6. KOMBINATORIKA Základní pojmy Počítání s faktoriály a kombinačními čísly Variace

Transkript

1 Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh samostatému řešeí 9 Klíč řešeí úloh 9 Kotrolí test 95 Výsledy testu

2 Zálady matematiy. KOMBINATORIKA Kombiatoria Průvodce studiem V úvodu.. připomeeme výzam termíů používaých v celé apitole a počítáí s fatoriály a ombiačími čísly. Následující část.... sezamuje se záladími způsoby výběru ze záladí možiy. Teorie je přiblížea a příladech zadaých a závěr této apitoly včetě ápovědy a výsledů řešeí. Cíle Po zvládutí apitoly budete připravei a řešeí úloh z pravděpodobosti a a studium statistiy. Předpoládaé zalosti Kapitola požaduje je stadardě rozviuté logicé myšleí a respetováí sutečosti, že výběry supi ze záladí možiy se musí řídit určitými pravidly... Záladí pojmy Výlad Záladí možia M supia supia -té třídy -je aždá oečá možia o růzých prvcích, z íž budeme vybírat prvy do supi, -je tvořea prvy, vybraými ze záladí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvů: zápisy a, b) a b, a) zastupují tutéž supiu, -je supia, terá má prvů, uspořádaá supia -je supia, v íž záleží a pořadí prvů: b) růzé supiy a) a, a b, jsou dvě supiy bez opaováí -jsou supiy, v ichž aždý prve z daé záladí možiy M o růzých prvcích je vybrá je jedou a pa je z dalšího výběru vyřaze), supiy s opaováím -jsou supiy, v ichž je možé aždý prve z možiy M vybrat vícerát jao bychom ho po výběru vrátili zpět do možiy M ), - 8 -

3 Zálady matematiy Kombiatoria... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly Výlad Zápis! čteme -fatoriál ebo taé fatoriál čísla, ozačuje souči všech přirozeých čísel meších ebo rových. Výpočet fatoriálu:! ) ) ),! ) ) )!,!. Řešeá úloha Přílad... Vypočtěte! Řešeí:! 5 7. Výpočet fatoriálu je možo a vhodém místě zastavit.! 5! 5! 5! Výlad Kombiačí číslo čteme ad,! )!! Výpočet ombiačího čísla:, de, jsou přirozeá čísla ebo ula a platí.! ) ) ) )! ) ) ), )!! )!!!,,., de <

4 Zálady matematiy Kombiatoria Řešeé úlohy Přílad... Vypočtěte.! 9 8 7! 9 8 Řešeí:. )!! 7!! Kombiačí číslo jedoduše vypočteme, jestliže v čitateli rozepisujeme fatoriál čísla, ale apíšeme je toli čiitelů, oli udává. Ve jmeovateli rozepíšeme je!. 9 9 Přílad... Vypočtěte, Řešeí: 7, Přílad... Které přirozeé číslo vyhovuje rovici? 5 Řešeí: Kombiačí číslo eistuje pro, v ašem případě je, taže,, proto rovice je řešitelá pro. Nyí vypočteme ombiačí čísla a řešíme ásledově: Podmíce vyhovuje je. ) ) 8 8 ± Přílad..5. Upravte výraz )! )! )!. )! )!! ) ) )! ) )! ) )! Řešeí: )! )!! ) ) ) ) ) 5 )

5 Zálady matematiy.. Variace Kombiatoria Výlad Variací bez opaováí -té třídy z prvů azýváme aždou uspořádaou -prvovou podmožiu prvové záladí možiy M. Počet variací bez opaováí : V! ),,, N ) )! Řešeé úlohy Přílad... Zapište variace bez opaováí.třídy a určete jejich počet, je-li záladí { } možia M,,. Řešeí: ) : V ),, ),, ),, ),, ),, ),,! V ). )! Přílad... Jsou dáy cifry jestliže se cifry eopaují?,,,, 5. Koli trojciferých čísel lze z ich sestavit, Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) 5 Výlad urči počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů rozhodi, mohou-li se prvy opaovat urči typ výběru: variace -té třídy z prvů 5! 5! 5! V 5) 5. 5 )!!! záleží a pořadí čísla se emohou opaovat V! ) )! Variací s opaováím -té třídy z prvů azýváme aždou prvovou uspořádaou supiu prvů, vybraých z prvové záladí možiy M, v íž se aždý prve může opaovat až rát. Počet variací s opaováím : V ), může být větší ež,, N )

6 Zálady matematiy Kombiatoria Řešeé úlohy Přílad... Zapište variace s opaováím.třídy a určete jejich počet, je-li záladí { } možia M,,. Řešeí: V ) :,),,),,),,),,),,),,),,),,), V ) 9. Přílad... Jsou dáy cifry jestliže se cifry opaují?,,,, 5. Koli trojciferých čísel lze z ich sestavit, Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) 5 urči počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů rozhodi, mohou-li se prvy opaovat urči typ výběru: variace -té třídy z prvů s opaováím V 5) 5 5. záleží a pořadí čísla se mohou opaovat V ).. Permutace Výlad Permutací bez opaováí z prvů azýváme aždé uspořádáí prvové záladí možiy M. Počet permutací bez opaováí : P )!. Řešeé úlohy Přílad... Zapište permutace bez opaováí a určete jejich počet, je-li záladí možia {,, } M. Řešeí: P):,,),,,),,,),,,),,,),,,) P)!

7 Zálady matematiy Kombiatoria Přílad... Koli přesmyče lze vytvořit použitím všech písme slova fyzia? Řešeí: M { f, y, z, i,, a} urči urči počet prvů záladí možiy) počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvy opaovat písmea se eopaují urči typ výběru: permutace z prvů P )! P )! 5 7. Výlad Permutací prvů s opaováím azýváme aždé uspořádáí, v ěmž je všech prvů záladí možiy M a prve a se opauje právě rát i,, ). i i Platí. Počet permutací s opaováím: P! ),,...!!.! Řešeé úlohy Přílad... Zapište permutace s opaováím a určete jejich počet, je-li záladí možia M {,, } a prví prve se opauje jedou, druhý se opauje jedou a třetí dvarát. Řešeí: P ) :,,,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),! P,, ).!!! Přílad... Koli přesmyče lze vytvořit použitím všech písme slova matematia? { } Řešeí: M m, a, t, e, i,, urči počet prvů záladí možiy), - 8 -

8 Zálady matematiy Kombiatoria urči počet prvů, teré vybíráme), písmeo m se opauje ), písmeo a se opauje ), písmeo t se opauje ), písmeo e se opauje ), písmeo i se opauje ), písmeo se opauje ),, 5 rozhodi, zda záleží a pořadí prvů záleží a pořadí, rozhodi, mohou-li se prvy opaovat písmea se opaují, urči typ výběru: permutace prvů s opaováím!! P ),,,, 5,!.!.!.!.!., P,,,,, 5! ).!!!!!! 5.. Kombiace Výlad Kombiací bez opaováí -té třídy z prvů azýváme aždou prvovou podmožiu záladí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvů. Počet ombiací bez opaováí: C ),,, N ). Řešeé úlohy Přílad... Zapište ombiace. třídy bez opaováím a určete jejich počet, je-li { } záladí možia M,,. Řešeí: C :,),, ),,) ), C ). Přílad... Koli růzých třitóových aordů je možé zahrát ze sedmi tóů? Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) 7 urči počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvy opaovat tóy se emohou opaovat

9 Zálady matematiy Kombiatoria urči typ výběru: ombiace -té třídy z prvů C ) C 7) 5. Výlad Kombiací s opaováím -té třídy z prvů azýváme aždou prvovou supiu prvů vybraých z prvů záladí možiy M, v íž se aždý prve může opaovat až rát a v íž ezáleží a pořadí prvů. Počet ombiací s opaováím: C ), může být větší ež,, N. Řešeé úlohy Přílad... Zapište ombiace. třídy s opaováím a určete jejich počet, je-li záladí { } možia M,,. ) Řešeí: C :,),,),,),,),,),,), C ). Přílad... Ve stáu mají druhy bobóů, aždý druh v sáčcích po dg. Kolia růzými způsoby může záazí oupit půl ila bobóů? Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) urči počet prvů, teré vybíráme) 5 rozhodi, zda záleží a pořadí prvů ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvy opaovat druhy se mohou opaovat urči typ výběru: ombiace -té třídy z prvů s opaováím C ) C 5 ). 5 5!

10 Zálady matematiy Kombiatoria.5. Biomicá věta Výlad Kombiačí číslo bývá ozačováo termíem biomicý oeficiet, je-li užíváo ve vztahu pro -tou mociu dvojčleu biomu). Jsou-li a,b libovolá čísla a číslo přirozeé, platí: b a b a b a b a b a ). Řešeé úlohy Přílad.5.. Rozveďte pomocí biomicé věty a zjedodušte ). Řešeí: ) ) ) ) ) ) 8 7. Přílad.5.. Který čle rozvoje výrazu,, eobsahuje? Řešeí: Ozačme si -tý čle jao, pa A ) ) ) 7 7 ) ) A 5 7 ) Pátý čle rozvoje eobsahuje

11 Zálady matematiy Kombiatoria Úlohy samostatému řešeí. Vypočtěte ombiačí čísla a), b), c), d) Které přirozeé číslo vyhovuje rovici : a), jaá je podmía pro? b), jaá je podmía pro? 5. Ve třídě je 5 žáů, z ichž mají být vyzoušei. Koli růzých čtveřic může být vyzoušeo?. Jistý muž má 5 abátů, vesty a alhot. Kolia růzými způsoby se může obléct? 5. V lavici mohou sedět čtyři žáci. Kolierým způsobem je možo lavici obsadit, máme-li pět žáů a záleží a pořadí míst?. Koli růzých hodů lze provést třemi ostami? 7. Aražér má ve výloze umístit vedle sebe stejé svetry z ichž jsou bílé, červeý a zeleý. Kolia způsoby to může učiit? 8. Koli růzých šesticiferých čísel můžeme apsat z číslic,,,,5, má-li se aždá vysytout v čísle je jedou? 9. Užitím biomicé věty vypočtěte a) b a, b) ) 7, s přesostí a tři desetiá místa.. Vypočtěte: a), b), c) Kterým ombiačím číslem je možo vyjádřit součty: a), b), c) Zjedodušte : - 9 -

12 Zálady matematiy )! )! a), b), c) )! )!. Z olia prvů je možé utvořit variací. třídy bez opaováí? Kombiatoria )!!.! )!. Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutací bez opaováí dvaáctrát. Jaý byl původí počet prvů? 5. Zvětší-li se počet prvů o jede, zvětší se počet ombiací třetí třídy o 8. Koli je prvů?. Jsou dáy cifry,,,,5. Koli pěticiferých čísel, v ichž se žádá z cifer ebude opaovat, lze z těchto cifer sestavit, chceme-li zísat a) všecha taová čísla, b) čísla očící cifrou, c) čísla sudá, d) čísla lichá. 7. Koli trojciferých čísel lze zapsat z cifer,,,8, mohou-li se cifry opaovat? 8. Koli růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova automatizace? 9. Koli růzých třítóových ebo čtyřtóových aordů lze zahrát ze sedmi tóů?. Fotbalový treér má dispozici braáře, 5 obráců, záložíy a útočíů. Koli růzých fotbalových mužstev z ich může sestavit, tvoří-li jedo mužstvo braář, obráci, záložíci a 5 útočíů? Výsledy úloh samostatému řešeí. a) ; b) ; c)5; d).. a) ; 5; b) ; a a b 5a b 5a b 5a b ab b a) ; b), a) ; b) 55; c) 5.. a) ; b) ; c).. a) ) ; 5 b) ; c) a) ; b) ; c) 8; d)

13 Zálady matematiy Kombiatoria Klíč řešeí úloh. Řešíme dosazeím do vzorce pro výpočet ombiačího čísla.. a) Rovici upravíme a tvar ) ) ) vadraticou rovici, vyásobíme a dostaeme 5, její ořey jsou, 5. Protože musí být jistě jsme ezapoměli vypočítat podmíu pro ombiačí číslo), má rovice jedié řešeí 5. b) Rovici upravíme a tvar ) ) 8, vyásobíme a dostaeme vadraticou rovici, ta má jede dvojásobý oře. Protože, má rovice řešeí.,. Jedá se o ombiace. třídy z 5, ezáleží totiž a pořadí zoušeých žáů, bez 5! opaováí, ido ebude zouše vícerát. C 5) 5.!!. Muž si oblée abát, vybírá ho z pěti růzých, vestu ze čtyř a alhoty z šesti. C 5) pro abát: 5, C ) pro vestu:, pro alhoty:, C ) 5 C ) 5 C) C). 5. Záleží a pořadí žáů, jedá se tedy o variace, žáci se eopaují, ido esedí a dvou 5! židlích, jsou tedy bez opaováí. V 5). 5 )! V.. U hodu ostou záleží a pořadí a prvy se mohou opaovat. ) 7. Záleží a pořadí svetrů, umístí se všechy a bílý se opauje, jedá se tedy o permutace! s opaováím. P ),,.! - 9 -

14 Zálady matematiy Kombiatoria 8. Z šesti číslic tvoříme šesticiferé číslo, žádá cifra se eopauje, jsou to tedy permutace ) 7 šesti prvů. P!. 9. a) 5 5 a a b 5a b 5a b 5a b ab b, b) ,),,,, a), b) 55,! c) ) ).! 5 5. a), 5 b), c) a) )! ) )! ) ),!! b) )! )!, )! ) )! c) )!! )! )! )!! )!. ) )!.! V ) 7, Je potřeba 7 prvů.! P )! ) ) ) ) )!!., P!, P P, upravíme fatoriál a levé straě rovice, vyrátíme a dostaeme vadraticou rovici. Její ořey jsou, 5. Řešeí úlohy vyhovuje

15 Zálady matematiy Kombiatoria 5. C ), C ), 8, upravíme ombiačí čísla a po úpravě dostaeme vadraticou rovici Řešeí úlohy vyhovuje Její ořey jsou, a) Záleží a pořadí, prvy se eopaují, 5. 5 ) 5! P. b) Na oci je pevě daé číslo, u zbytu záleží a pořadí a eopaují se, P )!. c) Na oci může být dvoja ebo čtyřa. Jedá se o dva případy z příladu b). ) 8. P ) 7 d) P. 7. Tvoříme trojciferá čísla, u ich záleží a pořadí, vybíráme ze čtyř cifer, ty se opaují. Jedá se tedy o variace třetí třídy ze čtyř prvů s opaováím. V ). 8. Budeme postupovat podobě jao v řešeém příladu o matematice. Jde o permutace s opaováím. { a, u, t, o, m, i, z, c e} M,, 9,,,, ! P,,,,,,,,)! !! 9. Nezáleží a pořadí, tó se esmí opaovat, vypočítáme zvlášť počet třítóových aordů a zvlášť počet čtyřtóových aordů. Ty pa sečteme. 7,, C 7) C 7) Treér vybírá jedoho braáře ze tří, dva obráce z pěti, tři záložíy ze čtyř a pět útočíů z deseti. Můžeme taé říci, že je ombiuje. Lidé se samozřejmě eopaují. 5 Tedy C ) C 5) C ) C5 )

16 Zálady matematiy Kombiatoria Kotrolí test y y. V možiě přirozeých čísel řešte: 5 y y a) y -5; b) y c) y a y.. Ze mužů a že se má vybrat sedmičleá supia. Kolia způsoby je to možé? a) ; b) ; c).. Ze mužů a že se má vybrat sedmičleá supia. Kolia způsoby je to možé, mají-li být ve vybraé supiě právě žey. a) ; b) ; c).. Ze mužů a že se má vybrat sedmičleá supia. Kolia způsoby je to možé, mají-li být ve vybraé supiě alespoň žey. a) -; b) 5; c). 5. Určete počet prvů oečé možiy, z ichž lze vytvořit pětrát více uspořádaých trojic ež uspořádaých dvojic. Žádý prve se eopauje. a) 7; b) -; c).. Kolia způsoby lze ubytovat hostů, máme-li dispozici jede čtyřlůžový a dva třílůž- ové pooje? a) 5; b) ; c) elze zjistit. 7. Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutací třicetrát. Koli je prvů? a) ; b) ; c) Z olia prvů vzie 79 variací třetí třídy s opaováím? a) 8; b) 9; c). Výsledy testu. b);. a);. b);. c); 5. a);.b); 7.a); 8b)