Seriál XXVII.III Aplikační

Transkript

1 Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy. Povíme si něco o vriční úloze pro klsickou strunu, pro reltivistickou částici n závěr zvedeme slvnou Nmbu-Gotovu kci pro reltivistickou strunu. Znlost této kce nám otevře brány ke všem tjům teorie strun. Zčněme le od počátku. Klsická strun Kždý z nás už v minulosti viděl nějký strunný hudební nástroj. Položili jste si někdy otázku, jk se strun při brnknutí hýbe? Odpověď je sndná. Jk jsme si v minulém díle řekli, pohybuje se tk, že je hodnot kce příslušející tomuto pohybu extremální. Jk le kce pro nši strunu vypdá? Připomeňme, že jsme kci pro částici definovli jko integrál S[x(t] t L(x(t, v(t, t dt, kde rozdíl L T V kinetické energie T potenciální energie V jsme nzvli Lgrngiánem. Uvžujme nyní strunu délky l celkové hmotnosti m, která se pohybuje v rovině [x; y]. Strun je ntžen mezi body A[; ] B[b; ], kde b + l. Tvr struny v dném čse můžeme popst funkcí y(x pro x z intervlu, b tk, jk jsme to dělli v předchozím díle seriálu pro řetízek v grvitčním poli. Jelikož se všk tvr struny může v čse měnit, je ve skutečnosti výchylk závislá jk n souřdnici x, tk n čse t píšeme y y(x, t. Zde poznmenejme, že máme-li funkci více proměnných (v nšem přípdě tedy y(x, t, pk se zvádí prciální derivce jkožto veličin chrkterizující změnu funkce při mlé změně jedné z proměnných. Npříkld prciální derivce y(x, t podle x, kterou zpisujeme jko y xy y x, by nám chrkterizovl změnu y(x, t při mlé změně x. Prkticky to znmená, že při prciálním derivování y(x, t podle x derivujeme funkci stejně jko v přípdě obyčejné derivce druhou proměnnou t povžujeme z konstntu. Podobně postupujeme i pro derivci podle t. Spočtěme nejprve kinetickou energii nší struny. Strunu můžeme rozdělit n mlinké kousíčky délky dx o hmotnosti dm (m/l dx, kde m je celková hmotnost struny. Jde-li o dosttečně mlinké kousky, můžeme kždý kousíček v dném čse t povžovt z hmotný bod s polohou (x, y(x, t, jehož kinetickou energii známe dt (x, t 1 v(x, t dm 1 ( y dm. t Přesčítáme-li přes všechny mlé elementy, získáme celkovou kinetickou energii struny. V přípdě infinitezimálně mlých elementů přejde tto sum v integrál B T dt 1 B ( y dm m t l A A ( y dx. t 1

2 Seriál XXVII.III Aplikční Dále musíme určit potenciální energii odpovídjící dné konfigurci. Jsou-li deformce mlé, lze uvžovt s dobrou přesností, že je v celé struně konstntní npětí T. Při ntžení má strun tendenci vrátit se do původního stvu s délkou l příslušná energie odpovídjící prodloužení l bude úměrná tomuto prodloužení, tkže V T l. Nám zbývá určit toto prodloužení. Opět rozdělme strunu n mlé kousíčky kždý proximujme mlou úsečkou. Délk tkovéto úsečky bude z Pythgorovy věty dl (dx + (dy 1 + ( y dx, kde dx odpovídá délce kousíčku podél osy x dy příslušné délce podél osy y. Vidíme, že v důsledku nivního dělení diferenciálů se nám pod odmocninou objevil prciální derivce y(x, t podle x jkožto sklon struny v dném čse. Jelikož uvžujeme jen mlé výchylky, je tento sklon velmi mlý můžeme tedy psát přibližný vzth ( y, o jehož pltnosti pro mlé y se lze sndno přesvědčit. Celkovou změnu délky struny pk získáme opět integrcí přes celou strunu dostáváme potenciální energii ( B ( ( y V T l T dl l T 1 + dx l ( T dx + 1 A kde jsme využili znlosti délky struny dx l dx l. T ( y dx, Celkově tedy máme kci pro strunu vyvíjející se z čsu do čsu t ve tvru t t ( ( m y ( S[y(x, t] L dt T y dxdt. l t Všimněme si, že kce struny n rozdíl od kce pro částici obshuje dv integrály. Funkce v závorce je funkcí nejen čsu, le tké polohy n struně integrcí přes celou strunu pk získáváme Lgrngián. Je přirozené veličinu v závorce nzvt hustotou Lgrngiánu oznčit. L( x y, t y m l t T Anlogicky, jko jsme minule odvodili z kce pro volnou částici její pohybové rovnice, můžeme odvodit pohybovou rovnici pro klsickou strunu. Uvžujme strunu, která se vyvíjí z počátečního čsu, kde má tvr popsný funkcí y(x, y 1 (x, do čsu t, kde má tvr popsný funkcí y(x, t y (x, pokusme se njít trjektorii, po které se strun vyvíjí, jkožto extremálu nší kce. Připomeňme, že v přípdě bodové částice, jejíž trjektorii prmetrizujeme

3 Seriál XXVII.III Aplikční prmetrem p, jsme prováděli změnu y(p pro kždé p o mlou hodnotu δy(p dostli jsme tk trjektorii y(p + δy(p neptrně odlišnou od trjektorie y(p. V přípdě struny máme všk funkci dvou proměnných musíme provést mlou změnu v kždém čse t v kždém bodě x struny. Musíme tedy provést vrici y(x, t y(x, t + δy(x, t. N tuto změnu všk musíme nložit dvě podmínky. Předně musí být δy(x, δy(x, t, protože počáteční i koncový tvr struny máme pevně zdný. Dále jsme fixovli krjní body struny, tkže v kždém čse musí být tké δy(, t δy(b, t. Nyní už nám nic nebrání v odvození pohybových rovnic pro klsickou strunu. Njděme tedy vrici kce položme ji rovnu nule. Máme δs[y(x, t] t t t ( m l ( m l ( m l t + δy T ( y t + δy dxdt t T y δy t t y T δy dxdt, dxdt kde jsme roznásobili obě závorky, jeden z tkto získných členů se odečetl s druhým členem členy obshující druhou mocninu vrice δy jsme pro jejich mlost znedbli. Stejně jko v minulém díle provedeme nyní pro kždý z členů integrci per prtes dostáváme δs[y(x, t] m ( b y l t δy(t, x y t δy(, x dx tt,x t,x ( t y T δy(b, t y δy(, t dt xb,t x,t t ( m y l t δy y T δy dxdt, kde svislicí znčíme vyhodnocení prciálních derivcí v dných bodech. Dostli jsme tk tři členy. První dv jsou le nulové z okrjové, počáteční koncové podmínky, které vyždují δy(x, δy(x, t δy(, t δy(b, t. Dostáváme tedy podmínku t ( m y δs[y(x, t] l t T y δy dx dt, což musí pltit pro všechn δy. Toho docílíme jen tehdy, pokud je výrz v závorce nulový dostáváme tk rovnici y(x, t Tl y(x, t, t m která je pohybovou rovnicí pro klsickou strunu nzývá se vlnovou rovnicí. Poznmenejme zde ještě, že odmocnin z konstnty stojící před druhým členem odpovídá rychlosti šíření vlny n struně. 3

4 Reltivistická částice Seriál XXVII.III Aplikční Druhým příkldem tohoto dílu seriálu je volná reltivistická částice, tedy částice, n kterou nepůsobí žádná síl. V prvním díle jsme si povídli o teorii reltivity řekli jsme si, že fyzikální zákony musí být nezávislé n inerciálním systému, ve kterém studovný jev popisujeme. Mtemticky řečeno musí být konzistentní fyzikální teorie invrintní vůči Lorentzovým trnsformcím. Nyní bychom rádi vyšetřili pohyb volné reltivistické částice. Tento pohyb bude opět dán jkožto extremál nějkého funkcionálu. Abychom dostli správnou reltivistickou teorii, je přirozené uvžovt tké reltivisticky invrintní kci. Položme si tedy otázku: známe nějký invrint vůči Lorentzově trnsformci? Známe! Příkldem je čtyřintervl, jk jsme diskutovli v úloze k prvnímu dílu nšeho seriálu. Podívejme se n konstrukci kce trochu detilněji. Rádi bychom nšli kci pro částici pohybující se z bodu čsoprostoru A se souřdnicemi ( x 1, x 1 1, x 1, x 3 1 do bodu B se souřdnicemi ( x, x 1, x, x 3. Částice se pohybuje v čsoprostoru po světočáře x(λ ( x (λ, x 1 (λ, x (λ, x 3 (λ, kde λ je libovolný prmetr určující polohu n světočáře (v předešlém znčený p, jk jsme diskutovli již v prvním díle seriálu, nbývá hodnoty v bodě A λ v bodě B. Rozdělíme-li tuto trjektorii n mlé kousíčky, pk můžeme pro kždý element spočíst příslušný čtyřintervl (ds , (1 který je, jk víme, invrintní vůči Lorentzově trnsformci. Akci nyní získáme integrcí přes celou trjektorii. K tomu potřebujeme odmocnit vzth (1. Již z úlohy k prvnímu dílu seriálu víme, že výrz n prvé strně je záporný pro částici pohybující se rychlostí menší, než je rychlost světl. Proto si musíme při odmocňování dát pozor n znménko psát S[x(s] mc s s 1 (ds, kde m je klidová hmotnost částice c je rychlost světl s jsme zvolili jko prmetr světočáry nbývjící hodnot s 1 v bodě A s v bodě B. Prefktor mc jsme museli do definice kce přidt, by měl správný rozměr. Vyvstává otázk, jký má nlezená kce fyzikální význm. Víme, že nezávisí n tom, v jkém systému počítáme (ds. Předstvme si tedy, že sedíme přímo n pohybující se částici. V tom přípdě se vůči nám poloh částice nemění tedy 1 3. V tomto přípdě je nenulová jen jedn složk (ds c, kde τ je vlstní čs pozorovtele pohybujícího se s částicí. Potom dostáváme τ S[x(τ] mc kce je tedy rovn (ž n prefktor vlstnímu čsu, který je potřeb, by se částice po dné trjektorii dostl z bodu A do bodu B. Už jsme zběhlí v počítání vricí odvozování pohybových rovnic. Proveďme to i pro tento přípd. Uvžujme vrici trjektorie x µ (λ x µ (λ + δx µ (λ mezi body A, B s hodnotmi prmetru λ. 1 Jko obvykle, fixujeme počáteční koncovou polohu částice, tkže δx µ ( 1 Připomeňme, že z index µ můžeme dosdit, 1, nebo 3. 4

5 Seriál XXVII.III Aplikční δx µ (λ. Vzpomeneme-li si n první díl seriálu, kde jsme zvedli metriku η µν, můžeme psát ( s δs[x(λ] δ mc (ds s 1 λ δ dx mc η µ dx ν µν mc mc λ λ µ η µν + dδxµ µ η µν dx ν + dxµ ν + dδxν S[x(λ] dδx ν S[x(λ], kde jsme v posledním řádku využili symetrie η µν η νµ. Nyní vtáhneme diferenciál zpět pod odmocninu, dosdíme z S[x(λ], vzpomeneme si, že (ds c, dostneme s s δs[x(λ] mc (ds η µν dx µ d(δx ν + mc (ds s 1 m m s 1 τ τ dx 1 η µ µν η µν dx µ dδx ν d(δx ν m λ + m τ η µν dx µ dδx ν, kde jsme opět využili přibližného vzthu jko výše znedbli příspěvky vyšších řádů v δx µ. Je přirozené definovt reltivistickou (čtyřhybnost v nlogii s klsickou hybností jko p µ m dxµ. Tuto hybnost můžeme dosdit to vzthu výše provést integrci per prtes. Dostáváme tk δs[x(λ] λ η µν p µ dδx ν η µν [p µ (λ δx ν (λ p µ ( δx ν ( ] λ η µν dp µ δxν, kde první člen je opět nulový díky pevné počáteční koncové poloze δx ν ( δx ν (λ. Jelikož musí tto rovnost pltit jink pro všechny vrice δx ν, dostáváme pohybové rovnice ve tvru dp µ. 5

6 Seriál XXVII.III Aplikční Podobně jko v klsické mechnice se zde tedy zchovává čtyřhybnost volné částice. Pohybujeli se částice mlou rychlostí, je vlstní čs částice přibližně roven čsu pozorovtele t τ můžeme psát pro i 1,, 3 dpi dpi dt m d x i dt. V limitě mlých rychlostí tedy oprvdu dostáváme pohybovou rovnici pro klsickou volnou částici z minulého dílu seriálu. Jk by vypdl kce pro volnou částici v obecné teorii reltivity? Akce by měl nprosto stejný tvr, jen by nyní nemělo ds tvr (1, le mělo by obecný tvr z prvního dílu seriálu, který odpovídá obecně zkřivenému čsoprostoru. Teď tedy konečně vidíme, co se myslí tím, že se částice pohybuje v zkřiveném čsoprostoru po nejrovnějších možných drhách. Myslíme tím to, že délk měřená čtyřintervlem ds je extremální. Reltivistická strun Nše diskuze kce nyní vyvrcholí studiem kce pro reltivistickou strunu, tedy jednorozměrný provázek pohybující se v čsoprostoru. Nše kce bude přímým zobecněním úvh o reltivistické částici. Pohyb částice v čsoprostoru, kterému odpovídá světočár, je určen čtveřicí funkcí x(τ ( x (τ, x 1 (τ, x (τ, x 3 (τ vlstního čsu τ. Podobně bude pohybující se struně odpovídt světoploch v čsoprostoru bude prmetrizován dvěm prmetry X(τ, σ ( X (τ, σ, X 1 (τ, σ, X (τ, σ, X 3 (τ, σ. Prmetr τ odpovídá čsupodobnému směru n světoploše (odpovídá tedy čsu nějkého pozorovtele, ztímco prmetr σ odpovídá prostorupodobnému směru. Přesuneme-li se do soustvy spojené s pozorovtelem, jehož vlstní čs je τ, pk pro nějké τ τ konstntní určuje funkce ( X 1 (τ, σ, X (τ, σ, X 3 (τ, σ, podobně jko v přípdě klsické struny, její tvr v tomto čse. Prmetr σ pk odpovídá prmetru x v klsickém přípdě prmetrizuje strunu v dném čse. N funkci X(τ, σ tedy můžeme nhlížet jko n funkci, která kždému bodu z prostoru prmetrů [τ, σ], τ, l přiřdí jeden bod n světoploše struny jko n obrázku 1. Zobecnění kce je nyní nsndě. V přípdě reltivistické částice byl kce (ž n konstntní prefktory rovn Lorentzovsky invrintní délce světočáry. V přípdě reltivistické struny máme v čsoprostoru dvourozměrnou světoplochu kce bude úměrná plošnému obshu této světoplochy. Akce reltivistické částice vznikl vysčítáním přes čtyřintervly mlých elementů podél trjektorie částice. V přípdě struny budeme sčítt plošné obshy mlých elementů světoplochy. Rozdělme si prostor prmetrů, τ, l n mlinké obdélníčky o délce strn dσ. Změn prmetru τ o element odpovídá zřejmě změně polohy dx µ 1 Xµ τ n světoploše. Podobně bude posunutí σ o element dσ v prostoru prmetrů odpovídt změně polohy dx µ Xµ σ dσ 6

7 Seriál XXVII.III Aplikční τ x τ X(τ, σ l σ x, x 3 x 1 Obr. 1: Prostor prmetrů funkce X(τ, σ přiřzující kždému bodu z prostoru prmetru jeden bod světoplochy. N světoploše jsou tké vyobrzeny souřdnice odpovídjí konstntnímu τ resp. σ. Integrce v kci odpovídá sčítání obshů všech zobrzených elementárních rovnoběžníků. n světoploše. Kždému mlému obdélníčku dσ bude odpovídt n světoploše v čsoprostoru mlinký rovnoběžník určený čtyřvektory dx 1 dx. My bychom si přáli spočíst plochu tohoto rovnoběžníku sečíst plochy všech tkovýchto mlých rovnoběžníků. Vypočtěme tedy plošný element n světoploše v prostoru prmetrů odpovídjící obdélníčku τ, τ + σ, σ+dσ. Velikost sklární součin příslušných čtyřvektorů v čsoprostoru dx 1 dx počítáme pomocí metriky, kterou jsme si zvedli v prvním díle seriálu. Zde využijeme následujícího znčení dx 1 η µνdx µ 1 dxν 1, dx η µνdx µ dxν, dx 1 dx η µνdx µ 1 dxν. Jk le vypočíst obsh rovnoběžníku zdného dvěm vektory u v? Ze školy víme, že obsh rovnoběžníku spočteme jko velikost zákldny krát výšk. Pohledem n obrázek vidíme, že pro obsh S musí pltit S u h u v sin α u v 1 cos α u v u v cos α u v (u v. v h α u Obr. : Obrázek k výpočtu obshu rovnoběžníku zdného dvěm vektory. 7

8 Seriál XXVII.III Aplikční Použijeme-li tento vzorec v nšem přípdě, dostneme plochu nšeho mlého elementu ve tvru ds (dx 1 dx dx 1 dx ( X τ X X X dσ. σ τ σ Nyní už stčí integrovt přes celou plochu přenásobit prefktorem se správným rozměrem dostáváme slvnou Nmbu-Gotovu kci S[X(τ, σ] T τ l ( X c τ X X X dσ. σ τ σ Poznmenejme nyní, že funkce X(τ, σ není určen jednoznčně. Relevntní je výsledný tvr světoplochy, le nezávisí n tom, jk budou n světoploše vypdt křivky konstntního τ σ. Pokud je zvolíme tk, by byly n sebe vždy kolmé, bude první člen pod odmocninou výše nulový my máme kci S[X(τ, σ] T c τ l X X dσ. τ σ Vrici této kce odvození příslušných pohybových rovnic si necháme ž n jindy. Výpočet bude velmi podobný jko v přípdě reltivistické částice, le diskuze pohybových rovnic pro strunu jejich řešení si žádá vlstní díl. V tomto díle jsme se tedy seznámili se třemi význmnými kcemi ukázli si, jk postupovt v odvození příslušných pohybových rovnic. V dlším díle odhlédneme od kce povíme si něco o kvntové mechnice. K Nmbu-Gotově kci se pk vrátíme v pátém díle, kde nás čeká odvození pohybových rovnic, jejich řešení kvntování celé struny. Fyzikální korespondenční seminář je orgnizován studenty MFF UK. Je zstřešen Oddělením pro vnější vzthy propgci MFF UK podporován Ústvem teoretické fyziky MFF UK, jeho změstnnci Jednotou českých mtemtiků fyziků. Toto dílo je šířeno pod licencí Cretive Commons Attribution-Shre Alike 3. Unported. Pro zobrzení kopie této licence, nvštivte Všimněme si, že jsme museli pod odmocninou, stejně jko v přípdě reltivistické částice, prohodit znménko, bychom odmocňovli kldnou veličinu. 8