nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
|
|
- Petr Kříž
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R dn R (2) ádem rovnice (1) nazveme ád nejvy²²í derivace u, která se vyskytuje v (1), p esn ji: na které F nezávisí konstantn. Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), D u(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (3) nazvu systémem PDR pro neznámou vektorovou funkci u : Ω R d R s, u = (u 1,..., u s ) T Zde je daná vektorová funkce. F : Ω R s R sd R sdn 1 R sdn R m (4) ádem systému (3) nazveme ád nejvy²²í derivace u, která se vyskytuje v (3). Denice. PDR (1) nazveme lineární, lze-li ji psát ve tvaru α n a α (x)d α u = f(x) x Ω (5) pro dané funkce a α (x) ( α n), f(x). Rovnici (5) nazvu homogenní, pokud f 0 v Ω, v opa ném p ípad ji íkáme nehomogenní, p ípadn "s pravou stranou". PDR (1) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru α =n a α (x)d α u + f(x, u, Du,..., D (n 1) u) = 0 (6) PDR (1) nazveme kvazilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x, u,..., D (n 1) u)d α u + f(x, u, Du,..., D (n 1) u) = 0 (7) α =n 1
2 PDR (1) nazveme ryze nelineární, je-li F v (1) nelineární funkcí (alespo ) v n které z derivací u nejvy²²ího ádu. Denice. Bu x R d, d 1, t (0, T ), T > 0 a uvaºujme kvazilineární PDR 1. ádu d t + a j (t, x, u) = f(t, x, u) x R d, t (0, T ) (8) x j j=1 kde a j, f C((0, T ) R d R) Funkci u : (0, T ) R d R nazvu klasickým e²ením rovnice (8), pokud (i) u C 1 ((0, T ) R d ) (ii) u spl uje (8) ve v²ech bodech (t, x) (0, T ) R d Rovnici (8) dopl ujeme o po áte ní podmínku tvaru u(0, x) = u 0 (x) x R d (9) kde u 0 C 1 (R d ) je daná funkce. Úloha (8)-(9) na oblasti (0, T ) R d se nazývá Cauchyova úloha pro kvazilineární rovnici 1. ádu. Funkci u : (0, T ) R d R nazvu klasickým e²ením Cauchyovy úlohy (8)-(9), pokud u je klasickým e²ením (8) a navíc spl uje (9) v následujícím smyslu: lim u(t, y) = u 0 (x) x R d (10) (t,y) (0 +,x) Denice. (8) je homogenní, tj. f 0, a ztotºníme t x 0, neboli e²íme rovnici tvaru d a j (x, u) = 0 x (0, T ) R d (11) x j j=0 K rovnici (11) p i adíme systém oby ejných diferenciálních rovnic, tzv. charakteristický systém (11), pro neznámé funkce tvaru x j = x j (s) s (α, β), j = 0, 1,..., d (12) d ds x j(s) = a j (x, u(x)) j = 0, 1,..., d (13) Kaºdé e²ení systému (12) nazvu charakteristikou rovnice (11), p esn ji: charakteristickou k ivkou x = x(s) : (α, β) (0, T ) R d p i azenou rovnici (11) a funkci u C 1 ((0, T ) R d ) Denice. Bu y 0 R m, ρ > 0. Funkci f : I m ρ (y 0 ) R nazvu reáln analytickou v I m ρ (y 0 ), pokud existují ísla f α R taková, ºe konverguje ve v²ech bodech I m ρ (y 0 ) k sou tu f(y) f α (y y 0 ) α (14) α 2
3 V ta. Cauchy-Kovalevskaya Bu te a ijr (x, u), b r (x, u) : Iρ d+s R, i = 1,..., d, j, r = 1,..., s, reáln analytické v Iρ d+s pro n jaké ρ > 0. Potom existuje 0 < ρ ρ a reáln analytické funkce u r : I d+1 ρ R r = 1,..., s (15) takové, ºe pro v²echna r = 1,..., s platí r s (t, x) = t d j=1 i=1 a ijr (x, u(t, x)) j x i (t, x) + b r (x, u(t, x)) (t, x) I d+1 ρ (16) u r (0, x) = 0 x I d ρ (17) Ve t íd reáln analytických funkcí jsou tato u r ur ena jednozna n. Denice. Nech f a g jsou RAF na I m ρ, ρ > 0 f(y) = α f α y α g(y) = α g α y α y I m ρ (18) ekneme, ºe g majorizuje f na Iρ m (p ípadn g je majorantou f, f je majorizováno g na Iρ m), pokud f α g α α multiindex (19) tedy (speciáln ), ºe D α f(0) D α g(0) α multiindex (20) Pro tuto situaci budeme pouºívat zna ení f g na I m ρ. Denice. Bu te a ijr ã ijr, b r b r na I d+s ρ, ρ > 0, i = 1,..., d, j, r = 1,..., s. Pak ekneme, ºe úloha v r s (t, x) = t d j=1 i=1 ã ijr (x, v(t, x)) v j x i (t, x) + b r (x, v(t, x)) (t, x) I d+1 ρ (21) je majorantní úloze (majorizuje úlohu) (16)-(17) v r (0, x) = 0 x I d ρ (22) Denice. M jme rovnici a α (t, x)d α v + f(t, x) = 0 v G (0, T ) R d, G oblast (23) α k a p edepi²me po áte ní podmínky na d-dimenzionální hladké regulární (nad)plo²e S G. O S p edpokládáme, ºe je orientována spojitým polem vektorových normál ν. Po áte ní podmínky na S p edepisujeme ve tvaru v(t, x) = ϕ 0 (t, x) v ν (t, x) = ϕ 1(t, x). k 1 v (t, x) = ϕ ν k 1 k 1 (t, x) (t, x) S (24) Úloze (23)-(24) íkáme zoben ná (lokální) Cauchyova úloha pro lineární rovnici k-tého ádu. 3
4 Denice. ekneme, ºe vektor ξ R d+1 je charakteristickým sm rem rovnice (23) v bod (t, x), pokud ξ 0 a p itom a α (t, x) ξ α = 0 (25) α =k Výrazu vlevo v (25) se n kdy íká symbol rovnice (23) v (t, x). Denice. Bu S plocha dimenze d v R d+1. ekneme, ºe y = (t, x) S je charakteristickým bodem plochy S vzhledem k rovnici (23), pokud normála k S v bod y je charakteristickým sm rem rovnice (23) v bod (t, x). ekneme, ºe plocha S dimenze d v R d+1 je charakteristickou plochou rovnice (23), je-li kaºdý její bod charakteristickým bodem rovnice (23). Denice. Bu Ω R neprázdná otev ená mnoºina, f C(Ω). Pak rovnici nazvu (Laplace-)Poissonovou rovnicí v Ω, a rovnici Laplaceovou rovnicí v Ω. u = f v Ω (26) u = 0 v Ω (27) Denice. Bu = Ω R d otev ená mnoºina. eknu, ºe u je harmonická na Ω, pokud u C 2 (Ω) a u = 0 v Ω. (Vektorový) prostor v²ech harmonických funkcí na Ω budeme zna it H(Ω) Denice. Funkci E(x) H(R d \{0}) tvaru E(x) = { 1 1 (d 2)κ d x d 2 d > 2 1 2π ln x = 1 2π ln 1 x d = 2 (28) nazýváme fundamentálním (elementárním) e²ením Laplaceova operátoru (p ípadn "Laplaceovy rovnice") v R d Denice. Bu Ω R d neprázdná otev ená mnoºina s hranicí Ω. Bu ϕ C( Ω), f C(Ω). ekneme, ºe u : Ω R e²í na Ω Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu-Poissonovu rovnici (s daty ϕ, f) v klasickém smyslu, pokud u C 2 (Ω) C(Ω) u = f v Ω u = ϕ na Ω (29) Denice. Integrál 1 κ d R S R (y) se nazývá Poisson v a funkci ϕ(ξ) R2 x y 2 x ξ d ds(ξ) x B R (y) (30) P y (x, ξ) := 1 R 2 x y 2 κ d R x ξ d > 0 (x, ξ) B R (y) S R (y) (31) se asto íká Poissonovo jádro. 4
5 V ta. Bu Ω omezená otev ená mnoºina v R d, bu u C 2 (Ω) C(Ω) a nech platí a ij, b j, c, f C(Ω) i, j = 1,..., d (32) a ij (x) = a ji (x) x Ω, i, j = 1,..., d Lu(x) := d i,j=1 a ij (x) 2 u(x) x i x j + d j=1 b j (x) (x) x j + c(x)u(x) x Ω (33) d a ij (x)ξ i ξ j > 0 ξ R d, ξ 0, x Ω (podmínka elipticity) i,j=1 Potom platí následující: (I) Je-li c 0 v Ω a Lu 0 v Ω, potom max u(x) = max u(x) (34) x Ω x Ω Lu 0 v Ω, potom min u(x) = min u(x) (35) x Ω x Ω Lu = 0 v Ω, potom min Ω u(x) u(x) max u(x), x Ω (36) Ω (II) Je-li c 0 v Ω a kde u + = max(u, 0), u = min(u, 0) Lu 0 v Ω, potom max u(x) max x Ω x Ω u+ (x) (37) Lu 0 v Ω, potom min u(x) min x Ω x Ω u (x) (38) Lu = 0 v Ω, potom max Ω u = max u (39) Denice. Bu Ω R d otev ená mnoºina s neprázdnou hranicí Ω. Bu ξ Ω. (A) Funkci w(x) = w ξ (x) C 2 (Ω) C(Ω) nazvu bariéra v ξ, pokud platí Ω (1) w 0 na Ω (2) w > 0 na Ω\{ξ} (3) w(ξ) = 0 (40) (B) Bod ξ Ω nazvu regulárním bodem Ω (vzhledem k Laplaceov operátoru), pokud v ξ existuje bariéra w ξ ve smyslu p edchozí denice. V ta. Bu Ω R d otev ená omezená mnoºina s neprázdnou hranicí. Potom následující dva výroky jsou ekvivalentní: (a) ϕ C( Ω) existuje u C 2 (Ω) C(Ω), u = 0 v Ω, u = ϕ na Ω (b) v²echny body ξ Ω jsou regulárními body Ω 5
6 Denice. Bu T > 0, a > 0, d 1 a nech Q T := (0, T ) R d. Bu te dále f C(Q T ), g C(R d ) dané funkce. ekneme, ºe u : Q T R e²í Cauchyovu úlohu pro RVT s pravou stranou f a po áte ní podmínkou g v klasickém smyslu, pokud (a) u C(Q T ), t, 2 u C(Q x 2 T ) j j = 1,..., d (b) t (t, x) a2 u(t, x) = f(t, x) (t, x) Q T u(0, x) = g(x) x R d (41) Denice. Bu T > 0, a > 0, d 1 a nech Q T := (0, T ) Ω, kde Ω R d je omezená otev ená mnoºina. Ozna me Γ := ({0} Ω) ( 0, T Ω) tzv. parabolickou hranici Q T (Γ = povrch "hrnce" Q T "bez pokli ky"). Bu te dále f C(Q T ), g C(Ω) dané funkce. ekneme, ºe u : Q T R e²í okrajov -po áte ní úlohu pro RVT na Q T s pravou stranou f a okrajov po áte ní podmínkou g v klasickém smyslu, pokud (a) u C(Q T ), t, 2 u C(Q x 2 T \Γ) j j = 1,..., d (b) t (t, x) a2 u(t, x) = f(t, x) (t, x) Q T u(t, x) = g(t, x) (t, x) Γ (42) Denice. Bu T > 0, c > 0, d 1 a nech Q T := (0, T ) R d. Bu te dále f C(Q T ), g 0, g 1 C(R d ) dané funkce. ekneme, ºe u : Q T R e²í Cauchyovu úlohu pro vlnovou rovnici s pravou stranou f a po áte ními podmínkami g 0, g 1 v klasickém smyslu, pokud (a) u C 2 (Q T ) (b) 1 2 u c 2 t 2 (t, x) u(t, x) = f(t, x) (t, x) Q T (43) u(0, x) = g 0 (x) x R d (44) t (0, x) = g 1(x) x R d (45) Denice. charakteristický kuºel vlnové rovnice Bu x 0 R d, 0 < r < ct. Ozna me (pro pevné c dané rovnicí (43)) Z r (x 0 ) := {(t, x) Q T, 0 < ct < r, 0 < x x 0 < r ct} (46) (otev ený) kuºel o st edu x 0, polom ru r a vý²ce r c. 6
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
Více1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
Více5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceAplikovaná matematika IV (NMAF074) LS 2011/12
Aplikovaná matematika IV (NMAF74) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) LS 211/12 21 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 1 21.1 Základní termíny 1 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický
VíceAplikovaná matematika 1
Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn
VíceZáznam o ústní zkou²ce z p edm tu 01RMF (akademický ²kolní rok 2015/2016) P íjmení a jméno Datum Hodnocení Písemka Celkové hodnocení Podpis studenta
báze v Hilbertov prostoru obory excentricity parciální diferenciální rovnice (a metoda jejich detekce pro PDR druhého ádu pro funkci dvou prom nných) fundamentální e²ení operátoru 1. ➋ Dokaºte: f( x),
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceJméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
VícePARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy Řešení rovnice je hledání neznámé, která po dosazení do této rovnice vytvoří rovnost. V případě ODR byla neznámou funkce jedné proměnné obvykle ji označujeme
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
VíceDERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)
VíceAplikovaná matematika IV (NMAF074) LS 2014/15
Aplikovaná matematika IV (NMAF74) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) LS 24/5 2 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 2. Základní termíny 2.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar 3
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceDiferenciáln. lní geometrie ploch
Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní
VíceMatematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
VíceZáludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
VíceVYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceSemestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMatematická logika cvi ení 47
Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky
VíceZkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF
Příjmení a jméno 1 2 3 4 5 CELKEM Zkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF 15/01/2016, 9:00 10:00 ➊ Je funkcionál denovaný p edpisem ze t ídy D (G), kde G = (1, + ). Vysv tlete! ( g; φ(x)) := R φ(x)
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Ústav matematiky a statistiky Brno 3. října 08 Obsah Úvod. Značení........................................ Základní definice..................................
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
VíceZměna koeficientů PDR při změně proměnných
Změna koeficientů PR při změně proměnných Oldřich Vlach oto pojednání doplňuje přednášku M. Šofera na téma Nalezení složek tenzoru napjatosti pro případ rovinné úlohy s povrchem zatíženým kontaktním tlakem
VícePříklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
VíceAplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení
Aplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení 28.4.2016 Obsah 1 Kurzové sázení Tenis Kurz jako odhad pravd podobnosti Hodnocení kvality odhadu pravd podobnosti 2 Predikce pr b hu utkání Základní
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III
ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK Matematika pro fyziky III OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Tomáš Los, Michal Pavelka, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: čtvrtek
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VícePráce s dokumentem. 1. Úvod do konstruování. 2. Statistické zpracování dat. 4. Analýza zatíºení a nap tí. Aktuální íslo revize: REV_40
Aktuální íslo revize: REV_0 Práce s dokumentem Jednotlivé opravy (revize) jsou v dokumentu Errata ozna eny popiskem REV_a íslo revize ƒíslování revizí je provedeno chronologicky asov, tak jak p icházely
Více