Letem geometrickým světem

Transkript

1 Letem geometrickým světem David Hruška Abstrakt. Přednáška shrnuje většinu základních témat a přístupů ke geometrii napříč historií matematiky. Ke každému tématu je k dispozici několik úloh. Řecká geometrie Antické Řecko bylo místem a časem vzniku a mohutného rozvoje geometrie. Řekové samozřejmě zvládali i (kupecké) počítání s čísly, ale jednak ani ty jim nešly tolik jako jiným civilizacím (např. poziční číselnou soustavu a nulu poprvé zavedli Indové, kořeny algebry je třeba hledat v Perské říši) a jednak měli několik dobrých důvodů pro její přednostní zkoumání: (i) od Egypťanů okoukali úlohy spojené s měřením obsahů rovinných útvarů a měření výšky (pyramid pomocí délky jejich stínu apod.), (ii) zjistili, že jsou délky, které nelze vyjádřit číslem (tedy zlomkem), (iii) s geometrickými objekty se jim dobře pracovalo, protože je viděli všude kolem sebe, (iv) zjistili, že geometrie je cool. Významní geometři: (i) Tháles z Milétu ( př. n. l.) Thaletova věta, měření výšky pyramidy, (ii) Pythagoras ze Samu (cca př. n. l.) Pythagorova věta, Pythagorejská škola, iracionální čísla, pythagorejské ladění, (iii) Eukleidés (cca př. n. l.) Základy, Eukleidovy věty, (iv) Archimédes ze Syrakus ( př. n. l.) výpočty obsahů a objemů, pojem těžiště. Dokažte Thaletovu, Pythagorovu a Eukleidovu větu. Sestrojte libovolnou druhou odmocninu (jakožto délku). 1

2 LETEM GEOMETRICKÝM SVĚTEM Konstrukční úlohy Ty asi znáte ze školy. Zkusme se podívat na nějaké (snad) zajímavější. Samozřejmě se obejdeme bez rozboru, konstrukčního předpisu a podobných neřádů. (Rozcvička) Je dána kružnice k a přímka p. Sestroj kružnici l o daném poloměru tak, aby se obou dotýkala. V rovině je dána kružnice k a uvnitř ní bod P. Zkonstruuj tětivu kružnice k procházející bodem P takovou, aby se rozdíl délek, na které P tětivu rozdělí, rovnal předem dané hodnotě d. Sestroj trojúhelník ABC, znáš-li t a, t b a t c. Nabízí se otázka, zda každé tři nezávislé parametry dovolují sestrojit jim příslušný trojúhelník. Odpověď zní NE, například z parametrů a, b, ϱ(poloměr vepsané kružnice) to nejde. Pak jsou tu slavné pravítkem a kružítkem neřešitelné úlohy o zdvojení krychle a trisekci úhlu. Planimetrie a geometrie trojúhelníka Syntetická (protějšek té analytické, viz níže) geometrie v rovině je zdrojem nepřeberného množství úloh a tvrzení. Z nějakého důvodu se v ní děje ohromná spousta náhod a platí toho tam opravdu hodně. Uvedeme si dva základní nástroje: Tvrzení. (O obvodovém a středovém úhlu) Mějme kružnici se středem S, její tětivu AB a libovolný bod M na větším oblouku AB. Úhel ASB nazýváme středovým a úhel AMB obvodovým k příslušné tětivě AB. Platí, že ASB = 2 AMB. Tvrzení. Čtyřúhelník je tětivový právě tehdy, pokud je součet jeho protějších vnitřních úhlů roven 180. Definice. Je dán bod M a kružnice k se středem O a poloměrem r. Mocností bodu M ke kružnici k rozumíme číslo p(m, k) = MO 2 r 2. Tvrzení. Nechť M je bod a k(o; r) kružnice. (i) Číslo p(m, k) je nulové právě tehdy, když bod M leží na kružnici k. Číslo p(m, k) je kladné/záporné právě tehdy, když M leží vně/uvnitř kružnice k. (ii) Buď N další bod. Je-li p(m, k) = p(n, k), pak MO = NO. (iii) Pokud M leží vně k, označme T ten bod kružnice k, pro který je přímka MT ke kružnici k tečnou. Pak platí p(m, k) = MT 2. (iv) Nechť přímka p vedená bodem M protne k v bodech A, B. Pak MA MB = p(m, k), kde úsečky MA, MB nahlížíme jako orientované. 2

3 DAVID HRUŠKA Čtyřúhelník ABCD je tětivový a má kolmé úhlopříčky. Označme po řadě p, q kolmice z bodů D, C na přímku AB. Dále označme X průsečík přímek AC a p, obdobně Y průsečík přímek BD a q. Dokažte, že XY CD je kosočtverec. Dokažte, že společná tětiva dvou kružnic půlí jejich společnou tečnu. Jak daleko od zdi si mám stoupnout, abych co nejlépe viděl nápis vysoký a ve výšce h nad zemí? Geometrická zobrazení Kapitolou zasluhující pozornost jsou geometrická zobrazení. Nebudeme se zdržovat s definicemi, ale každé z těch nejznámějších zobrazení použijeme v úloze. Karkulka jde z domova k babičce a chce se po cestě vykoupat v (přímé) řece. Kudy má jít, aby to bylo co nejrychlejší? Je dán ostroúhlý trojúhelník. Nalezněte bod v rovině s nejmenším součtem vzdáleností k jeho vrcholům. Dva hráči kladou postupně na kulatý stůl kulaté podtácky (menší než stůl), které se nesmí překrývat. Který z hráčů má vyhrávající strategii? Kružnice k, l mají vnitřní dotyk v bodě T. Tětiva AB kružnice k se dotýká kružnice l v bodě U. Dokažte, že přímka UT je osa úhlu AT B. Hádanka (Protože úlohy jsou moc těžké) Jak matematik nahání lva do ohrádky? A co dál? Jak už jsme řekli, podobných úloh existují tisíce a sofistikovaných syntetických postupů na jejich řešení alespoň desítky. Samostatným tématem je pak tzv. geometrie trojúhelníka, která se zabývá studiem význačných bodů (tzv. středů) trojúhelníka (těžiště, ortocentrum, opsište, vepsiště, připsiště, Gergonnův bod, Nagelův bod, Fermatův bod,... ). Letošní seriál MKS 1 se problematikou zabývá důkladněji. Obsahy a objemy Rozymslete si, proč funguje vzorec na obsah trojúhelníka, lichoběžníka, kruhu, čtyřúhelníka a objem jehlanu, kuželu a koule. Dokažte, že ze všechn čtyřúhelníků s danými délkami stran má největší obsah tětivový čtyřúhelník. Poznámka. Traduje se, že Archimédes odvodil vzorec pro objem koule tak, že si všiml, že když ponoří kouli o poloměru r do válce o podstavě o poloměru r a výškou 2r plného vody, vyteče z něj 2 3 objemu

4 LETEM GEOMETRICKÝM SVĚTEM Stereometrie Ve škole se z této oblasti zpravidla probírají jen řezy a nějaké početní úlohy. Je toho ale mnohem víc... Lze meloun rozdělit na dvě části tak, aby po snězení jeho vnitřku zbyly tři kusy slupky? Obdélníkový stůl má nohy délek postupně 90 cm, 95 cm, 105 cm. Jak dlouhou má čtvrtou nohu, víme-li, že se neviklá? Jsou dány dvě brambory libovolného tvaru a velikosti. Dokažte, že lze vytvarovat drát tak, aby se dal těsně přiložit ke kterékoliv z nich. Mravenec leze po povrchu krychle z jednoho vrcholu do toho protilehlého. Najděte mu nejkratší cestu. Lze do krychle vyvrtat takovou díru, aby skrz ni bylo možno prostrčit druhou stejně velkou krychli? Existuje mnohostěn P a bod O mimo něj tak, že z bodu O není vidět žádný vrchol P? Kombinatorická geometrie Kombinatorická geometrie se nezajímá o délky a úhly, ale spíš o počty průsečíků, vztah počtu hran a stěn mnohostěnu apod. Dalo by se říct, že se ptá na otázky, ve kterých figurují (když už nějaká) přirozená místo reáných čísel. Je to opět velmi rozsáhlá oblast, která se studuje třeba i na KAM MFF UK. Tvrzení. (Pickova formule) Nechť M je mnohoúhelník s vrcholy v mřížových bodech. Označme e počet mřížových bodů ležících na jeho hranici a i počet mřížových bodů ležících uvnitř M. Potom pro obsah M platí S = i + e 2 1. Věta. (Helly) Pokud se protínají každé tři (n + 1) z konečně mnoha konvexních podmnožin roviny (R n ), protínají se už všechny. Každé tři z deseti much na stole jdou zabít jednou ranou konvexní plácačkou. Dokažte, že jdou zaplácnout všechny najednou. celá? vrcholů. Existuje mnohoúhelník a bod v něm, ze kterého není vidět žádná strana Dokažte, že každý konvexní mnohostěn má dvě stěny se stejným počtem 4

5 DAVID HRUŠKA Na ledové ploše trénuje hokejista. Má tři puky a pokaždé jeden z nich odpálí tak, že proletí mezi zbylými dvěma. Může hokejista odpalem vrátit puky do původní pozice? Analytická a diferenciální geometrie Na počátku 17. století přišel René Descartes ( ) s myšlenkou popisu geometrických objektů jakožto bodů (n-tic reálných čísel) splňujících nějaký algebraický vztah. V této reprezantaci je kruh se středem v počátku a poloměrem r množina K = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 r 2}, jeho hraniční kružnice je podobně dána rovnicí x 2 + y 2 = r 2, jedna z přímek ve směru vektoru (a, b) je dána rovnicí bx + ay = 0 atd. Tomuto přístupu se říká analytická geometrie. Stejně jako je možné do řeči množin a rovnic přeložit zadání problémů, lze je samozřejmě používat i v řešení. Pokud to zkusíme s nějakou hezkou (podobnou výše uvedeným) úlohou, budeme zklamaní techničností řešení, která většinou zcela zastíní geometrickou podstatu problémů. To je samozřejmě pravda a v tomto ohledu je syntetická geometrie nenahraditelná. Na druhou stranu výhodou analytického přístupu je jeho systematičnost a možnost nemuset si nic představovat, což třeba počítače velmi ocení. Dále je velmi přínosná vzniklá souvislost (lineární) algebry a geometrie. Matematici ale zašli dál a nespokojili se s rovnými nebo velmi pravidelnými objekty, jako jsou přímky, roviny a kružnice. Analyticky (parametricky, pomocí rovnic) lze popisovat i křivé objekty křivky a plochy. Například (parametrizovanou) křivkou v prostoru myslíme funkci φ : [a, b] R 3. Pomocí dodatečných vlastností (spojitost, hladkost) funkce φ můžeme ovlivnit geometrické vlastnosti výsledné křivky. A co je potom (parametrizovaná) plocha? Je to zobrazení Φ : G R 3, kde G je podmnožina R 2. Plocha má tedy oproti křivce jeden stupeň volnosti navíc. Abychom dostali opravdu to, čemu bychom rádi říkali hladká plocha, musíme na Φ přidat další podmínky. Konkrétně jsou to existence parciálních derivací a jejih nezávislost. Pro (hladké) křivky se pak definuje délka, křivost, torze, tečný a normálový vektor nebo plocha ohraničená křivkou (pro uzavřenou křivku). S těmito pojmy jsme pak schopní například vyslovit a dokázat tvrzení, že z křivek dané délky ohraničuje největší plochu kružnice. U ploch je to samozřejmě ještě složitější, dá se například měřit křivost v daném směru. Na hladké ploše v daném bodě pak platí, že směry, ve kterých je tato křivost největší a nejmenší, jsou na sebe kolmé. Celková (Gaussova) křivost se pak definuje jako součin těch dvou extremálních. 5

6 LETEM GEOMETRICKÝM SVĚTEM To, co jsem se právě pokusil nastínit tvoří základ tzv. diferenciální geometrie. Je vidět, že s ní můžeme již modelovat všechny tvary, které se vyskytují ve světě kolem nás. Cenou za to je technická i myšlenková náročnost této teorie. Ta se dá velmi zobecňovat, například zkoumáním ploch, které nejdou vnořit do R 3 bez protínání sebe sama. Příkladem je známá Kleinova láhev. Nalezněte množinu v prostoru, která má s každou rovinou konečný nenulový počet společných bodů. Vyvraťe důkazy toho, že π = 4 a 2 = 2. 6