Barevnost grafů MFF UK
|
|
|
- Radek Bárta
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Barevnost grafů Z. Dvořák MFF UK
2 Plán vztah mezi barevností a maximálním stupněm (Brooksova věta) hranová barevnost (Vizingova věta) příště: vztah mezi barevností a klikovostí, perfektní grafy
3 Barevnost a maximální stupeň Pozorování χ(g) (G)+1 Důkaz indukcí: je-li V(G) 1, tvrzení je triviální jinak, zvol v V(G) libovolně: z indukce, χ(g v) (G v)+1 (G)+1 sousedi v používají nejvýše různých barev v lze obarvit jednou z barev 1,..., (G)+1.
4 Barevnost a maximální stupeň Pozorování χ(g) (G)+1 Tento odhad nejde vylepšit bez dalších předpokladů: (K n ) = n 1, χ(k n ) = n (C 2n+1 ) = 2, χ(c 2n+1 ) = 3 Existují jiné (souvislé) protipříklady?
5 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). Obdobně jako předchozí pozorování: můžeme předpokládat V(G) 2; zvolme v stupně (G) 1 necht G 1,..., G k jsou komponenty G v: G souvislý G i obsahuje u i tž. u i v E(G) deg Gi (u i ) (G) 1 je-li G i regulární, pak χ(g i ) (G i )+1 = deg Gi (u i )+1 není-li regulární, pak χ(g i ) (G i ) z indukce proto χ(g i ) (G) v lze dobarvit jednou z barev 1,..., (G)
6 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). Jiný důkaz: zvolme kostru T grafu G zakořeníme T ve vrcholu v stupně (G) 1 barvíme od listů (obrácené pořadí průchodu T do hloubky) vrchol u v má deg(u) 1 předbarvených sousedů vrchol v má deg(v) (G) 1 předbarvených sousedů
7 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
8 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). Jiný důkaz: zvolme kostru T grafu G zakořeníme T ve vrcholu v stupně (G) 1 barvíme od listů (obrácené pořadí průchodu T do hloubky) vrchol u v má deg(u) 1 předbarvených sousedů vrchol v má deg(v) (G) 1 předbarvených sousedů
9 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
10 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
11 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
12 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
13 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
14 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). Jiný důkaz: zvolme kostru T grafu G zakořeníme T ve vrcholu v stupně (G) 1 barvíme od listů (obrácené pořadí průchodu T do hloubky) vrchol u v má deg(u) 1 předbarvených sousedů vrchol v má deg(v) (G) 1 předbarvených sousedů
15 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
16 Neregulární grafy Lemma Je-li G souvislý a ne všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň, pak χ(g) (G). v
17 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). zvolme u, v, w tž. uv, vw E(G), uw E(G) T kostra G {u, w} zakořeněná ve v T = T +{u v, w v} nejprve obarvíme u a w stejnou barvou dále jako minule: u v má deg(u) 1 předbarvených sousedů v má deg(v) předbarvených sousedů, ale u a w mají stejnou barvu
18 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
19 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
20 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
21 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). zvolme u, v, w tž. uv, vw E(G), uw E(G) T kostra G {u, w} zakořeněná ve v T = T +{u v, w v} nejprve obarvíme u a w stejnou barvou dále jako minule: u v má deg(u) 1 předbarvených sousedů v má deg(v) předbarvených sousedů, ale u a w mají stejnou barvu
22 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
23 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
24 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
25 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
26 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). zvolme u, v, w tž. uv, vw E(G), uw E(G) T kostra G {u, w} zakořeněná ve v T = T +{u v, w v} nejprve obarvíme u a w stejnou barvou dále jako minule: u v má deg(u) 1 předbarvených sousedů v má deg(v) předbarvených sousedů, ale u a w mají stejnou barvu
27 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
28 3-souvislé grafy Lemma Je-li G 3-souvislý a není úplný, pak χ(g) (G). u v w
29 Brooksova věta Věta Je-li G souvislý a není ani úplný ani lichá kružnice, pak χ(g) (G). Důkaz: BÚNO G je -regulární a není 3-souvislý > 3 (jinak G je sudý cyklus nebo cesta délky alespoň 2 a χ(g) = = 2) uvažme nejmenší řez R v G (1 R 2): G = G 1 G 2, V(G 1 G 2 ) = R G 1 R G 2
30 R = 1 Jestliže R = {v}: obarvi G 1 a G 2 (nejsou -regulární) barvami přepermutuj obarvení tž. obě přiřazují v stejnou barvu v G 1 G 2
31 R = 1 Jestliže R = {v}: obarvi G 1 a G 2 (nejsou -regulární) barvami přepermutuj obarvení tž. obě přiřazují v stejnou barvu v v G 1 G 2
32 R = 1 Jestliže R = {v}: obarvi G 1 a G 2 (nejsou -regulární) barvami přepermutuj obarvení tž. obě přiřazují v stejnou barvu v v G 1 G 2
33 R = 1 Jestliže R = {v}: obarvi G 1 a G 2 (nejsou -regulární) barvami přepermutuj obarvení tž. obě přiřazují v stejnou barvu v v G 1 G 2
34 R = 1 Jestliže R = {v}: obarvi G 1 a G 2 (nejsou -regulární) barvami přepermutuj obarvení tž. obě přiřazují v stejnou barvu v G 1 G 2
35 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u G 1 G 2 v
36 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u G 1 G 2 v v
37 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u G 1 G 2 v
38 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u u G 1 G 2 v v
39 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u u G 1 G 2 v v
40 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u u G 1 G 2 v v
41 R = 2 Jestliže R = {u, v}: jelikož 3, BÚNO deg G1 (u) > 1 a deg G2 (v) > 1 má-li v jediného souseda v v G 2, uvážíme řez {u, v } místo R pak G 1 + uv a G 2 + uv nejsou -regulární χ(g 1 + uv), χ(g 2 + uv) permutace obarvení G 2 + uv, aby odpovídalo obarvení G 1 + uv u G 1 G 2 v
42 Shrnutí Brooksova věta Je-li G souvislý a není ani úplný ani lichá kružnice, pak χ(g) (G). pravděpodobně nejde zlepšit (popsat nutné a postačující podmínky pro χ(g) (G) 1): příklady složitých grafů s χ(g) = (G) 3-barevnost 4-regulárních grafů je NP-úplná
43 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol?
44 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol?
45 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol? 1.kolo:
46 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol? 2.kolo:
47 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol? 3.kolo:
48 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol? 4.kolo:
49 Hranová barevnost motivace Organizujeme turnaj pro n hráčů, každý má hrát s každým, kolik potřebujeme minimálně kol? 5.kolo:
50 Hranová barevnost Definice Obarvení hran je dobré, jestliže žádné dvě hrany incidentní se stejným vrcholem nemají stejnou barvu. Hranová barevnost χ (G) je minimální počet barev dobrého hranového obarvení. χ (K 6 ) 5:
51 Vlastnosti hranové barevnosti záleží na násobných hranách... budeme uvažovat jen jednoduché grafy χ (G) (G) hrany u jednoho vrcholem mají navzájem různé barvy χ (G) = χ(l(g)), kde L(G) je linegraf G: V(L(G)) = E(G), ef E(L(G)) jestliže e a f jsou incidentní se stejným vrcholem v G z Brooksovy věty: χ (G) (L(G)) 2 (G) 2, jestliže (G) 3
52 Vlastnosti hranové barevnosti Hranová barevnost je blízká maximálnímu stupni: (G) χ (G) 2 (G) 2 Lze tento vztah vylepšit? Vizingova věta Libovolný graf G bez smyček a násobných hran splňuje χ (G) (G)+1.
53 Důkaz Vizingovy věty(1) Indukcí: necht e = xy je hrana G, předpokládáme χ (G e) (G e)+1 (G)+1. dobré obarveníϕ : E(G e) {0, 1,..., } hran G e barvy u vrcholu v: barvy nepoužité u v: C(v) = {ϕ(uv) : uv E(G)} N(v) = {0, 1,..., }\C(v) deg(v) < +1, proto N(v) pro každý vrchol v V(G) pokud N(x) N(y), pak e obarvíme barvou z N(x) N(y) Co když N(x) N(y) =?
54 Důkaz Vizingovy věty(2) 1 N(x), 1 N(y): existuje hrana yz 1 obarvená barvou 1 pokud třeba 0 N(z 1 ) N(y): přebarvi yz 1 barvou 0 obarvi xy barvou 1 z 1 z 1 x y x y Co když N(z 1 ) N(y) =?
55 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 x y Jestliže nejde pokračovat, pak bud chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
56 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 z 2 x y Jestliže nejde pokračovat, pak bud chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
57 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 z 2 x y z 3 Jestliže nejde pokračovat, pak bud chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
58 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 z 2 z 3 x y z 4 Jestliže nejde pokračovat, pak bud chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
59 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 z 2 z 3 x y z 4 z 5 Jestliže nejde pokračovat, pak bud chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
60 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 z 2 z 3 x y z 4 z 5 z 6 Jestliže nejde pokračovat, pak bud chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
61 Důkaz Vizingovy věty(3) Dokud to jde, hledáme yz 2,..., yz k tž: ϕ(yz i ) N(z i 1 ) z 1,..., z k jsou navzájem různé z 1 z 2 z 3 x y z 4 z 5 z 7 Jestliže nejde pokračovat, pak bud z 6 chybějící barva u z k chybí i u y, nebo chybějící barva u z k je ϕ(yz m ) pro nějaké m < k.
62 Důkaz Vizingovy věty(4) Pokud barva c chybí jak u z k, tak u y: přebarvi yz i barvou ϕ(yz i+1 ), pro 1 i < k přebarvi yz k barvou c obarvi xy barvou ϕ(yz 1 ) z 1 z 2 z 1 z 2 z 3 z 3 x y z 4 x y z 4 z 5 z 5 z 6 z 6 z 7 z 7
63 Důkaz Vizingovy věty(5) Pokud barva c = ϕ(yz m ) pro nějaké m < k chybí u z k : Pokud m > 1, pak pro zjednodušení: odbarvi yz m 1 přebarvi yz i barvou ϕ(yz i+1 ), pro 1 i < m 1 obarvi xy barvou ϕ(yz 1 ) z 1 z 2 z 1 z 2 z 3 z 3 x y z 4 x y z 4 z 5 z 5 z 6 z 6 z 7 Proto stačí uvažovat m = 1. z 7
64 Důkaz Vizingovy věty(6) Barva c = ϕ(yz 1 ) chybí u z k (a také u x). Barva d chybí u y (a nechybí u z k ). z 1 x y z 2 z 3 z 4 Uvažme střídavou d c cestu P ze z k : bud nekončí v x ani y, nebo končí v x, nebo končí v y.
65 Důkaz Vizingovy věty(7) Barva c = ϕ(yz 1 ) chybí u z k (a také u x). Barva d chybí u y (a nechybí u z k ). Střídavá d c cesta ze z k nekončí v x ani y. prohodíme barvy na P d nyní chybí jak u y tak u z k přebarvíme jako v případě (4). z 1 z 1 x y z 2 z 3 x y z 2 z 3 z 4 z 4
66 Důkaz Vizingovy věty(8) Barva c = ϕ(yz 1 ) chybí u z k (a také u x). Barva d chybí u y (a nechybí u z k ). Střídavá d c cesta ze z k končí v x. prohodíme barvy na P d nyní chybí jak u x tak u y hranu xy obarvíme d z 1 z 1 x y z 2 z 3 x y z 2 z 3 z 4 z 4
67 Důkaz Vizingovy věty(9) Barva c = ϕ(yz 1 ) chybí u z k (a také u x). Barva d chybí u y (a nechybí u z k ). Střídavá d c cesta ze z k končí v y. prohodíme barvy na P c nyní chybí jak u x tak u y hranu xy obarvíme c z 1 z 1 x y z 2 z 3 x y z 2 z 3 z 4 z 4
68 Shrnutí Vizingova věta Libovolný graf G bez smyček a násobných hran splňuje (G) χ (G) (G)+1. rozhodnout zda χ (G) = (G) nebo χ (G) = (G)+1 je těžké: hranová 3-barevnost 3-regulárních grafů je NP-úplná dolní hranice se nabývá pro bipartitní grafy rovinné 3-regulární grafy bez mostů (ekvivalentní větě o 4 barvách)
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda Zdeněk Dvořák 12. prosince 2017 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení
Vrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
TGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
1 Seznamová barevnost úplných bipartitních
Barvení grafů pravděpodobnotní důazy Zdeně Dvořá 7. proince 208 Seznamová barevnot úplných bipartitních grafů Hypergraf je (labě) -obarvitelný, jetliže exituje jeho obarvení barvami neobahující monochromaticou
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
1 Nenulové toky. 1.1 Úvod. 1.2 Definice
1 Nenulové toky 1.1 Úvod Naším výchozím bodem bude grafová dualita. Nechť G je graf s daným vnořením v rovině, které určuje jeho duální graf G. V rámci duality si navzájem odpovídají například následující
René Grežďo. Vrcholové barvení grafu
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁCE René Grežďo Vrcholové barvení grafu Katedra matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: RNDr. Jan Ekstein,
VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1
VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 Pokrytí a vzdálenost Každý graf je sjednocením svých hran (jak je to přesně?).?lze nalézt složitější struktury stejného typu, ze kterých lze nějaký graf
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.
7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další
Teorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde
Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny
Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
Výroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
Jan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Minimální kostry. Teorie. Štěpán Šimsa
Minimální kostry Štěpán Šimsa Abstrakt. Cílem příspěvku je seznámit s tématem minimálních koster, konkrétně s teoretickými základy, algoritmy a jejich analýzou. Problém.(Minimální kostra) Je zadaný graf
Vlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
Golayův kód 23,12,7 -kód G 23. rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24. ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11
Golayův kód 23,12,7 -kód G 23 rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24 kód G 23 jako propíchnutí kódu G 24 ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11 rozšířený ternární Golayův kód 12,6,6 -kód G 12 dekódování
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný
Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný Úvod Abstrakt. V první části příspěvku si vysvětlíme základní pojmy týkající se ploch. Dále si ukážeme a procvičíme možné způsoby jejich zobrazování do roviny, abychom
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů študenti MFF 15. augusta 2008 1 17 Teorie grafů Požiadavky Základní pojmy teorie grafů, reprezentace grafu. Stromy a jejich základní vlastnosti,
Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).
7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené
Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Graf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.
Graf 2 0 3 1 4 5 Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd. Běžné reprezentace grafu Uzly = indexy Stupně uzlů
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Teorie grafů(povídání ke třetí sérii)
Teorie grafů(povídání ke třetí sérii) Ke zformulování úloh této série je vhodné seznámit Tě se základními pojmy teorie grafů. Nejprvebychomsiměliříci,cojetograf. 1 Populárněřečeno:napapířemámenakresleno
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
PROBLÉM ČTYŘ BAREV. Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu?
ROBLÉM ČTYŘ BAREV Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu? ROBLÉM ČTYŘ BAREV L KH ROBLÉM ČTYŘ BAREV Vytvoříme graf Kraje = vrcholy
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,
07 Základní pojmy teorie grafů
07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 11. 2006 Obsah přednášky 1 Literatura
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Diskrétní matematika 2012/2013.
Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Diskrétní matematika 2012/2013 Projekt číslo 3 jméno: Jiří Znoj login: zno0011 hodnotící: Mgr. Pavel Skalný Příklad:
Kapitola 1. Grafy a podgrafy
Petr Kovář, 1. Grafy a podgrafy 25. února 2011 Kapitola 1. Grafy a podgrafy 1.1. Grafy a jednoduché grafy 1.1.1. Ukažte, že platí G = G, tj. doplněk doplňku grafu G je právě graf G. 1.1.2. Může být graf
Jan Březina. Technical University of Liberec. 30. dubna 2013
TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 30. dubna 2013 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní
Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)
Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole.
Kapitola 7 Stromy Stromy jsou jednou z nejdůležitějších tříd grafů. O tom svědčí i množství vět, které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole. Představíme také dvě
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010
Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice
= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 zadáno 1.-4. 3. 2016, odevzdat do 8.-11. 3. 2016 1. Zjistěte, které z následujících funkcí definovaných pro n N jsou v relaci Θ(), a vzniklé třídy co nejlépe
Jan Březina. Technical University of Liberec. 21. dubna 2015
TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 21. dubna 2015 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní
8 Rovinnost a kreslení grafů
8 Rovinnost a kreslení grafů V přímé návaznosti na předchozí lekci se zaměříme na druhý důležitý aspekt slavného problému čtyř barev, který byl původně formulován pro barevné rozlišení států na politické
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Kombinatorika a grafy
Kombinatorika a grafy Michal Vaner 2. ledna 2013 Obsah 1 Latinské čtverce a konečné projektivní roviny 3 2 Vytvořující funkce 4 3 Hamiltonovská kružnice 4 4 Ramseovy věty 5 5 Souvislost 6 6 Info k kombakra
Další NP-úplné problémy
Další NP-úplné problémy Známe SAT, CNF, 3CNF, k-klika... a ještě následující easy NP-úplný problém: Existence Certifikátu (CERT ) Instance: M, x, t, kde M je DTS, x je řetězec, t číslo zakódované jako
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Aplikace 1-VMV ohodnocení grafů. Applications of 1-VMV labelings graphs
VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Aplikace 1-VMV ohodnocení grafů Applications of 1-VMV labelings graphs 2012 Matěj Krbeček Rád bych
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
V ypoˇ cetn ı sloˇ zitost v teorii graf u Martin Doucha
Výpočetní složitost v teorii grafů Martin Doucha Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n Parametrizovaná složitost Nástroj,
9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho
Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM 470-301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 1 9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Haimiho 9.1. Doážete nareslit graf na 9 vrcholech, ve terém mají aždé dva
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Úvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
Bipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 7 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011 Bipartitní graf definice Definice Graf G = (W, E) se nazývá bipartitní / bipartite,
Hlavolamy a teorie grafů
Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není
Hamiltonovské kružnice, stromy, rovinné grafy
Matematika III 9. přednáška Hamiltonovské kružnice, stromy, rovinné grafy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Eulerovské grafy a hamiltonovské kružnice
Rovinné grafy. Mark Karpilovskij
STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Rovinné grafy Mark Karpilovskij Brno 2013 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: 01 Matematika a statistika Rovinné grafy Planar graphs Autor: Mark Karpilovskij Škola: Gymnázium,
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků
2 utomaty a gramatiky Roman Barták, KTML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na zopakování Víme, co je konečný automat = (Q,X,δ,q,F) Umíme konečné automaty charakterizovat (Myhill-)Nerodova
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014
Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová
Teorie grafů. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Teorie grafů Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Opakování z minulé přednášky Co je to složitostní třída? Jaké složitostní třídy známe? Kde leží hranice mezi problémy řešitelnými
L(2,1)-ohodnocení grafů
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Bakalářská práce L(2,1)-ohodnocení grafů Plzeň 2018 Karolína Šiková Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracovala samostatně
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla
Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní
Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Geometrické vyhledávání
mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či