PROSLULÉ ÚLOHY STAROVKU

Transkript

1 PROSLULÉ ÚLOHY STAROVKU Pavel Leischner, Kvadratura kruhu: K danému kruhu sestrojit tverec téhož obsahu. Trisekce úhlu: Rozdlit daný úhel na ti stejn velké úhly. Zdvojení krychle: K dané krychli sestrojit krychli s dvojnásobným objemem. Konstrukce musí být euklidovské: Pravítko bez rysek a kružítko, kterým nemžeme penášet vzdálenosti

2 Blízký Východ v 1. polovin 2. tisíciletí p. n. l stol. p. n. l. Milét, Athény, Korint, Tarent, Kroton První filozofové - kupci Kupec: nezávislý intelektuál s dostatkem volného asu Jónská pírodní filozofie Thales z Milétu - 2 -

3 Využíval podobnost trojúhelník k mení vzdálenosti lodí a výšek pyramid Toto tvrzení v nkterých zemích nazývají Thaletova vta. U nás termín Thaletova vta oznauje jeho jiné tvrzení: Obvodové úhly nad prmrem kružnice jsou pravé. Píbuzné tvrzení: Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má sted ve stedu pepony

4 Pythagoras (6. stol. p.n.l.) a pythagorejci Omezíme se jen na jejich poznatky o íslech. Pirozená ísla: 1, 2, 3, 4,... Mystika ísel Záporná ísla neznali. íslo 1 základ všech dalších ísel, božská podstata Sudá ísla ženská, lichá mužská. 4 spravedlnost, nebo 4 = = = jsoucno a dokonalost Matematika a hudba: Zákony harmonie - tóny které k sob ladí vznikají na stejných a stejn napjatých strunách, když jsou délky strun v pomru malých celých ísel. Oktáva 1:2, kvinta 2:3, kvarta 3:4 íselné vztahy objevovali i v geometrii: Skládání kaménk do obrazc vedlo ke vztahm mezi pirozenými ísly. Tato metoda se nazývá pséfofórie. (Drobné kaménky = pséfós.) Figurální n-úhelníková ísla byla urována potem kaménk, které se dají poskládat do tvaru n-úhelníka

5 T 2 = 1+ 2 = 3, T 3 = = 6, T 3 = = 10 Obecn: Tn = n 2 T = n( n + 1) n n = n( n + 1) 2-5 -

6 - 6 -

7 Zlomky si pythagorejci pedstavovali jako pomry pirozených ísel (proporce). Pomocí nich vyjadovali i vztahy mezi délkami úseek. Délka každé úseky se dala zmit a byla vyjádena zlomkem nebo pirozeným íslem. Každé dv úseky byly soumitelné - mly spolenou míru. Nesoumitelnost úhlopíky a strany tverce. (Metoda nekoneného sestupu.) Nesoumitelnost úhlopíky a strany pravidelného ptiúhelníka. u a = a u a, odtud u ( u a) = a a. Jsou-li délky vyjádeny pomocí nejvtší spolené míry, mohou nastat jen ti situace: - 7 -

8 a) a je sudé, u liché, b) a, u jsou lichá, c) a je liché, u sudé. Všechny vedou ke sporu s poslední rovnicí. (Metoda zvaná provrka parity.) Objev nesoumitelnosti vyvolal údiv a zdšení. Nesoumitelnost úseek objevil Hippasos (5. stol. p. n. l.). Pravdpodobn dokázal, že úhlopíka tverce je nesoumitelná s jeho stranou. Podle povsti byl za prozrazení objevu utopen v moi. Poznámka V dnešní dob užíváme tzv. reálná ísla a zapisujeme je nej- astji desetinným zápisem. Celá ísla nemají za desetinnou árkou žádné (nenulové) cifry. Racionální ísla jsou soumitelná s celými ísly. Taková, jež lze zapsat ve tvaru zlomku, jehož itatel i jmenovatel jsou ísla celá. Desetinný zápis racionálního ísla má za desetinnou árkou bu konený poet nenulových cifer, nebo se cifry za desetinnou árkou periodicky opakují. Píklady racionálních ísel: 41; 75, = 75,325; ; -2,352; 0,18532; 53 Iracionální ísla jsou nesoumitelná s celými ísly. Tedy ta, která se dají zapsat ve tvaru zlomku, jehož itatel i jmenovatel jsou ísla celá. Desetinný zápis iracionálního ísla má za desetinnou árkou nekonen mnoho nenulových cifer a cifry se za desetinnou árkou periodicky neopakují

9 Píklady iracionálních ísel: 17; 15, ; 3 7 ; π = 3,1415 ; ; 1. krize matematiky. Jak pesn seíst napíklad 3 + 2? Neumíme to dodnes, protože íslo 2 = 1, je iracionální (nesoumitelné s íslem 3). Má v dekadickém zápisu za desetinnou árkou nekonen mnoho nenulových cifer a neznáme pravidlo, které by je všechny urilo. Konstrukcí lze odmocniny "pesn" sestrojovat. Theodoros z Kyrény Snaha vyešit tyto problémy: ecká geometrická algebra. ekové zaali pohrdat aritmetikou a výpoty pevádli na geometrické konstrukce. Rozlišovali veliiny tí ád: délky, obsahy a objemy. Princip homogenity: sítat, odítat a porovnávat mžeme jen veliiny téhož ádu. Napíklad rovnice ax = b nemá smysl - nelze srovnávat obsah s délkou. Smysl však mají rovnice cx = ab, ax = b, x = ab, x + ax = b - 9 -

10 Sítání obsah je obdobou sítání úseek, pokud jde o obsahy dvou pravoúhelník, které se shodují ve stran délky c: Sítání obsah mnohoúhelník také neinilo problémy. Každý mnohoúhelník lze totiž rozezat na trojúhelníky:

11 Každý trojúhelník mžeme pemnit na pravoúhelník o stejném obsahu: A ke každému pravoúhelníku dovedli ekové sestrojit pravoúhelník se stejným obsahem a stranou délky c. Využívali toho, že barevné pravoúhelníky sestrojené podle obrázku mají pro každý bod C úhlopíky EG stejný obsah. Pravoúhelník ABCD pevádli na pravoúhelník se stejným obsahem a s jednou stranou délky c takto: 1. Na polopímku opanou k polopímce umístili bod E tak, aby BE = c

12 2. Doplnili na trojúhelník AEG podle obrázku. 3. Doplnili na pravoúhelník AEFG 4. Prodloužením stran DC a BC dokonili konstrukci hledaného pravoúhelníka. Jak sítat obsahy kruh? Tak vznikl problém kvadratury kruhu

13 První známé a slibné pokusy o kvadraturu kruhu: Hippokrates z Chiu (5. stol p.n.l.) (Neplést s lékaem Hippokratem z Kósu - 5. až 4. stol p.n.l.) Zjistil, že souet obsah mode vybarvených msík je roven obsahu trojúhelníka ABC. Zdálo se, že je kvadratura kruhu tém vyešena. Kvadratura kruhu je ekvivalentní sestrojení úseky o velikosti π. Nelze pesn sestrojit. Rozdlit úseku AB na n shodných díl není problém. Úhel umíme rozplit, ale rozdlit jej na ti shodné úhly je eukleidovsky neproveditelné. Pesto ji dodnes nkteí lidé - "tetii" provádjí. Nevdí, že již ekové nalezli nkolik pesných ešení

14 Trisekce metodou vkládání (5. stol. p. n. l.) (Podobnou, ale jednodušší konstrukci podal Archimedes.) Hippiova kvadratrix Hippias z Elidy (5. stol. p. n. l.) Dinostrates (4. stol. p. n. l.) ji využil kvadratrix k trisekci

15 Tomahavk Zdvojení krychle - Délský problém Délos je ostrov. Msto Delfy se nachází na pevnin. V Delfách byla proslulá vštírna, jejíž trosky jsou na obrázku

16 x = 2a x = a Hippokrates z Chiu: a x y = = = x y b k 3 a a 1 = =, x 2a 2 a 3 3 x = 3 = 3 k = k k k = = a a x y a x x y b b 1, 2 když zvolíme b 2 a, x = 2 a. 3 3 = máme

17 Archytas z Tarentu (5. stol. až 4. stol. p. n. l.) Platónv kižák

18 Menaichmos (též Menaechmus) (4. stol. p. n. l. - byl Dinostratv bratr) objev kuželoseek a x y a x x y = = : =, =, x y 2a x y y 2a a x = y 2a f : x = ay, g : y = 2 ax, h : yx = 2a Menaichmos byl první, kdo zavedl kuželoseky a popsal je jako ezy kuželové plochy s rovinou