V ypoˇ cetn ı sloˇ zitost v teorii graf u Martin Doucha
|
|
- Barbora Staňková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Výpočetní složitost v teorii grafů Martin Doucha
2 Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n
3 Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n FPT algoritmus: f (k)n O(1)
4 Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n FPT algoritmus: f (k)n O(1) Základní myšlenka: najít vhodný (a dost malý) parametr k nezávislý na n, na který se přesune exponenciální složitost algoritmu.
5 Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n FPT algoritmus: f (k)n O(1) Základní myšlenka: najít vhodný (a dost malý) parametr k nezávislý na n, na který se přesune exponenciální složitost algoritmu. Bohužel to ne vždy funguje. (W[1]-těžkost a další těžké třídy parametrizované složitosti)
6 Parametrizovaná složitost Parametrem může být jakákoliv vlastnost problému nebo vstupu. Hasseovský diagram obĺıbených parametrizací pro grafové úlohy: Uspořádání v diagramu je definováno pomocí existence funkce jedné parametrizace, která shora omezuje velikost jiné parametrizace na stejné struktuře.
7 Parametrizovaná složitost Nové parametrizace pro grafové úlohy zařazené do hierarchie: Všechny výsledky u zvýrazněných parametrizací jsou nové.
8 Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik.
9 Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí
10 Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G
11 Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G V anglické literatuře označováno jako Cluster Vertex Deletion
12 Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G V anglické literatuře označováno jako Cluster Vertex Deletion Dosud zkoumáno jen jako problém, ne jako parametrizace
13 Pokrytí s neomezenými klikami Definice Pokrytí s neomezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik. Zobecnění vrcholového pokrytí Jako parametrizace nás zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G V anglické literatuře označováno jako Cluster Vertex Deletion Dosud zkoumáno jen jako problém, ne jako parametrizace Na hledání W existuje FPT algoritmus s časovou složitostí O(2 k k 6 log k + mn) pro k = W (Hüffner a kol.: Fixed-Parameter Algorithms for Cluster Vertex Deletion. Theory Comput. Syst. 47,1 (2010) pp )
14 Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů.
15 Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů. Vrcholové pokrytí je speciální případ pro c = 1
16 Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů. Vrcholové pokrytí je speciální případ pro c = 1 Jako parametrizace nás opět zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G a c (c je druhý parametr)
17 Pokrytí s omezenými klikami Definice Pokrytí s c-omezenými klikami grafu G je množina W V (G), že G \ W je disjunktní sjednocení klik, kde každá komponenta souvislosti obsahuje c vrcholů. Vrcholové pokrytí je speciální případ pro c = 1 Jako parametrizace nás opět zajímá nejmenší možná velikost W pro dané G a c (c je druhý parametr) Na hledání W existuje FPT algoritmus s časovou složitostí O((k + kc(k + c)) k+2 + m + n)
18 Hamiltonovská cesta a kružnice Definice Vstup: Graf G Otázka: Existuje cesta (kružnice), která prochází všemi vrcholy G?
19 Hamiltonovská cesta a kružnice Definice Vstup: Graf G Otázka: Existuje cesta (kružnice), která prochází všemi vrcholy G? Stromová šířka: Arnborg, Proskurowski [2] Kliková šířka: Fomin, Golovach, Lokshtanov, Saurabh [11]
20 Klasické barvení grafu Definice Vstup: Graf G, počet barev r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev?
21 Klasické barvení grafu Definice Vstup: Graf G, počet barev r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev? Twin cover: Ganian [12] Stromová šířka: Arnborg, Proskurowski [2] Kliková šířka: Fomin, Golovach, Lokshtanov, Saurabh [11]
22 Precoloring extension Definice Vstup: Graf G, počet barev r a předbarvení některých vrcholů Otázka: Lze předbarvení rozšířit na korektní obarvení celého G pomocí r barev?
23 Precoloring extension Definice Vstup: Graf G, počet barev r a předbarvení některých vrcholů Otázka: Lze předbarvení rozšířit na korektní obarvení celého G pomocí r barev? Vrcholové pokrytí: Fiala, Golovach, Kratochvíl [10] Twin cover: Ganian [12] Stromová šířka: Fellows, Fomin, Lokshtanov, Rosamond, Saurabh, Szeider, Thomassen [7]
24 Equitable coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva je použita n r -krát?
25 Equitable coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva je použita n r -krát? Vrcholové pokrytí: Fiala, Golovach, Kratochvíl [10] Twin cover: Ganian [12] Stromová šířka: Fellows, Fomin, Lokshtanov, Rosamond, Saurabh, Szeider, Thomassen [7]
26 Number coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r, předepsané počty vrcholů n 1,..., n r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva i je použita právě n i -krát?
27 Number coloring Definice Vstup: Graf G, počet barev r, předepsané počty vrcholů n 1,..., n r Otázka: Existuje korektní obarvení G pomocí r barev, že každá barva i je použita právě n i -krát? Stromová šířka: Fellows, Fomin, Lokshtanov, Rosamond, Saurabh, Szeider, Thomassen [7]
28 W[1]-těžkost Precoloring extensionu Precoloring extension parametrizovaný pokrytím s neomezenými klikami je jediná ze zkoumaných kombinací, která vyšla jako W[1]-těžká
29 W[1]-těžkost Precoloring extensionu Precoloring extension parametrizovaný pokrytím s neomezenými klikami je jediná ze zkoumaných kombinací, která vyšla jako W[1]-těžká Důkaz: převodem na List coloring
30 W[1]-těžkost Precoloring extensionu Precoloring extension parametrizovaný pokrytím s neomezenými klikami je jediná ze zkoumaných kombinací, která vyšla jako W[1]-těžká Důkaz: převodem na List coloring Definice List coloring Vstup: Graf G, přiřazení seznamů povolených barev vrcholům G Otázka: Existuje korektní obarvení G, že každý vrchol dostane některou barvu ze svého seznamu? W[1]-těžkost List coloringu parametrizovaného vrcholovým pokrytím dokázal Fellows a kol. [7], [8]
31 W[1]-těžkost Precoloring extensionu Začneme se zadáním List coloringu parametrizovaného vrcholovým pokrytím:
32 W[1]-těžkost Precoloring extensionu Seznam barev u každého vrcholu nahradíme předbarvenou klikou:
33 W[1]-těžkost Precoloring extensionu Seznam barev u každého vrcholu nahradíme předbarvenou klikou: A jsme hotovi.
34 FPT řešitelnost Equitable coloringu Základní pozorování pro parametrizaci pokrytím s neomezenými klikami: Pro W množinu vrcholů v pokrytí je G \ W disjunktní sjednocení klik. Hledání obarvení se tak redukuje na otázku, do kterých komponent dáme příslušnou barvu a do kterých ne.
35 FPT řešitelnost Equitable coloringu Základní pozorování pro parametrizaci pokrytím s neomezenými klikami: Pro W množinu vrcholů v pokrytí je G \ W disjunktní sjednocení klik. Hledání obarvení se tak redukuje na otázku, do kterých komponent dáme příslušnou barvu a do kterých ne. Když W nějak předbarvíme, na G \ W nám vzniknou seznamy povolených barev (a zkomplikují se počty, kolikrát kterou barvu použít).
36 FPT řešitelnost Equitable coloringu Základní pozorování pro parametrizaci pokrytím s neomezenými klikami: Pro W množinu vrcholů v pokrytí je G \ W disjunktní sjednocení klik. Hledání obarvení se tak redukuje na otázku, do kterých komponent dáme příslušnou barvu a do kterých ne. Když W nějak předbarvíme, na G \ W nám vzniknou seznamy povolených barev (a zkomplikují se počty, kolikrát kterou barvu použít). Řešení: párování na pomocném bipartitním grafu
37 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 1: Zajistit správné počty použití jednotlivých barev.
38 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 1: Zajistit správné počty použití jednotlivých barev. Řešení: V pomocném grafu budou speciální předbarvené vrcholy, kterých budou správné počty.
39 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 2: Zohlednit seznamy barev jednotlivých vrcholů při párování.
40 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 2: Zohlednit seznamy barev jednotlivých vrcholů při párování. Řešení: Nosné množiny barev. Definice Dvojice (X, C) je nosná množina, pokud X V (G) indukuje kliku a právě pro každou barvu i C je to co do inkluze maximální souvislá množina, kde každý vrchol má v seznamu barvu i.
41 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 2: Zohlednit seznamy barev jednotlivých vrcholů při párování. Řešení: Nosné množiny barev. Definice Dvojice (X, C) je nosná množina, pokud X V (G) indukuje kliku a právě pro každou barvu i C je to co do inkluze maximální souvislá množina, kde každý vrchol má v seznamu barvu i. Nosné množiny jsou určené jednoznačně přidělením seznamů.
42 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č.3: Počet vrcholů a počet barev v nosné množině nemusí souhlasit. Kolik tedy přidáme vrcholů do pomocného grafu?
43 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č.3: Počet vrcholů a počet barev v nosné množině nemusí souhlasit. Kolik tedy přidáme vrcholů do pomocného grafu? Řešení: Tolik, kolik je barev. A pak to případně pomocí dalších vrcholů dorovnáme na počet vrcholů v nosné množině.
44 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 4: Vyřešit průniky dvou a více nosných množin.
45 FPT řešitelnost Equitable coloringu Problém č. 4: Vyřešit průniky dvou a více nosných množin. Řešení: Další skupinky pomocných vrcholů, tentokrát příslušné jednotlivým vrcholům původního grafu.
46 FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W.
47 FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W. Řešení: hrubou silou.
48 FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W. Řešení: hrubou silou. Barvy se stejným předepsaným počtem vrcholů k obarvení jsou navzájem zaměnitelné. V případě Equitable coloringu jsou maximálně 2 třídy navzájem zaměnitelných barev musíme vyzkoušet (2k) k možností.
49 FPT řešitelnost Equitable coloringu Dobarvit G \ W tedy umíme, zbývá předbarvení W. Řešení: hrubou silou. Barvy se stejným předepsaným počtem vrcholů k obarvení jsou navzájem zaměnitelné. V případě Equitable coloringu jsou maximálně 2 třídy navzájem zaměnitelných barev musíme vyzkoušet (2k) k možností. V případě Number coloringu může být tříd zaměnitelných barev řádově až n, proto je zatím nevyřešený pro Twin cover a pokrytí s neomezenými klikami.
50 Děkuji za pozornost. doucm6am/master/
Výpočetní složitost v teorii grafů
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Martin Doucha Výpočetní složitost v teorii grafů Katedra aplikované matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jan Kratochvíl,
VíceUkážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
VíceVybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
VíceGrafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
Více1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,
VíceVLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceDefinice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
VíceALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY
Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu
Víceautorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou
VíceKostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
VíceDrsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
VíceZdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
Více5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
VíceÚvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda Zdeněk Dvořák 12. prosince 2017 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení
VíceDefinice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.
7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další
Více10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
VíceZáklady informatiky. 07 Teorie grafů. Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant
Základy informatiky 07 Teorie grafů Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant Obsah přednášky barvení mapy teorie grafů definice uzly a hrany typy grafů cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy Kolik barev je
VíceBarevnost grafů MFF UK
Barevnost grafů Z. Dvořák MFF UK Plán vztah mezi barevností a maximálním stupněm (Brooksova věta) hranová barevnost (Vizingova věta) příště: vztah mezi barevností a klikovostí, perfektní grafy Barevnost
VíceTeorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceZáklady informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceObsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
VíceHledáme efektivní řešení úloh na grafu
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 21. dubna 2015
TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 21. dubna 2015 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní
VíceSTROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy
STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou
VíceTGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
VíceVLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1
VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 Pokrytí a vzdálenost Každý graf je sjednocením svých hran (jak je to přesně?).?lze nalézt složitější struktury stejného typu, ze kterých lze nějaký graf
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 30. dubna 2013
TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 30. dubna 2013 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDalší NP-úplné problémy
Další NP-úplné problémy Známe SAT, CNF, 3CNF, k-klika... a ještě následující easy NP-úplný problém: Existence Certifikátu (CERT ) Instance: M, x, t, kde M je DTS, x je řetězec, t číslo zakódované jako
VíceÚvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceDynamické programování
Dynamické programování prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
Více07 Základní pojmy teorie grafů
07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více5 Minimální kostry, Hladový algoritmus
5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho
VíceVztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu
VíceTGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
Více10. Složitost a výkon
Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 10 1 Základy algoritmizace 10. Složitost a výkon doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Jiří
VíceVE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského
Více1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10
Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10
VíceSložitost a moderní kryptografie
Složitost a moderní kryptografie Radek Pelánek Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Složitost a moderní kryptografie
VíceRegulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceTeorie grafů. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Teorie grafů Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Opakování z minulé přednášky Co je to složitostní třída? Jaké složitostní třídy známe? Kde leží hranice mezi problémy řešitelnými
VíceAlgoritmy na ohodnoceném grafu
Algoritmy na ohodnoceném grafu Dvě základní optimalizační úlohy: Jak najít nejkratší cestu mezi dvěma vrcholy? Dijkstrův algoritmus s t Jak najít minimální kostru grafu? Jarníkův a Kruskalův algoritmus
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
VíceSTROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka
Více4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce
Více8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík)
8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) Když s geometrickými problémy pořádně nezametete, ony vám to vrátí! Ale když užzametat,takurčitěnepodkoberecamístosmetákupoužijtepřímku.vtéto přednášce nás
VíceTEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
VíceH {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
Více3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceStromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
VíceKreslení grafů na plochy Tomáš Novotný
Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný Úvod Abstrakt. V první části příspěvku si vysvětlíme základní pojmy týkající se ploch. Dále si ukážeme a procvičíme možné způsoby jejich zobrazování do roviny, abychom
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceTGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VíceMetody analýzy dat II
Metody analýzy dat II Detekce komunit MADII 2018/19 1 Zachary s club, Collaboration network in Santa Fe Institute, Lusseau s network of Bottlenose Dolphins 2 Web Pages, Overlaping communities of word associations
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceParalelní grafové algoritmy
Paralelní grafové algoritmy Značení Minimální kostra grafu Nejkratší cesta z jednoho uzlu Nejkratší cesta mezi všemi dvojicemi uzlů Použité značení Definition Bud G = (V, E) graf. Pro libovolný uzel u
Více4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
VíceMetody návrhu algoritmů, příklady. IB111 Programování a algoritmizace
Metody návrhu algoritmů, příklady IB111 Programování a algoritmizace 2011 Návrhu algoritmů vybrané metody: hladové algoritmy dynamické programování rekurze hrubá síla tato přednáška: především ilustrativní
VíceJarníkův algoritmus. Obsah. Popis
1 z 6 28/05/2015 11:44 Jarníkův algoritmus Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Jarníkův algoritmus (v zahraničí známý jako Primův algoritmus) je v teorii grafů algoritmus hledající minimální kostru ohodnoceného
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceJan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
VíceFunkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
VíceTGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
VíceTeorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceBipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 7 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011 Bipartitní graf definice Definice Graf G = (W, E) se nazývá bipartitní / bipartite,
VíceAproximativní algoritmy UIN009 Efektivní algoritmy 1
Aproximativní algoritmy. 14.4.2005 UIN009 Efektivní algoritmy 1 Jak nakládat s NP-těžkými úlohami? Speciální případy Aproximativní algoritmy Pravděpodobnostní algoritmy Exponenciální algoritmy pro data
VíceAlgoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceProblémy třídy Pa N P, převody problémů
Problémy třídy Pa N P, převody problémů Cvičení 1. Rozhodněte o příslušnosti následujících problémů do tříd Pa N P(N PCověříme později): a)jedanýgrafsouvislý? danýproblémjeztřídy P,řešíhonapř.algoritmyDFS,BFS.
VíceVýpočetní složitost algoritmů
Výpočetní složitost algoritmů Slajdy pro výuku na KS Ondřej Čepek Sylabus 1. Definice časové a prostorové složitosti algoritmů. Příklady na konkrétních algoritmech. Prostředky pro popis výpočetní složitosti
VíceGraf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.
Graf 2 0 3 1 4 5 Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd. Běžné reprezentace grafu Uzly = indexy Stupně uzlů
VíceMATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceTGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
VíceHlavolamy a teorie grafů
Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není
VíceTGH08 - Optimální kostry
TGH08 - Optimální kostry Jan Březina Technical University of Liberec 14. dubna 2015 Problém profesora Borůvky řešil elektrifikaci Moravy Jak propojit N obcí vedením s minimální celkovou délkou. Vedení
VíceZobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování
problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso
VíceStromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy
Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný
VíceZákladní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
Více8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
Více