Zakřivený nosník. Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Transkript

1 Stavební statika, 1.ročník bakalářského stuia Zakřivený nosník Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly Katera stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1

2 Tvar a poepření rovinného zakřiveného nosníku vrchol +x Složky reakcí z pomínek rovnováhy R ax ( x) k.x z a +z symetrická geometrie oblouku rozpětí l ψ b f vzepětí tečna ke střenici prutu erivace funkce tg ψ (v kažém boě jiný směr) z tgψ [ k. x ]. k. x x x ψ z R az R bz Tvar střenice: nejčastěji oblouk kvaratické paraboly, kružnice, paraboly 4 o, řetězovky. ( x) k.x z z k x a a z x b b nesymetrická geometrie

3 Zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Druhy zatížení: svislá a voorovná na jenotku élky svislá a voorovná na jenotku élky voorovného a svislého průmětu kolmé a tečné ke střenici. (a) (b) (c) () (e) q q.cosψ závěsy mostovky sníh vlastní tíha (f) (g) (h) * p q.sinψ p n.cosψ * q q.cosψ q n.sinψ p p.sinψ hyrostatický tlak, vítr Různé typy zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze 3

4 Výpočet vnitřních sil v zaaném průřezu ψ Sklon tečny ke střenici nosníku ( x) k.x z x z z k ψ x x a a tgψ b b z x [ k. x ]. k. x z Pomocné vnitřní svislé S a horizontální H síly 5

5 Výpočet vnitřních sil v zaaném průřezu Rozkla S,H sil na složky rovnoběžné a kolmé k tečně S V N M tg ψ.k.x Pozn: Není nutné počítat úhel ψ. Potřebné goniometrické funkce možno stanovit ze vztahů: cosψ 1 1+ tg ψ H V S M N H ψ sinψ N V tgψ 1+ tg ψ Síly S,H možno uvažovat le znaménkové konvence v obr. vlevo, potom vžy platí: H.cosψ + S.sinψ H.sinψ + S.cosψ Nebo ve skutečných směrech S,H a řešit z pomínek rovnováhy le příklau 1 6

6 Příkla 1 řešení vnitřních sil pouze v zaaných boech Bue součástí písemné zkoušky. Dáno: - symetrická geometrie, l 6m, f 5m x 3 m, z m - bo, respektive x m Vzorce pro výpočet: cosψ sinψ ( ) 1 1+ tg ψ tgψ 1+ tg ψ q 10kN / a a 5 ( x) k.x z z k x a a z x b b tg ψ.k.x m Úkol: V boě spočítat vnitřní síly Řešení: Viz ále Postup výpočtu: 1) Rovnice oblouku, souřanice obou popor ) Souřanice působiště zatížení 3) Souřanice zaaných boů včetně honot goniometrických funkcí úhlu ψ v zaaných boech 4) Výpočet reakcí (3+1 pomínky rovnováhy!!!) 5) Výpočet pomocných vnitřních sil: svislá S a horizontální H síly + ohybový moment M (klaná znaménková konvence shoná s H,V,M silami přímého prutu viz ále) 6) Rozkla S a H o směrů kolmých a rovnoběžných se střenici prutu v aném boě 7) Výpočet vnitřních sil: V je součet kolmých složek S a H N je součet rovnoběžných složek S a H M je vyřešen již v 5) 7 8) Nutno oržet znaménkovou konvenci vnitřních sil N,V,M ψ

7 Příkla 1 geometrie, reakce (bo 1-4 le postupu řešení) x 3m, z 5m, a a ( x) k. x, z k xb 3 m, zb 5m za zb 0,555 x x a b tg ψ.k.x x m z k. x, m nebo lépe: 1 cosψ 0, tg ψ sinψ tgψ 0,91 1+ tg ψ

8 Příkla 1 vnitřní síly v boě výpočet zprava (bo 5-8) N 39,5kN, V 37,05kN, M 118,056kNm

9 Příkla 1 vnitřní síly v boě výpočet zleva (bo 5-8) N 39,5kN, V 37,05kN, M 118,056kNm

10 Příkla 1 rovnováha rozěleného oblouku (ke kontrole) Pomínky rovnováhy levé části F ix 0: Σ M i, 0: M + F iz 0: Q + H 0 H 50kN + ( 3 + x ) Raz ( 0,5 f z ) Q 0 M S Raz 0 S 0, 833kN Σ M i,b 0: kontrola Pomínky rovnováhy pravé části F ix 0: F iz 0: Σ M i, 0: H Rbx 0 H 50kN S + Rbz 0 S 0, 833kN M ( 3 x ) Rbz ( 5 z ) Rbx 0 M Σ M i,b 0: kontrola

11 Příkla k samostatnému procvičení (návo viz samostatný soubor) Úkol: V boě c a spočítat vnitřní síly N,V,M le návou v příklau 1 Nápověa: V boě buou honoty horizontální síly H a, H b honoty N i V V boě zakreslíte pomyslný řez x: 1- těsně vlevo o bou (síla F působí v pravé části) v obou částech spočítáte honotu H a, výsleek vyje v obou částech stejně - těsně vpravo o bou (síla F působí v levé části) v obou částech spočítáte honotu H a, výsleek vyje v obou částech stejně

12 Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Zaání a výpočet reakcí - pomocí pomínek rovnováhy Bue součástí ústní zkoušky. 1. F ix 0: q. f Rax 0 R q. f 1kN ax ( ) +x. Σ M i,a 0: R ax +z R q. f bz + R q. f. l bz. l 0,40kN ( ) R az R bz 3. Σ M i,b 0: 4. kontrola R az q. f,40kn. l ( ) F iz 0: R az + R bz 0 13

13 Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vzepětí Geometrie prutu Tabulkový výpočet (Excel) ( x) k.x z tg ψ.k.x cosψ sinψ,00 4,00-5,00 4,00 3,4-4,00 1+ tg ψ -3,00 1 tgψ 1+ tg ψ -,00-1,00 Rozpětí 1,00,00,56 1,96 1,44 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,96,56 Geometrie oblouku 3,00 4,00 5,00 3,4 4,00 x z tg ψ ψ [ra] ψ [eg] cos ψ sin ψ -5,00 4,00-1, , , , , ,50 3,4-1, , ,169 0, , ,00,56-1, , , , , ,50 1,96-1, , , , , ,00 1,44-0, , , , ,6953 -,50 1,00-0, , , , , ,00 0,64-0, , , ,8471-0, ,50 0,36-0, , , , , ,00 0,16-0, , , ,9544-0, ,50 0,04-0, , , , , , ,50 0,04 0, , , , , ,00 0,16 0, , , ,9544 0, ,50 0,36 0, , , , ,43731,00 0,64 0, , , ,8471 0,539054,50 1,00 0, , , , , ,00 1,44 0, , , , ,6953 3,50 1,96 1, , , , , ,00,56 1, , , , , ,50 3,4 1, , ,169 0, , ,00 4,00 1, , , , , ,00

14 Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku N Výpočet vnitřních sil M tay směry S,H sil le obr. H H R R ax ax S R az ( f z) q. levá polovina q. f 0 pravá polovina N H.cosψ + S.sinψ V H.sinψ + S.cosψ q R ax H f l R az R bz S V M H ψ N V S H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,400000, , , ,400000, , , , ,18865, , , ,497670, , , , ,379177, , ,73146, , ,038555, , ,9379, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

15 Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil N, V síly Normálová síla ,00-4,00-3,00 Normálová síla -,00-1,00 1,00,00 3,00 Rozpětí 4,00 5,00 8,40 7,5 6,6 5,71 4,78 3,84,91,01 1,19 0,50-0,38-0,73-1,04-1,9-1,50-1,66-1,79-1,89-1,97 -,04-5,00 1,00-8,90-6,61-4,00-4,57 -,79-3,00-1,6 Posouvající síla -,00 0,99 1,70-1,00,14,35,40,37 1,00,9,16,00,0 1,87 3,00 1,73 1,60 4,00 1,48 1,37 5,00 1,7 H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,400000, , , ,400000, , , , ,18865, , , ,497670, , , , ,379177, , ,73146, , ,038555, , ,9379, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

16 Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil ohybové momenty M R M R Ohybový moment ax ax ( f z). R az l. l q. + x Ohybový moment ( f z) ( f z) R. + x q. f. z. az levá polovina 7,05 11,77 14,64 16,09 16,50 16,19 15,41 14,36 13,0 1,00 10,80 9,60 8,40 7,0 6,00 4,80 3,60,40 1,0-5,00-4,50-4,00-3,50-3,00 -,50 -,00-1,50-1,00-0,50 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 f pravá polovina -R az.(l/+x) +R ax.(f-z) -q/.(f-z) M [knm] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70000, , , , , , , q.f.(f/-z) 17

17 Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku K jakémukoliv svislému zatížení působícímu na oblouk lze teoreticky najít takový tvar střenice oblouku, při němž zatížení vyvolá v oblouku jen záporné normálové síly (tlak), zatímco ohybové momenty a posouvající síly jsou v celém oblouku rovny nule. Výhoa: menší rozměry průřezu Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku vznikne tehy, je-li střenice oblouku (a) geometricky poobná křivce popisující průběh ohybových momentů (c) na prostém nosníku (b), který je voorovným průmětem oblouku (a) a je zatížen týmž svislým zatížením (uaným na jenotku élky voorovného průmětu) jako oblouk (a). Důkaz: využití principu superpozice: zat M M + M M M H ( x) ( x) ( x) zat ( x) Raz x q x / H ( x) Rax ( f z) Rax z (a) (b) (c) () (e) M M zat H moment o svislých sil (c.) moment o horizontálních sil (e)

18 Okruhy problémů k ústní části zkoušky Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly