Golayův kód 23,12,7 -kód G 23. rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24. ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11

Transkript

1

2 Golayův kód 23,12,7 -kód G 23 rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24 kód G 23 jako propíchnutí kódu G 24 ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11 rozšířený ternární Golayův kód 12,6,6 -kód G 12 dekódování

3 Definice: 23,12,7 -kód objevený M. Golayem 1949 jediný netriviální perfektní binární kód s distancí d 5 perfektní bude vysvětleno později více možností konstrukce zvolíme ten nejjednodušší pomocí rozšířeného 24,12,8 -kódu G 24» pravidelný konvexní dvacetistěn následné propíchnutí tohoto kódu

4 konstrukce: rovinný graf dvacetistěnu ikosaedr jedno z platónských těles pravidelný konvexní mnohostěn» stěny = shodné pravidelné mnohoúhelníky» v každém vrcholu se stýká stejný počet mnohoúhelníků čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn axiomy: každý vrchol má 5 sousedů každé dva vrcholy mají 0 nebo 2 společné sousedy

5 platónská tělesa: pravidelný konvexní mnohostěn všechny plochy tvořeny shodnými pravidelnými mnohoúhelníky v každém vrcholu se setkává stejný počet rovin čtyřstěn Tetraeder» 4 vrcholy, 6 hran, 4 rovnostranné trojúhelníky šestistěn Hexaeder, Krychle» 8 vrcholů, 12 hran, 6 čtverců osmistěn Oktaeder» 6 vrcholů, 12 hran, 8 rovnostranných trojúhelníků dvanáctistěn Dodekaeder» 20 vrcholů, 30 hran, 12 pravidelných pětiúhelníků dvacetistěn Ikosaeder» 12 vrcholů, 30 hran, 20 rovnostranných trojúhelníků zdroj:

6 konstrukce: automorfismus grafu G = V, E Lemma: bijekce α: V V pro každé dva vrcholy x, y V je xy E právě když α x α y E (rotace) Nechť x, x, y, y jsou vrcholy dvacetistěnu D a platí d x, y = d x, y Potom existuje automorfismus α grafu D zobrazuje x na x a y na y. d = 1 xy E a také x y E d = 2 p V xp, py E a také p V x p, p y E d = 3 p, q V xp, pq, qy E a p q V x p, p q, q y E

7 konstrukce: automorfismus zachovává (ne)sousednost každé dva vrcholy mají 0 nebo 2 společné sousedy tři případy:» dvojice vrcholů ve vzdálenosti d = 1,2,3 d = 1 (5 vrcholů)» vrcholy tvoří hranu dvou sousedních stěn» mají vždy 2 společné sousedy d = 2 (5 vrcholů) A G D J K E I L H B F» vrcholy tvoří protilehlé vrcholy dvou sousedních stěn (spol. hrana)» mají vždy 2 společné sousedy d = 3 (1 vrchol)» mají vždy 0 společných sousedů C

8 konstrukce: A rozšířený binární Golayův kód G 24 dvacetistěn G = V, E pro každý vrchol v V vytvoříme jedna kopie v D I J G L K E H V = v je množina všech kopií B F C C v = v w ; vw E» kde C v V V lineární binární kód délka n = 24 = A,, L A,, L generovaný 12 charakteristickými vektory systému C v ; v V» kde C v = 8» např. C A = A A, F, H, I, J, K, L

9 konstrukce: 12 charakteristických vektorů systému C v ; v V» C A = A A, F, H, I, J, K, L» C B = B B, E, G, H, J, K, L» C C = C C, D, G, I, J, K, L» C D = D C, D, E, F, H, K, L» C E = E B, D, E, F, I, J, L» C F = F A, D, E, F, G, J, K» C G = G B, C, F, G, H, I, L» C H = H A, B, D, G, H, I, J» C I = I A, C, E, G, H, I, K» C J = J A, B, C, E, F, H, J» C K = K A, B, C, D, F, I, K» C L = L A, B, C, D, E, G, L B D I J A G K L F E H C

10 konstrukce: 12 charakteristických vektorů systému C v ; v V v našem konkrétním případě podle označení vrcholů G 24 =

11 vlastnosti: duální Golayův kód G 24 zvolíme dvě různá slova C v, C w G 24 liší se v souřadnicích v a w liší se v souřadnicích, které odpovídají vrcholům sousedícím s právě jedním z vrcholů v a w liší se v sudém počtu vrcholů celkem 10 nebo 6 odlišných souřadnic (nesousedů)» podle počtu společných sousedů (0 nebo 2) platí: C v, C w = C v C w = 0 C v C w je sudé každé dva generující vektory C v jsou navzájem ortogonální platí pro každá 2 kódová slova

12 Lemma: Nechť má lineární kód C (nad tělesem F) bázi, v níž jsou každé dva vektory navzájem ortogonální. Potom platí: C C. zvolíme libovolná slova c, c C vyjádříme c = α b b a c = α b b» kde α b je prvek tělesa, b je vektor báze potom c, c = b,b B α b α b b, b = 0 bilinearita skalárního součinu proto c C a tedy C C

13 závěr: Musí tedy platit: G 24 = G 24 G 24 G 24 dim G 24 = dim G 24 = 12 tj. kód G 24 je samoduální

14 Tvrzení: Nechť C je samoduální binární kód, v jehož bázi má každé slovo váhu dělitelnou 4. Pak váha každého slova je násobkem 4. pro libovolná kódová slova u, v C u + v = u + v 2 u v 4 u + v u, v» kde u je váha slova u» u v je sudé kód je samoduální u, v = u v = 0 u + v 4 u + v» tj. w u + v 4 w u + w v každé slovo z C je součtem bázových vektorů má váhu dělitelnou 4

15 Tvrzení: Distance (minimální vzdálenost) kódu G 24 je 8 tj. neobsahuje slova váhy 4 předp. slovo c V V má váhu w c = 4 c = C v v Y» kde Y = k 2,3,4 a w c = i 1,, n ; c i 0 potom c nutně obsahuje 4 k prvků z V k = 2» tj. právě 4 k vrcholů dvacetistěnu má v Y lichý počet nesousedů» tj. vrcholů, jejichž počet sousedů v Y má jinou paritu než k» prvky Y mají 0 nebo 2 společné sousedy» ani s jedním z nich pak nesousedí 2 resp. 6 vrcholů» s lichým počtem vrcholů v Y tak sousedí 10 resp. 4 vrcholy SPOR dále pro k = 3,4

16 Věta: Rozšířený Golayův kód G 24 je 24,12,8 -kód. důkaz viz předchozí tvrzení doplnit propíchnutí

17 Věta: Golayův kód G 23 je 23,12,7 -kód odstraníme z kódu G 24 libovolnou souřadnici nezávislé na výběru souřadnice důkaz - zřejmý

18 definice: rozšířený ternární Golayův 12,6,6 -kód G 12 samoduální dvanáctistěn??? např. G 12 = x x x x 1 x x 1 x x x x 1 0 každý ternární 12,6,6 -kód je ekvivalentní s G 12 ternární Golayův 11,6,5 -kód G 11 perfektní vznikne propíchnutím kódu G 12 na libovolné pozici

19