grafem téměř vždy řešitelný na ten se dále omezíme: Přeuspořádání agentů ve vrcholech můžeme chápat jako permutaci agentů (volný vrchol v S R0 a v S R+ fixujeme). Permutace může být buď sudá nebo lichá (vyjádřitelná jako složení sudého respektive lichého počtu transpozic prvků). Wilson, 1974: Pokud 2-souvislý graf (neizomorfní s kružnicí) s jedním volným vrcholem obsahuje kružnici liché délky, potom je každý problém plánování cest pro agenty nad tímto grafem řešitelný. Pokud 2-souvislý graf (neizomorfní s kružnicí) s jedním volným vrcholem neobsahuje lichou kružnici, potom je problém plánování cest pro agenty řešitelný, právě když S R+ představuje sudou permutaci vzhledem k S R0. Řešení délky O( V 5 ) je generováno v čase O( V 5 ). 7 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

8 Známé výsledky (2) Kornhauser, Miller, Spirakis, 1984 (algoritmus MIT): Opět pro 2-souvislé grafy s jedním volným vrcholem. Řešení délky O( V 3 ) je generováno v čase O( V 3 ). Existují instance, kde délka nejkratšího řešení je Ω( V 3 ). Ratner, Warmuth, 1986: Rozhodovací varianta problému pohybu kamenů po grafu, když hledáme nejkratší možné řešení, je NP-úplný problém. pohyb vždy do volného vrcholu nízký paralelismus Ukázáno pro zobecnění Lloydovy 15-ky na pole velikosti N x N Nové výsledky (pro 2-souvislé grafy): Generování řešení délky O( V 3 ) čase O( V 3 ) s menšími konstantami v asymptotickém odhadu než v případě algoritmu MIT. opět stačí jeden volný vrchol Rozhodovací varianta problému plánování cest pro mnoho agentů, když hledáme nejkratší možné řešení, je NP-úplný problém. pohyb i do uvolňovaného vrcholu vysoký paralelismus 8 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

9 Algoritmus MIT hlavní idea (1) Kornhauser, Miller, Spirakis, 1984 Možná přeuspořádání agentů ve vrcholech formují permutační grupu G pro prvky R={r 1,r 2,...,r μ } Definice: Permutační G grupa pro prvky R={r 1,r 2,...,r μ } je k-tranzitivní pro k μ, jestliže pro každé dvě k-tice prvků a 1,a 2,...,a k a b 1,b 2,...,b k, kde a i R, b i R pro i=1,2,,k existuje permutace G, že (a i )=b i pro i=1,2,,k. Tvrzení: Jestliže permutační grupa G obsahuje cyklus délky k a je k-tranzitivní, potom obsahuje všechny cykly délky k. Tvrzení: Každou sudou permutaci pro prvky R={r 1,r 2,...,r μ } lze získat jako produkt nejvýše μ-2 cyklů délky 3 (3-cyklus). Naznačíme, že 2-souvislý graf obsahuje 3-cyklus a že je 3- tranzitivní: Stačí k vytvoření libovolné sudé permutace. 9 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

10 Algoritmus MIT hlavní idea (2) Kornhauser, Miller, Spirakis, 1984 Definice: Graf G=(V,E) je 2-souvislý, jestliže V 3 a pro v V je G=(V-{v},E ), kde E ={{x,y} E x,y v}, je souvislý. Tvrzení: Každý 2-souvislý graf lze zkonstruovat z kružnice postupným přidáváním uch. Cyklus + 1 ucho r 2 r 3 r 1 A r 4 B r 7 r 5 r 6 počáteční kružnice 1. ucho 2. ucho 3. ucho Ilustrace 3-cyklu: ABA -1 B -1 =(r 4,r 7,r 3 ) Ilustrace 3-tranzitivity: Libovolné 3 agenty (x,y,z) umíme narovnat do ucha délky aspoň 3 permutace P Totéž pro agenty (u,v,w) permutace Q PQ -1 dává 3-tranzitivitu (x,y,z) na (u,v,w) 10 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

11 Algoritmus MIT poznámky Ilustrován byl nejjednodušší případ Rozbor případů pro různé situace (délky uch, speciální podgrafy), podstata stejná jako na ilustrovaném příkladu. Velikost řešení a časová složitost: Generování 3-cyklu konstantní počet rotací uch rotace ucha spotřebuje O( V ) pohybů, lze určit v čase O( V ) celkem tedy O( V ) pohybů i času Generování 3-tranzitivity 3 přesuny agenta k uchu, 3 rotace ucha přesun agenta podél hrany spotřebuje O( V ) pohybů agent se přesouvá až přes V hran celkem tedy O( V 2 ) pohybů i času Celkem potřebujeme složit μ-2 3-cyklů, kde na každý potřebujeme O( V 2 ) pohybů i času, celkem je potřeba O( V 3 ) pohybů i času Nevýhoda: relativně velké konstanty v odhadech 11 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

12 Algoritmus BIBOX hlavní idea (1) Surynek, 2009 Předpokládejme, že známe rozklad 2-souvislého grafu G=(V,E) na počáteční kružnice C 0 a posloupnost uch L 1,L 2,,L l (a jim odpovídajících kružnic C 1,C 2,,C l ; získají se propojením konců uch), které se mají postupně přidávat abychom dostali G. r r4 2 G=(V,E) G=(V,E) r 1 r 3 r 1 r 2 r 3 r 4 Umíme: přesouvat volný vrchol na libovolné místo v grafu. Umíme: libovolného agenta přemístit do libovolného vrcholu (využijeme 2-souvislosti) r 2 r 1 r 3 C 1 r 4 r 5 r 6 r 7 r8 C 2 r 9 r 12 r 10 r 11 r 14 C 3 r 13 C 4 r15 r 16 r / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

13 Algoritmus BIBOX hlavní idea (2) Surynek, 2009 Zvládáme-li přesun individuálního agenta lze provádět složitější přesuny: Skládání agentů do ucha ve správném pořadí. r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 C(L i ) - 2-souvislý zbytek Zásobníkové skládání: Vezmeme poslední ucho rozkladu. Přesuneme agenta do šedého vrcholu. Provedeme rotaci ucha (pomocí zeleného volného vrcholu).... r 6 13 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010 C(L i ) 2-souvislý zbytek r 1 - C(L i ) - 2-souvislý zbytek r 3 r 1 r 2 C(L i ) 2-souvislý zbytek r 2 - r 1

14 Algoritmus BIBOX poznámky Ilustrován bylo skládání agentů do ucha Nefunguje pro počáteční kružnici rozkladu na ucha Nutno použít zvláštní postup Velikost řešení a časová složitost: Vložení agenta do ucha až O( V ) rotací ucha, kde každá rotace spotřebuje O( V ) pohybů přesun agenta po cestě délky O( V ), kde přesun pře jednu hranu spotřebuje O( V ) pohybů celkem tedy O( V 3 ) pohybů, čas je rovněž O( V 3 ) Stejný odhad jako pro algoritmus MIT zde jsou menší konstanty 14 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

15 NP-úplnost plánování cest pro agenty (1) Surynek, 2010 Rozhodovací verze optimalizační varianty problému plánování cest pro mnoho agentů: Dána instance Σ = (G=(V,E), R, S R0, S R+ ) a číslo η, chceme zodpovědět, zda existuje řešení instance Σ, jehož doba vykonání (makespan) je nejvýše η. Doba vykonání je typicky menší než počet jednotlivých pohybů v rámci řešení paralelismus. Lemma: Problém je ve třídě NP, neboť umíme zkonstruovat řešení velikosti O( V 3 ) například algoritmem BIBOX. Velikost orákula/certifikátu, který potřebujeme v nedeterministickém modelu uhodnout, je tedy nejvýše O( V 3 ), tedy polynomiální. Pozn.: pro některé podobné úlohy (např. Sokoban) toto známo není 15 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

16 NP-úplnost plánování cest pro agenty (2) Surynek, 2010 Lemma: Rozhodovací verze optimalizační varianty plánování cest pro mnoho agentů je NP-těžký problém. Převodem booleovské splnitelnosti na plánování cest extrémně komplikované uvedeme pouze hlavní myšlenky Nechť je dána booleovská formule F ve tvaru CNF Formule = konjunkce klauzulí Klauzule = disjunkce literálů Literál = výroková proměnná či negace výrokové proměnné Bude konstruována instance plánování cest Σ = (G=(V,E), R, S R0, S R+ ). Literálům formule budou přiřazeny některé vrcholy grafu G, přitom ohodnocení e formule F je definováno následovně: Pokud v určitém zvoleném kroku vrchol odpovídající literálu neobsahuje určeného agenta, je literálu přiřazena hodnota True. Jinak je literálu přiřazena hodnota False. 16 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

17 NP-úplnost plánování cest pro agenty (3) Surynek, 2010 Další vrcholy a hrany G slouží k zajištění podmínek: Booleovské konzistence literály odpovídající stejné proměnné jsou pomocí ohodnocení e ohodnoceny konzistentně Splnění klauzulí všechny klauzule jsou ohodnocením e splněny Podmínky booleovské konzistence, splnění klauzulí a další techniky zajistí: Formule F je splnitelná, právě když existuje řešení Σ s dobou trvání nejvýše η. Používají se techniky: Zamykání vrcholů v určitých krocích agent nemůže do zvoleného vrcholu vstoupit Sdružování agentů (konjugace) skupina agentů musí být stále pohromadě 17 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

18 Zamykání vrcholů Instance, jejíž optimální řešení má dobu vykonávání 3 Vrchol v 3 bude uzamčen pro časové kroky 2 a 4 ve všech optimálních řešeních Lze rozšířit na množiny více vrcholů současně Lze zamykat množiny vrcholů v 1 v 3 r 1 r 2 v 4 v 2 v 5 v 6 r 3 v 7 v 1 v 2 r 2 v 3 v 4 v 5 r 1 v 6 r 3 v 7 v 3 u 3 u 2 u 1 w 1 w 2 w 3 w 4 q 2 q 1 v 3 u 3 u 2 u 1 w 1 w 2 w 3 w 4 q 2 q 1 v 1 r 1 r 2 v 6 v 1 r 2 v 6 r 1 v 2 v 4 v 7 r 3 v 2 v 4 v 7 r 3 v 5 v 5 18 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

19 Sdružování agentů (konjugace) Skupina 4 agentů se musí v každém optimálním řešení pohybovat společně - používá se zamykání Pohybují se buď levou nebo pravou větví grafu Slouží k simulaci booleovské konzistence s 1 s 2 s 3 s 4 Levá větev Pravá větev l r Levá větev Pravá větev s 1 s 2 s 3 s 4 l r 19 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

20 Experimenty (1) Porovnání algoritmů MIT a BIBOX doba vykonání Testováno na náhodných grafech s náhodným rozmístěním agentů. Grafy obsahující až 30 vrcholů Generovány přidáváním uch náhodné velikosti BIBOX MIT Doba vykonání V Algoritmus BIBOX produkuje řádově kratší řešení než algoritmus MIT. 20 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

21 Experimenty (2) Porovnání algoritmů MIT a BIBOX - čas běhu Stejná sada testovacích instancí 0,12 BIBOX MIT Čas běhu 0,08 0,04 0, V Algoritmus BIBOX se jeví jako mírně rychlejší na větších instancích. 21 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

22 Experimenty (3) free 10% free 50% free Doba vykonání V Testy algoritmu BIBOX na rozsáhlých instancích Náhodné grafy s až 400 vrcholy Různý počet volných vrcholů free 10% free 50% free Čas běhu V 22 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

23 Závěr Popis existujícího algoritmu MIT pro plánování cest pro agenty využití 3-tranzitivity a 3-cyklu 2-souvislost, jeden volný vrchol Nový algoritmus BIBOX přímé umisťování agentů podle rozkladu grafu na ucha 2-souvislost, jeden volný vrchol Podle experimentů BIBOX produkuje kvalitnější řešení než MIT Čas běhu algoritmu BIBOX je mírně příznivější než u MIT Pojednání o NP-úplnosti optimalizační varianty úlohy plánování cest pro mnoho agentů Převod booleovské splnitelnosti na plánování cest Různé techniky pro konstrukci odpovídající instance plánování cest pro agenty 23 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

24 Demo

25 Literatura Wilson, R. M., Graph Puzzles, Homotopy, and the Alternating Group. Journal of Combinatorial Theory, Ser. B 16, pp , Elsevier. Kornhauser, D., Miller, G. L., Spirakis, P. G., Coordinating Pebble Motion on Graphs, the Diameter of Permutation Groups, and Applications. Proceedings of the 25th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS 1984), pp , IEEE Press. Ratner, D., Warmuth, M. K., Finding a Shortest Solution for the N N Extension of the 15-PUZZLE Is Intractable. Proceedings of the 5th National Conference on Artificial Intelligence (AAAI 1986), pp , Morgan Kaufmann Publishers. Ryan, M. R. K., Graph Decomposition for Efficient Multi-Robot Path Planning. Proceedings of the 20th International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI 2007), Hyderabad, India, pp , Surynek, P A Novel Approach to Path Planning for Multiple Robots in Bi-connected Graphs. Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA 2009), pp , Kobe, Japan, IEEE Press, Surynek, P Towards Shorter Solutions for Problems of Path Planning for Multiple Robots in θ-like Environments. Proceedings of the 22nd International Florida Artificial Intelligence Research Society Conference (FLAIRS 2009), pp , Sanibel Island, FL, USA, AAAI Press, Surynek, P An Optimization Variant of Multi-Robot Path Planning is Intractable. Proceedings of the 24th AAAI Conference on Artificial Intelligence (AAAI 2010), Atlanta, GA, USA, AAAI Press, to appear. 25 / Agentový seminář 2010, ČVUT FEL Pavel Surynek, 2010

Plánování cest pro mnoho robotů (Multi-robot path planning) Pavel Surynek KTIML Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze

Plánování cest pro mnoho robotů (Multi-robot path planning) Pavel Surynek KTIML Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Plánování cest pro mnoho robotů (Multi-robot path planning) KTIML Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Přehled přednášky Motivace hravá a vážná Formální definice problému Aplikace doménově

Více

NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost

Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není

Více

Paralelní grafové algoritmy

Paralelní grafové algoritmy Paralelní grafové algoritmy Značení Minimální kostra grafu Nejkratší cesta z jednoho uzlu Nejkratší cesta mezi všemi dvojicemi uzlů Použité značení Definition Bud G = (V, E) graf. Pro libovolný uzel u

Více

4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy

4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Výroková a predikátová logika - V

Výroková a predikátová logika - V Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský

Více

Vizualizace problémů pohybu po grafu Pavel Surynek. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze

Vizualizace problémů pohybu po grafu Pavel Surynek. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Vizualizace problémů pohybu po grafu Pavel Surynek Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 Problémy pohybu po grafu Abstrakce k úlohám o pohybu více (autonomních nebo pasivních) entit

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Problémy třídy Pa N P, převody problémů

Problémy třídy Pa N P, převody problémů Problémy třídy Pa N P, převody problémů Cvičení 1. Rozhodněte o příslušnosti následujících problémů do tříd Pa N P(N PCověříme později): a)jedanýgrafsouvislý? danýproblémjeztřídy P,řešíhonapř.algoritmyDFS,BFS.

Více

3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA

3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

Výpočetní složitost algoritmů

Výpočetní složitost algoritmů Výpočetní složitost algoritmů Slajdy pro výuku na KS Ondřej Čepek Sylabus 1. Definice časové a prostorové složitosti algoritmů. Příklady na konkrétních algoritmech. Prostředky pro popis výpočetní složitosti

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu

Více

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM. Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.

Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. 6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje

Více

OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY. Modelový příklad problém obchodního cestujícího:

OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY. Modelový příklad problém obchodního cestujícího: OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHY Problém optimalizace v různých oblastech: - minimalizace času, materiálu, - maximalizace výkonu, zisku, - optimalizace umístění komponent, propojení,... Modelový příklad problém obchodního

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková

Více

TGH12 - Problém za milion dolarů

TGH12 - Problém za milion dolarů TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu

Více

Složitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost

Složitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost 1 Složitost 1.1 Operační a paměťová složitost Nezávislé určení na konkrétní implementaci Několik typů operací = sčítání T+, logické T L, přiřazení T A(assign), porovnání T C(compare), výpočet adresy pole

Více

Další NP-úplné problémy

Další NP-úplné problémy Další NP-úplné problémy Známe SAT, CNF, 3CNF, k-klika... a ještě následující easy NP-úplný problém: Existence Certifikátu (CERT ) Instance: M, x, t, kde M je DTS, x je řetězec, t číslo zakódované jako

Více

12. Globální metody MI-PAA

12. Globální metody MI-PAA Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.

Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste

Více

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014 Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

Systém přirozené dedukce výrokové logiky Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Barevnost grafů MFF UK

Barevnost grafů MFF UK Barevnost grafů Z. Dvořák MFF UK Plán vztah mezi barevností a maximálním stupněm (Brooksova věta) hranová barevnost (Vizingova věta) příště: vztah mezi barevností a klikovostí, perfektní grafy Barevnost

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n

Více

YZTI - poznámky ke složitosti

YZTI - poznámky ke složitosti YZTI - poznámky ke složitosti LS 2018 Abstrakt Poznámky k přednášce YZTI zabývající se složitostí algoritmických problémů a teorií NP-úplnosti. Složitost algoritmu a problému Zabýváme se už pouze rekurzivními

Více

Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31

Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31 Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu

Více

11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST

11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST 11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST Na první přednášce jsme si neformálně zavedli pojmy problém a algoritmus pro jeho řešení, které jsme na počítači vykonávali pomocí programů. Jako příklad uveďme

Více

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá

Více

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g). 7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené

Více

Pravděpodobně skoro správné. PAC učení 1

Pravděpodobně skoro správné. PAC učení 1 Pravděpodobně skoro správné (PAC) učení PAC učení 1 Výpočetní teorie strojového učení Věta o ošklivém kačátku. Nechť E je klasifikovaná trénovací množina pro koncept K, který tvoří podmnožinu konečného

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

Výroková a predikátová logika - IV

Výroková a predikátová logika - IV Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)

Více

TGH02 - teorie grafů, základní pojmy

TGH02 - teorie grafů, základní pojmy TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VII Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Úvod do teorie grafů

Úvod do teorie grafů Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí

Více

TGH02 - teorie grafů, základní pojmy

TGH02 - teorie grafů, základní pojmy TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Modely Herbrandovské interpretace

Modely Herbrandovské interpretace Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5

VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky

Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase

PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase -stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VII Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře

Více

Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,

Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé

Více

Od Turingových strojů k P=NP

Od Turingových strojů k P=NP Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely

Více

vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí

vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí Rezoluce: další formální systém vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí pracujeme s formulemi v nkf (též klauzulárním tvaru), ale používáme

Více

TGH02 - teorie grafů, základní pojmy

TGH02 - teorie grafů, základní pojmy TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)

Více

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,

Více

Karta předmětu prezenční studium

Karta předmětu prezenční studium Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0259 Garantující institut: Garant předmětu: Exaktní metody rozhodování Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková,

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce , strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ

Více

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení 1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento

Více

Usuzování za neurčitosti

Usuzování za neurčitosti Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

TGH09 - Barvení grafů

TGH09 - Barvení grafů TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít

Více

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů 4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Hledáme efektivní řešení úloh na grafu

Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy

Více

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující

Více

Aproximativní algoritmy UIN009 Efektivní algoritmy 1

Aproximativní algoritmy UIN009 Efektivní algoritmy 1 Aproximativní algoritmy. 14.4.2005 UIN009 Efektivní algoritmy 1 Jak nakládat s NP-těžkými úlohami? Speciální případy Aproximativní algoritmy Pravděpodobnostní algoritmy Exponenciální algoritmy pro data

Více

Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování

Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování Základní (strukturální) vlastnosti sítí Stupně vrcholů a jejich

Více

Vrcholová barevnost grafu

Vrcholová barevnost grafu Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové

Více

Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy

Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

Sémantika predikátové logiky

Sémantika predikátové logiky Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem

Více

Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu

Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu Petr Pudlák Logika prvního řádu (Někdy nepřesně nazývaná predikátová logika.) Výhody Vyšší vyjadřovací schopnost jazyka, V podstatě

Více

Formální systém výrokové logiky

Formální systém výrokové logiky Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)

Více

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující

Více

u odpovědí typu A, B, C, D, E: Obsah: jako 0) CLP Constraint Logic Programming

u odpovědí typu A, B, C, D, E: Obsah: jako 0) CLP Constraint Logic Programming Průběžná písemná práce Průběžná písemná práce Obsah: Průběžná písemná práce Aleš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ délka pro vypracování: 25 minut nejsou povoleny žádné materiály

Více

H {{u, v} : u,v U u v }

H {{u, v} : u,v U u v } Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo

Více

Výroková a predikátová logika - XII

Výroková a predikátová logika - XII Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 11. 2006 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující

Více

Šárka Došlá. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze. Bimodální rozdělení. Šárka Došlá. Motivace. Základní pojmy

Šárka Došlá. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze. Bimodální rozdělení. Šárka Došlá. Motivace. Základní pojmy Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1/20 Joiner (1975): Histogram výšky studentů, který ilustruje bimodalitu lidské výšky. Schilling a kol. (2002): Ve skutečnosti bylo dané unimodální!

Více

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16 Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ

Více

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. 9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1

VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 Pokrytí a vzdálenost Každý graf je sjednocením svých hran (jak je to přesně?).?lze nalézt složitější struktury stejného typu, ze kterých lze nějaký graf

Více

Základní datové struktury III: Stromy, haldy

Základní datové struktury III: Stromy, haldy Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní

Více

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hranová konzistence Arc consistency AC Nejprve se zabýváme binárními CSP podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hrana (V i, V j ) je hranově konzistentní, právě když pro každou hodnotu x z aktuální domény

Více