Difrakce NedÏlnÌ odpoledne na ostrovï La Grande Jatte

Transkript

1 37 Difrakce Georges Seurat namaloval NeÏlnÌ opolene na ostrovï La Grane Jatte nikoli obvykl mi tahy ötïtcem, ale pouze velk m poëtem mal ch barevn ch teëek, coû je malì sk styl naz van pointilismus. StojÌte-li ost blìzko malby, m ûete ty teëky viït, avöak kyû se o nì vz lìte, spl vajì a nelze je rozliöit. NavÌc se barva urëitèho mìsta obrazu mïnì, kyû se vzalujete ó proto takè Seurat touto technikou maloval.»ìm je tato zmïna barvy zp sobena?

2 978 KAPITOLA 37 DIFRAKCE 37.1 DIFRAKCE A VLNOVÁ TEORIE SVĚTLA V kap. 36 jsme efinovali ifrakci poněku volně jako rozšíření světelného svazku vymezeného úzkou štěrbinou. Je však o víc než o rozšíření, nebo světlo vytváří interferenční obrazec, který nazýváme ifrakčnímobrazcem. Napříkla monochromatické světlo vycházející z nějakého vzáleného zroje (nebo laseru) a procházející úzkou štěrbinou vytváří na pozorovacím stínítku ifrakční obrazec poobný obr Tento obrazec tvoří široké centrální maximum s několika užšími a méně intenzívními maximy (nazývanými sekunární neboli velejšímaxima) po obou stranách. Mezi maximy jsou minima. Obr. 37. Difrakce monochromatického světla na žiletce. Všimněte si maxim a minim intenzity. Obr Difrakční obrazec, který se objeví na pozorovacím stínítku, na něž opaá světlo prošlé úzkou voorovnou štěrbinou. Difrakce způsobuje, že se světlo rozšíří kolmo k louhým stranám štěrbiny. Vzniká tak interferenční obrazec tvořený širokým centrálním maximem a méně intenzívními a užšími sekunárními (neboli velejšími) maximy, která jsou oělena minimy. Pole geometrické optiky naprosto nelze takový obrazec očekávat. Kyby se světlo šířilo přímočaře, tey jako paprsky, propustila by štěrbina pouze některé z těchto paprsků a ty by vytvořily na pozorovacím stínítku ostrý a jasný obraz štěrbiny. Docházíme tey stejně jako v kap. 36 k závěru, že geometrická optika je pouze aproximací. K ifrakci ochází nejenom, kyž světlo prochází úzkým otvorem (např. štěrbinou nebo špenlíkovou írkou). Nastává také, kyž světlo míjí nějaký okraj, např. okraje žiletky na obr Všimněte si maxim a minim, která jsou jak uvnitř, tak vně žiletky a jsou přibližně rovnoběžná s okraji. Míjí-li světlo např. levý svislý okraj, vychýlí se vpravo i vlevo, interferuje a vytvoří obrazec okolo levého okraje. Část obrazce vpravo leží ve skutečnosti v místech, jež by byla stínem žiletky,kyby platila geometrická optika. S častým příklaem ifrakce se setkáte, pohlénete-li na jasnou morou oblohu a viíte jemné skvrny a vláknité struktury vznášející se v zorném poli. Tyto vznášející se struktury vznikají tím, že světlo míjí okraje robounkých kousků sklivcového moku (průhlený materiál vyplňující převážnou část oční bulvy). Tyto kousky se olomily a vznášejí se ve voní vrstvě těsně pře sítnicí, která eteguje světlo. Difrakční obrazec na jenom z těchto vzná- šejících se kousků je onou vznášející se strukturou, kterou máte ve svém zorném poli.díváte-li se špenlíkovou írkou v neprůhleném stínítku, takže světlo vstupující o vašeho oka je přibližně rovinnou vlnou, je možné, že buete moci v ifrakčním obrazci rozlišit jenotlivá maxima a minima. Fresnelova světlá stopa Difrakci lze vysvětlit vlnovou teorií světla. Tuto teorii vytvořil půvoně Christian Huygens; po 13 letech ji použil Young k výklau interference na vojštěrbině. Byla však přijímána velmi pomalu; byla totiž protiklaem Newtonovy teorie, pole níž je světlo prouem částic. Na počátku 19. století převažovalo Newtonovo hleisko také ve francouzských věeckých kruzích. Augustin Fresnel, tehy mlaý vojenský inženýr, však věřil ve vlnovou teorii světla a přeložil Francouzské akaemii vě práci, v níž poal výkla svých experimentů založený na vlnové teorii. Akaemie, v níž převláali Newtonovi stoupenci, zamýšlela zpochybnit vlnové hleisko a vypsala v roce 1819 soutěž o cenu na pojenání o ifrakci. Fresnel zvítězil. Newtonovi stoupenci však nezměnili své názory a nebyli ani umlčeni. Jeen z nich, S. D. Poisson, poukázal na tento poivný výsleek : Kyby byla Fresnelova teorie správná, musely by světelné vlny joucí kolem okraje kuličky proniknout o oblasti stínu kuličky a vytvořit světlou stopu přesně uprostře stínu. Tuto přepově proslulého matematika ověřovali Fresnel a Arago a ukázalo se (obr. 37.3), že přepovězená Fresnelova světlá stopa jak ji nes nazýváme tam skutečně je. Nic neposílí ůvěryhonost teorie více než experiment potvrzující některou z jejích nečekaných a zánlivě paraoxních přepověí.

3 37. DIFRAKCE NA ŠTĚRBINĚ. POLOHY MINIM 979 Významným mezníkem v praktickém využívání ifrakce je rok 191. Tehy byla poprvé pozorována a interpretována ifrakce rentgenového záření na krystalu a o té oby se využívá ifrakce rentgenového záření (a též elektronů a neutronů čl. 39.6) ke stuiu struktur látek. Touto cestou ifrakce velmi pozitivně ovlivnila rozvoj celé příroověy, nebo jejím prostřenictvím byla nalezena struktura obrovského počtu látek (řáově 10 5 ) a teorie ifrakce také umožnila zro celých věních isciplín (např. molekulární biologie). O ifrakci rentgenového záření na krystalové mřížce pojenává čl Je vlastně opět o ifrakci Fraunhoferova typu, nebo se měří ifraktovaná intenzita v závislosti na směru. Avšak objekt, na němž k ifrakci ochází, je trojrozměrný krystal, a ne rovinné ifrakční stínítko jako v přípaě optické ifrakce. 37. DIFRAKCE NA ŠTĚRBINĚ. POLOHY MINIM Obr Fresnelova ifrakce na isku. Všimněte si soustřených ifrakčních kružnic a Fresnelovy světlé stopy ve střeu obrazce. Tento experiment je v postatě týž jako experiment, jímž Fresnel přesvěčil soutěžní výbor o správnosti své teorie, nebo okrajem průřezu koule použité v tehejším experimentu i isku použitého ze je kružnice. V optice zpravila stuujeme ifrakci na rovinných objektech jako jsou ifrakční stínítko, štěrbina, kruhový otvor v neprůhleném plechu apo. Traičně se optické ifrakční jevy rozělují na Fresnelovu a Fraunhoferovu ifrakci. V přípaě Fresnelovy ifrakce se zajímáme o intenzitu (resp. amplituu a fázi) jako funkci polohy v nějaké rovině pozorování umístěné v konečné vzálenosti za ifrakčním stínítkem. V přípaě Fraunhoferovy ifrakce vyšetřujeme rozložení intenzity jako funkci směru, tey jako funkci polohy v rovině v nekonečnu. V tomto smyslu lze na Fraunhoferovu ifrakci pohlížet jako na speciální přípa Fresnelovy ifrakce. Tento speciální přípa je však velmi ůležitý při stuiu zobrazení optickými soustavami. Roviny s obrazem nevlastní roviny (např. ohnisková rovina čočky) bývají totiž významnými rovinami optického systému. Proto se také ve většině učebnic včetně naší věnuje Fraunhoferovým ifrakčním jevům více pozornosti. Jejich matematický popis je naštěstí také výrazně jenoušší než popis Fresnelových ifrakčních jevů. V této kapitole se Fresnelovy ifrakce týká pouze čl. 37.1; obr. 37. a 37.3 mohou posloužit jako příklay zajímavých Fresnelových ifrakčních jevů. Naproti tomu čl. 37. až 37.8 se vztahují k Fraunhoferově ifrakci a na obr a jsou typické Fraunhoferovy ifrakční jevy. Uvažujme nyní o tom, jak rovinná světelná vlna o vlnové élce λ ifraktuje na louhé a úzké štěrbině šířky a v jinak nepropustném stínítku M, jak je to v řezu naznačeno na obr. 37.4a. (V tomto obrázku je élka štěrbiny ve směru kolmém ke stránce.) Vlny vycházející z různých boů štěrbiny ojou o roviny pozorování C a tam interferují a vytvářejí ifrakční obrazec ze světlých a tmavých proužků (interferenční maxima a minima). K určení polohy těchto proužků použijeme obobné proceury jako v přípaě interferenčního obrazce o vou štěrbin. Popis ifrakce je však matematicky náročnější, a proto bueme v první fázi hleat pomínky pouze pro polohy tmavých proužků. Než to však uěláme,zůvoníme centrální jasný proužek patrný na obr. 37.1: Tento proužek je způsoben tím, že vlny vycházející ze všech boů štěrbiny urazí přibližně stejnou ráhu o střeu obrazce, takže jsou ve fázi. O ostatních světlých proužcích můžeme pouze říci, že jsou přibližně uprostře mezi souseními tmavými proužky. K nalezení tmavých proužků užijeme chytré (a zjenoušující) strategie, která rozělí všechny paprsky procházející štěrbinou o vojic a pak hleá, za jakých pomínek se vlny opovíající paprskům v kažém páru vzájemně vyruší. Obr. 37.4a ukazuje, jak používáme této strategie ke stanovení polohy prvního tmavého proužku v boě P 1. Nejprve si přestavíme, že je štěrbina rozělena o vou zón téže šířky a/. Potom veeme o bou P 1 světelný paprsek r 1 z horního bou horní zóny a světelný paprsek r z horního bou sponí zóny. Centrální osa je veena střeem štěrbiny kolmo ke stínítku C a paprsek r svírá úhel s touto osou. Vlny příslušející vojici paprsků r 1 a r jsou v boech

4 980 KAPITOLA 37 DIFRAKCE štěrbiny ve fázi, nebo vycházejí z téže vlnoplochy procházející štěrbinou. Aby však vytvořily první tmavý proužek v boě P 1, musejí se jejich fáze v boě P 1 lišit o Ô. Tento fázový rozíl vznikne jako ůsleek ráhového rozílu λ/. Aby vlna r osáhla bou P 1, musí urazit elší ráhu než vlna r 1.Abychom tento ráhový rozíl vyjářili,vyznačíme na paprsku r takový bo B, že vzálenost o B k P 1 je táž jako élka paprsku r 1. Pak ráhový rozíl obou paprsků je roven vzálenosti mezi střeem štěrbiny S a boem B. opaající vlna N a/ a/ S N S M a/ B (a) (b) r 1 l estruktivní interference r centrální osa r 1 r B ráhový rozíl pozorovací stínítko C Obr (a) Vlny z horních boů vou zón šířky a/ interferují v boě P 1 roviny pozorování C estruktivně. (b) Poněvaž je zřejmě l a, můžeme považovat paprsky r 1 a r za přibližně rovnoběžné a svírající úhel s centrální osou. Je-li pozorovací stínítko C blízko štěrbiny (jako je tomu na obr. 37.4a),je obtížné ifrakční obrazec na stínítku C matematicky popsat. Matematika se však výrazně zjenouší, je-li vzálenost l mnohem větší než šířka štěrbiny a. Pak můžeme přibližně považovat paprsky r 1 a r za rovnoběžné; označme úhel, který svírají s centrální osou (obr. 37.4b). Můžeme proto aproximovat trojúhelník určený boem B, horním boem štěrbiny N a střeem štěrbiny S pravoúhlým trojúhelníkem, jehož jeen vnitřní úhel je. Dráhový rozíl P 1 P 0 paprsků r 1 a r (jenž je roven vzálenosti bou B o střeu štěrbiny S) je pak roven (a/) sin. Tuto analýzu můžeme opakovat pro kteroukoli jinou vojici paprsků vycházejících z opovíajících si boů v obou zónách (např. ze střeů zón) a ošlých o bou P 1. Kažá taková vojice paprsků má týž ráhový rozíl (a/) sin. Položíme-li tento společný ráhový rozíl roven λ/, ostaneme tj. a sin = λ, a sin = λ (první minimum). (37.1) Je-li ána šířka štěrbiny a a vlnová élka λ, ává rov. (37.1) úhel prvního tmavého proužku na (a vzhleem k symetrii) i po centrální osou. Všimněme si, že začneme-li s a>λ, a potom štěrbinu zužujeme ponechávajíce vlnovou élku λ konstantní, úhel prvního tmavého proužku roste. To znamená, že ifrakční obrazec o užší štěrbiny je širší.proa = λ je úhel prvních tmavých proužků 90. Poněvaž tyto tmavé proužky lemují centrální jasný proužek, musí tento jasný proužek pokrývat celé pozorovací stínítko. Obobným způsobem najeme ruhé tmavé proužky na a po centrální osou. Rozíl je pouze v tom, že nyní rozělíme štěrbinu o čtyř zón stejné šířky a/4, jak je to vyznačeno na obr. 37.5a. Pak veeme paprsky r 1, r, r 3 a r 4 z horních boů těchto zón o bou P, jímž prochází ruhý tmavý proužek na centrální osou. Aby tento tmavý proužek vznikl, musí být ráhový rozíl paprsků r 1 a r jakož i r a r 3 atakér 3 a r 4 roven λ/. Při l a můžeme přibližně považovat tyto čtyři paprsky za rovnoběžné; úhel, který svírají s centrální osou, označíme. Abychom vyjářili ráhové rozíly, ve me horním boem kažé ze čtyř zón kolmice k paprskům, jak je to naznačeno v obr. 37.5b. Vzniknou tak pravoúhlé trojúhelníky, jejichž jena strana je vžy hleaným ráhovým rozílem. Z horního trojúhelníka je viět, že ráhový rozíl paprsků r 1 a r je (a/4) sin.poobně ze sponího trojúhelníka vyplývá, že ráhový rozíl paprsků r 3 a r 4 je rovněž (a/4) sin. Dráhový rozíl mezi kažou vojicí paprsků vycházejících z opovíajících si boů souseních zón je vžy (a/4) sin. Poněvaž v kažém takovém přípaě je ráhový rozíl roven λ/, ostáváme což ává a 4 sin = λ, a sin = λ (ruhé minimum). (37.)

5 37. DIFRAKCE NA ŠTĚRBINĚ. POLOHY MINIM 981 l P P 1 Tento výsleek si můžete zapamatovat takto: Nakreslete si trojúhelník poobně jako na obr. 37.4b, avšak pro celou štěrbinu šířky a a všimněte si, že ráhový rozíl paprsků vycházejících z horního a olního bou štěrbiny je roven a sin. Rov. (37.3) tey říká: a/4 a/4 a/4 a/4 M opaající vlna a/4 a/4 a/4 r 1 r 1 r r 3 r 4 (a) r ráhový rozíl mezi r 1 a r r 3 r 4 ráhový rozíl mezi r 3 a r 4 C P 0 Tmavé proužky při ifrakci na štěrbině vznikají tehy, kyž ráhový rozíl a sin mezi horním a olním paprskem je roven λ,λ,3λ, Může se zát, že je to špatně, protože vlny opovíající těmto věma konkrétním paprskům jsou navzájem přesně ve fázi. Kažá z nich je však také jenou z vojice vln, jejichž fáze jsou navzájem přesně opačné, takže se vyruší. Rov. (37.1) až (37.3) jsou ovozeny za přepoklau l a. Tyto rovnice však platí také, umístíme-li mezi štěrbinu a pozorovací stínítko spojnou čočku a posuneme-li pozorovací stínítko tak, aby splývalo s ohniskovou rovinou spojky. Paprsky, které nyní ocházejí o kteréhokoli bou stínítka, byly přesně rovnoběžné (a nikoli jen přibližně), kyž vycházely ze štěrbiny. Jsou jako ony půvoně rovnoběžné paprsky na obr a,které jsou čočkou fokusovány o bou. KONTROLA 1: Osvětlíme louhou a úzkou štěrbinu morým světlem a pozorujeme na stínítku ifrakční obrazec. Co se stane, jestliže (a) osvětlíme štěrbinu žlutým světlem, nebo (b) zúžíme štěrbinu. Rozšíří se ifrakční obrazec na obě strany o jasného centrálního maxima, nebo se zúží? (b) Obr (a) Vlny z horních boů čtyř zón o šířce a/4 se v boě P interferencí vyruší. (b) Je-li l a, můžeme považovat paprsky r 1, r, r 3 a r 4 za rovnoběžné a svírající s centrální osou úhel. Tak bychom mohli pokračovat a hleat polohy tmavých proužků v ifrakčním obrazci. Vžy bychom rozělili štěrbinu na suý počet stejně širokých zón,takže by bylo možné vytvořit vojice zón a vlny z nich vycházející by se vyrušily. Shleali bychom, že tmavé proužky lze lokalizovat pomocí této obecné rovnice: a sin = mλ, ke m = 1,, 3, (minima tmavé proužky). (37.3) PŘÍKLAD 37.1 Štěrbina šířky a je osvětlena bílým světlem. (a) Při které šířce a bue první minimum pro červené světlo o vlnové élce λ = 650 nm po úhlem = 15? ŘEŠENÍ: Pro první minimum je v rov. (37.3) m = 1. Vypočteme-li z ní a, ostaneme a = mλ (1)(650 nm) = sin sin 15 = 511 nm =.,5 Ñm. (Opově ) Má-li tey být centrální maximum při bílém opaajícím světle vymezeno úhlem ±15, musí být štěrbina skutečně velmi úzká, zhruba čtyři vlnové élky. Uvěomte si, že jemný liský vlas má průměr asi 100 Ñm. (b) Jakou vlnovou élku λ má světlo, jehož první velejší maximum je ochýleno o 15, tj. koinciuje s prvním minimem červeného světla.

6 98 KAPITOLA 37 DIFRAKCE ŘEŠENÍ: Toto maximum je zhruba uprostře mezi prvním a ruhým minimem opovíajícím vlnové élce λ. Neopustíme se velké chyby, kyž v rov. (37.3) položíme m = 1,5, takže a sin = 1,5λ. Vypočteme λ, osaíme známé honoty a ostaneme λ = a sin ( 511 nm) sin 15. = = 1,5 1,5. = 430 nm. (Opově ) Světlo o této vlnové élce je fialové. První velejší maximum světla o vlnové élce 430 nm bue vžy koinciovat s prvním minimem světla o vlnové élce 650 nm, a to nezávisle na tom, jaká je šířka štěrbiny. Je-li štěrbina relativně úzká, bue úhel, po nímž ochází k tomuto překrytí, relativně velký a naopak INTENZITA PŘI DIFRAKCI NA ŠTĚRBINĚ (KVALITATIVNĚ) V čl. 37. jsme poznali, jak se najou polohy maxim a minim v ifrakčním obrazci na štěrbině. Nyní se bueme věnovat obecnějšímu problému: bueme hleat výraz pro intenzitu I v ifrakčním obrazci jako funkci úhlu, tj. jako funkci úhlové polohy bou pozorovacího stínítka. Za tím účelem rozělíme štěrbinu na obr. 37.4a na N zón o stejné šířce x tak malé, abychom mohli přepokláat, že kažá zóna působí jako zroj Huygensových vlnek. Vlnky ošlé o obecného bou P pozorovacího stínítka složíme, a tím určíme amplituu E výslené vlny v boě P. Úhel je opět úhel, který svírá spojnice střeu stínítka a bou P s normálou k rovině štěrbiny. Intenzita světla v boě P je pak úměrná čtverci amplituy E.Pro stanovení E potřebujeme znát fázové vztahy mezi vlnkami ošlými o bou P. Fázový rozíl souvisí s ráhovým rozílem vztahem fázový rozíl = ( Ô ) ráhový. λ rozíl Dráhový rozíl vou vlnek ošlých o vou souseních zón o bou P o úhlové souřanici je x sin. Fázový rozíl ϕ vou vlnek ze souseních zón je tey ϕ = Ô x sin. (37.4) λ Přepoklááme, že všechny vlnky ošlé o bou P mají touž amplituu E. Abychom nalezli amplituu E výslené vlny v boě P, sečteme amplituy E jako fázory. Za tím účelem sestavíme iagram N fázorů. Vlnce vycházející z kažé zóny štěrbiny přísluší vžy jeen fázor. V boě P 0 na ose (tj. = 0, obr. 37.4a) je pole rov. (37.4) fázový rozíl ϕ nulový. To znamená, že vlnky jsou ve fázi: opovíající iagram fázorů je na obr. 37.6a. Souseící fázory přestavují vlnky o souseních zón a těsně na sebe navazují. Fázový rozíl mezi vlnkami je nulový, a proto je úhel mezi kažou vojicí souseních fázorů nulový. Amplitua E vlny v boě P 0 je vektorovým součtem těchto fázorů. Toto uspořáání fázorů ává ovšem největší honotu amplituy E. Označíme tuto honotu E max ; je to tey honota amplituy E pro = 0. Dále uvažujeme bo P, který je ochýlen o centrální osy o malý úhel. Z rov. (37.4) nyní vyplývá, že fázový rozíl ϕ mezi vlnkami o souseních zón už není nulový. Obr. 37.6b ukazuje příslušný fázový iagram. Fázory jsou opět uspořáány těsně za sebou, avšak sousení fázory nyní svírají úhel ϕ. Amplitua E v tomto novém boě je stále vektorovým součtem fázorů, avšak je menší než amplitua na obr. 37.6a. To znamená, že intenzita světla je v tomto novém boě P menší než v boě P 0. Zvětšujeme-li ále úhel, vzrůstá úhel ϕ mezi souseními fázory a vznikne situace, ky se řetěz fázorů úplně uzavře, takže špička posleního fázoru osáhne počátku prvního fázoru (obr. 37.6c). Amplitua E je nyní nulová, což znamená, že je také nulová intenzita světla. Dosáhli jsme prvního minima nebo tmavého proužku ifrakčního obrazce. Fázový rozíl mezi prvním a poslením fázorem je nyní Ô (v raiánech), což znamená, že E = E max fázor vlnky z horního bou }{{} E fázor vlnky z olního bou E E E = 0 (a) (b) (c) () Obr Fázorové iagramy pro N = 18 fázorů opovíajících 18 zónám štěrbiny. Výslené amplituy E jsou vyznačeny pro (a) centrální maximum P 0 ve směru = 0, (b) bo P stínítka v malé úhlové vzálenosti o centrální osy, (c) první minimum a () první velejší maximum.

7 37.4 INTENZITA PŘI DIFRAKCI NA ŠTĚRBINĚ (KVANTITATIVNĚ) 983 ráhový rozíl mezi horním a olním paprskem procházejícím štěrbinou je jena vlnová élka. Vzpomeňme si, že to je pomínka, kterou jsme nalezli pro první ifrakční minimum. Při alším růstu úhlu roste fázový rozíl ϕ mezi souseními fázory, řetěz fázorů se začne zavíjet o sebe a výslený závit se začne zmenšovat. Amplitua E nyní vzrůstá, až osáhne maximální honoty při uspořáání znázorněném na obr Toto uspořáání opovíá prvnímu velejšímu maximu ifrakčního obrazce. Zvětšíme-li o trochu víc, způsobí zmenšení závitu pokles amplituy E, což znamená, že se zmenší také intenzita. Kyž ostatečně vzroste, osáhne opět špička posleního fázoru počátku prvního fázoru. To opovíá ruhému minimu. Touto kvalitativní metoou bychom mohli pokračovat a určovat maxima a minima ifrakčního obrazce. Bueme se však raěji věnovat kvantitativní metoě. KONTROLA : Obrázky přestavují fázorové iagramy pro boy po obou stranách jistého ifrakčního maxima. (Ve srovnání s obr jsou tyto iagramy hlaší, jsou totiž vytvořeny větším počtem fázorů.) (a) O které maximum je? (b) Jaká je přibližná honota m (v rov. (37.3), jež přísluší tomuto maximu?) (a) 37.4 INTENZITA PŘI DIFRAKCI NA ŠTĚRBINĚ (KVANTITATIVNĚ) Rov. (37.3) určuje polohu minim na stínítku C při ifrakci na štěrbině jako funkci úhlu (obr. 37.4a). Nyní však chceme ovoit výraz pro intenzitu v ifrakčním obrazci jako funkci. Konstatujeme a v alším ovoíme, že tato intenzita je ána výrazem ( sin α ) I = I max, (37.5) α ke α = 1 ϕ = Ôa λ (b) sin. (37.6) Symbol α pouze zjenoušuje zápis vztahu mezi úhlem, který určuje polohu bou na pozorovacím stínítku, a světelnou intenzitou I v tomto boě. I max je největší honota intenzity I v ifrakčním obrazci a je to intenzita centrálního maxima (pro něž je = 0). Symbol ϕ je fázový rozíl (v raiánech) mezi vlnkami vycházejícími z horního a olního bou štěrbiny. Rozbor rov. (37.5) ukazuje, že minima intenzity se objevují, kyž α = mô, ke m = 1,, 3,. (37.7) Dosaíme-li tento výsleek o rov. (37.6), shleáme, že nebo mô = Ôa λ a sin = mλ, sin, ke m = 1,, 3,, ke m = 1,, 3, (minima tmavé proužky), (37.8) což je přesně rov. (37.3), tj. pomínka pro polohy minim, kterou jsme ovoili říve. Obr ukazuje grafy rozložení intenzity v ifrakčním obrazci štěrbiny vypočtené z rov. (37.5) a (37.6) pro tři šířky štěrbiny: a = λ, a = 5λ a a = 10λ. Všimněte si, že s rozšiřováním štěrbiny (v poměru k vlnové élce) se zužuje centrální ifrakční maximum. To znamená, že světlo je štěrbinou méně úhlově vychylováno. Velejší maxima se rovněž zužují. V limitě, kyž šířka a štěrbiny je mnohem větší než vlnová élka λ, velejší maxima vymizí, nebo splynou s centrálním maximem. (Difrakce však nastává i v tomto přípaě, a to na okrajích široké štěrbiny; poobá se ifrakci na hranách žiletky v obr. 37..) Ovození rov. (37.5) a (37.6) Oblouk fázorů na obr přestavuje vlnky, které ošly o obecného bou P pozorovacího stínítka (obr. 37.4), jemuž přísluší určitý malý úhel. Amplitua E výslené vlny v boě P je vektorovým součtem těchto fázorů. Rozělíme-li štěrbinu na obr o infinitezimálních zón šířky x, bue se oblouk fázorů na obr blížit oblouku kružnice o poloměru R, jak je vyznačeno v obrázku. Délka oblouku musí být E max, což je amplitua ve střeu ifrakčního obrazce. Kybychom totiž tento oblouk napřímili, ostali bychom uspořáání fázorů pole obr. 37.6a (srov. obr. 37.8). Úhel ϕ v olní části obr je fázový rozíl mezi infinitezimálními vektory na levé a pravé straně oblouku E max. Z geometrie vyplývá, že je to také úhel ϕ mezi oběma poloměry R zakreslenými v obr Čárkovaná čára v obrázku

8 984 KAPITOLA 37 DIFRAKCE relativní intenzita 1,0 0,8 α α 0,6 0,4 0, a = λ ϕ R (stupně) (a) R relativní intenzita 1,0 0,8 0,6 0,4 0, (stupně) (b) relativní intenzita 1,0 0,8 0,6 0,4 0, a = 5λ a = 10λ (stupně) (c) Obr Relativní intenzita při ifrakci na štěrbině pro tři různé poměry a/λ. Čím širší je štěrbina, tím užší je centrální ifrakční maximum. pak vytváří va shoné pravoúhlé trojúhelníky s úhlem 1 ϕ. Z nich je zřejmé, že sin 1 ϕ = E R. (37.9) Považujeme-li E max za kruhový oblouk, platí v obloukové míře ϕ = E max R. Vypočteme-li z této rovnice R a osaíme o rov. (37.9), ostaneme po úpravě E = E max 1 ϕ sin 1 ϕ. (37.10) V kap jsme viěli, že intenzita elektromagnetické vlny je úměrná čtverci amplituy jejího elektrického pole. E E max ϕ Emax Obr Konstrukce použitá k výpočtu intenzity v ifrakci na štěrbině. Nakreslená situace opovíá obr. 37.6b. Ze to znamená, že maximum intenzity I max (ve střeu ifrakčního obrazce) je úměrné Emax a intenzita I po úhlem je úměrná E. Platí tey I I max = E E max. (37.11) Dosaíme-li za E z rov. (37.10) a položíme-li α = 1 ϕ, ospíváme k násleujícímu výrazu pro intenzitu jako funkci : ( sin α ) I = I max. α Ale to je právě rov. (37.5), jena ze vou rovnic, které jsme chtěli ovoit. Druhá rovnice, kterou chceme ovoit, určuje vztah mezi α a. Pole rov. (37.4) souvisí fázový rozíl mezi vlnkami z nejvyššího a nejnižšího bou štěrbiny s příslušným ráhovým rozílem pole vztahu ϕ = Ô a sin, λ ke a je součet šířek x infinitezimálních proužků. Protože však platí ϕ = α, ostáváme rov. (37.6). PŘÍKLAD 37. Vypočtěte intenzity prvních tří velejších maxim v ifrakčním obrazci o štěrbiny na obr vyjářené v poměru k hlavnímu centrálnímu maximu. ŘEŠENÍ: Velejší maxima jsou přibližně uprostře mezi minimy, jejichž polohy uává rov. (37.7) (α = mô). Polohám velejších maxim tey přibližně opovíá α = ( m + 1 ) Ô, ke m = 1,, 3,

9 37.5 DIFRAKCE NA KRUHOVÉM OTVORU 985 a α je vyjářeno v raiánech. Dosaíme-li tento výsleek o rov. (37.5), ostaneme I I max = ( ( sin α ) ( sin m + 1 = ( α m + 1 ke m = 1,, 3,. ) Ô ) Ô ), geometrické optice, ale kruhový isk obklopený několika sekunárními kroužky, jejichž intenzita postupně slábne. Porovnání s obr nás nenechává na pochybách, že máme co činit s ifrakčním jevem. Ze je však otvorem kruh o průměru, a ne pravoúhlá štěrbina. Prvnímu velejšímu maximu opovíá m = 1 a jeho relativní intenzita je I 1 I max = ( sin ( ( ) Ô ) Ô ) ( ) sin 1,5Ô = = 1,5Ô = 4, = 4,5%. (Opově ) Pro m = am = 3najeme I I max = 1,6% a I 3 I max = 0,83 %. (Opově ) Intenzita alších velejších maxim rychle klesá. Aby byla viitelná velejší maxima na obr. 37.1, byl ifrakční obrazec úmyslně přeexponován. KONTROLA 3: Difrakce na štěrbině byla proveena vakrát: poprvé vlnovou élkou 650 nm, poruhé 430 nm. Grafy intenzity I jako funkce úhlu jsou pro oba ifrakční obrazce vyneseny na obrázku. Jakou barvu bueme pozorovat (a) po úhlem α a (b) po úhlem β, použijeme-li obou vlnových élek současně? I Obr Difrakční obrazec na kruhovém otvoru. Všimněte si centrálního maxima a kruhových sekunárních maxim. Tato sekunární maxima jsou mnohem slabší než centrální maximum. Snímek musel být přeexponován, aby velejší maxima na obrázku byla patrná. Analýza těchto obrazců je složitá. Ukazuje se však, že první minimum ifrakčního obrazce na kruhovém otvoru o průměru nastává, kyž 0 α β sin = 1, λ Porovnejme to s rov. (37.1) (1. minimum; kruhový otvor). (37.1) 37.5 DIFRAKCE NA KRUHOVÉM OTVORU Bueme se nyní zabývat ifrakcí na kruhové apertuře, tj. na kruhovém otvoru, jaký tvoří např. okraj kruhové čočky, jíž prochází světlo. Obr ukazuje obraz vzáleného boového zroje (např. hvězy) vzniklý na fotografickém filmu umístěném v ohniskové rovině spojné čočky. Obrazem není bo, jak by naznačovaly úvahy založené na sin = λ a (1. minimum; štěrbina), (37.13) která uává polohu prvního minima v ifrakčním obrazci na louhé a úzké štěrbině šířky a. Hlavním rozílem je faktor 1,, který souvisí s kruhovým tvarem otvoru. Rozlišení Obrazy vytvořené čočkou jsou ifrakčními obrazci. To je významné, chceme-li rozlišit va vzálené boové objekty,

10 986 KAPITOLA 37 DIFRAKCE Obr Nahoře jsou obrazy vou boových zrojů (hvěz) vytvořené spojkou. Dole jsou opovíající rozložení intenzity. V (a) je úhlová vzálenost zrojů tak malá, že je nelze rozlišit, v (b) je lze rozlišit tak tak a v (c) jsou již rozlišeny zřetelně. Rayleighovo kritérium je splněno v přípaě (b), ky centrální maximum jenoho ifrakčního obrazce koinciuje s prvním minimem ruhého. (a) (b) (c) jejichž úhlová vzálenost je malá. Obr ukazuje fotografie a opovíající rozložení intenzity v obrazech vou vzálených boových objektů (např. hvěz), jejichž úhlová vzálenost je malá. V obr a nejsou objekty rozlišeny, nebo tomu brání ifrakce. Difrakční obrazce obou objektů se totiž překrývají o té míry, že nelze rozeznat, je-li o jeen objekt nebo o va. V obr b jsou objekty tak právě rozlišeny a v obr c jsou zcela rozlišeny. V obr b je úhlová vzálenost oněch vou zrojů taková, že centrální maximum ifrakčního obrazce jenoho zroje je v místě prvního minima ifrakčního obrazce ruhého zroje.této pomínce se říká Rayleighovo kritérium rozlišení. Z rov. (37.1) vyplývá, že va objekty, které jsou pole tohoto kritéria právě rozlišeny, musejí mít úhlovou vzálenost R anou výrazem Chceme-li použít čočky k rozlišení objektů úhlově o sebe málo vzálených, je žáoucí, aby ifrakční obrazec byl co nejmenší. Pole rov. (37.14) toho lze osáhnout jenak zvětšením průměru čočky, jenak použitím světla s menší vlnovou élkou. Z tohoto ůvou se v mikroskopii často používá ultrafialového světla. Má kratší vlnovou élku, a proto umožňuje pozorovat jemnější etaily, než by bylo možné pozorovat týmž mikroskopem za použití viitelného světla. V kap. 40 pojenáme o tom, že svazky elektronů se za jistých okolností chovají jako vlny. V elektronovém mikroskopu mohou mít tyto svazky vlnovou élku o pět řáů kratší, než je vlnová élka viitelného světla. Elektronovým mikroskopem lze proto stuovat etaily, které by byly zastřeny R = arcsin 1,λ. Poněvaž je o malé úhly, můžeme nahrait sin R úhlem R vyjářeným v raiánech: R = 1,λ (Rayleighovo kritérium). (37.14) Rayleighovo kritérium rozlišení je pouhou aproximací, nebo rozlišení závisí na mnoha faktorech, např. na poměru jasu zrojů a jejich okolí, na turbulenci vzuchu mezi zroji a pozorovatelem a na kvalitě pozorovatelova zraku. Při výpočtech, které buou násleovat, však bueme pro jenouchost považovat rov. (37.14) za přesné kritérium: Je-li úhlová vzálenost zrojů větší než R, rozlišíme oba zroje o sebe, je-li menší, nemůžeme je rozlišit. Tento obrázek, získaný špionážní ružicí a publikovaný v roce 1984, ukazuje konstrukci sovětské mateřské letalové loi. Obrázek byl vyčištěn počítačem, tj. byly ostraněny ifrakční jevy a zlepšeno rozlišení. Na současných obrázcích ze špionážních ružic lze rozlišit ještě mnohem menší etaily.

11 37.5 DIFRAKCE NA KRUHOVÉM OTVORU ifrakčními efekty, kybychom použili optického mikroskopu. Příkla je na obr (b) Jaká je vzálenost x střeů obrazů v ohniskové rovině? (Jinými slovy, jaká je vzálenost centrálních maxim obou křivek?) ŘEŠENÍ: Z kteréhokoli z obou trojúhelníků mezi čočkou a stínítkem na obr je viět, že tg i / = x/(f ).. Úpravou a aproximací tg = ostáváme x = f i, (37.15) ke i je v raiánech. Dosazením konkrétních honot příslušných veličin ostaneme: x = (0,4 m)(, ra) = 5,0 mm. (OpověN) P1 0 stínítko v ohniskové rovině čočky i x P 0 i f Obr Snímek roztoče na záech blechy ježka získaný rastrovacím elektronovým mikroskopem. Barvy jsou umělé. PŘÍKLAD 37.3 Kruhová spojná čočka o průměru = 3 mm a s ohniskovou vzáleností f = 4 cm vytváří ve své ohniskové rovině obrazy vzálených boových objektů. Používá se světla o vlnové élce λ = 550 nm. (a) Bereme v úvahu ifrakci na apertuře čočky. Jakou úhlovou vzálenost musejí mít va boové objekty, aby splňovaly Rayleighovo kritérium rozlišení? ŘEŠENÍ: Na obr jsou va vzálené boové zroje P1 a P, čočka a pozorovací stínítko v ohniskové rovině čočky. Vpravo je vynesena intenzita I jako funkce polohy na stínítku. Úhlová vzálenost 0 objektů je rovna úhlové vzálenosti i obrazů. Mají-li tey obrazy splňovat Rayleighovo kritérium rozlišení, musejí být úhlové vzálenosti po obou stranách čočky ány rov. (37.14) (za přepoklau malých úhlů). Dosaíme-li zaané honoty, ostaneme z rov. (37.14) 0 = i = R = 1, =, ra. I Obr Příkla Světlo ze vou vzálených boových objektů P1 a P prochází spojnou čočkou a vytváří na stínítku v ohniskové rovině čočky obrazy obou objektů. V obrázku je zakreslen pouze jeen reprezentativní paprsek z kažého objektu. Obrazy nejsou boy, ale ifrakční obrazce a rozložení intenzity v nich je přibližně vyznačeno v pravé části obrázku. Úhlová vzálenost objektů je 0 a úhlová vzálenost obrazu je i ; vzálenost mezi centrálními maximy obrazů je x. PŘÍKLAD 37.4 Považujme barevné tečky v Seuratově obrazu Neělní opolene na ostrově La Grane Jatte za kolečka, která jsou těsně u sebe a jejichž střey mají vzálenost l =,0 mm (obr ). Přepokláejme, že pupila oka má průměr = = 1,5 mm. Z jaké nejmenší pozorovací vzálenosti už nelze rozlišit jenotlivé barevné tečky obrazu? l 1,( m) λ = = ( m) (OpověN) Při této úhlové vzálenosti leží centrální maximum jené z křivek intenzity na obr v prvním minimu ruhé křivky. Obr Příkla Moel teček v Seuratově obrazu ŘEŠENÍ: Vezměme v úvahu libovolné vě souseící tečky, které lze rozlišit, jsme-li blízko obrazu. Vzalujeme-li se o obrazu, jsme schopni rozeznat tečky, oku jejich úhlová

12 988 KAPITOLA 37 DIFRAKCE vzálenost neklesne po honotu anou Rayleighovým kritériem (rov. (37.14)): R = 1, λ. (37.16) Poněvaž úhlové vzálenosti jsou malé, můžeme nahrait sin úhlem apsát = l h, (37.17) ke h je vzálenost našeho oka o teček. Položíme v rov. (37.17) rovno R v rov. (37.16) a vypočteme h. Dostaneme h = l 1,λ. (37.18) Rov. (37.18) říká, že h je větší pro menší λ. Vzalujeme-li se tey o obrazu, jsou souseící červené tečky (v ůsleku elší vlnové élky) nerozeznatelné říve než souseící moré tečky. Chceme-li tey stanovit nejmenší vzálenost, ze které neviíme rozlišeny žáné barevné tečky, osaíme o rov. (37.18) λ = 400 nm (moré nebo fialové světlo) a zaané honoty. Vypočteme, že h = (, m)(1, m) 1,( m) = 6,1m. (Opově ) V této nebo větší vzálenosti se barvy všech souseících teček navzájem mísí. Barva, kterou vnímáme v místě kterékoli tečky na obrazu, je smíšená barva, která ve skutečnosti v tomto místě nemusí vůbec být. Jinými slovy, Seurat využívá očí pozorovatele k tomu, aby si otvořily barvy jeho íla. KONTROLA 4: Přepokláejme, že ifrakce na pupile vašeho oka způsobuje, že jste jen tak tak schopen rozlišit vě červené tečky. Zesílíte-li osvětlení ve svém okolí, průměr pupily se zmenší. Zlepší se pak rozlišitelnost teček, nebo se zhorší? Berte v úvahu pouze ifrakci. (Svou opově můžete položit experimentem.) 37.6 DIFRAKCE NA DVOJŠTĚRBINĚ Při pokusech s vojštěrbinou v kap. 36 jsme mlčky přepokláali, že štěrbiny jsou úzké ve srovnání s vlnovou élkou světla, které je osvětluje, tj. a λ. Při tak úzkých štěrbinách zaujímá centrální maximum ifrakčního obrazce kažé z obou štěrbin celé pozorovací stínítko. Všechny světlé interferenční proužky, které při interferenci světla o takových vou štěrbin vzniknou, pak mají přibližně stejnou intenzitu (obr. 36.9). Při pokusech s viitelným světlem však nebývá pomínka a λ splněna. Jsou-li štěrbiny poměrně široké, vznikají při interferenci světla o vou štěrbin světlé proužky, které nemají stejnou intenzitu. Intenzita proužků je ve skutečnosti moifikována ifrakcí světla na kažé ze štěrbin. Na obr a je jako příkla vyneseno rozložení intenzity, které by opovíalo interferenčnímu obrazci o vou štěrbin, kyby byly obě štěrbiny nekonečně tenké (a tím a λ); všechny světlé proužky by měly touž intenzitu. Rozložení intenzity na obr b opovíá ifrakčnímu obrazci o jené štěrbiny, která má konečnou šířku. Difrakční obrazec má široké centrální maximum a slabší velejší maxima v blízkosti ±17. Grafna obr c přestavuje výslený interferenční obrazec o vou štěrbin konečné šířky. Grafbyl sestrojen tak, že křivka na obr b posloužila jako obálka grafu intenzity na obr a. Polohy proužků zůstávají nezměněny, mění se pouze intenzita. Obr a ukazuje skutečný obrazec, v němž je zřejmá jak interference o vou štěrbin, tak ifrakce na štěrbině. Je-li jena ze štěrbin zakryta, vznikne ifrakční obrazec příslušející jené štěrbině, jenž je reproukován na obr b. Všimněte si souvislosti mezi obr a a 37.14c a mezi obr b a 37.14b. Při porovnávání těchto obrázků nezapomeňte, že obr byl úmyslně přeexponován, aby byla zviitelněna slabá velejší maxima, a že na obrázku jsou zachycena vě velejší maxima (nikoli jen jeno). Vezmeme-li v úvahu ifrakční jevy, je intenzita v interferenčním obrazci o vojštěrbiny charakterizována výrazem ( sin α ) I = I max (cos β) (vojštěrbina), (37.19) α ke β = Ô sin (37.0) λ a α = Ôa sin. (37.1) λ Ze je vzálenost střeů štěrbin a a je šířka štěrbin. Věnujte pozornost tomu, že pravá strana rov. (37.19) je součinem maximální intenzity I max a alších vou faktorů: (1) Interferenční faktor cos β pochází o interference světla na vou štěrbinách, mezi nimiž je vzálenost (srov. rov. (36.1) a (36.)). () Difrakční faktor (sin α/α) charakterizuje ifrakci na jené štěrbině šířky a (srov. rov. (37.5) a (37.6)).

13 37.6 DIFRAKCE NA DVOJŠTĚRBINĚ 989 relativní intenzita Obr (a) Rozložení intenzity ve vojštěrbinovém interferenčním obrazci při velmi úzkých štěrbinách. (b) Rozložení intenzity při ifrakci na štěrbině, jejíž šířka a není velmi malá. (c) Rozložení intenzity při ifrakci na vou štěrbinách šířky a. Křivka v obr. (b) působí jako obálka. Omezuje totiž intenzitu vojštěrbinových proužků v obr. (a). Všimněte si, že první minima ifrakčního obrazce v (b) potlačují vojštěrbinové interferenční proužky, které by byly v obr. (c) v okolí 1. relativní intenzita (stupně) (a) relativní intenzita (stupně) (b) (stupně) (c) (a) Obr (a) Interferenční proužky o soustavy vou štěrbin. Porovnejte s obr c. (b) Difrakční obrazec o jené štěrbiny. Porovnejte s obr b. (b) Analyzujme tyto faktory. Je-li např. v rov. (37.1) a 0, je α 0a(sin α)/α 1. Rov. (37.19) se pak reukuje na rovnici charakterizující interferenční obrazec o vou velmi úzkých štěrbin s roztečí. Poobně položíme-li v rov. (37.0) = 0, znamená to fyzikálně, že obě štěrbiny splynou v jenu štěrbinu šířky a. Z rov. (37.0) plyne, že β = 0 a tey cos β = 1. V tomto přípaě se rov. (37.19) reukuje na rovnici charakterizující ifrakční obrazec o jené štěrbiny šířky a. V ifrakčním obrazci o vojštěrbiny popsaném rovnicí (37.19) a ilustrovaném obr a se prolíná interference a ifrakce. Oběma těmito pojmy označujeme jevy, jejichž postatou je superpozice: V určitém boě sklááme vlny s různou fází. Sklááme-li vlny vycházející z konečného (a obvykle malého) počtu elementárních koherentních zrojů jako při pokusech s vojštěrbinou s a λ mluvíme o interferenci. Sklááme-li vlny vycházející z jené vlnoplochy jako při pokusech s jenou štěrbinou mluvíme o ifrakci. Toto rozlišování interference a ifrakce (poněku umělé a ne vžy oržované) je ocela vhoné, nesmíme však zapomínat, že oba superpoziční jevy bývají přítomny současně (jako např. na obr a). PŘÍKLAD 37.5 Při experimentování s vojštěrbinou je rozteč štěrbin = = 19,44 Ñm, šířka štěrbin a = 4,050 Ñm a světlo má vlnovou élku λ = 405 nm. (a) Kolik světlých proužků je uvnitř centrálního proužku ifrakční obálky? ŘEŠENÍ: Centrální proužek je vymezen prvními ifrakčními minimy, jejichž úhlovou polohu uává rov. (37.3) při m = 1: a sin = λ. (37.) Polohy světlých proužků v interferenčním obrazci o vojštěrbiny uává rov. (36.14): sin = mλ, ke m = 0, 1,,. (37.3)

14 990 KAPITOLA 37 DIFRAKCE Vyělením rov. (37.3) a (37.) ostaneme honotu m interferenčního proužku, který koinciuje s prvním ifrakčním minimem ifrakčního obrazce o jené štěrbiny. Dosaíme-li o tohoto poílu zaané honoty, ostaneme m = a = (19,44 Ñm) (4,050 Ñm) = 4,8. První ifrakční minimum je tey těsně pře interferenčním proužkem s m = 5. V rozmezí centrálního ifrakčního proužku máme centrální světlý proužek (m = 0) a čtyři světlé proužky (až o m = 4) po obou jeho stranách. Celkem je tey uvnitř centrálního ifrakčního proužku evět interferenčních proužků interferenčního obrazce o vojštěrbiny. Obr ukazuje světlé proužky po jené straně centrálního světlého proužku. Světlý interferenční proužek s m = 5 je však téměř potlačen prvním ifrakčním minimem a je příliš nezřetelný, takže jej nebueme počítat. Uvnitř prvního velejšího ifrakčního proužku jsou tey jen čtyři světlé interferenční proužky. KONTROLA 5: Co se stane, zvětšíme-li vlnovou élku světla v př na 550 nm: zvětší se, zmenší se, nebo se nezmění (a) šířka centrálního ifrakčního proužku a (b) počet světlých interferenčních proužků uvnitř centrálního ifrakčního proužku? 37.7 DIFRAKČNÍ MŘÍŽKY intenzita I m = první velejší ifrakční proužek 8 0 0,1 0, 0,3 (ra) 9 0,1 0, 0,3 Obr Příkla Rozložení intenzity v pravé polovině vojštěrbinového interferenčního experimentu. Difrakční obálka je vyznačena tečkami. Vložený grafukazuje (svisle roztažené) rozložení intenzity v prvním a ruhém velejším ifrakčním proužku. Při stuiu světla a objektů, které světlo emitují nebo pohlcují, je jením z nejužitečnějších nástrojů ifrakční mřížka. V porovnání s vojštěrbinou na obr má toto zařízení mnohem větší počet N štěrbin, jimž se často říká vrypy; něky je jich okonce několik tisíc na milimetru. Iealizovaná mřížka tvořená pouze pěti štěrbinami je znázorněna na obr Prochází-li štěrbinami monochromatické světlo, vznikají úzké interferenční proužky, jichž lze využít ke stanovení vlnové élky světla. (Difrakční mřížky mohou být také tvořeny rovnoběžnými zářezy v nepropustném materiálu uspořáanými poobně jako štěrbiny na obr Světlo pak neprochází práznými štěrbinami, ale je rozptylováno zářezy zpět a interferenční proužky vytváří na straně opaajícího světla.) P (b) Kolik světlých interferenčních proužků je v oblasti vymezené prvními velejšími proužky ifrakční obálky? ŘEŠENÍ: Vnější hranici prvních velejších ifrakčních proužků tvoří ruhá ifrakční minima. Úhlovou polohu těchto minim ává rov. (37.3) pro m = : a sin = λ. (37.4) Vyělením rov. (37.3) a (37.4) zjistíme, že m = a = (19,44 Ñm) (4,050 Ñm) = 9,6. Z toho vyplývá, že ruhé ifrakční minimum se nalézá těsně pře světlým interferenčním proužkem, jehož poloha je ána rov. (37.3) s m = 10. V prvním ifrakčním proužku máme tey interferenční proužky o m = 5om = 9, tj. celkem 5 světlých proužků interferenčního obrazce o vojštěrbiny. (Jsou ukázány ve vloženém grafu na obr ) λ Obr Iealizovaná ifrakční mřížka tvořená pouze pěti štěrbinami. Na vzáleném stínítku C vzniká interferenční obrazec. Přestavme si, že na mřížku opaá monochromatické světlo a že postupně zvyšujeme počet štěrbin o vou až po nějaké velké číslo N. Rozložení intenzity se přitom vyvíjí o typického obrazce opovíajícího vojštěrbině (obr c) přes mnohem komplikovanější obrazec až C

15 37.7 DIFRAKČNÍ MŘÍŽKY 991 k jenouchému obrazci nakreslenému na obr a. Maxima jsou velmi úzká (proto se nazývají čáry) a jsou oělena poměrně širokými tmavými oblastmi. Obr b ukazuje, co bychom viěli na stínítku, kybychom použili červeného světla helium-neonového laseru. k bou P pozorovacího stínítka intenzita 3 1 m = ráhový rozíl mezi souseními paprsky (a) m = 0 (b) Obr (a) Rozložení intenzity vytvořené ifrakční mřížkou s velkým počtem štěrbin má tvar úzkých píků. Na obrázku jsou označeny číslem m, které uává řá píku. (b) Opovíající světlé proužky, které pozorujeme na stínítku, se nazývají čáry. Jsou rovněž označeny číslem m. Obrázek ukazuje nultý, první, ruhý a třetí řá. Použijeme nyní známé proceury, abychom nalezli úhlové polohy světlých čar na stínítku. Bueme přepokláat, že toto stínítko je tak aleko o mřížky, že paprsky přicházející o určitého bou P stínítka byly přibližně rovnoběžné, kyž vycházely z mřížky (obr ). Na kažou vojici souseních štěrbin použijeme touž úvahu, kterou jsme použili při interferencích o vojštěrbiny. Vzálenost mezi štěrbinami se nazývá mřížková konstanta.(zaujímá-li N štěrbin šířku w, je = w/(n 1).) Dráhový rozíl souseních paprsků je opět sin (obr ), ke je úhel mezi centrální osou mřížky a směrem veoucím k bou P.VmístěP je světlá čára tehy, kyž ráhový rozíl souseních paprsků je celistvý násobek vlnové élky, tj. kyž sin = mλ, ke m = 0, 1,, 1 (maxima čáry), (37.5) ke λ je vlnová élka světla. Kažé celé číslo m přestavuje určitou čáru a můžeme ho proto použít k jejímu označení jako na obr Tato celá čísla pak nazýváme čísla řáu a čáry se označují jako čára nultého řáu (centrální čára s m = 0), čára prvního řáu, čára ruhého řáu at. 3 Obr Paprsky joucí ze štěrbin ifrakční mřížky ke vzálenému bou P jsou přibližně rovnoběžné. Dráhový rozíl mezi kažými věma souseními paprsky je sin, ke je úhel vyznačený na obrázku. (Štěrbiny leží ve směru kolmém ke stránce.) Přepíšeme-li rov. (37.5) o tvaru = arcsin(mλ/), viíme, že úhel mezi centrální osou a směrem k určité čáře (řekněme k čáře třetího řáu) závisí při ané mřížce na vlnové élce použitého světla. Prochází-li tey mřížkou světlo, můžeme určit jeho vlnovou élku pomocí rov. (37.5), změříme-li úhly čar vyšších řáů. Tímto způsobem lze analyzovat a ientifikovat i světlo obsahující několik neznámých vlnových élek. Pomocí vojštěrbiny (čl. 36.4) takovou analýzu uělat nelze, i kyž platí táž rovnice a závislost na vlnové élce je tey stejná. Při interferenci na vojštěrbině se totiž světlé proužky příslušející různým vlnovým élkám příliš překrývají, takže je nelze rozlišit. Šířka čar Schopnost mřížky rozlišit (oělit) čáry různých vlnových élek závisí na šířce těchto čar. Ovoíme ze výraz pro pološířku centrální čáry (tj. čáry, pro niž je m = 0) a potom uveeme výraz pro pološířky čar vyšších řáů. Pološířku centrální čáry efinujeme jako úhel 1/ mezi střeem čáry = 0 a místem, ke končí čára a začíná tmavá oblast s prvním minimem (obr. 37.0). V tomto minimu se N paprsků o N štěrbin mřížky vzájemně vyruší.(skutečná šířka centrální čáry je ovšem 1/, je však zvykem porovnávat šířky čar pomocí pološířek.) V čl. 37. při ifrakci na štěrbině jsme měli rovněž co činit s rušením velkého počtu paprsků. Ovoili jsme rov. (37.3), již můžeme vzhleem k poobnosti obou přípaů použít i ze a najít první minimum. Tato rovnice říká, že první minimum nastává, kyž ráhový rozíl horního a olního paprsku je roven λ. Při ifrakci na štěrbině je tento rozíl a sin. Pro mřížku tvořenou N štěrbinami

16 99 KAPITOLA 37 DIFRAKCE intenzita 1/ šířka čar zmenšuje. Ze vou ifrakčních mřížek může tey mřížka s vyšším N lépe rozlišit vlnové élky, nebo její ifrakční čáry jsou užší a méně se překrývají. 0 Obr Pološířka 1/ centrální čáry je úhel mezi střeem této čáry a sousením minimem v grafu intenzity I jako funkce (srov. Obr a). je vzálenost mezi horní a olní štěrbinou (N 1), což při velkém počtu štěrbin můžeme nahrait výrazem N (obr. 37.1), ke je vzálenost mezi souseními štěrbinami. Dráhový rozíl mezi horním a olním paprskem je tey v našem přípaě N sin 1/. První minimum proto vznikne, kyž N sin 1/ λ. (37.6) Poněvaž úhel 1/ je malý, je sin 1/ 1/ (v raiánech). Dosaíme-li to o rov. (37.6), ostaneme pro pološířku centrální čáry výraz 1/ = λ N (pološířka centrální čáry). (37.7) Uváíme bez ůkazu, že i pološířka kterékoli jiné čáry závisí na poloze čáry vzhleem k centrální ose a je rovna 1/ = λ N cos N 1/ 1/ (pološířka čáry ifraktované ve směru ). horní paprsek k prvnímu minimu olní paprsek ráhový rozíl (37.8) Obr Vzálenost mezi horní a olní štěrbinou mřížky tvořené N štěrbinami je přibližně N. Dráhový rozíl mezi horním a olním paprskem procházejícím mřížkou je N sin 1/, ke 1/ má význam vyznačený na obrázku. (Pro zřetelnost je ze úhel 1/ přehnaně velký.) Všimněte si, že při ané vlnové élce λ a při ané rozteči mezi štěrbinami se s rostoucím počtem N štěrbin Aplikace ifrakčních mřížek Difrakčních mřížek se často používá k určení vlnových élek emitovaných nejrůznějšími zroji světla o lamp po hvězy. Mřížkový spektroskop, který používá mřížku k tomuto účelu, je na obr Světlo ze zroje S je čočkou L 1 fokusováno na štěrbinu S 1 umístěnou v ohniskové rovině čočky L. Světlo vycházející z tubusu C (zvaného kolimátor) je rovinná vlna a ta kolmo opaá na mřížku G. Na ní ochází k ifrakci a vzniká ifrakční obrazec s centrální čárou řáu m = 0 po úhlem = 0, tey poél centrální osy mřížky. Difrakční obrazec, který by se objevil na stínítku, si můžeme prohlénout alekohleem. Zajímá-li nás intenzita ve směru, nastavíme prostě alehohle D o tohoto směru (obr. 37.). Čočka L 3 alekohleu fokusuje světlo ifraktované po úhlem (a po nepatrně menším a větším úhlem) o své ohniskové roviny FF nacházející se uvnitř alekohleu. Okulárem E si tento fokusovaný obrazec zvětšíme. Bueme-li měnit úhel alekohleu, můžeme prozkoumat celý ifrakční obrazec. S výjimkou nultého řáu m = 0 je v kažém řáu půvoní světlo rozloženo pole vlnových élek (tj. pole barvy), takže s pomocí rov. (37.5) můžeme určit, které vlnové élky zroj emituje. Jestliže vlnové élky emitovaného světla jsou ze širokého intervalu, pozorujeme otáčíme-li alekohleem v rozmezí úhlů opovíajících nějakému řáu m široký pás barev, jehož krátkovlnému okraji přísluší menší úhel a louhovlnému větší. Emituje-li zroj iskrétní vlnové élky, pozorujeme iskrétní svislé čáry v barvě příslušných vlnových élek. Napříkla světlo emitované výbojkou naplněnou plynným voíkem má ve viitelné oblasti čtyři iskrétní vlnové élky. Pozorujeme-li toto světlo přímo, jeví se bílé. Jestliže ho však pozorujeme mřížkovým spektroskopem, můžeme v několika řáech rozlišit čáry čtyř barev opovíající těmto vlnovým élkám viitelné oblasti. (Tyto čáry se nazývají emisní čáry.) Čtyři řáy jsou znázorněny na obr V centrálním řáu (m = 0) se čáry všech čtyř vlnových élek překrývají a vytvářejí jeinou bílou čáru v primárním směru = 0. Ve vyšších řáech jsou barvy separovány. Pro přehlenost není v obr vyznačen třetí řá; překrývá se totiž s ruhým a čtvrtým řáem. Červená čára čtvrtého řáu chybí, nebo mřížka, kterou jsme použili, ji nevytváří (je o mřížku z př. 37.6). Pokusíme-li se totiž pomocí rov. (37.5) vypočítat úhel pro vlnovou élku

17 37.7 DIFRAKČNÍ MŘÍŽKY 993 S L 1 S 1 C L G L 3 D F E F Obr. 37. Jenouchý mřížkový spektroskop používaný k analýze vlnových élek světla emitovaného zrojem S. opovíající červené barvě a řáu m = 4, shleáme, že sin je větší než jena, což není možné. Říkáme pak, že čtvrtý řá je pro tuto mřížku neúplný. Nemusí však být neúplný pro mřížku s větší mřížkovou konstantou, která ifraktuje čáry po menšími úhly, než jak je to nakresleno v obr Na obr je fotografie emisních čar kamia ve viitelné oblasti. PŘÍKLAD 37.6 Difrakční mřížka má 1, vrypů rovnoměrně rozmístěných v šířce w = 5,4 mm. Kolmo na ni opaá moré světlo o vlnové élce 450 nm. (a) Jaké úhly svírají s centrální osou maxima ruhého řáu? ŘEŠENÍ: Mřížková konstanta je m = 0 m = 1 m = = w N = (5, m) (1, ) =, m = 016 nm m = Obr Nultý, první, ruhý a čtvrtý řá emisních čar voíku ve viitelné oblasti. Všimněte si, že při větších úhlech je vzálenost mezi čárami větší. (Jsou také slabší a širší, to však ze není vyznačeno.) V rov. (37.5) opovíá maximům ruhého řáu m =. Pro λ = 450 nm tak ostáváme sin = mλ (450 nm) = ( 016 nm) = 0,446, = 6,51. = 6,5. (Opově ) (b) Jaká je pološířka čáry ruhého řáu? ŘEŠENÍ: Z rov. (37.8) vypočteme 1/ = λ N cos = (450 nm) (1, )( 016 nm) cos 6,51 = 1, ra. (Opově ) Obr Viitelné emisní čáry kamia pozorované mřížkovým spektroskopem. K ONTROLA 6: Obrázek ukazuje čáry různého řáu monochromatického červeného světla vytvořené ifrakční mřížkou. (a) Nachází se stře obrazce vpravo, nebo vlevo? (b) Přepneme-li na zelené monochromatické světlo, buou pološířky čar v týchž řáech větší, menší, nebo stejné jako pološířky čar na obrázku?

18 994 KAPITOLA 37 DIFRAKCE poílem R = λ stř (efinice rozlišovací schopnosti). (37.31) λ Ze λ stř je průměr vlnových élek vou spektrálních čar, které lze ještě považovat za separované a λ je rozíl jejich vlnových élek. Čím je R větší, tím blíže mohou být vě emisní čáry, přičemž se ají ještě rozlišit. V alším bue ukázáno, že rozlišovací schopnost mřížky je ána jenouchým výrazem R = Nm (rozlišovací schopnost mřížky). (37.3) Jemné vrypy o šířce 0,5 Ñm na kompaktním isku ělají z isku ifrakční mřížku. Svítí-li na isk malý zroj bílého světla, tvoří ifraktované světlo barevné pruhy, které jsou směsicí ifrakčních obrazců o vrypů MŘÍŽKY: DISPERZE A ROZLIŠOVACÍ SCHOPNOST Disperze Má-li mřížka posloužit k rozlišení vlnových élek, které jsou si blízké (jako v mřížkovém spektroskopu), musí mřížka ifrakční obrazec ostatečně roztáhnout, aby ifrakční čáry příslušných vlnových élek byly oěleny. Toto roztažení, nazývané isperze, je efinováno vztahem D = λ (efinice isperze). (37.9) V tomto vzorci je úhlová vzálenost vou čar, jejichž vlnové élky se liší o λ. Čím větší je D, tím větší je vzálenost vou emisních čar, jejichž vlnové élky se liší o λ. V alším bue ukázáno, že isperze mřížky závisí na úhlu a je ána vztahem D = m cos (isperze mřížky). (37.30) Chceme-li tey mít vysokou isperzi, musíme použít mřížky s malou mřížkovou konstantou (malé ) apracovat ve vysokém řáu (velké m). Všimněte si, že isperze nezávisí na počtu vrypů. V soustavě SI je jenotkou D stupeň na metr nebo raián na metr. Rozlišovací schopnost Aby bylo možné rozlišit spektrální čáry blízkých vlnových élek, musí být šířky čar co nejužší. Jinak řečeno, mřížka musí mít vysokou rozlišovací schopnost R, efinovanou Abychom osáhli vysoké rozlišovací schopnosti, musí mít mřížka mnoho vrypů (velké N v rov. (37.3)). Ovození rov. (37.30) Vyjěme z rov. (37.5), která určuje polohy spektrálních čar v ifrakčním obrazci mřížky: sin = mλ. Považujme a λ za proměnné a iferencujme tuto rovnici. Dostaneme cos = m λ. Nahraíme-li iferenciály malými rozíly, ostaneme cos = m λ, (37.33) tj. λ = m cos. Poíl na levé straně je isperze D (srov. rov. (37.9)); tím jsme tey ovoili rov. (37.30). Ovození rov. (37.3) Vyjěme z rov. (37.33), která byla ovozena z rov. (37.5), jež určuje polohy čar v ifrakčním obrazci vytvořeném mřížkou. V rov. (37.33) značí λ malý rozíl vlnových élek vou vln ifraktovaných mřížkou a je jejich úhlová vzálenost v ifrakčním obrazci. Má-li být nejmenším úhlem, který ovoluje rozlišit vě čáry, musí být (pole Rayleighova kritéria) roven pološířce kažé z čar. Tuto pološířku uává rov. (37.8): λ 1/ = N cos. Ztotožníme-li 1/ v této rovnici s v rov. (37.33), shleáme, že λ N = m λ. Otu ihne plyne, že R = λ λ = Nm. To je však rov. (37.3), kterou jsme chtěli ovoit.

19 37.8 MŘÍŽKY: DISPERZE A ROZLIŠOVACÍ SCHOPNOST 995 Porovnání isperze a rozlišovací schopnosti Rozlišovací schopnost mřížky nesmíme zaměňovat s isperzí mřížky. V tab jsou uveeny charakteristiky tří mřížek, všechny jsou osvětleny světlem s vlnovou élkou λ = 589 nm a ifraktované světlo pozorujeme v prvním řáu (m = 1 v rov. (37.5)). Ověřte si, že tabelované honoty D a R lze vypočítat z rov. (37.30), resp. rov. (37.3). (Při výpočtech D musíte převést ra/mna / Ñm.) Za pomínek uveených v tab mají mřížky A a B touž isperzi aaactoužrozlišovací schopnost. Tabulka 37.1 Tři mřížky a MŘÍŽKA N (nm) D ( /Ñm) R A ,4 3, B ,4 3, C ,5 46, a Úaje opovíají λ = 589nm a m = 1. Obr přestavuje rozložení intenzity světla v ifrakčním obrazci (profily čar) vytvořeném těmito mřížkami při ifrakci světla o vou vlnových élkách λ 1 a λ v blízkosti λ = 589 nm. Mřížka B s vyšší rozlišovací schopností vytváří užší čáry a je schopna rozlišit čáry, jejichž vlnové élky jsou si mnohem bližší než ty, jež jsou nakresleny v obrázku. Mřížka C s vyšší isperzí vytváří větší úhlovou vzálenost mezi čárami. intenzita intenzita intenzita ,4 13,4 mřížka A mřížka B 0 5,5 (stupně) (stupně) (stupně) mřížka C Obr Rozložení intenzity v ifrakčním obrazci vytvořeném světlem o vou vlnových élkách, které prošlo mřížkami z tab Mřížka B má největší rozlišovací schopnost a mřížka C největší isperzi. PŘÍKLAD 37.7 Na ifrakční mřížku z př kolmo opaá žluté světlo soíkové výbojky. Toto světlo obsahuje vě blízké emisní čáry (známé jako soíkový ublet) o vlnových élkách 589,00 nm a 589,59 nm. (a) Po jakým úhlem se objeví maximum prvního řáu příslušné kratší z těchto vlnových élek? ŘEŠENÍ: Maximum prvního řáu opovíá honotě m = 1 v rov. (37.5). Z př. 37.6a víme, že mřížková konstanta je 016 nm, takže sin = mλ 1(589,00 nm) = = 0,9, ( 016 nm) = 16,99. = 17. (Opově ) (b) Jaká je v prvním ifrakčním řáu úhlová vzálenost čar soíkového ubletu? ŘEŠENÍ: Ze vstupuje o hry isperze mřížky. Rov. (37.30) ává honotu isperze D = m cos = 1 ( 016 nm) cos 16,99 = = 5, ra/ nm. Z rov. (37.9), jež je efiniční rovnicí isperze, plyne = D λ = = (5, ra/nm)(589,59 nm 589,00 nm) = = 3, ra = 0, (Opově ) Tento výsleek závisí na mřížkové konstantě, nikoli však na počtu vrypů mřížky. (c) Jak blízké mohou být vlnové élky vou čar, které lze ještě touto mřížkou oělit v prvním řáu? ŘEŠENÍ: Ze vstupuje o hry rozlišovací schopnost mřížky. Pole rov. (37.3) je rozlišovací schopnost R = Nm = (1, )(1) = 1, Z rov. (37.31), jež je efiniční rovnicí rozlišovací schopnosti, plyne λ = λ R (589 nm) = (1, = 0,0467nm. (Opově ) ) Tato mřížka může tey snano rozlišit obě soíkové čáry, nebo rozíl jejich vlnových élek je 0,59 nm. Všimněte si, že tento výsleek závisí pouze na počtu vrypů mřížky a je nezávislý na mřížkové konstantě, tj. na vzálenosti souseních vrypů. () Kolik musí mít mřížka vrypů, aby právě rozlišila čáry soíkového ubletu? ŘEŠENÍ: Pole rov. (37.31), jež je efiniční rovnicí R,musí mít mřížka rozlišovací schopnost R = λ λ = (589 nm) (0,59 nm) = 998.

20 996 KAPITOLA 37 DIFRAKCE Pole rov. (37.3) je počet vrypů potřebný k osažení této rozlišovací schopnosti (v prvním řáu) N = R m = (998) (1) = 998 vrypů. (Opově ) Poněvaž naše mřížka má zhruba 13krát více vrypů, může čáry soíkového ubletu snano rozlišit, jak jsme již ukázali v(c) RENTGENOVÁ DIFRAKCE Rentgenové záření je elektromagnetické záření, jehož vlnová élka je řáu angströmů: 1 Å = mpřesně.porovnejte to s vlnovou élkou střeu viitelného spektra, jež je 550 nm = 5, m. Obr ukazuje, že rentgenové záření vzniká, kyž elektrony emitované žhavým vláknem F a urychlené napětím U opaají na kovový terčík T. C F rentgenové záření U Obr Rentgenové záření vzniká, kyž elektrony emitované rozžhaveným vláknem F a urychlené napětím U opaají na kovový terčík T. Okénko W v evakuované komůrce C je pro rentgenové záření propustné. K rozlišování různých vlnových élek rentgenového záření nelze použít stanarní optickou mřížku. Z rovnice (37.5) plyne, že např. pro λ = 1 Å = 0,1 nm a = nm je maximum prvního řáu po úhlem : sin = mλ = (1)(0,1nm) = 0,000 03, (3 000 nm) = 0, To není prakticky použitelné, protože je to příliš blízké centrálnímu maximu. Potřebujeme mřížku s. = λ, ale protože vlnové élky rentgenového záření jsou zhruba stejné jako průměry atomů, nelze takové mřížky mechanicky vyrobit. V roce 191 připal německý fyzik Max von Laue na myšlenku, že krystalická pevná látka, kterou tvoří pravielné uspořáání atomů, by mohla být přirozenou trojrozměrnou ifrakční mřížkou pro rentgenové záření. Krystal T W je tvořen tak, že se v něm opakuje jistá záklaní formace atomů elementární buňka. V přípaě nejjenoušší kubické mřížky vypaá situace jako na obr Elementární buňka je krychle o hraně velikosti a 0 ; tato élka se nazývá mřížkový parametr (říve též mřížková konstanta). (Bohužel se tato mřížka, jako většina jenouchých a názorných moelů, v příroě téměř nevyskytuje. Úajně v ní krystaluje polonium Po.) Dopaá-li na krystal svazek rentgenového záření, je toto záření krystalovou strukturou rozptylováno, tj. mění se jeho směr. V některých směrech interferují rozptýlené vlny estruktivně, a tím vznikají minima intenzity; v jiných směrech je interference konstruktivní, což ává maxima intenzity. Tento proces rozptylu a interference je určitou formou ifrakce, i kyž se nepoobá ifrakci světla procházejícího štěrbinou nebo míjejícího nějakou hranu, o níž jsme už pojenali. I kyž je proces ifrakce rentgenového záření na krystalu složitý, lze směry maxim určit pomocí jenouché přestavy. Tyto směry opovíají totiž situaci, jako by se rentgenové záření oráželo na soustavě rovnoběžných reflexních rovin (nebo krystalových rovin) proložených atomy krystalu. V kažé z těchto rovin jsou atomy pravielně uspořáány. (Ve skutečnosti se rentgenové záření neoráží; těchto fiktivních rovin používáme pouze proto, abychom zjenoušili analýzu skutečného ifrakčního jevu.) Na obr. 37.7b jsou tři roviny soustavy s mezirovinnou vzáleností, na nichž se orážejí vyznačené paprsky opaajícího rentgenového záření. Paprsky 1, a 3 se orážejí o první, ruhé, resp. třetí roviny. Při kažém orazu je úhel opau i úhel orazu roven. Na rozíl o zvyklostí v optice jsou tyto úhly vztaženy k orážející rovině a ne k normále této roviny. V přípaě nakresleném na obr. 37.7b je mezirovinná vzálenost rovna mřížkové konstantě a 0. Obr. 37.7c znázorňuje oraz na vou souseních rovinách v pohleu ve směru kolmém k rovině opau. Vlny opovíající paprskům 1 a opaají na krystal ve fázi. Po orazu musejí být opět ve fázi, nebo orazy a orážející roviny jsme efinovali pouze proto, abychom vysvětlili maxima intenzity při ifrakci rentgenového záření na krystalu. Na rozíl o světelných paprsků se paprsky rentgenového záření při vstupu o krystalu nelámou; inex lomu rentgenového záření je tey roven jené. Kyž vlny opovíající paprskům 1 a vystupují z krystalu, je proto jejich fázový rozíl určen výhraně jejich ráhovým rozílem. Aby tyto vlny byly ve fázi, musí být jejich ráhový rozíl roven celistvému násobku vlnové élky rentgenového záření. Čárkované kolmice na obr. 37.7c ukazují, že ráhový rozíl je sin. Tak tomu ovšem je pro kažou vojici