3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

Transkript

1 Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém se vsktují konstnt, které nemění svou hodnotu které jsou vjádřen čísl, dále proměnné operce sečítání, odčítání, násoení, dělení, umocňování odmocňování prováděné s konstntmi proměnnými. Proměnnou rozumíme znk, který oznčuje liovolné číslo z určité množin, kterou nzýváme oor proměnné neo definiční oor výrzu. Pokud není oor proměnné výslovně určen, povžujeme z oor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrzu dosdit, niž ztrtí smsl některá z uvedených opercí (nedochází npř. k dělení nulou, odmocňování záporného čísl v reálném výrzu pod.). Říkáme, že pro hodnot z definičního ooru má výrz smsl. Dosdíme-li z proměnné do výrzu liovolná čísl, pro která má dný výrz smsl, provedeme všechn předepsné operce, dostneme jko výsledek číslo hodnotu výrzu.. Mnohočlen Mnohočlen jsou zvláštním přípdem výrzů. Mnohočlen (polnom) proměnné je výrz tvru n n... 0; 0, n n n n -tého stupně jedné k kde n; n ;...; ; 0 jsou konstnt (koeficient) mnohočlenu, je proměnná. Výrz ; k k 0,;..; n jsou člen mnohočlenu. Mnohočlen. stupně nzýváme lineární, mnohočlen. stupně kvdrtický (popř. kvdrtický trojčlen), mnohočlen. stupně pk kuický. Pojem mnohočlenu lze zoecnit n přípd více proměnných, kde místo mocnin n jedné proměnné vstupují součin mocnin několik proměnných. Oecný zápis tkového mnohočlenu l komplikovný, uveďme ted jen několik příkldů: 5 ; ; jsou mnohočlen dvou proměnných ; ; jsou mnohočlen tří proměnných ; z. ; 7 z ; z 5 ; z z Zvláštním přípdem mnohočlenu je jednočlen výrz neoshující sečítání odčítání (npř. c). Mnohočlen lze pk chápt jko součet či rozdíl několik jednočlenů. Sečítání odčítání: Sečítt odčítt můžeme jen t člen mnohočlenu, které se liší pouze konstntou: ( ) ( ) 5 4

2 Násoení: Při násoení jednočlenů se řídíme prvidl pro násoení mocnin:. Příkld: 4 5 ( c)( c ) ( ) ( ) ( ) ( cc ) 6c Při násoení mnohočlenů je tře kždý člen jednoho mnohočlenu násoit kždým členem druhého mnohočlenu.. Příkld: ( )( 5 6) 5 5 ( ) 6 6 ( ) Dělení: Při dělení jednočlenů se řídíme prvidl pro dělení mocnin, npř:. Příkld: ( 6 c):( c) ( 6:) ( : ) ( : ) ( c : c) c Při dělení mnohočlenu jednočlenem je tře kždý člen mnohočlenu dělit jednočlenem: 4. Příkld: (5 0 5 ):5 5 :5 0 :5 5 : Dělení mnohočlenu mnohočlenem se řídí stejnými princip jko dělení přirozených čísel v desítkové soustvě: 4 5. Příkld: Vdělme čísl : 45 mnohočlen ( 5 5):( ). Písemné dělení dvou čísel: ovklý zápis: podroný zápis : 45 7 z. 4 ( ) : (4 0 5) ( ) ( 0 0 5) Pomocí podroného zápisu dělení dvou čísel lépe pochopíme dělení mnohočlenů: 4 ( 0 5 5) : ( ) z ( ) 7 5 ( 4 4 ) ( 6 6) 5 4 4

3 V přípdě dělení čísel jsme dostli ztek, v přípdě dělení mnohočlenů pk ztek 5 4. Výsledek dělení čísel lze zpst ve tvru : 45 7, 45 podoně dělení mnohočlenů ve tvru ( 0 5 5):( ) V přípdě dělení mnohočlenů více proměnných je postup nlogický: ( ):( ) 7 5 ( ) ( 6 ) ( 7 7 ) 0 Čsto ývá výhodné jednotlivé člen mnohočlenu oznčit jedním písmenem, npř. 4 6 v mnohočlenu položíme A ; B, dostneme 4 6 A B, popř. C ; D, pk održíme C D. Při násoení popř. umocňování mnohočlenů lze s výhodou použít následujících vzorců: ( A B) A AB B (druhá mocnin dvojčlenu) ( A B) A AB B ( ) A B C A B C AB BC AC (druhá mocnin trojčlenu) ( A B) A A B AB B (třetí mocnin dvojčlenu) ( ) A B A A B AB B 4 : 6. Příkld: Roznásome ( ) ) roznásoení: ( 4 ) ( ) ( ) ) úprv podle vzorce: ( ) ( ) 4 ; A B A B A AB B 7. Příkld: Roznásome ( z) ( ) ( z) ( ) ( )( z) ( z) ( ) A B C A B C A B B C AC 9 4z 6 z 4z 4

4 Rozkld mnohočlenů n součin: Jedná se o vjádření mnohočlenu ve tvru součinu několik mnohočlenů. Provádí se nejčstěji pomocí tzv. vtýkání neo použitím vhodných vzorců. Vtýkání: Je zloženo n distriutivním zákonu A C B C C ( A B). V konkrétních přípdech ývá největším prolémem poznt společného dělitele jednotlivých členů. 8. Příkld: z ( ) ( ) ( ) (4 z) ( 4 z) Použití vzorců: Při rozkldu n součin lze čsto použít výše uvedených vzorců pro druhé resp. třetí mocnin dvojčlenu, npř: 9. Příkld: Lze použít i dlší vzorce: A B ( A B)( A B ) ( ) A A B AB B A ; B ( AB) (rozdíl čtverců) A B ( A B)( A AB B ) (rozdíl třetích mocnin) A B ( A B)( A AB B ) (součet třetích mocnin) Pozor: studenti se čsto pokoušejí vmslet i vzoreček pro součet čtverců, tj. pro rozkld dvojčlenu A B. Tento dvojčlen lze rozložit pouze jeho převodem n rozdíl čtverců, k čemuž ovšem potřeujeme imginární jednotku: A B A ( i ) B A B i ( A Bi)( A Bi) Součet čverců lze ted rozložit n součin pouze v komplením ooru m tento rozkld potřeovt neudeme. Čsto vede k cíli i postupné vtýkání, přičemž nemusíme vtýkt jen jednočlen, npř.: r 7r rs 7s r 7r rs 7 s r ( r7) s ( r7) ( r7)( r s ) ( r7)( r s)( r s) Rozkld kvdrtického trojčlenu je důležitou čsto se vsktující úlohou. Kvdrtický trojčlen lze čsto rozložit pomocí tzv. kořenových činitelů je to jednoduchý trik, který vsvětlíme n následujícím příkldu: Vnásome ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (zde jsme záměrně některé operce neprovedli). p q Tento postup musí fungovt i oráceně zprv dolev. Máme-li z úkol rozložit trojčlen p q n součin ( ) ( ), hledáme dvě čísl ; (kořen kvdrtického trojčlenu), jejichž součin je roven číslu q součet s opčným znménkem číslu p. 0. Příkld: Rozložme trojčlen

5 Řešení: Hledný rozkld ude tvru ( ) ( ), kde v nšem přípdě pltí 7 0. Je zřejmé, že těmto podmínkám vhovují čísl ; 5 ; hledný rozkld je ted ( ) ( ) ( ) ( 5). Rozkld doplněním n čtverec: Provádíme tk, že přinutíme fungovt druhou mocninu dvojčlenu následně rozdíl čtverců:. Příkld: Rozložme n součin 6 5 6?? ( ) 4 ( ) 4 A AB B A AB B A B (ověřte i postup z předchozího příkldu!) [( ) ] [( ) ] ( 5)( ). Příkld: Rozložme n součin kvdrtický trojčlen 0. Pokus o rozkld n kořenové činitele zřejmě k úspěchu nepovedou, pokusme se ted doplnit n úplný čtverec: 0 0 ( ) 9 ( ) Dospěli jsme nikoli k rozdílu, le k součtu čverců, o kterém již víme, že je v ooru reálných čísel nerozložitelný. Dný mnohočlen v ooru reálných čísel nelze rozložit n součin. Oecně pltí: Kždý mnohočlen stupně většího než dv lze v ooru reálných čísel rozložit n součin (tento rozkld všk může ýt velmi komplikovný). Kvdrtický trojčlen může le nemusí ýt rozložitelný. Stnovení hodnot výrzu: Jsou-li znám hodnot proměnných, můžeme stnovit hodnotu výrzu.. Příkld: Stnovte hodnotu výrzu pro p ; n. Řešení: ( p n)(p pn7 n ) [ n( n p ) 7 pn ] ( )( 7 ) [ ( ) 7 p n p pn n n n p pn [( ) ( )][ ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ] { ( ) [ ( ) ( ) ] 7 ( ) ( ) } ( 6)( ) [ 6 ( 4 9) 5 4] (7 8) ( 6 04) (04 78) 6 9 Neřešené úloh: ) 5 c 7c 5 7c ) 5mn 4m n 8mn mn mn 4m n ) 4 4) (0 6 5c 4 d) (9 4c d) 5) 6) ( ) ( ) ( ) ( 7) n n n n ( 0 7 ) ( 9 0 ) 7).7 r 0 s { r s [4. r (r 7 s )]} 8) 9) { [ ( )]} m(0m n) 5{ n(5m n) [ n m(4m6 n)]} ] 45

6 0) ( ) { ( ) [ ( )]} ) ( 5)( ) ) (5 )(4 ) ) 4) ( 5 )( ) (u 5v uv)( uv v u v) 4 5) 0 mn : 5mn 6) 6 c:( c) 4 7) (8 p q 7 p q ) : 9 p q 8) (8 4 6 ) : ) ( 7 4) : ( ) 4 0) ( m m n m n mn ):( m n ) 6 4 ) (z 7z z z 4 z) : (8z 4z z) ) ) 4) ( ) : ( ) (5 )(5 ) (4m 6 n)(4m 6 n) 5) (49 ):(7 ) Roznásote: 9) ( 0) 0) (5 c) ) ) 6) 4 6 (00m 64 n ) : (8n 0 m ) 7) (c 69 d ) : (d c) 8) (7 ) 4 ( ) (00m 64 n ) : (0m8 n) ) ( ) 4) ( u u ) n n 7) ( ) Zpište jko druhou mocninu dvojčlenu 8) 9) ) m 6mn 9n Doplňte n čtverec 4) m mn 4) ) 5 Uprvte: 44) ( 4) 4( ) 45) ( ) 4( ) 6( )( ) 46) [( m m) ( m m) ] 5m 47) ( ) ( ) ( ) () (65) Rozložte n součin 48) 4 8 5) ( ) 5) 6) ( ) 4 (7 p 9 q ) 49) ) ( ) ( ) ) ) 49(m n) 9( m n) ) ) m 7 5) 8 57) ) Stnovte hodnot výrzů: ) ( p 4 q)(p pq5 q ) ( pq 0 p q q ) ; pro p ; q ; 5 ) ( k n)(n kn 7 k ) k[5( n 4 k ) k ]; pro k.5; n ; 46

7 Výsledk: ) 4 c 0 ) 8m n 8mn 9mn ) 5 n 5) 7 6) 6 6 7) r 8) 9) mn 0) 4) 9 8 c 4 ) ) 0 76 ) ) 6u u v 7u v 7u v 5uv 5) 4m 6) 7) p q pq 7 8) 4 9) 7 0) m mn ) z z z ) ) 5 9 4) 6 4 n m 6 5) 7 6) 8n 0m 7) c d 6 8) 0 m 8n 9) ) 5 0c c ) ) ) 4) u 4u u u ) 4p pq 70pq 79q 6) ) 8) ( ) 9) ( m n) 40) (5 ) n 4n 5n 4) n 4) 70 4) 0 44) ) ) 6m 5m 47) 48) 6n 4 ( ) ) ( ) 50) 5 ( 4 ) 5) 4 ( 4 ) 5) ( 4)( ) 5) (9 )(9 ) 54) ( )( ) 55) (m 4 n)(7m 8 n) 56) ( m )( m m 9) 57) ( )(9 6 4 ) 58) ) 6 ; ) 48.. Rcionální lomené výrz Rcionálním lomeným výrzem rozumíme výrz, který lze zpst ve tvru podílu dvou mnohočlenů. Užíváme zde stejných termínů jko u čísel zlomků čittel, jmenovtel, nejmenší společný násoek dělitel, společný jmenovtel pod. Rcionální lomené výrz můžeme podoně jko zlomk rozšiřovt, krátit, sečítt, odčítt násoit dělit, to podle stejných prvidel, jko zlomk. Nvíc chom měli vžd uvádět, kd mjí dné výrz smsl.. Příkld: Zkrťme lomený výrz Řešení: Ve jmenovteli lomeného výrzu nesmí ýt nul. Jmenovtel lze uprvit n tvr ( ), dný výrz má ted smsl pro. Achom mohli krátit, musíme njít společné dělitele čittele jmenovtele provedeme to podoně jko u čísel totiž rozkldem n prvočinitele tj. n mnohočlen, které již nelze rozložit n součin: ( )( ) ( ) ( )( ) Společným dělitelem čittele jmenovtele je ted výrz, který je při podmínce nenulový, po zkrácení ted dostáváme. Příkld: Zkrťme lomený výrz Řešení (již stručně): 6 4 ( 4 4) ( ) 6 4 6( 4) ( )( ) ( ) ; ± 47

8 Sečítání odčítání lomených výrzů:. Příkld: Sečtěme. Řešení: Dný výrz má smsl pro ±. Jmenovtelé již nelze rozložit n součin nemjí společné dělitele společným jmenovtelem ude ted součin ( )( ) : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Opět upozorňujeme, že výrz výrz již nelze krátit. již nelze v reálném ooru rozložit poslední uvedený 4. Příkld: Sečtěme: rr ( 4) r 4 r rr ( 4) r 4 r rr ( 4) r 4 r rr ( 4) rr ( 4)( r4) ( r4) 6 r ( r4) (4 r)(4 r) ( r4) ( r 4)(4 r) ( r4) ( r 4) ( r 4) [ ] rr ( 4) rr ( 4)( r 4) rr ( 4) ( r 4) ( r4) 8r ( r 4) ( r 4) ( r 4) ( r 4) ( r4) Násoení dělení rcionálních lomených výrzů. 5. Příkld: Násome lomené výrz: cd 8 cd cd 8 cd 8 7cd 7cd cd cd cd cd 4 4 ;. 6. Příkld: Dělme lomené výrz: : cd cd 4 5cd 5c d 5cd 6 m n m mn n ( m n ) ( m mn n ) : : m mn n m n ( m n) ( m n) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) m n m n : m n m n m n m n. ( m n ) ( m n ) ( m n ) ( mn ) mn Někd je dělení rcionálních lomených výrzů zpsáno pomocí zlomkové čár dostáváme tk složený lomený výrz. Pro jeho úprvu připomínáme vzorec A B A C A D : C B D B C D 48

9 7. Příkld: : ( )( ) ( ) Neřešené úloh: Zkrťte lomené výrz: ) 7 84 ( ) ) 9 ( ) 0 ( ) ) 5 ( ) 4 ( )( c) 4) 6( )( c) 5) Sečtěte, odečtěte: ) ) ) 4) 5) ( ) ( ) 6) Násote: ) 4) 5) 6) 7) 4 4 8) 6 9 9) 0) 5 4 7) 6 9 8) 4 9) ) 6 ) 5 9 ( ) ) ( )( ) ( )( ) 6) ( ) 7) 8) 49

10 Dělte: c d c cd 9) : cd c d ( ) 0) : ( ) 4 4 ) : ) : ) ( ): 4) : Zjednodušte 5) r 6) s 4 u 5 8v 4 9u 0v 7) 8) 9) 40) Výsledk: 6 ) 7 ) ) ( ) 4) c 8) 9) 0) ) 6 ) 4 6 6) ) 8 ( ) 7) 5 5 ( 9) 8) 9) ( )( )( ) ) 4) 9) ( c d) c 5) 6r s 6) 0) 5v 6u ) 5) ( )( ) 6) ) ( 5) 6) ) 7) 0 0 0) ( ) 8) 9).. Ircionální výrz ) 4) 5) ) 7) 8) ) 40) 4) Při práci s těmito výrz se vužívjí pozntk o odmocninách s rcionálními mocniteli prvidl o počítání se zlomk. Při udávání podmínek, při nichž mjí výrz smsl, je tře uvžovt opět nenulové jmenovtele nvíc nezápornost výrzu zákldů sudých odmocnin. Usměrňování výrzů (odstrnění odmocnin ze jmenovtele), vužíváme především vzorce pro rozdíl druhých resp. třetích mocnin, event. součet třetích mocnin.. Příkld: Usměrněme výrz : ( ) Řešení: ( )( ) ( ) ( ). Příkld: Usměrněme výrz : ( ) 50

11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Příkld: Uprvme ( ) < < ; 0 4. Příkld: Uprvme ( ) ( 6 ) ( 6) ; > 0 ; Neřešené úloh: ) m ) n m n ) : c 4) 5) 6) c 7) 8) 5 9) 0) ) 4 5 ) m mm 4 ( ) 4 ) ( ) 4 ( z) 4) ( z ) Výsledk: ) 4 4 ) 9) 9 6 m n 0) 5 6 ) ) c 5 ) 4) 5) 0 6) 7) ( ) 8 5 m ) 6 4) z 8) 4 5