V okolí každého hmotného tělesa existuje gravitační pole, které se projevuje silovým působením na jiná hmotná tělesa.

Transkript

1 GRAVITAČNÍ POLE

2 V okolí kažého hmotného tělesa existuje avitační pole, kteé se pojevuje silovým působením na jiná hmotná tělesa. Gavitační pole zpostřekuje silové působení těles, aniž přitom musí ojít k jejich bezpostřenímu styku. Silové působení mezi tělesy je vžy vzájemné (le 3. Newtonova pohybového zákona) tzv. avitační inteakce Vzájemné přitažlivé síly, kteé jsou míou avitační inteakce tzv. avitační síly

3 NEWTONŮV VŠEOBECNÝ GRAVITAČNÍ ZÁKON - zobecnění výsleků J. Keplea o kinematice pohybu planet po va hmotné objekty po va libovolné HB o hmotnostech m, m F m m κ κ 6,67. - k -.m 3.s - je avitační konstanta, jejíž honota byla zjištěna expeimentálně Síla F leží na spojnici hmotných boů Kažé va hmotné boy se přitahují silou, kteá je přímo úměná součinu jejich hmotností a nepřímo úměná uhé mocnině jejich vzálenosti.

4 Vektoové vyjáření Newtonova zákona: - uvažujme hmotný bo o hmotnosti m v avitačním poli hmotného bou o hmotnosti m F m m κ κ m m 3 - vekto avitační síly má opačnou oientaci než polohový vekto (přitažlivá síla) Matematický vztah platí jen po va hmotné boy a tělesa nahaitelná hmotnými boy, jejichž velikost je poti jejich vzálenosti zanebatelná. Je také přesným vyjářením avitační síly vojice homoenních koulí, ke je vzálenost jejich střeů.

5 GRAVITAČNÍ KONSTANTA -honotu κ popvé změřil anlický fyzik H. Cavenish (798) κ 6,67. - k -.m 3.s - TORZNÍ VÁHY HENRY CAVENDISH

6 INTENZITA GRAVITAČNÍHO POLE -vektoová veličina učena poílem avitační síly, kteá v aném místě pole působí na hmotný bo o hmotnosti m, a této hmotnosti: K -intenzita popisuje pole v kažém boě jenoznačně -závisí pouze na poloze uvažovaného bou a na hmotnosti tělesa, kteé pole vytváří - jenotka: N.k - m.s - F m Pozn.: Jelikož kažé těleso je zojem postoově neomezeného avitačního pole, polínají se v kažém místě postou avitační pole jenotlivých těles. V aném boě postou se vektoy intenzity avitačních polí skláají.

7 RADIÁLNÍ (CENTRÁLNÍ) GRAVITAČNÍ POLE -centální avitační pole je postoově neomezené vektoový siločaový moel aiálního avitačního pole: pole vytvořené HB nebo homoenní koulí o hmotnosti M: - vektoové vyjáření: - smě vektou intenzity K K M κ F κ M m κ M 3 a) o aného hmotného bou, kteý je zojem tohoto pole b) o střeu stejnooé koule, kteá je zojem av. pole K M κ

8 HOMOGENNÍ GRAVITAČNÍ POLE - pole chaakteizované vektoem intenzity, kteý má v kažém boě tohoto pole stejnou velikost, stejný smě, stejnou oientaci - ealizace: v ostatečné vzálenosti o avitačního centa : v omezeném postou, v němž jsou změny velikosti a směu vektou intenzity zanebatelné a) b)

9 . NPZ: GRAVITAČNÍ ZRYCHLENÍ avitační síla při svém působení na tělesa uílí těmto tělesům zychlení tzv. avitační zychlení F Newtonův av. zákon: ma F F M m κ ma ma a a mm κ M κ F m a jenotka: m.s - avitační zychlení vučitém boě je ovno intenzitě avitačního pole v témže boě (co o velikosti, směu a oientace) K a vekto intenzity avitačního pole popisuje pole avitační zychlení chaakteizuje pohyb konkétního tělesa, kteé se v aném místě pole nachází

10 PŘÍKLAD: Mějme homoenní tyč élky L a hmotnosti m. Na poloužení tyče ve vzálenosti a o jenoho jejího konce se nachází hmotný bo o hmotnosti m. Učete sílu, kteou na sebe tyto objekty působí.

11 PRÁCE GRAVITAČNÍ SÍLY hmotný bo o hmotnosti m posuneme o element áhy poél půvoiče M F m elementání páce avitační síly: elementání páce vnější síly: (poti avitační síle) Mm Mm W F κ κ Mm Mm W F + κ + κ celková páce vnější síly při přemístění HB o hmotnosti m ze vzálenosti o HB o hmotnosti M o vzálenosti Mm Mm W + κ κ Mm Mm κ κ Mm κ Mm + κ

12 GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE - skalání veličina, kteá kvantitativně popisuje chování těles v avitačním poli jiných těles W E - páce avitační síly p avitační potenciální eneie EP W EP W + C C je aitivní (inteační) konstanta Potenciální eneie je učena pací, kteou vykoná avitační síla při přenesení hmotného bou z aného místa na vztažné místo a nezávisí na cestě, po níž se přenášení ěje. Inteační konstantu ve výazu po potenciální eneii učíme pomocí tzv. okajových pomínek (vztažný bo volíme v nekonečnu): po vymizí F E p E p Mm κ

13 GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE avitační potenciální eneie hmotného bou o hmotnosti m v avitačním poli hmotného bou o hmotnosti M - páce avitační síly: W E P Mm κ ( EP EP ) ( EP EP ) EP M F m W - páce vnější síly: Mm Mm κ κ ( EP EP ) + EP W W Mm Mm κ κ M F m F

14 POTENCIÁL GRAVITAČNÍHO POLE - skalání veličina chaakteizující avitační pole v učitém boě závisející pouze na vlastnostech tohoto pole (nikoli na vlastnostech tělesa v aném boě umístěného) - potenciál avitačního pole v aném boě postou je poíl avitační potenciální eneie, kteou má v tomto boě pomocné těleso (HB) o hmotnosti m a této hmotnosti E P ϕ jenotka: J.k m - N.m.k - m.s - po avitační pole HB o hmotnosti M a zvolíme-li vztažný bo v nekonečnu: M ϕ κ

15 MODEL ZEMĚ GRAVITAČNÍ POLE ZEMĚ - ve vztahu k jiným vesmíným objektům (planety, užice ) - Zemi považujme za homoenní kouli o poloměu R 6378 km a hmotnosti M 5,98. 4 k VE SKUTEČNOSTI: Země má tva blízký otačnímu elipsoiu hlavní poloosa (ovníkový polomě) 6378 km velejší poloosa (polání polomě) 6357 km Země není homoenní hustota oste směem o střeu Země hmotnost Země 5, k stření hustota Země 55 k.m -3

16 GRAVITAČNÍ ZRYCHLENÍ - avitační zychlení klesá s namořskou výškou (zvětšuje se vzálenost o střeu Země) - v namořské výšce h je vzálenost o střeu Země R + h M M M a κ κ κ + R ( R + h) R ( R h) a a + h R poku je h pp R a a + h R a h R a M κ R Pozn.: Ve výšce h 3,8 km je avitační zychlení jen o pomile menší než při hlaině moře ( ) a

17 POTENCIÁLNÍ ENERGIE TĚLES V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ -mějme těleso o hmotnosti m ve vzálenosti o střeu Země - hmotnost Země ozn. M, polomě R A) na povchu Země: E P M m κ R E P M m κ B) ve výšce h na povchem Země: E M m κ P R + h páce vnější síly potřebná k vyzvenutí tělesa z povchu Země o výšky h (přemisťujeme poti avitační síle): W E p E M m κ R + h M m + κ R p κ M m R R + h

18 po h << R je páce: M m M m h M mh W κ κ + κ R h R R R + R M R použijeme-li vztah po avitační zychlení a κ páce vnějších sil: W ma h platí po malé namořské výšky

19 PŘÍKLAD: Jakou ychlostí musíme vypustit těleso z povchu Země, aby vystoupilo o výšky ovné poloměu Země?

20 TÍHOVÉ POLE ZEMĚ -ve vztahu k tělesům na povchu esp. v blízkosti povchu Země -komě avitační síly působí na tělesa o hmotnosti m síla setvačná F F S F o FS man mω F S mrω cos β Rcos β -tíhové pole Země je složené z avitačního pole Země a pole setvačných (ostřeivých) sil F G - výslenice sil působících na těleso na Zemi: F + F F G S F... tíhová síla, m je tíhové zychlení G F G smě tíhové síly efinuje svislý smě

21 TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ tíhové zychlení závisí na namořské výšce i zeměpisné šířce: tíhové zychlení klesá s namořskou výškou tíhová síla klesá s namořskou výškou stejně jako tíhové zychlení F G m maximální je na zemských pólech (9,83 m.s - při hlaině moře) minimální je na ovníku (9,78 m.s - při hlaině moře) závislost je ána tvaem zemského elipsoiu a otací Země tíhové zychlení je vektoovým součtem avitačního zychlení a zychlení setvačného a + a s

22 POHYBY TĚLES V RADIÁLNÍM GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ - pohyby aketových střel, umělých užic Země, kosmických loí - poél tajektoie těchto těles se mění velikost i smě intenzity avitačního pole i avitačního zychlení - zanebáváme vliv avitačního pole Slunce, Měsíce a planet PRVNÍ KOSMICKÁ RYCHLOST (KRUHOVÁ RYCHLOST) ychlost, kteou musí mít těleso aby mohlo tvale obíhat kolem Země po kuhové áze o poloměu R + h opo vzuchu zanebáváme ostřeivá síla potřebná k užení ovnoměného pohybu po kužnici je ána avitační silou: mv M m κ pvní kosmická ychlost: v I M κ M κ R R R + h a R R + h -po přípa h<< R v I a R - 7,9 km.s

23 DRUHÁ KOSMICKÁ RYCHLOST (PARABOLICKÁ, ÚNIKOVÁ) - ychlost, kteou je třeba uělit tělesu ve výšce h, aby opustilo sféu zemské přitažlivosti -přepoklááme, že se těleso má vzálit o nekonečna (ke je potenciální eneie tělesa nulová) - ze zákona zachování mechanické eneie - otu platí: v a mv R R + h EP E II h P M m κ, po je v II, km.s - TŘETÍ KOSMICKÁ RYCHLOST (HYPERBOLICKÁ RYCHLOST) tajektoií užice je hypebola těleso opouští avitační pole Země a stává se umělou užicí Slunce, poku není její ychlost ostatečná k opuštění avitačního pole Slunce za přepoklau, že užici vypouštíme ve směu ychlosti, kteou obíhá Země kolem Slunce - v III 6,7 km.s

24

25 PŘÍKLAD:

26 POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ - paamety tajektoie vženého tělesa malé ve sovnání s ozměy Země - tíhové zychlení je poél celé tajektoie tělesa konstantní - pohybová ovnice volného HB: ( ) F ma mv t -vyjáření pomocí souřanic: z z z y y y x x x F t z m t v m m a F t y m t v m a m F t x m t v m a m

27 VOLBA SOUSTAVY SOUŘADNIC: počátek vpočáteční poloze HB vekto počáteční ychlosti leží v ovině XY úhel, kteý svíá vekto ychlosti s klaným směem osy X je tzv. elevační úhel (úhel vhu) Pole počátečních pomínek pohybu ostáváme tyto přípay: volný pá vh svislý olů vh svislý vzhůu vh vooovný vh šikmý vzhůu souřanice síly ve zvolené soustavě souřanic: Fx F y m F z

28 Dosazení souřanic síly o pohybových ovnic: v x t, y t, souřanice ychlosti: y z 3 z t x k v t + k, v, k inteujeme inteační konstanty souřanice počáteční ychlosti v x v cosα, v y v sinα, v z souřanice polohy HB: x v x t + c, y t + v y t + c, z v z t + c3 inteační konstanty souřanice počáteční polohy HB x y, z, osaďme inteační konstanty inteujeme x v t, y t + v y t z v x, z t

29 A) VOLNÝ PÁD - ovnoměně zychlený pohyb s nulovou počáteční ychlostí - pohyb ve směu osy y x y v okamžitá ychlost: souřanice velikost v y t v souřanice HB y t, x t inteujeme B) VRH SVISLÝ DOLŮ - ovnoměně zychlený pohyb s nenulovou počáteční ychlostí -pohyb ve směu osy y x y v y v okamžitá ychlost: souřanice velikost v y v t v v + t inteujeme souřanice HB y v t t, x

30 C) VRH SVISLÝ VZHŮRU - ovnoměně zpomalený pohyb s nenulovou počáteční ychlostí - pohyb ve směu osy y x y v y v okamžitá ychlost v vy v t souřanice HB y v t t, x inteujeme oba výstupu po výška výstupu h v okamžiku opau v v y v v t h y celková oba vhu v t c

31 -pohyb v ovině xy -tajektoií je paabola -počáteční ychlost má smě osy x, úhel D) VRH VODOROVNÝ α -těleso se nachází na počátku na ose y ve výšce h x y h ( ), okamžitá ychlost v x v, v y t souřanice HB x y v t h t inteujeme x y h v vyloučením času z ovnic po souřanice HB oba vhu (po y ) h t s álka vhu (maximální x-ová souřanice) s v h velikost celkové ychlosti + v v h

32 E) VRH ŠIKMÝ VZHŮRU - pohyb v ovině xy, tajektoií je paabola -při uplatnění opou postřeí je tajektoií balistická křivka π -počáteční ychlost v svíá s osou x elevační úhel p α p -na počátku je hmotný bo v počátku soustavy souřanic x y okamžitá ychlost v v x y v v x v cosα sinα cos souřanice HB y vt sinα t y x t t α x α v cos oba výstupu (souřanice vcholu paaboly) po v y t α t h v α sin inteujeme vyloučení času obecná ovnice tajektoie

33 výška výstupu y h v sin α álka vhu po y celková oba vhu t s x s v v sinα sin α velikost okamžité ychlosti v vx + vy v y

34 závislost tvau tajektoie na elevačním úhlu vhu závislost tvau tajektoie na opou postřeí bez opou postřeí paabola balistická křivka