b může být 3členná variace ze dvou prvků a, b.

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "b může být 3členná variace ze dvou prvků a, b."

Ondřej Svoboda
před 9 lety
Počet zobrazení:

1 Variace s opaováím Variace té třídy s opaováím z prvů je uspořádaá tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše rát. Přílad: Uveďte všechy čleé variace s opaováím ze tří prvů (, (, ( c), (, (, ( c), ( c,, ( c,, ( c) c,. a, c. Pozáma: Variace té třídy (bez opaováí) z prvů existovaly pouze pro. Variace té třídy s opaováím z prvů existují i pro a, b může být 3čleá variace ze dvou prvů b. Počet V ( ) > ; ( ) všech variací té třídy s opaováím z prvů je ( ) Ja určíme počet variací -té třídy s opaováím z prvů? Každý čle uspořádaé tice je možé vybrat způsoby. Podle ombiatoricého pravidla součiu je počet těchto uspořádaých tic rove součiu.... V. rát Permutace opaováím Aagram je usupeí písme, teré vzie přemístěím písme slova ebo věty, jejíž obsah chceme utajit. V aagramu AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je uryt ázev této apitoly. V miulosti jsme se zabývali permutacemi z prvů, tj. uspořádaými -ticemi, v ichž je aždý z daých prvů zastoupe právě jedou. Zoumejme yí uspořádaé supiy, v ichž je aždý z daých prvů, ozačme je a, a, a3,..., a, zastoupe aspoň jedou, a to v předem určeém počtu: -rát prve a, -rát prve a,..., -rát prve a. Vypišme pro ilustraci všechy tyto uspořádaé supiy pro případ dvou prvů b, v ichž se prve a opauje dvarát a prve b třirát, tj. pro případ, 3 ; jde o tyto uspořádaé pětice: ( a,, ( a,, ( a,, ( a,, ( b ( b,, ( b,, ( b,, ( b,, ( b,,,. Tyto supiy jsou příladem permutací s opaováím, přesěji permutací s opaováím ze dvou prvů, z ichž jede se opauje dvarát a druhý třirát. Permutace s opaováím z prvů je uspořádaá -tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje aspoň jedou. Ozačíme-li,,...,, olirát se aždý z daých prvů má opaovat, platí zřejmě..., je , taže jde o uspořádaé -tice, ; je-li v ichž je aždý z prvů právě jedou, tj. o permutace bez opaováí., všech permutací s opaováím z prvů, v ichž se jedotlivé prvy opaují - -rát, je. Počet P (,..., ) rát, -rát,..., P (,,..., ) ( )!!...!!

Variace té třídy s opaováím z prvů existují i pro a, b může být 3čleá variace ze dvou prvů b.

2 Pozáma: Postup, ja se došlo předchozímu vzorci ajdete v učebici Matematia pro gymázia Kombiatori pravděpodobost, statistia a straě 40 a schéma a straě 4. Všiměme si ještě zajímavého vztahu pro počet permutací s opaováím ze dvou prvů, z ichž jede se -rát: opauje -rát a druhý ( ) P (, ) [ + ( ) ]!!! ( )!! ( ) C! ( ) Kombiace s opaováím Kombiace se ědy opaují, většiou ty epřízivé. Posledím druhem supi, terým se budeme zabývat, jsou supiy, ve terých ezáleží a pořadí a jejichž čley se mohou opaovat. Setáváte se s imi třeba tehdy, dyž zaplaceí určitého obosu vybíráte z peěžey baovy či mice. Koli částe můžete apř. zaplatit třemi micemi, máte-li v peěžece oruové, dvouoruové a pětioruové mice, aždý druh aspoň v pěti exemplářích? Každé částce odpovídá supia tří micí, v íž ezáleží a pořadí a v íž jedotlivé mice emusí mít růzou hodotu; jde o tyto supiy:,, ;,, ;,, 5;,, ;,, 5, 5, 5;,, ;,, 5;, 5, 5; 5, 5, 5 Z tohoto přehledu už sado určíte, oli a jaé částy můžete za daých podmíe zaplatit. Uvedeé supiy jsou příladem ombiací s opaováím, přesěji -čleých ombiací s opaováím z prvů. -čleá ombiace s opaováím z prvů je euspořádaá -tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše -rát. Určíme yí počet všech -čleých ombiací s opaováím z prvů, terý ozačíme ( ) C. Obecý postup si uážeme a orétím příladu z úvodu tohoto čláu, de je uvede výčet všech 3čleých ombiací s opaováím ze tří prvů,, 5. Každou tuto ombiaci s opaováím zašifrujeme pomocí uspořádaé supiy teče a svislých čáre tato: Mysleme si, že máme tři přihrády - prví pro exempláře prvu, druhou pro exempláře prvu a třetí pro exempláře prvu 5. Rozhraí mezi sousedími přihrádami jsou zázorěa svislou čarou (potřebujeme dvě čáry: pro rozhraí mezi. a. přihrádou a pro rozhraí mezi. a 3. přihrádou). Pro aždý z daých prvů zareslíme do příslušé přihrády toli teče, olirát se v daé ombiaci teto prve vysytuje; evysytuje-li se v í, zůstae příslušá přihráda prázdá. Dostaeme ta toto přiřazeí:,,, 5, 5,,,,,, 5,, 5,,, 5, 5,, 5 5, 5, 5 Půjde-li obecě o -čleé ombiace s opaováím z prvů, přiřadíme stejým způsobem aždé ombiaci uspořádaou supiu s tečami a čárami, tj. permutaci s opaováím ze dvou prvů, -rát. Protože toto přiřazeí je vzájemě jedozačé, platí z ichž jede se opauje -rát a druhý ( ) [ + ( ) ]!! ( )! ( + )! C ( ) P(, )! ( )! Je vidět, že aždé 3čleé ombiaci s opaováím ze tří prvů,, 5 odpovídá jediá uspořádaá pětice o třech tečách a dvou čárách a taé obráceě. To vša zameá, že počet C 3 ( 3) těchto ombiací s opaováím je rove počtu permutací s opaováím ze dvou prvů, z ichž jede se opauje třirát a druhý dvarát, tj. že platí C 3 3 P 3,. ( ) ( ) ( + )! ( )! ( + )! + [( + ) ]!!.!

( ) Kombiace s opaováím Kombiace se ědy opaují, většiou ty epřízivé. Posledím druhem supi, terým se budeme zabývat, jsou supiy, ve terých ezáleží a pořadí a jejichž čley se mohou opaovat.

3 Počet ( ) všech -čleých ombiací s opaováím z prvů je ( ) C + C Přílady: ) Určete počet všech trojúhelíů, z ichž žádé dva ejsou shodé a jejichž aždá straa má veliost vyjádřeou ěterým z čísel +, + +, + 3,...,, de je přirozeé číslo. Koli těchto trojúhelíů je rovorameých, rovostraých? ) V sáču jsou červeé, modré a zeleé uličy; uličy téže barvy jsou erozlišitelé. Určete, olia způsoby lze vybrat pět uliče, jestliže v sáču je aspoň pět uliče od aždé barvy; pět červeých, čtyři modré a čtyři zeleé. 3) Určete počet vádrů, jejichž veliosti hra jsou přirozeá čísla ejvýše rová deseti. Koli je v tomto počtu rychlí? 4) V oviovém stáu je e oupi deset druhů pohledů, přičemž aždý druh je dispozici v padesáti exemplářích. Určete, olia způsoby lze zaoupit 5 pohledů; 5 pohledů; c) 8 růzých pohledů. 5) Určete počet všech trojúhelíů, z ichž žádé dva ejsou shodé a jejichž aždá straa má veliost vyjádřeou jedím z čísel 4, 5, 6, 7. 6) Ze všech bílých šachových figure bez rále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme trojici, dvojici. Jaý je počet možostí pro jejich složeí? 7) V sadě 3 aret je aždá z ásledujících aret čtyřirát: sedmič osmič devít desít spode, svrše, rál, eso; arty téže hodoty jsou přitom rozlišey těmito "barvami": červeá, zeleá, žaludy, ule. Určete, olia způsoby je možo vybrat čtyři arty, jestliže se rozlišují pouze "barvy" jedotlivých aret; rozlišují pouze hodoty jedotlivých aret. 8) Apolloiovou úlohou se rozumí úloha sestrojit ružici, terá má tři z těchto vlastostí: prochází daým bodem, dotýá se daé přímy, dotýá se daé ružice. (Ozačíme-li tyto vlastosti po řadě písmey B, p,, můžeme aždou Apolloiovu úlohu zapsat pomocí trojice z těchto písme; ta apř. úloha B začí úlohu sestrojit ružici procházející daým bodem a dotýající se dvou daých ružic.) Určete počet všech Apolloiových úloh. 9) Koli růzých euspořádaých trojic mohou dát počty o a jedotlivých ostách při vrhu třemi ostami? (Jde o obvylou ostu s jedím až šesti oy a jedotlivých stěách.) Úlohy opaováí ) Určete, olia způsoby lze přemístit písmea slova Mississippi; oli z ich ezačíá písmeem M? ) Určete počet všech trojúhelíů, z ichž žádé dva ejsou shodé a jejichž aždá straa má jedu z veliostí daých čísly 4, 5, 6, 7, 8, 9. 3) Kihova má pět regálů, do aždého se vejde 0 ih. Určete, olia způsoby lze do ihovy umístit 0 ih. [Návod: Myslete si, že regály jsou umístěy vedle sebe a aždé dva sousedí jsou odděley stejým předmětem.] 4) V samoobsluze mají čtyři druhy ávy, aždý po padesáti gramech. Určete, olia způsoby lze oupit 50 gramů ávy, jestliže balíčů aždého druhu mají dostatečý počet; od dvou druhů mají deset balíčů a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 5) Určete, olia způsoby lze z padesátihaléřových a oruových micí zaplatit částu 6 Kč, Kč, jsou-li oba druhy micí dispozici v dostatečém možství. [Návod: Každou částu lze zašifrovat pomocí písme (oruové mice) a p (dvě padesátihaléřové mice); apř. čtyřem oruovým a čtyřem padesátihaléřovým micím odpovídá zápis pp.]

Určete, olia způsoby lze vybrat pět uliče, jestliže v sáču je aspoň pět uliče od aždé barvy; pět červeých, čtyři modré a čtyři zeleé.

4 6) Určete, olia způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm stejých jable. [Návod: Každé rozděleí osmi jable mezi tři osoby A, B, C lze zašifrovat pomocí euspořádaé osmice z těchto písme; apř. AAABBBBC začí příděl tří jable osobě A, čtyř jable osobě B a jedoho jabla osobě C.] 7) Určete, olia způsoby si mohou tři osoby rozdělit čtyři stejá jabla a šest stejých hruše. [Návod: Rozděleí jable a hruše jsou a sobě ezávislá, dále pa viz předchozí přílad.]

písme; apř. AAABBBBC začí příděl tří jable osobě A, čtyř jable osobě B a jedoho jabla osobě C.

5 Přílady:Určete, oli způsobů, jimiž lze přemístit písmea slova ABRAKADABRA. Určete, v olia z ich žádá dvojice sousedích písme eí tvořea dvěma písmey A; žádá pětice sousedích písme eí tvořea pěti písmey A. Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých devíti, v jejich deadicém zápisu ejsou jié číslice ež 0,,, 5, 7. Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechy bíle šachové figury (rál, dám věže, jezdci, střelci, 8 pěšáů) a dvě pevě zvoleé řady šachovice 8 x 8; a libovolé dvě řady šachovice 8 x 8. Určete počet všech deseticiferých přirozeých čísel, jejichž ciferý součet je rove třem. Koli z ich je sudých? Určete, olia způsoby je možo přemístit písmea slova BATERKA ta, aby se souhlásy a samohlásy střídaly. [Návod: Na začátu a a oci musí být souhlása.] Ze sedmi uliče, z ichž jsou čtyři modré (avzájem erozlišitelé), jeda bílá, jeda červeá a jeda zeleá, máme vybrat a položit do řady vedle sebe pět uliče. Kolia způsoby to lze provést?

Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých devíti, v jejich deadicém zápisu ejsou jié číslice ež 0,,, 5, 7.

Podobné dokumenty

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!