O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY"

Zdeňka Štěpánka Matoušková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché konstrukce, které již znáš a které budeš v následujících kapitolách o množinách bod asto užívat. Nejprve si sám pokus narýsovat následující jednoduchá cviení: 1. Narýsuj si pímku, která prochází dvma rznými zadanými body A, B 2. Sestroj si kružnici o stedu S a polomru 4 cm 3. Bodem X, který neleží na pímce p, sestroj rovnobžku q s pímkou p 4. Bodem X, který neleží na pímce p, ve k pímce p kolmici k, prseík obou pímek si ozna P 5. Sestroj si úseku AB o velikosti 5,5 cm a pomocí kružítka sestroj její sted S 6. Na libovolné kružnici se stedem S si zvol bod T a ve tímto bodem tenu k dané kružnici (vzpome si, že tena t procházející bodem T je kolmá s polomru ST) 7. Je dána kružnice k a pímka p. Sestroj všechny teny kružnice k, kterou jsou s pímkou p rovnobžné (dv ešení) Urit si tyto velmi jednoduché úlohy bez problém zvládl. Budeme v opakování dále pokraovat. Nyní Ti však již každý píklad doplním o obrázek nebo komentá: 8. Sestroj použitím kružítka osu úseky AB, jejíž délka je 6 cm Urit víš, že osa úseky AB prochází jejím stedem S a je kolmá na úseku AB. Urit také víš, že vzdálenost krajních bod A, B od stedu S jsou 3 cm (polovina délky úseky). Postup pi rýsování osy by slovn vypadal asi takto: 1. Nejprve si narýsuješ úseku AB 2. Poté si vezmeš do kružítka libovolnou vzdálenost, která je vtší než polovina délky úseky (3 cm) a sestrojíš kružnice o tomto polomru mající stedy v bodech A, B 3. Kružnice se protnou ve dvou bodech X, Y 4. Tmito body vedeš pímku o tato pímka je osou úseky AB

Narýsuj si pímku, která prochází dvma rznými zadanými body A, B 2. Sestroj si kružnici o stedu S a polomru 4 cm 3. Bodem X, který neleží na pímce p, sestroj rovnobžku q s pímkou p 4.

2 9. Sestroj použitím kružítka osu libovolného úhlu AVB, kde V je vrchol úhlu a polopímky VA, VB jsou jeho ramena Opt urit víš, že osa úhlu je polopímka VX ležící uvnit úhlu AVB, která dlí úhel AVB na dva úhly o stejné velikosti. Opt Ti uvedu slovní postup pi konstrukci osy úhlu: 1. Narýsuj si libovolný úhel AVB 2. Kružítkem si tento úhel vyzna (ást kružnice se stedem V a libovolným polomrem mezi obma rameny). Prnik kružnice s rameny si ozna Y, Z 3. Nyní si vezmi do kružítka libovolnou vzdálenost vtší než v pedchozím bod a udlej dv stejné kružnice se stedy v bodech Y, Z 4. Tyto kružnice se Ti uvnit úhlu AVB v bod X 5. Polopímka VX je hledanou osou úhlu AVB ov si, že vzdálenosti bodu X od obou ramen jsou stejné a že tento poznatek platí pro každý bod osy

Kružítkem si tento úhel vyzna (ást kružnice se stedem V a libovolným polomrem mezi obma rameny). Prnik kružnice s rameny si ozna Y, Z 3.

3 10. Narýsuj si libovolný trojúhelník ABC a postupn v nm vyzna: a) stední píky b) tžnice trojúhelníku, tžišt c) výšky trojúhelníku d) kružnici opsanou trojúhelníku e) kružnice vepsanou trojúhelníku a) Stední píka trojúhelníku je úseka, která vždy spojuje stedy dvou stran trojúhelníku a je rovnobžná se tetí stranou. Délka stední píky je rovna polovin délky té strany trojúhelníku, se kterou je stední píka rovnobžná viz obr.) Poznámka na obrázku jsou pro vtší pochopení uvedeny i rozmry stran a stedních píek, ty mžeš mít jiné rozmry.

stran trojúhelníku a je rovnobžná se tetí stranou.

4 b) Tžnice trojúhelníku je úseka spojující vrchol trojúhelníku se stedem jeho protjší strany. Všechny ti tžnice se protínají v jednom bod, který se nazývá tžišt trojúhelníku a znaí se písmenem T.

5 c) Výšky trojúhelníku jsou kolmé (nejkratší) úseky spojující vrchol trojúhelníku s jeho protjší stranou. Výškou trojúhelníku oznaujeme jak úseku, tak její délku. V každém trojúhelníku lze sestrojit ti výšky, které se protínají v jednom bod, který se nazývá prseík výšek V. d) Sted O kružnice opsané získáme jako prseík os jednotlivých stran trojúhelníku, polomr r kružnice opsané je roven vzdálenosti stedu O od libovolného vrcholu trojúhelníku.

V každém trojúhelníku lze sestrojit ti výšky, které se protínají v jednom bod, který se nazývá prseík výšek V.

6 OA = OB = OC = r polomr kružnice opsané k (O ; r) je kružnice opsaná trojúhelníku ABC e) Sted O kružnice vepsané získáme jako prseík os vnitních úhl trojúhelníku ABC, polomr kružnice vepsané je roven vzdálenosti stedu S od jakékoliv strany trojúhelníku (vzdálenost sestrojíme tak, že z bodu S vedeme k libovolné stran kolmici).

ABC, polomr kružnice vepsané je roven vzdálenosti stedu S od jakékoliv strany

7 SX = SY = SZ polomr kružnice vepsané k (S ; SX) je kružnice vepsaná trojúhelníku ABC Opakování - Jednoduché konstrukce trojúhelníku 11. (Konstrukce sss): Sestrojte trojúhelník ABC s délkami stran: AB = c = 8 cm AC = b = 7 cm BC = a = 6 cm a) Rozbor: zkoumám, zda jsou splnny trojúhelníkové nerovnosti, staí mi prozkoumat pouze barevn oznaenou (Pro?) 1. podmínky: > > > 7 Trojúhelníkové nerovnosti jsou splnny, trojúhelník lze sestrojit. 2. nárt: b) Postup konstrukce: C k m

(Konstrukce sss): Sestrojte trojúhelník ABC s délkami stran: AB = c = 8 cm AC = b = 7 cm BC = a = 6 cm a) Rozbor: zkoumám,

8 1. AB ; AB = 8 cm 2. k ; k (A ; r = 7 cm) 3. m ; m (B ; r = 6 cm) 4. C k m 5. ABC c) Vlastní konstrukce: d) Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin. 12. (Konstrukce sus): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 8 cm AC = b = 6 cm = 60 Nárt a Rozbor: 60 < 180º - trojúhelník lze sestrojit podmínka

9 C k AX Postup konstrukce: Vlastní konstrukce: 1. AB ; AB = 8 cm 2. BAX ; BAX = = k ; k (A ; r = 6 cm) 4. C k AX 5. ABC

10 d) Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin. Poznámka (dležitá): Velmi asto se vyskytuje chyba v bod 4 pi postupu konstrukce (C k AX), kdy studenti píší, že bod C získají jako prnik úhlu a kružnice, nikoliv jako prnik polopímky a kružnice. Podívej se na obrázek a uvidíš, pro je tento zápis nesprávný a nepravdivý. Na obrázku jsem vyznail modrou barvou celý úhel. Podívej se na bod Z. Ten urit nespluje zadání úlohy (ekni pro), ale leží v prniku úhlu a kružnice.

získají jako prnik úhlu a kružnice, nikoliv jako prnik polopímky a kružnice.

11 13. (Konstrukce usu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 9 cm = 80 = 40 Nárt a rozbor: < 180º - podmínka (trojúhelník lze sestrojit) C AX BY Postup konstrukce: 1. AB ; AB = 9 cm 2. BAX ; BAX = = ABY ; ABY = = C AX BY 5. ABC Vlastní konstrukce:

(trojúhelník lze sestrojit) C AX BY Postup konstrukce: 1.

12 Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin. 14. (Konstrukce Ssu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 9 cm AC = b = 6 cm = 70 Nárt a rozbor: 70 < 180º - Podmínka (trojúhelník lze sestrojit) Poznámka: Na tomto typu konstrukce uvidíš, že pedchozí podmínka není jedinou podmínkou. Zatím ji zámrn neuvádím, sám na ni pijdeš.

70 Nárt a rozbor: 70 < 180º - Podmínka (trojúhelník lze sestrojit) Poznámka: Na tomto

13 C k AX Postup konstrukce: 1. AC ; AC = 6 cm 2. ACX ; ACX = k; k (A, r = 9 cm) 4. B AX k 5. ABC Vlastní konstrukce:

14 Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin. Poznámka: Nyní si spolen zkusíme prozkoumat již zmínnou druhou podmínku. Necháme si stejné zadání, jen velikost strany c bude nejprve 6 cm (tedy stejná jako velikost menší strany b), posléze pak napíklad 5 cm (tedy menší než velikost strany b). Oba pípady si zkus pouze narýsovat. Poté se pokus vyslovit podmínku. Na obrázku máš znázornnu situaci, kdy je velikost strany c = 6 cm.

Necháme si stejné zadání, jen velikost strany c bude nejprve 6 cm (tedy stejná jako velikost menší strany b),

15 Všimni si, že polopímka AX a kružnice k se neprotínají, a tedy nemohu sestrojit hledaný bod B a tedy ani trojúhelník ABC. Stejn dopadneš i v pípad, kdy délka strany c bude 5 cm. Už tušíš druhou podmínku? Shr si pedchozí pípady: b > c..trojúhelník lze sestrojit jedno ešení b = c..trojúhelník nelze sestrojit b < c..trojúhelník nelze sestrojit Podmínka: Strana naproti úhlu musí být vždy vtší, než strana k úhlu pilehlá, pak lze trojúhelník vždy sestrojit a hovoíme o konstrukci Ssu. 15. (Opt konstrukce Ssu): Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 4 cm b = 5 cm = 45 Nárt a Rozbor: 45 < 180º - první podmínka je splnna. Druhá podmínka není nyní splnna (strana pilehlá k úhlu je nyní vtší než strana naproti úhlu, nejedná se tedy o konstrukci Ssu). Už jsme se setkali s tímto pípadem a zjistili jsme, že daný trojúhelník nelze sestrojit. Zkusme se tedy podívat, zda to samé platí i pro tento pípad:. Postup konstrukce: C k AX

.trojúhelník nelze sestrojit Podmínka: Strana naproti úhlu musí být vždy vtší, než strana k úhlu pilehlá, pak lze trojúhelník vždy sestrojit a hovoíme o konstrukci Ssu. 15.

16 1. AC ; AC = 5 cm 2. CAX ; CAX = k; k (C, r = 4 cm) 4. B AX k 5. ABC Vlastní konstrukce: Závr:Trojúhelník vyhovuje zadání, 2 ešení v dané polorovin (trojúhelníky ABC, AB 1 C). Shrnutí: 1. Jedná-li se o konstrukci Ssu, musí platit podmínka, podle které je strana ležící naproti zadanému úhlu vždy vtší než strana k úhlu pilehlá. Daná konstrukní úloha pak má jedno ešení v dané polorovin. 2. Pokud není podmínka splnna, nejedná se o konstrukci Ssu, ale i tak úlohu ešíme. Pitom úloha mže mít v dané polorovin dv nebo žádné ešení.

Jedná-li se o konstrukci Ssu, musí platit podmínka, podle které je strana ležící naproti zadanému úhlu vždy vtší než strana k úhlu

Podobné dokumenty

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn