KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Transkript

1 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 2 Komplexní čísla Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Komplexní čísla 3 Obsah Komplexní čísla... 5 Základní vlastnosti komplexních čísel... 5 Základní vlastnosti komplexních čísel... 7 Varianta A... 7 Základní vlastnosti komplexních čísel... 8 Varianta B... 8 Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta C Geometrické znázornění komplexních čísel Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta A Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta B Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta C Goniometrický tvar komplexního čísla Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta A Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta B Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta C Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta A Rovnice v oboru komplexních čísel... 32

4 4 Komplexní čísla Varianta B Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta C... 34

5 Komplexní čísla 5 Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel Připomeňme základní vlastnosti reálných čísel: Součet a součin každých dvou reálných čísel je reálné číslo. Sčítání a násobení reálných čísel je komutativní: pro všechna platí: a. Sčítání a násobení reálných čísel je asociativní: pro všechna platí: ( ) ( ) a ( ) ( ) Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání: pro všechna platí: ( ) Ke každému reálnému číslu existuje jediné reálné číslo tak, že platí. Ke každému nenulovému reálnému číslu existuje jediné reálné číslo tak, že platí. Je-li součin dvou reálných čísel roven nule, je rovno nule alespoň jedno z nich. V oboru reálných čísel kvadratická rovnice se záporným diskriminantem nemá řešení. Pokud rozšíříme obor reálných čísel na obor komplexních čísel ( ), můžeme najít všechny kořeny algebraické rovnice jakéhokoli stupně. Zavedení komplexních čísel množinu komplexních čísel získáme z množiny reálných čísel tak, že k ní přidáme číslo, pro které platí. Komplexní číslo je číslo ve tvaru, kde je imaginární jednotka, pro kterou platí. Číslo se nazývá reálná část komplexního čísla, číslo se nazývá imaginární část komplexního čísla. Tento zápis komplexního čísla nazýváme algebraický tvar komplexního čísla. Je-li, pak takové komplexní číslo nazýváme ryze imaginární číslo Je-li, pak jde o reálné číslo

6 6 Komplexní čísla Operace s komplexními čísly mějme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru. Pro součet platí: ( ) ( ) Pro rozdíl platí: ( ) ( ) Pro součin platí: ( ) Vydělit komplexní čísla znamená vynásobit číslo číslem převráceným k číslu. Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, rovnají-li se jejich reálné části ( rovnají jejich imaginární části ( ). ) a současně se Číslo komplexně sdružené k číslu je číslo a platí. Platí: ( ) Pro mocniny imaginární jednotky platí: Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla se značí a je definována vztahem Obecně: Platí: Komplexní jednotka je komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je 1. V množině komplexních čísel nelze zavést operaci uspořádání.

7 Komplexní čísla 7 Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta A Vypočítejte Rozšíříme zlomek (vynásobíme čitatele i jmenovatele výrazem) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: 23-2i 2.) Vypočítejte: 3.) Vypočítejte: 4.) Vypočítejte: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

8 8 Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta B Vypočítejte: Upravíme jednotlivé zlomky v čitateli i jmenovateli rozšířením zlomků Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: ( ) 2.) Vypočítejte:

9 Komplexní čísla 9 3.) Vypočítejte: 4.) Vypočítejte: ( ) ( )

10 10 Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta C Vypočítejte: Nejprve upravíme oba zlomky v čitateli Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: ( )( ) 2.) Vypočítejte:

11 Komplexní čísla 11 3.) Vypočítejte: 4.) Vypočítejte: ( ) ( )

12 12 Komplexní čísla Geometrické znázornění komplexních čísel Rovina komplexních čísel neboli Gaussova rovina je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexních čísel. Číslu přiřazujeme bod [ ]. Gaussova rovina je tvořena kartézskou soustavou souřadnic, na jejíž ose jsou zobrazena reálná čísla (to znamená čísla ). Tato osa se nazývá reálná osa. Na ose jsou zobrazena čísla ryze imaginární (to znamená čísla ). Tato osa se nazývá imaginární osa. Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustavy souřadnic. Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině. Komplexní čísla jako vektory Komplexní čísla lze v Gaussově rovině znázornit i jako vektory. Libovolnému komplexnímu číslu přiřadíme vektor, kde je počátek a obraz komplexního čísla. Komplexní čísla tedy můžeme graficky sčítat a násobit reálným číslem tak, že je zobrazíme v Gaussově rovině jako vektory, s nimiž pak jako s vektory pracujeme. Součin a podíl komplexních čísel v Gaussově rovině znázorníme pomocí geometrických zobrazení otočení a stejnolehlosti což si ukážeme na příkladě.

13 Komplexní čísla 13 Mějme komplexní čísla. Graficky znázorněme součin a podíl. Součin Sestrojíme v Gaussově rovině obrazy obou komplexních čísel. Nyní pomocí stejnolehlosti najdeme obraz komplexního čísla. Pak otočíme obraz tohoto čísla o argument čísla. Podíl Převedeme podíl na součin a postupujeme podle předcházející úlohy.

14 14 Komplexní čísla Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta A Nakreslete obrazy komplexních čísel a) b). Potom graficky určete Varianta A Varianta B Varianta C

15 Komplexní čísla 15 Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete obrazy komplexních čísel. Potom graficky určete. 2.) Nakreslete obrazy komplexních čísel. Potom graficky určete.

16 16 Komplexní čísla 3.) Nakreslete obrazy komplexních čísel. Potom graficky určete. 4.) Nakreslete obraz komplexního čísla. Potom graficky určete.

17 Komplexní čísla 17 Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta B Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí Nerovnici upravíme na tvar ( ) Hledáme tedy všechna komplexní čísla, jejichž obrazy v Gaussově rovině mají od obrazu komplexního čísla vzdálenost větší než 4. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: vnější oblast kruhu o poloměru 4 a středu o souřadnicích [ ]

18 18 Komplexní čísla Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí kružnice, střed [ ], poloměr 3 2.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí kružnice, střed [ ], poloměr 1 3.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí kružnice, střed [ ], poloměr 2 4.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí kruh, střed [ ], poloměr 3

19 Komplexní čísla 19 Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta C Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí výpočet v editoru rovnic Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: mezikruží, ( ) ( ) [ ]

20 20 Komplexní čísla Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí osa úsečky s krajními body [ ] [ ] 2.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí polorovina, hraniční přímkou je osa úsečky s krajními body [ ] [ ] 3.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí průnik poloroviny, jejíž hraniční přímkou je osa úsečky s krajními body [ ] [ ], a kruhu bez hraniční kružnice se středem [ ] a poloměrem 4 4.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí mezikruží kružnic a, ([ ] ) ([ ] ) bez hraničních kružnic

21 Komplexní čísla 21 Goniometrický tvar komplexního čísla Goniometrický tvar komplexního čísla je jeho zápis ve tvaru ( ). Číslo je argument komplexního čísla je jeho absolutní hodnota. V Gaussově rovině můžeme znázornit komplexní číslo na základě znalosti jeho algebraického tvaru nebo pomocí jeho vzdálenosti od počátku Gaussovy roviny a velikosti orientovaného úhlu (argumentu), jehož počáteční rameno je kladná reálná poloosa a koncové rameno polopřímka. Pro převod algebraického tvaru komplexního čísla na tvar goniometrický platí: Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru Komplexní čísla v goniometrickém tvaru lze velmi snadno násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat. Sčítat a odčítat je výhodnější v algebraickém tvaru. Součin: [ ( ) ( )] Větu o násobení lze rozšířit pro libovolný počet činitelů.

22 22 Komplexní čísla Podíl: [ ( ) ( )] Umocnění pro : [ ( )] ( ) Speciálním případem je Moivreova věta platná pro komplexní jednotky: ( ) Odmocnění: Nechť ( ) je libovolné nenulové komplexní číslo a je přirozené číslo. Pak existuje právě různých hodnot komplexní -té odmocniny čísla. Jsou jimi komplexní čísla vyjádřená v goniometrickém tvaru vzorcem [ ( ) ( )] Všechny -té odmocniny čísla mají stejnou absolutní hodnotu, ale liší se o celistvé násobky čísla. Proto pro jejich obrazy v Gaussově rovině platí, že leží ve vrcholech pravidelného -úhelníku, který je vepsaný do kružnice se středem v počátku Gaussovy roviny a o poloměru.

23 Komplexní čísla 23 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta A Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo Převedeme číslo na algebraický tvar Nyní budeme převádět na tvar goniometrický. Hledaný tvar komplexního čísla tedy je ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) Příklady k procvičení: 1.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo ( ) 2.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo ( )

24 24 Komplexní čísla 3.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo ( ) 4.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo ( )

25 Komplexní čísla 25 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta B Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru Rozšíříme zlomek výrazem Nyní toto komplexní číslo převedeme na goniometrický tvar Hledaný goniometrický tvar zadaného komplexního čísla je ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) Příklady k procvičení: 1.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru ( ) 2.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru ( )

26 26 Komplexní čísla 3.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru ( ) 4.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru ( )

27 Komplexní čísla 27 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta C a) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru ( ) b) Vypočítejte všechny druhé komplexní odmocniny z čísla. a) převedeme komplexní číslo v závorce na goniometrický tvar ( ) a použijeme Moivreovu větu ( ) ( ) ( ) ( ) b) Číslo nejprve převedeme na goniometrický tvar Číslo leží v Gaussově rovině na ose v bodě o souřadnicích [ ], proto bez dlouhého počítání víme, že argument. ( ) Nyní hledáme všechny druhé odmocniny komplexního čísla ( ) Použijeme vzorec [ ( ) ( )] Takže [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( )

28 28 Komplexní čísla Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) ; b) Příklady k procvičení: 1.) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru ( ) 2.) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru ( ) 3.) Vypočítejte všechny páté komplexní odmocniny z čísla. ( ) { } 4.) Vypočítejte součet všech třetích komplexních odmocnin z čísla.

29 Komplexní čísla 29 Rovnice v oboru komplexních čísel Binomická rovnice Binomická rovnice je rovnice ve tvaru, kde je komplexní číslo, je neznámá z oboru a je přirozený exponent. Kořeny binomické rovnice získáme jako -té odmocniny komplexního čísla. Binomická rovnice ( ) má v oboru komplexních čísel právě různých kořenů: ( ) Kvadratické rovnice s reálnými kořeny a záporným diskriminantem tato rovnice má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny, a to komplexně sdružená imaginární čísla: Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty tato rovnice má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny pro diskriminant čísla, a to ( ) kde je argument jejího diskriminantu, a pouze jeden kořen pro.

30 30 Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta A Řešte rovnice a) b) c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) a) upravíme pravou stranu rovnice a budeme porovnávat (dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud mají stejnou reálnou a stejnou imaginární část) Odtud plyne ( ) Z první rovnice plyne ( ) Úloha má tedy dvě řešení b) roznásobíme členy c) do rovnice dosadíme ( ) ( )

31 Komplexní čísla 31 Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud se rovnají jejich reálné části i jejich imaginární části. Proto platí Řešení rovnice tedy je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) b), c) Příklady k procvičení: 1.) Určete reálná čísla tak, aby platilo 2.) Řešte rovnici s neznámou ( ) 3.) Řešte rovnici s neznámou ( ) ( ) 4.) Řešte rovnici s neznámou ( )

32 32 Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta B Řešte kvadratickou rovnici s neznámou ( ) Roznásobíme levou stranu a převedeme všechny členy rovnice doleva ( ) ( ) Vyřešíme nejprve odmocninu Rovnici umocníme a dále budeme řešit porovnáváním dvou komplexních čísel Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud mají stejnou reálnou část a stejnou imaginární část. Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do rovnice první ( ) Zavedeme substituci a dostaneme rovnici

33 Komplexní čísla 33 Protože, přichází v úvahu pouze řešení. Dopočítáme tedy. Dosadíme tedy do vzorce pro výpočet kořenů ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 2.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou ( ) 3.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 4.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou ( )

34 34 Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta C Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. ( ) Vyjádříme z rovnice Hledáme tedy všechny čtvrté komplexní odmocniny z čísla. Převedeme toto komplexní číslo na goniometrický tvar Čtvrté komplexní odmocniny z tohoto čísla jsou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ( ) ( )] { }

35 Komplexní čísla 35 Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. [ ( ) ( )] { } 2.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. ( ) { } 3.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. [ ( ) ( )] { } 4.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. ( ) [ ( ) ( )] { }