Statika 2. Smyk za ohybu. Miroslav Vokáč 18. listopadu ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M.

Transkript

1 4. přednáška Miroslav Vokáč ČVUT v Prae, Fakulta architektury 18. listopadu 2015

2 TAH F U tlačených docháí před dosažením pevnosti materiálu ke trátě stability, k vybočení prutu a jeho porušení! TLAK F F Předpokládejme materiál s lineárním materiálovým modelem (Hookeův ákon). Únosnost prutu v tlaku je menší než únosnost v prostém tahu! F F max = Aσ dov F max < Aσ dov

3 Ideální (perfektní) prut je tlaková centrická síla, při které dojde ke trátě stability ideálního (perfektního) prutu. Perfektní prut je: dokonale přímý, síly na obou koncích prutu jsou vneseny dokonale souose, osová síla působí dokonale centricky. e = 0 e = 0 e = 0

4 Teorie I. řádu - vnitřní síly stanovujeme k nedeformovanému tvaru konstrukce. Teorie II. řádu - vnitřní síly stanovujeme k deformované střednici prutu. Podle teorie II. řádu se určí q ohybový moment: F F x M(x) = R x 1 2 qx 2 + F w(x) R = 1 2 ql x w(x) l Z diferenciální rovnice průhybové čáry: M(x) = EI w (x) Z rovnosti těchto výraů le ískat diferenciální rovnici: w (x)+ F EI w(x) = q 2EI (x 2 lx) Euler řešil vlastní problém této diferenciální rovnice, kdy se předpokládá, že pravá strana rovnice je nulová, tj. q = 0, a hledá se netriviální řešení w(x) 0. Odtud Euler ( ) odvodil vorec pro kritickou sílu F cr.

5 Řešení vlastního problému prut typu kloub-kloub w (x)+ Fcr EI w(x) = 0 Le ukáat, že vlastní funkce (tvary vybočení) splňující okrajové podmínky w(0) = w(l) = M(0) = M(l) = 0 mají v tomto případě tvar: w(x) = sin nπx l, kde n = 1, 2, 3,... Derivováním vlastní funkce ískáme: w (x) = nπ l cos nπx l w (x) = n2 π 2 l 2 Dosaením do diferenciální rovnice: n2 π 2 l 2 sin nπx l + Fcr EI sin nπx l sin nπx l = 0 Odtud plyne hodnota Eulerovy kritické síly F cr : F cr = n2 π 2 EI l 2, kde n = 1, 2, 3,... Rohoduje nejmenší hodnota, tj. F cr pro n = 1.

6 Le odvodit a pro růná uložení prutu obecnit vorec pro : F cr = EI min π 2 L 2 cr E... modul pružnosti I min... menší hlavních centrálních momentů setrvačnosti průřeu (a předpokladu stejného uložení prutu v rovině xy a x) L cr... vpěrná délka, ávisí na působu uložení prutu

7 Vpěrná délka Vpěrná délka je vdálenost inflexních bodů tvaru vybočení prutu. Tvar vybočení odpovídá vlastní funkci a je to sinusovka. F cr F cr F cr F cr l L cr L cr L cr L cr = l L cr = 0,7l L cr = 1 2 l Lcr = 2l

8 Příklad F cr =? ζ η I y = I = 28, mm 4 I η = 45, mm 4 I ζ = mm 4 l = 3m t y I min = 11, mm 4 L cr = l = 3 m E = 210 GPa L F cr = π2 EI min L 2 cr = π , = 271,7 kn

9 Příklad l = 3m F cr =? x y I200 F cr, x y F cr,y x 1. Vybočení v rovině xy (k nehmotné ose) I = 1, mm 4 L cr, = 0,7l = 2,1 m F cr, = π , ,1 2 F cr, = 545,2 kn 2. Vybočení v rovině x (k hmotné ose) I y = 21, mm 4 L cr,y = 2l = 6 m F cr,y = π , F cr,y = 1 232,1 kn F cr = min(f cr,y, F cr, ) = 545,2 kn

10 Reálný (imperfektní) prut Skutečné pruty nejsou ideální, ale mají určité imperfekce: tolerance prohnutí, tolerance ve svislosti, náhodná excentricita atížení. e e e Proto navrhujeme reálné osamělé sloupy (ocelové, dřevěné) pomocí součinitelů vpěru na vpěrný tlak.

11 Podmínka spolehlivosti Podmínka spolehlivosti podle teorie dovolených namáhání: σ = N A ϕσ dov ϕ... je součinitel vpěru (vpěrnostní součinitel), ϕ 1, v éře dovolených namáhání se používal součinitel c 1, c = 1 ϕ ϕ = ϕ(λ)... vtah je dán složitějším výpočtem, který je často tabelován (vi příslušná norma) λ... je štíhlost prutu λ = Lcr i i... je poloměr setrvačnosti i = I A

12 Vývoj v našich normách pro navrhování V éře dovolených namáhání se onačoval součinitel vpěru c 1. Po avedení meních stavů v systému norem ČSN se onačoval součinitel vpěru ϕ 1. Po avedení Eurokódu se onačuje součinitel vpěru χ 1. Eurokód avádí několik druhů štíhlostí: Základní štíhlost λy, = L cr/i y,, kde index y, onačuje, že se použije veličina vtažená k ose y nebo k ose. Srovnávací štíhlost, která je např. pro ocelové konstrukce rovna λ 1 = 93,9 235/f y. Poměrnou štíhlost λ = λy,/λ 1. V Eurokódu je součinitel vpěru vyjadřován jako funkce poměrné štíhlosti χ = χ(λ). S růnými metodami prokaování spolehlivosti stavebních konstrukcí se měnily i metodiky pro stanovení součinitelů vpěru.

13 Únosnost tlačeného prutu v ávislosti na štíhlosti F max Prostý tlak F = Aσ dov Eulerovo břemeno F cr = π2 EA λ 2 F = Aσ dov ϕ(λ) λ = Lcr i

14 Vpěrné délky u příhradových vaníků L cr L cr U příhradových vaníků je L cr pro vybočení v rovině vaníku rovno délce prutu. Pro vybočení roviny vaníku může být vpěrná délka větší v ávislosti na konstrukčním uspořádání avětrování, vanic, světlíků...

15 Vpěrné délky u rámových konstrukcí F F EI l F F L cr L cr Nejedná se o osamělé sloupy! Závisí na ohybových tuhostech průřeů EI a na délkách l! Vpěrné délky se určují složitějším postupem nebo jednodušeným postupem podle dané normy.

16 Věta o vájemnosti tečných napětí x B τ x (B) x B τ x (B) Věta o vájemnosti tečných napětí: τ x (B) = τ x (B)

17 Grashofova hypotéa y τ x M ϕ G t N τ x Grashofova hypotéa se týká rodělení napětí τ x podél úsečky MN: 1. Složka napětí τ x je konstantní. 2. Vektory τ x směřují do jediného bodu (Grashofův bod) a na obvodě průřeu mají směr tečny. Z Grashofovy hypotéy plyne: Maximální τ x je na obvodě průřeu a má velikost τ x = τ x cosϕ

18 Odvoení vtahu pro τ x t y M(x) τ x () M(x)+V(x)dx x b() A σ x = M(x) I y dx σ x = M(x)+V(x)dx I y : A M(x) I y da τ x () b() dx + A M(x)+V(x) dx I y da = 0 V(x) dx τ x () b() dx + I y da = 0 A τ x () = V(x) I y b() da τ x () = τ x () = A V(x) Sy(A) I y b()

19 Předpokládejme jen průřey symetrické ke svislé ose. Pro smyk a ohybu musí platit: M y 0 σ x V 0 τ x Schwedlerova věta: V (x) = M y(x) y t τ x () τ x () = V S y () b() I y b() x Aτ V... posouvající síla b()... šířka průřeu pro danou souřadnici I y... moment setrvačnosti průřeu k ose y S y ()... statický moment dílčí části plochy průřeu A k ose y

20 obdélníkového průřeu y A t b h τ x,extr 2 τ x 2τ x,extr Podle Grashofovy hypotéy: ϕ = 0 cosϕ = 1 τ x = τ x Napětí τ x (): A() = b( h 2 ) S y () = A( + h 4 2 ) I y = 1 12 bh3 b() = b τ x () = V S y () I y b() = 3 V 2 bh 3(h2 4 2 ) τ x,extr = τ x ( = 0) = 3 V 2 bh

21 Průběhy τ x vybraných průřeů y t 2 y t 2 2 y t 2 2 τ x τ x τ x U průřeů služených obdélníků, kdeϕ = 0 a τ x = τ x, je extrémní τ x v těžišti průřeu.

22 Průběhy τ x vybraných průřeů y h t h 2 τ x 2 y a t a 2 τ x y t τ x 2 Pokud průře není složen obdélníků,ϕ 0 a τ x τ x, je někdy nutné vyjádřit obecně funkci τ x () a hledat polohu extrému tečných napětí.

23 Příklad Určete průběh tečných napětí v průřeu v 1/4 ropětí nosníku. q = 4kNm 1 A = 1 2ql = 6 kn l = 3m V( l 4 ) = A 1 4ql = 3 kn A 10cm 20cm 10cm y t cm 1 τ x 3 2 I y = I y = cm 4 τ x = V Sy b I y bod 1: S y = = cm 3 τ x,1 = = 30,68 kpa 0, bod 2: τ x,2 = = 92,05 kpa 0, bod 3: S y = = cm 3 τ x,3 = , = 102,27 kpa

24 Specifika tenkostěnných průřeů h y 1 τ xy b δ f 2 τ x Neplatí Grashofova hypotéa. Smykový tok t sleduje tvar průřeu a má velikost t = V S y I y A δ 1 τ xy Pro tenkostěnný I průře platí přibližný vtah δ f < 1 b Tečné napětí je podél tloušt ky δ roděleno rovnoměrně τ xs = t δ = V S y δ I y

25 Průře be svislé osy symetrie τ xy 1 δ f Pro tenkostěnný U průře platí přibližný vtah δ f < 1 10 b. y C s t b h M x 2 τ x U průřeů be svislé osy symetrie výslednice τ x neprocháí těžištěm průřeu, ale středem smyku C s. R τ Pokud atížení neprocháí středem smyku, docháí také ke kroucení průřeu! τ xy 1

26 2 samostatné nosníky Složený průře h 2 h 2 b + + σ x σ x,extr = 1 2 M 1 6 b(h 2 )2 h b + σ x σ x,extr = M 1 6 bh2 U složených průřeů je třeba ajistit přenášení smykových napětí τ x vhodnými spojovacími prostředky dle daného materiálu (svorníky, hmoždíky, lepením, nýty, šrouby, svary, betonářskou výtuží, spřahovacími trny).

27 Koutový svar svařovaného ocelového nosníku y τ w Tečné napětí ve svaru: A τ w = V S y 2.0,7t I y a a a. = 0,7t t

28 Síla na svorník nebo hmoždík u dřevěných trámových roštů v v v v v v v v v b h A T = τ x b v = V S y b I y v b = V S y I y v = V 1 8 bh2 v 1 12 bh3 T = 3 V v 2 h

29 Dřevěné trámové rošty Dřevěné hmoždíky Ocelové hmoždíky buldog Spolupůsobení mohou ajišt ovat svorníky, hmoždíky, aubení, tesařské skoby...

30 Spřažený průře beton-betonu Mostní T-nosník předpjatého betonu betonářská výtuž monolitický beton drsněný horní povrch prefabrikát Spolupůsobení ajišt uje betonářská výtuž a drsněný horní povrch prefabrikátu.

31 Spřažený průře ocel-beton Ocelobetonový nosník monolitický beton spřahovací trny ocelový nosník Spolupůsobení ajišt ují navařené spřahovací trny.

32 Kontrolní otáka Prut příhradové konstrukce namáhaný normálovou silou N < 0 budu posuovat na: a) Prostý tah b) Prostý tlak c)

33 Kontrolní otáka Vpěrná (kritická) délka u tlačených je definována takto: a) Vpěrná délka je dvojnásobek délky prutu. b) Vpěrná délka je vdálenost kloubových podpor. c) Vpěrná délka tlačeného prutu je dálenost inflexních bodů tvaru vybočení.

34 Kontrolní otáka Vpěrná (kritická) délka tlačeného prutu, který má délku L a je typu vetknutí-vetknutí, se vypočte: a) L cr = 0,5L b) L cr = 0,7L c) L cr = L

35 Kontrolní otáka Prostý smyk můžeme uvažovat: a) Kdykoli je posouvající síla nenulová. b) Jen u ohýbaných nosníků. c) Jen u spojovacích prostředků jako jsou nýty, šrouby, svary, hřeby atd.

36 Kontrolní otáka Tečné napětí v průřeu se v případě prostého smyku vypočte podle vtahu: a) τ = V A b) τ = V Sy(A) I y b() c) τ = N A

37 Kontrolní otáka Tečné napětí v průřeu se při smyku a ohybu vypočte podle vtahu: a) τ = V A b) τ = V Sy(A) I y b() c) τ = N A

38 Kontrolní otáka Extrémní hodnota tečného napětí v případě smyku a ohybu se u obdélníkového průřeu šířky b a výšky h vypočte: a) τ = 3V 2bh 3 b) τ = 3V 2bh 2 c) τ = 3V 2bh

39 Konec přednášky Děkuji a poornost. Vysáeno systémem L A T E X. Obráky vytvořeny v systému Å Ì ÈÇËÌ.