Úloha II.E... čočkování

Transkript

1 Úloha II.E... čočkování 8 boů; průměr 5,46; řešilo 65 stuentů V obálce jste spolu se zaáním ostali i vě čočky. Vaším úkolem je změřit jejich parametry ruh a ohniskovou vzálenost. Poznámka Poku nejste stávající řešitelé FYKOSu, ale máte zájem se jimi stát, pak neváhejte a objenejte si čočky až omů. A to s ostatečným přestihem, aby vám stihly ojít včas. Objenávejte na u cocky@fykos.cz. Karel vykral kateru iaktiky fyziky. Kažý řešitel obržel pro změření jinou vojici čoček, naměřené honoty tey nebuou v tomto řešení uveeným honotám opovíat. V této úloze bueme uvažovat pouze tenké čočky, tey takové čočky, jejichž tloušťka je malá oproti křivosti lámavých ploch. Navíc zanebáme vay čoček (chromatickou vau, sférické zkreslení, koma). Druhy čoček Existují va ruhy kulových čoček spojky a rozptylky. Olišit je o sebe na první pohle je jenouché, spojky jsou ve střeu tlustší než na kraji, rozptylky právě naopak. Další olišnost získáme pohleem skrz čočku na blízký přemět. V přípaě spojky bue přemět zvětšen (spojky se používají jako lupy), skrz rozptylku uviíme přemět naopak zmenšený. Třetí, na první pohle viitelný rozíl, je v orientaci obrazu. Poíváme-li se skrz spojku na vzálený přemět tak, abychom jej viěli ostře, bueme přemět viět převrácený (a zmenšený), zatímco u rozptylky bue přímý (a též zmenšený). Čočky ále iferencujeme pole jejich tvaru, viz tabulka 1. Tabulka 1: Rozělení čoček pole tvaru Spojky vojvypuklá (bikonvexní) ploskovypuklá (plankonvexní) utovypuklá (konkávkonvexní) Rozptylky vojutá (bikonkávní) ploskoutá (plankonkávní) vypukloutá (konvexkonkávní) Kromě kulových čoček existují i jiné ruhy: asférické čočky (používané třeba v objektivech fotoaparátů), Fresnelovy čočky (najeme je třeba v reflektorech, zpětných projektorech, na majácích apo.) at. Těmi se však ále nebueme zabývat. Výpočet ohniskové vzálenosti z poloměrů křivosti Poaří-li se nám změřit poloměry křivosti R 1 a R 2 obou ploch čočky (pro rovné plochy čoček je stře křivosti v nekonečnu, tey např. 1/R 1 = 0) a víme-li, z jakého materiálu je aná 1

2 čočka vyrobena (známe tey inex lomu n tohoto materiálu), můžeme ohniskovou vzálenost f (resp.optickou mohutnost D) této čočky spočítat ze vztahu D = 1 ( 1 f = (n 1) 1 ). R 2 R 1 Zjistit poloměry křivosti je možné přímo u vypuklých ploch čoček. Upevníme čočku kolmo na milimetrový papír a čočku z větší vzálenosti (kvůli omezení vlivu perspektivy) takto kolmo na milimetrový papír vyfotíme. Na fotografii určíme výšku v a élku tětivy l (viz obrázek 1) a poloměr plochy spočítáme jako r = v2 + t v t v Obr. 1: Výpočet poloměru křivosti Je zřejmé, že tuto metou můžeme použít pouze u vypuklých ploch čoček. U utých zakřivených ploch bueme muset použít složitější metou měření. Využijeme toho, že část světla se na této ploše oráží, a ta se tak chová jako uté zrcalo. Umístíme-li pře takovouto čočku přemět, vznikne na téže straně čočky skutečný (tey převrácený) obraz tohoto přemětu. Ze vzálenosti přemětu a obrazu o zrcala okážeme určit jeho ohniskovou vzálenost, a tey i poloměr křivosti. Niéně stále neznáme inex lomu materiálu, ze kterého je čočka vyrobená, tey nemůžeme určit její ohniskovou vzálenost. Tato metoa je tey vhoná spíše pro určení inexu lomu po změření ohniskové vzálenosti některou z alších meto. Teorie Bueme používat násleující znaménkovou konvenci: ohnisková vzálenost (označovaná f) spojky je klaná, rozptylky záporná, přemětová vzálenost a je vžy klaná, vzniká-li obraz na opačné straně čočky, než se nachází zobrazovaný přemět, je obrazová vzálenost a klaná, vzniká-li obraz na stejné straně čočky, na níž leží přemět, je obrazová vzálenost a záporná. Pro zobrazování tenkými čočkami platí zobrazovací rovnice 1 f = 1 a + 1 a, ke f je ohnisková vzálenost čočky, a je vzálenost přemětu o střeu čočky a a je vzálenost obrazu o střeu čočky. Při použití výše zmiňované znaménkové konvence tato rovnice platí pro zobrazování tenkou spojkou i pro zobrazování tenkou rozptylkou. Je viět, že a a a můžeme zaměnit, platí tey princip záměnnosti přemětu a jeho obrazu. Měření ohniskové vzálenosti spojky teorie Měření pomocí polohy přemětu a jeho obrazu Po upravení zobrazovací rovnice ostáváme vztah pro ohniskovou vzálenost (označení viz obrázek 2) f = aa a + a, 2

3 a a f f F S F Obr. 2: Měření polohy přemětu a jeho obrazu tey pro určení ohniskové vzálenosti potřebujeme změřit vzálenost přemětu o optického střeu čočky a vzálenost jeho obrazu o optického střeu čočky. Jako přemět můžeme použít napříkla svíčku, kterou umístíme o vzálenosti a o optického střeu čočky. Na opačné straně čočky pohybujeme se stínítkem, oku na něm neostaneme ostrý obraz svíčky. Poté změříme vzálenost a stínítka o optického střeu čočky. Pro větší přesnost je vhoné toto měření opakovat pro různé honoty vzálenosti a. Přímé měření ohniskové vzálenosti Ze zobrazovací rovnice je zřejmé, že je-li a a (paprsky joucí o přemětu jsou téměř rovnoběžné), bue platit f a. Poku jako přemět použijeme např. Slunce, paprsky se spojí přibližně přímo v ohnisku. V tomto přípaě navíc není třeba zobrazovat žáný přemět posvítíme-li kolmo o čočky rovnoběžným svazkem ostatečného průměru (např. laserovým), spojí se také v ohnisku. Besselova metoa Besselova metoa měření ohniskové vzálenosti spojky využívá principu záměnnosti chou paprsků. Zvolíme při ní pevnou vzálenost (musí platit > 4f, tey volíme ostatečně velké) přemětu a stínítka. Existují vě polohy čočky mezi přemětem a stínítkem, při nichž se na stínítku zobrazí ostrý obraz přemětu. Vzálenost s těchto poloh změříme. Všimněme si, že v tomto přípaě měříme jen změnu polohy čočky, nikoliv absolutně její polohu, čímž eliminujeme chybu určení optického střeu čočky. Zvolíme-li označení pole obrázku 3, platí a 1 = a 2 a a 1 = a 2. Dále s ohleem na znaménkovou konvenci platí oku = a 1 a 1 = a 2 a 2, s = a 1 a 2, a 1 = 1 2 ( + s), a1 = 1 ( s), 2 z čehož již můžeme spočítat ohniskovou vzálenost f = 2 s

4 stínítko a 1 a 1 a 2 a 2 s Obr. 3: Schématické znázornění Besselovy metoy Měření pomocí zvětšení Změřit ohniskovou vzálenost čočky je možné i pomocí určení jejího zvětšení. Pro zvětšení Z platí Z = a a = f a f, oku f = a 1 + Z = az 1 + Z. Zvětšení zjistíme jako poměr velikostí přemětu a obrazu, tey jako přemět zvolíme např. milimetrové měřítko a stínítko též opatříme milimetrovým měřítkem. Jestliže se n ílků stupnice na stínítku kryje s n ílky zobrazované stupnice, zvětšení určíme jako Z = n/n. Měření ohniskové vzálenosti spojky experiment Nyní k samotnému experimentu. Měřena byla ohnisková vzálenost neznámé tenké spojky poobné těm, které byly rozesílány spolu se zaáním. Pro měření byla použita Besselova metoa. Pro několik různých vzáleností přemětu (čelovky) o stínítka (zi) byly hleány takové polohy spojky, ky se na zi zobrazil ostrý obraz io čelovky. Byly změřeny vzálenosti a 1 a a 2 (označení viz obrázek 3). Jelikož nás zajímá pouze rozíl těchto vzáleností, byly měřeny o okraje čočky, čímž jsme se vyhnuli chybě při určování optického střeu čočky. Z naměřených honot pak byla určena ohnisková vzálenost měřené čočky na (28,1 ± 0,6). Měření ohniskové vzálenosti rozptylky teorie Změřit ohniskovou vzálenost rozptylky není možné pomocí vzálenosti obrazů, jelikož obraz zobrazený rozptylkou není skutečný, nelze jej tey zachytit na stínítko. Využijeme principu záměnnosti přemětu a jeho obrazu. Vytvoříme spojkou skutečný obraz, který bue sloužit jako zánlivý přemět pro zobrazení rozptylkou. Ta pak vytvoří skutečný obraz, lze jej tey zachytit na stínítku (cho paprsků viz obrázek 4). 4

5 Tabulka 2: Naměřená ata pro určení ohniskové vzálenosti spojky n a 1 a n a 1 a a r a r a s a s f s f s f r f r F s S s F r F s F s S r Obr. 4: Schématické zobrazení soustavy spojky a rozptylky Z obrázku je zřejmé, že platí a r = a s (vzálenost a r je le zmiňované znaménkové konvence záporná). Dosaíme-li o zobrazovací rovnice, ostáváme vztah pro výpočet ohniskové vzálenosti rozptylky f r = a ra r a r + a = a r( a s) r a s + a. r Máme vě možnosti, jak postupovat při měření. Můžeme změřit vzálenost a s, tey vzálenost ostrého obrazu na stínítku o spojky. Poté mezi stínítko a spojku umístíme rozptylku. Dále pohybem rozptylky (ne ve všech polohách rozptylky vzniká obraz) a stínítka nalezneme ostrý obraz a změříme vzálenosti a r (vzálenost obrazu o spojky) a (vzálenost spojky a rozptylky). Druhou možností je změřit pouze vzálenosti a r a a r. Opět je vhoné měření opakovat pro různé a s a. 5

6 Měření ohniskové vzálenosti rozptylky experiment Popisovanou metoou byla měřena ohnisková vzálenost tenké rozptylky. Jako přemět byla opět použita čelovka a hleal se ostrý obraz io. Všechny vzálenosti byly měřeny právě o io čelovky. Nejříve byla o určité vzálenosti a s vložena spojka a změřena vzálenost a s +a s. Poté byla mezi spojku a ostrý obraz vložena rozptylka o vzálenosti a s + a byla změřena vzálenost a s + + a r ostrého obrazu vytvořeného rozptylkou o přemětu. Z naměřených honot byla určena ohnisková vzálenost měřené rozptylky na ( 12,0 ± 1,1). Je viět, že chyba měření je v tomto přípaě velká, protože jsme měřili čtyři vzálenosti, což bylo v postatě zbytečné (stačilo změřit vzálenosti a r a a r), a všechny byly zaokrouhleny na centimetry. Tabulka 3: Naměřená ata pro určení ohniskové vzálenosti rozptylky n a s a s + a s a s + a s + + a r Diskuse a chyby měření Při měření ohniskové vzálenosti čočky většinou měříme vzálenosti, které při popisovaných měřeních nabývají honoty o několika centimetrů až po několik metrů. Je viět, že zvolíme-li větší vzálenosti, chyba měření bue menší. Abychom měření zpřesnili, je třeba měření opakovat pro různé počáteční pomínky (např. pro různé vzálenosti přemětu o čočky při měření ohniskové vzálenosti spojky pomocí polohy přemětu a jeho obrazu). Z kažého měření spočítáme ohniskovou vzálenost, určíme aritmetický průměr a ochylku. U některých popisovaných meto je třeba měřit vzálenosti o optického střeu čočky. Ten však nemusí být vžy jenouše přesně určitelný. U měření ohniskové vzálenosti spojné čočky tuto chybu eliminuje Besselova metoa, u níž měříme pouze změnu polohy čočky. V popisované metoě měření ohniskové vzálenosti rozptylky je však třeba polohu optického střeu ohanout. Pro přesnější měření ohniskové vzálenosti rozptylky je možné použít spojku, jejíž 6

7 ohniskovou vzálenost známe nebo jsme ji změřili přesnější metoou. Tomáš Pikálek Fyzikální koresponenční seminář je organizován stuenty MFF UK. Je zastřešen Oělením pro vnější vztahy a propagaci MFF UK a poporován Ústavem teoretické fyziky MFF UK, jeho zaměstnanci a Jenotou českých matematiků a fyziků. Toto ílo je šířeno po licencí Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unporte. Pro zobrazení kopie této licence, navštivte 7