PROSLULÉ GEOMETRICKÉ PROBLÉMY

Transkript

1 PROSLULÉ GEOMETRICKÉ PROBLÉMY STAROVĚKU Kvadratura kruhu Nalezení strany čtverce, který má stejný obsah jako daný kruh Zdvojení krychle (délský problém) Nalezení hrany krychle, jejíž objem je roven dvojnásobku objemu dané krychle Trisekce úhlu Rozdělení daného úhlu na tři stejné části Někdy se k těmto úlohám ještě přidávají Rektifikace kružnice Nalezení úsečky, jejíž délka je rovna obvodu dané kružnice Konstrukce pravidelných n-úhelníků

2 Všechny tyto úlohy měly být řešeny s využitím pravítka a kružítka konečným počtem konstrukcí přímek a kružnic. Jejich praktický význam je nulový, ale 2500 let podněcovaly vývoj matematického myšlení. Až v 19. století bylo ukázáno, že tyto úlohy jsou neřešitelné, a byla odvozena nutná a postačující podmínka pro možnost konstrukce pravidelných n-úhelníků. Legenda: Na ostrově Délos vypukla epidemie moru. Obyvatelé vypravili poselstvo do delfské věštírny s důležitým posláním: zjistit, jakým způsobem si naklonit bohy, aby mor pominul. Pýthie odpověděla, že je třeba zdvojit oltář boha Apollóna, který měl tvar krychle a byl ze zlata. Byla tedy odlita druhá zlatá krychle, stejně velká a postavená na krychli první. Mor však trval. Poselstvo se opět vydalo do delfské věštírny. Dozvěděli se, že je třeba zachovat navíc tvar oltáře. Tuto úlohu na ostrově Délos řešit neuměli. Obrátili se s prosbou o pomoc na Platóna. Ten jim však pravil: Bohové se na vás hněvají, nebot se málo věnujete geometrii.

3 Operování s geometrickými veličinami Původní pythagorejský svět čísel: bylo možno bez problémů sčítat, odčítat, násobit, dělit. Po objevu nesouměřitelnosti veličin a zavedení geometrické algebry se veličinami se staly délky, obsahy a objemy; vyžadován byl princip homogenity. Veličiny reprezentovaly úsečky, čtverce a krychle, určené jedinou délkovou veličinou. Všechny úsečky, čtverce a krychle jsou podobné; plochu je možno pokrýt čtverci, prostor vyplnit krychlemi. Délky Není problém úsečky sčítat, odečítat, násobit přirozeným číslem, dělit na n stejných částí. Abychom mohli podobným způsobem pracovat s křivými čarami, je nutno je rektifikovat.

4 Obsahy Není problém narýsovat čtverec, který má dvakrát větší obsah než čtverec původní. Pomocí Pythagorovy věty dokážeme sestrojit součet a rozdíl nestejných čtverců. Dokážeme sestrojit čtverec, který má stejný obsah jako zadaný obdélník. Není těžké ani převést trojúhelník na čtverec stejného obsahu a tak provést kvadraturu i libovolného mnohoúhelníka. Zůstává otázka, jak to provést s útvary ohraničenými křivými čarami. Objemy Zde se objevuje problém již u zdvojení krychle. Úhly Umíme sčítat, odečítat a sestrojit n-násobek daného úhlu. Úhel umíme rozpůlit, ale problém se objeví již při rozdělení na tři části.

5 Eukleides (365? 300?) Základy (Stoicheia) planimetrie stereometrie aritmetika teorie čísel geometrická algebra Opírají se o starší díla (Hippokrates z Chiu, Leon, Theodosios z Magnesie, Eudoxos, Aristotelovy zásady logiky) uspořádání do jednotného celku, jednotná metoda výkladu Výklad: definice, axiomy, postuláty, věty

6 Obsah Kniha Obsah Rozsah Původ 1 Rovinná geometrie 48 vět Iónské období 2 Elementární geometrická algebra 14 vět a 3 O kruhu 37 vět Pythagorejci 4 Mnohoúhelníky opsané či vepsané kružnici 16 vět st. př. Kr. 5 Rozšíření veličin o proporce 24 vět Eudoxos 6 Užití 5. knihy na rovinnou geometrii 33 vět pol. 4. st. př. Kr. 7 Teorie čísel. Dělitelnost, prvočísla 39 vět Pythagorejci 8 Teorie čísel. Figurální čísla, posloupnosti 27 vět Pythagorejci 9 Teorie čísel. Učení o sudém a lichém 36 vět Pythagorejci 10 Kvadratické iracionality 117 vět Theaitetos 1. pol. 4. st. př. Kr. 11 Elementární stereometrie 39 vět Iónské období, Pythagorejci 12 Exhaustivní metoda, počítání objemů 18 vět Eudoxos (jehlan, kužel, koule) 13 Pravidelné mnohostěny 19 vět Thaitetos

7 Definice příklady: D1 Bod je to, co nemá dílu. D2 Čára pak délka bez šířky. D4 Přímá je čára, která svými body se táhne rovně. D5 Plocha je to, co jen délku a šířku má. D23 Rovnoběžky jsou přímky, které prodlouženy jsouce na obě strany do nekonečna, nikde se nesbíhají. Axiomy příklady: A1 Veličiny témuž rovné rovné jsou. A2 Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky rovny jsou. A6 A co se navzájem kryje, navzájem rovno jest. A7 A celek je větší než díl.

8 Postuláty konstrukce pravítkem a kružítkem P1 Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku P2 A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti P3 A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh P4 A že všecky pravé úhly sobě rovny jsou P5 Když přímka protínající dvě přímky tvoří na téže straně vnitřní (přilehlé) úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých

9 Eukleidovy základy se staly vzorem budování axiomatické teorie, kde se z axiomů deduktivním způsobem odvozují další geometrické poznatky a věty, celá tzv. eukleidovská geometrie. Během více než 2 tisíciletí se matematikové pokoušeli dokázat pátý postulát z ostatních; tyto snahy byly ukončeny v 19. století objevem neeukleidovské geometrie.

10 EUKLEIDES (365? 300?)

11 Budování geometrického světa korespondence s principy řecké filozofie 6. stol. př. Kr. Základní stavební kámen = bod Z jednoho bodu nelze nic vytvořit. Dva body již určují přímku. Ze dvou bodů je však již možno vytvořit kružnici. Máme-li v rovině dány body A, B, C, D,... můžeme další body dostat jako průsečík dvou již určených přímek, průsečík dvou kružnic, průsečík kružnice a přímky. Těchto kroků můžeme udělat jen konečně mnoho. Požadavky na tyto konstrukce nemají v praxi žádný význam. Stačí nám většinou jen přibližné konstrukce a kromě toho nám nezáleží na tom, jakými prostředky je dostaneme. Pravítkem a kružítkem přitom při eukleidovských konstrukcích rozumíme ideální nástroje. To co provádíme na papíře pravítkem a kružítkem je vlastně modelem ideálního světa absolutně přesných geometrických objektů.

12 Neklasická řešení klasických úloh Eukleidovské konstrukce vedoucí k řešení proslulých úloh se nedařilo nalézt. Byly proto hledány i jiné postupy. Ukážeme si zde dvě konstrukce, které není možno provést pomocí pravítka a kružítka, ale jsou řešením problému kvadratury kruhu a trisekce úhlu. Otázka kvadratury kruhu (a také rektifikace kružnice) byla definitivně vyřešena v roce 1882, kdy německý matematik Lindemann ( ) ukázal, že číslo π je transcendentní, tzn. že není kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty. Neřešitelnost problémů zdvojení krychle a trisekce úhlů byla dokázána již v roce 1837 francouzským matematikem Wantzelem ( ).

13 Hippokratetés z Chiu (2. pol. 5. stol. př. n. l.) jónský filozof a matematik, který učil v Aténách Napsal nedochované dílo Základy, které se stalo vzorem výkladu prvních čtyř knih Eukleidových Základů Z jeho díla se dochoval pouze fragment, který pojednává o tzv. měsíčkách Nesmíme zaměňovat Hippokrata z Chiu se stejnojmenným lékařem, který žil ve zhruba stejné době. Hippokratés tvrdil: poměr obsahů dvou kruhů je roven poměru obsahů čtverců sestrojených nad jejich průměry; poměr obsahů dvou podobných kruhových úsečí je roven poměru obsahů čtverců sestrojených nad tětivami, kterými jsou tyto úseče určeny.

14 Z těchto zjištění například odvodil, že pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC platí: obsah měsíčku AFCD je roven obsahu trojúhelníka ADC. Důkaz: obsah půlkruhu nad průměrem AB je dvakrát větší než obsah půlkruhu nad průměrem AC. Pak tedy obsah čtvrtkruhu ADCF je roven obsahu půlkruhu na průměrem AC. Odečteme-li od obou útvarů společnou část úseč ACFA, dostaneme uvedené tvrzení. Hippokratovy výsledky dávaly naději, že možno provést kvadraturu kruhu. Bohužel i kvadraturu měsíčků je možno zvládnout jen v několika případech.

15 Obsah měsíčku vytvořeného kružnicí k, která je opsána rovnoramennému lichoběžníku ABCD, jehož strany mají délky 1, 1, 1, 3, a kružnicí l, ze které strana AB vytíná úseč podobnou třem úsečím kružnice k s tětivami AD, DC, CB, je roven obsahu uvažovaného lichoběžníka ABCD. Důkaz: Obsah velké úseče je roven trojnásobku obsahu malé úseče (nad stranou délky 1). Uvažovaný měsíček vznikne, když k lichoběžníku přidáme 3 malé úseče a odebereme jednu úseč velkou. Obsah lichoběžníka je tedy roven obsahu vzniklého měsíčku.

16 Obsah měsíčku vytvořeného kružnicí k, která je opsána nekonvexnímu osově souměrnému pětiúhelníku ABCDE, jehož strany mají délky 2, 2, 2, 3, 3, a kružnicí l, na které strany AB a BC vytínají úseče podobné třem úsečím kružnice k s tětivami AE, ED a DC, je roven obsahu uvažovaného pětiúhelníka AB- CDE. Důkaz: Obsah dvou větších úsečí nad AB, BC je roven obsahu tří menších. Uvažovaný měsíček vznikne, když k pětiúhelníku ABCDE přidáme tři menší úseče a odebereme dvě větší.

17 Hippias z Elidy (5. stol. př. Kr.) filozof, matematik, astronom připisuje se mu objev křivky, pomocí které je možno provést trisekci úhlů: úsečka AB se rovnoměrně posouvá do polohy SC a současně se úsečka SA rovnoměrně otáčí do polohy SC. Oba pohyby současně začnou a současně skončí.

18 Pravítkem a kružítkem lze sestrojit jen některé body Hippiovy křivky těmi je pak třeba proložit křivku pomocí vhodného křivítka (nejedná se o eukleidovskou konstrukci) Analytické vyjádření Položme SA = 1, označme α úhel ASX. α : π 2 = (1 x) : 1, tj. α = π 2 (1 x). y = x tan α = x tan( π πx πx ) = x cot Transcendentní křivka, nekonečně mnoho větví. Dnes umíme: SD = lim x 0 x cot πx 2 = 2 π. K tomuto výsledku dospěl elementárním způsobem Dinostratos Hippiovu křivku křivku lze tedy použít i k řešení problému kvadratury či rektifikace G. W. Leibniz ( ): název kvadratrix

19 Archytas z Tarentu (428? 365 př. Kr.) Pythagorejský filozof a matematik, státník, vojevůdce Přítel Platona, učitel Eudoxa Výsledky týkající se poměrů a úměr, formulování zákonů harmonie, vynález kladky a šroubu Hledal metodu vložení dvou veličin x, y mezi dvě dané veličiny a, b tak, aby platila rovnost a : x = x : y = y : b Ekvivalence s nalezením vhodného pravoúhlého trojúhelníka:

20

21

22 Menaechmos (4. stol. př. Kr.) Podobnost ASX, XSY, YSB První výskyt kuželoseček a : x = x : y = y : b

23

24 Mechanický nástroj (Platon)

25 Trisekce úhlu Máme provést trisekci úhlu BAC. Sestrojíme úsečku CE tak, aby trojúhelník AFE byl rovnoramenný. Snadno ukážeme, že úhel CAB je roven trojnásobku úhlu FEA. Bohužel sestrojit trojúhelník AFE pomocí pravítka a kružítka nedokážeme.

26 Metoda vkládání (5 4. stol. př. Kr.)

27 Nikomedes (2. stol. n. l.) Trisekce úhlu pomocí konchoidy:

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39 Platonská akademie Akademie byla založena Platonem kolem roku 377 př. n. l. v období úpadku Atén, které byly vyčerpány válkami a ohroženy výboji Filipa Makedonského. Existovala až do roku 529, kdy byla zrušena císařem Justiniánem. Platón nebyl matematikem, ale zdůrazňoval význam matematického vzdělání a v jeho díle najdeme několik matematických míst, které se týkaly teorie čísel a stereometrie. Ve svém díle Tímaios připsal atomům čtyř základních živlů tvar prvních čtyř pravidelných mnohostěnů. Čtyřstěn ohni, dvacetistěn vodě, osmistěn vzduchu a krychli zemi. Tvar pátého pravidelného tělesa dvanáctistěnu přisoudil vesmírnému celku.

40 Platonská tělesa

41 Aristoteles Aristoteles se sice bezprostředně matematickou tematikou nezabýval, ale jeho filozofické dílo má pro historii matematiky velký význam. Vyložil základní principy deduktivního systému, objasnil podstatu axiomů, postulátů, definic, hypotéz a důkazů. Jeho dílo umožnilo rozvinout řeckou matematiku na úrovni, kterou známe z Eukleidových Základů. Velkou pozornost věnoval pojmu nekonečno. Zatímco ve fyzice připouštěl jen nekonečno potenciální, v matematice uvažoval i nekonečno aktuální. V roce 344 př. n. l. založil v Aténách školu lyceum.