Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Transkript

1 Přijímací zkouška na navazující magisterské stuium 05 Stuijní program: Stuijní obor: Řešení příklaů pečlivě oůvoněte. Příkla (5 boů) Spočtěte ke M {(y, x) R ; x 0, x + y a}. Příkla (5 boů) Nalezněte supremum a infimum funkce na množině M Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A ln( + x + y )xy, f(x, y) e x+y M {(x, y) R ; x 3 + y 3 xy 0, x + y > 0} a rozhoněte, za funkce f těchto honot nabývá. Příkla 3 (5 boů) Nechť náhoný vektor N (N, N, N 3 ) má multinomické rozělení s celkovým počtem pozorování N + N + N 3 n a s pravěpoobnostmi π ( + θ, θ, ), ke θ (, ) je neznámý parametr. (i) Spočítejte maximálně věrohoný oha θ n parametru θ. (ii) Určete asymptotické rozělení ohau θ n. (iii) Navrhněte nestranný oha parametru θ založený na N a spočítejte jeho asymptotické rozělení. Zjistěte, pro jaká θ je jeho asymptotický rozptyl více než vojnásobkem asymptotického rozptylu maximálně věrohoného ohau. (iv) Sestavte testovou statistiku Raova skórového testu hypotézy H 0 : θ θ 0 proti alternativě H : θ θ 0 a určete kritický obor tohoto testu ve speciálním přípaě θ 0 0. Příkla (5 boů) Kupónová obligace v nominální honotě F 0 s ročním kupónem C splatná přesně za va roky (tj. zcela jistě po atu exkuponu) se proává za (tržní) cenu P 399 (všechny honoty v tisících Kč). (i) Vyjářete obecně současnou honotu uveené obligace při honotící úrokové míře i. (ii) Formulujte vztah pro výnos o splatnosti (YTM). (iii) Vypočtětě výnos o splatnosti s výše uveenými konkrétními honotami.

2 Přijímací zkouška na navazující magisterské stuium 05 Stuijní program: Matematika Stuijní obor: Finanční a pojistná matematika Varianta A řešení Příkla (5 boů) D [ ] ln( + x + y x r cos ϕ )xy y r sin ϕ a 0 a 0 3π π r ln( + r )ϕr πr ln( + r )r [ t + r ] π +a π [t(ln(t) )] π ( + a)(ln( + a) ) + π π πa ( + a) ln( + a). ln(t)t

3 Příkla (5 boů) Označme g(x, y) x + y. Protože je exponenciála rostoucí a spojitá, stačí řešit pouze supremum a infimum funkce g na M. Označme Φ(x, y) x 3 + y 3 xy. Nyní ukážeme, že množina M je omezená a M M {(0, 0)}. Převeeme vztahy Φ(x, y) 0, x+y > sin(α) 0 o polárních souřanic a ostaneme rovnici r h(α) sin 3 (α)+cos 3 (α), ke r > 0 a α ( π, 3π ) I. Protože funkce h je spojitá na intervalu I a záporná pro α I \[0, Π ], tak existuje R max I(h). Pak M B(0, R) a tey M je omezená. Lze snano ovoit, že existuje ɛ > 0, že pro kažé x (0, ɛ) je Φ(x, x ) < 0, Φ(x, x 3 ) > 0. Ze spojitosti Φ tey plyne, že pro kažé δ > 0 je B((0, 0), δ) M. Tey (0, 0) M. Na ruhou stranu Tey M M {(0, 0)}. M M {(x, y) R ; Φ(x, y) 0, x + y 0} M {(0, 0)}. M je omezená uzavřená množina, tey je kompaktní. Z tohoto a ze spojitosti g na M plyne, že g nabývá maxima a minima na M. Nyní ověříme přepoklay věty o Lagrangeových multiplikátorech. Funkce g a Φ jsou C na R a Φ(x, y) (3x y, 3y x) je nulový pouze v boech (0, 0) M a ( 3, 3 ) / M. Označíme tey bo (0, 0) jako poezřelý a zbytek řešíme na M \ {(0, 0)} M. Z věty o Lagrangeových multiplikátorech plyne, že boy, v nichž může být extrém, jsou pouze boy (x, y) M, pro které existuje λ R, jež řeší soustavu rovnic (g λφ)(x, y) (0, 0), Φ(x, y) 0. Toto splňuje pouze bo (, ). Nalezli jsme tey boy (0, 0) M \ M a (, ) M. Z toho plyne, že supremum f na M se nabývá v boě (, ) a je rovno e a infimum f na M se nenabývá a je rovno.

4 Příkla 3 (5 boů) (i) Sružená hustota pozorování N je f(n, n, n 3 ) N! n!n!n 3! ( + θ Věrohonostní funkce pro parametr θ je a logaritmická věrohonost je ) n ( θ ) n ( ) n3, poku n + n + n 3 n. ( + θ ) N ( θ ) N ( ) n N N. L(θ) C ( + θ ) l(θ) N log + N log ( θ ) ( + (n N N ) log + log C. ) Věrohonost je až na konstantu stejná, jako kybychom pozorovali n nezávislých stejně rozělených vektorů N i (N i, N i, N i3 ) s rozělením Mult 3 (, π), přičemž N n i N i. Skórová statistika je U(θ) l(θ) θ N + θ N θ [ N θ N θ(n + N ) ]. Rovnice U( θ) 0 má právě jeno řešení θ N N N +N θ. (ii) Skórová funkce (pro i-té z n pozorování) je a to je maximálně věrohoný oha parametru U i (θ) θ [ Ni N i θ(n i + N i ) ]. Platí U(θ) n i U i(θ), což je součet nezávislých stejně rozělených náhoných veličin. Snano ověříme EU i (θ) EN i + θ EN i θ 0. Dále U i (θ) θ θ [ Ni ( θ ) N i θ(n i + N i ) ] θ (N i + N i ), ke hranatá závorka má nulovou stření honotu. Nyní můžeme spočítat Fisherovu informaci I(θ) E U i(θ) θ Jelikož obecně platí n( θ θ) ( + θ θ + θ ) ( θ ). N(0, I (θ)), ostáváme n( θ θ) N(0, ( θ )). (iii) Jelikož EN n( + θ)/, nestranným ohaem θ založeným na N je θ N /n. Pole centrální limitní věty ( N n n + θ ) ( N 0, + θ ( + θ ) ), a proto n( θ θ) N(0, σ ), ke ( σ ( + θ) + θ ) ( + θ) ( + θ) 3 + θ θ. Nerovnost 3 + θ θ > ( θ ) lze přepsat ve tvaru 3θ + θ > 0, což platí pro θ (/3, ).

5 (iv) Platí-li nulová hypotéza H 0 : θ θ 0, máme U(θ 0 ) N(0, I(θ 0 )) n a proto ni(θ0 ) U(θ 0) N(0, ) Dosaíme-li za U(θ 0 ) a I(θ 0 ), ostaneme Raovu testovou statistiku ( θ R n 0 ) [ n θ0 N N θ 0 (N + N ) ] [ n( θ0 ) N N θ 0 (N + N ) ]. Pro θ 0 0 bueme zamítat hypotézu na hlaině α, poku n N N > u α/, ke u α/ je ( α/)-kvantil normovaného normálního rozělení.

6 Příkla (5 boů) (i) Současnou honotu označíme P V. Pro uveenou situaci platí P V C + i + C + F ( + i). (ii) Je-li obligace na trhu koupena za honotu P, je výnos o splatnosti (označme Y ) vlastně vnitřní míra výnosnosti (vnitřní výnosové procento) peněžního toku ( P, C, C + F ). Výnos o splatnosti v tomto přípaě je řešením rovnice vzhleem k proměnné i. P C + i + C + F ( + i) Z toho plynoucí kvaratická rovnice má va kořeny, z nichž pouze ten větší má ekonomický smysl: Y C P + C + CP + F P P Alternativně po substituci úroková míra iskontní faktor, tj. v +i je možné získat řešení pro opovíající iskontní faktor v řešením rovnice pro neznámý iskontní faktor v: P Cv + (C + F )v. (iii) Postup výpočtu pro konkrétní numerické honoty:. iskriminant C + CP + F P omocnina z iskriminantu je tuíž 0 a výslená honota Y je Y ,