5. Dynamické programování

Transkript

1 5. Dynamické programování BI-EP1 Efektivní programování 1 ZS 2011/2012 Ing. Martin Kačer, Ph.D Martin Kačer Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Dynamické programování Řešení problému redukcí na menší Omezení opakování výpočtu (rozdíl oproti rekurzi) Často zásadní vliv na složitost! lineární/kvadratický vs. exponenciální tj. použitelný vs. nepoužitelný Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 2

3 Příklad Fibonacciho čísla 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, F(1) = F(2) = 1 pro N>2: F(N) = F(N-2) + F(N-1) Rekurzivní řešení se nabízí Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 3

4 Fibonacciho čísla rekurze F(1) = F(2) = 1 pro N>2: F(N) = F(N-2) + F(N-1) int fib(int n) { if (n <= 2) return 1; return fib(n-2) + fib(n-1); } Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 4

5 Strom rekurzivního volání fib(6) fib(4) fib(5) fib(2) fib(3) fib(3) fib(4) fib(1) fib(2) fib(1) fib(2) fib(2) fib(3) fib(1) fib(2) Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 5

6 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 6

7 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 7

8 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 8

9 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 9

10 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 10

11 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 11

12 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 12

13 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 13

14 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 14

15 Jak zamezit opakování? Pamatovat si, co už bylo spočítáno Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 15

16 Fibonacciho čísla kód int fib(int n) { if (result[n] > 0) return result[n]; if (n <= 2) return result[n] = 1; return result[n] = fib(n-2) + fib(n-1); } Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 16

17 Přístup shora Kód velmi podobný rekurzi Pamatujeme si již spočítané Nulování pole Test, zda existuje hodnota Lze použít asociativní tabulku (Map) Často nejjednodušší na představu Může být neefektivní Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 17

18 Přístup zdola Z menších instancí generujeme větší Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 18

19 Přístup zdola Z menších instanci generujeme větší Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 19

20 Přístup zdola Z menších instanci generujeme větší Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 20

21 Přístup zdola Z menších instanci generujeme větší Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 21

22 Přístup zdola Z menších instanci generujeme větší Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 22

23 Fibonacciho čísla kód II int fib(int n) { result[1] = result[2] = 1; for (int i = 3; i <= n; ++i) result[i] = result[i-1] + result[i-2]; return result[n]; } Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 23

24 Snížení spotřeby paměti Postupně zapomínáme, co není potřeba Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 24

25 Snížení spotřeby paměti Postupně zapomínáme, co není potřeba Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 25

26 Snížení spotřeby paměti Postupně zapomínáme, co není potřeba Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 26

27 Snížení spotřeby paměti Postupně zapomínáme, co není potřeba Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 27

28 Snížení spotřeby paměti Postupně zapomínáme, co není potřeba Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 28

29 Snížení spotřeby paměti Postupně zapomínáme, co není potřeba Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 29

30 Fibonacciho čísla kód III int fib(int n) { int res = 1, prev = 1; for (int i = 3; i <= n; ++i) { int nxt = res + prev; prev = res; res = nxt; } return res; } Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 30

31 Obecné schéma D.P. Vždy přítomno: Řešení problému pomocí menší instance Pamatování výsledků Obvykle jde: Postup zdola, tj. od nejmenších instancí Odstranění rekurze Často navíc: Zapomínání => menší spotřeba paměti Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 31

32 Kde jsme již viděli D.P.? Vybraná neklesající posloupnost Přidávání čísel po jednom Tj. řešení odvodím z řešení menší instance (o číslo kratší posloupnost) O(n. log n) Triangle: Maximální trojúhelníková oblast Z menších trojúhelníků skládám větší O(n) Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 32

33 Společná podposloupnost Najděte nejdelší společnou podposloupnost (i nesouvislou) řetězců a b r a k a d a b r a b a r u n k a Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 33

34 Společná podposloupnost Najděte nejdelší společnou podposloupnost (i nesouvislou) řetězců a b r a k a d a b ra b a r unka Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 34

35 Společná podposloupnost Ono to ale vůbec nemusí být jednoduché Například: a b r a k a d a b r a a b r a k a d a b r a d o b r y k r a m a b r a k Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 35

36 Společná podposloupnost Ono to ale vůbec nemusí být jednoduché Například: a b r a k a d a b r a a b r a k a d a b r a d o b r y k r a m a b r a k Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 36

37 Rekurzivní řešení Pomohlo by, kdybychom uměli řešení pro jakékoli kratší řetězce? Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 37

38 Rekurzivní řešení Pomohlo by, kdybychom uměli řešení pro jakékoli kratší řetězce? xxxxxxxxxxxx A xxxxxxxxxxxxxxx A Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 38

39 Rekurzivní řešení Pomohlo by, kdybychom uměli řešení pro jakékoli kratší řetězce? xxxxxxxxxxxx B xxxxxxxxxxxxxxx C Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 39

40 Podposloupnost rekurzivně char[] s1, s2; int commonlen (int m1, int m2) { if (m1 == 0 m2 == 0) return 0; if (s1[m1-1] == s2[m2-1]) return 1 + commonlen(m1-1, m2-1); return Math.max( commonlen(m1, m2-1), commonlen(m1-1, m2)); } Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 40

41 Podposloupnost dynamicky m m1 a b r a k a d a b r a 0 1 d 2 o 3 b 4 r 5 y 6 k 7 r 8 a 9 m Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 41

42 Podposloupnost dynamicky m m1 a b r a k a d a b r a 0 1 d 2 o 3 b 4 r 5 y 6 k 7 r 8 a 9 m +1 Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 42

43 Podposloupnost dynamicky m m1 a b r a k a d a b r a 0 1 d 2 o 3 b 4 r 5 y 6 k 7 r 8 a 9 m max Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 43

44 Podposloupnost dynamicky int best[][] = new int[len1+1][len2+1]; int commonlen (char[] s1, char[] s2) { for (int i = 0; i <= len1; ++i) best[i][0] = 0; for (int i = 0; i <= len2; ++i) best[0][i] = 0; for (int i = 1; i <= len1; ++i) for (int j = 1; j <= len2; ++j) best[i][j] = (s1[i-1] == s2[j-1])? 1 + best[i-1][j-1] } : Math.max(best[i-1][j], best[i][j-1]); return best[len1][len2]; Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 44

45 Hry obecně Tahové hry často vedou na rekurzi Vysoká operační složitost int getbestresult(state s, Player move) { if (isgameover(s)) return endresult(s); for (State m : getallmoves(s)) { int x = reverseresult( getbestresult(m, other(move))); if (x > best) best = x; } return best; Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 45

46 Hry obecně Tahové hry často vedou na rekurzi Vysoká operační složitost Pokud se stavy spojují, lze použít dynamické programování Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 46

47 Typické příklady D.P. Posloupnosti Rozdělování Vyhledávání Porovnávání Kombinování prvků Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 47

48 Jak poznat D.P. obecně? Rozložení na menší (pod)problém(y) Optimální podstruktura (Bellmanův princip optimality) Část optimálního řešení je opět optimální Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 48

49 Dyn. programování souhrn Problémy s rekurzivní povahou Optimální podstruktura Princip podobný jako u rekurze Pamatujeme si výsledky Zásadní rozdíl v časové složitosti!!! Martin Kačer, BI-EP1, ZS Dynamické programování 49