Důkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
|
|
- Nela Vávrová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
2 Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné zdůvodnění pravdivosti určitého tvrzení za předpokladu platnosti daných axiomů
3 Typy matematických vět Dva typy matematických vět Obecná matematická věta: ( x)v(x) Existenční věta: ( x)v(x) V(x) je obvykle psána jako implikace P(x) Z(x), nebo ekvivalence P(x) Z(x) P je předpoklad (premisa) Z je závěr (konkluze)
4 Metody matematických důkazů Důkazy obecných vět Přímý důkaz Nepřímý důkaz Důkaz sporem Důkaz matematickou indukcí Důkazy existenčních vět Konstrukční důkaz Ryze existenční důkaz
5 Přímý důkaz Jediný formálně uznatelný důkaz Ostatní metody je ale vždy možno převést na přímý důkaz Posloupnost tvrzení T 1, T 2, T n, kde T i je buďto předpoklad P(x) axiom závěr odvozovacího pravidla s předpoklady T j, j<i T n = Z(x) Posloupnost formulí, které ze sebe logicky vyplývají
6 Přímý důkaz - příklad Dokažte, že na množině přirozených čísel platí ( x)((x 2) (6x + 3 > 13)) Vyjdeme z předpokladu, že x 2 a postupně dojdeme k závěru, že 6x+3>13 x 2 6x 12 6x x x + 3 > 13
7 Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz je přímé dokázání obměny implikace Příklad: Dokažte, že pro všechna celá čísla platí: je-li n 2 liché, pak i n je liché. ( n)(l(n 2 ) L(n)) Obměna: ( n)(s(n) S(n 2 )) Což je snadné dokázat
8 Nepřímý důkaz příklad Dokažte, že pro libovolné prvočíslo p platí: p n 2 p n Obměna implikace p n p n 2 Pokud p nedělí n, pak n=pt+r pro vhodná celá t,r taková, že 0<r<p Pak n 2 = (pt+r) 2 = p(pt 2 +2tr)+r 2 Rozhodně p nedělí r 2, protože 0<r<p, z čehož plyne r 2 <p 2 p tedy nedělí n 2 Dokázali jsme obměnu implikace, původní implikace tedy musí platit také
9 Důkaz sporem Předpokládáme neplatnost dokazovaného tvrzení a poté přímým důkazem (tj. nezpochybnitelnými implikacemi) dojdeme k evidentní kontradikci. Dokazovaná věta tudíž musí (za předpokladu bezespornosti teorie) platit
10 Důkaz sporem příklad I. Dokažte, že pro všechna celá čísla platí: je-li n 2 liché, pak i n je liché. ( n)(l(n 2 ) L(n)) Vyslovíme negaci dokazovaného tvrzení ( n)(l(n 2 ) S(n)) Protože ale S(n) n = 2k, k N n 2 = (2k) 2 = 2*2*k 2 S(n 2 ) Dostáváme tedy spor L(n 2 ) S(n 2 ) Negace věty nemůže platit, musí tedy platit dokazovaná věta
11 Důkaz sporem příklad II. Dokažte, že nemůže existovat sudé prvočíslo větší než 2 Jinými slovy: Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Předpokládejme, že existuje sudé prvočíslo X > 2. Pak platí: X není dělitelné žádným jiným číslem kromě 1 a X Tedy X není dělitelné dvěma X je sudé, tedy X je dělitelné dvěma X tedy zároveň je a není dělitelné dvěma
12 Důkaz matematickou indukcí Používá se při důkazu tvrzení platného pro všechna přirozená čísla Tvrzení dokážeme pro první prvek Dokážeme, že platí-li pro nějaký prvek, platí i pro jeho následníka Tím pádem víme, že platí pro všechny prvky
13 Matematická indukce příklad Dokažte, že pro všechna přirozená čísla platí n = n(n+1)/2 Dokážeme platnost pro n = 1: 1 = 1*2/2 = 1 Dokážeme, že platí-li tvrzení pro k N, platí i pro k k = k(k+1)/ k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2 Upravujeme výraz na pravé straně implikace k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2 k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2 k/2 + 1 = (k+2)/2 k + 2 = k + 2 Implikace je tedy pravdivá Uvedené tvrzení platí pro všechna přirozená čísla
14 Matematická indukce příklady Dokažte, že pro všechna přirozená n platí Dokažte, že je-li r libovolné, r 1, pak pro každé n 0 platí
15 Konstrukční důkaz Máme-li dokázat existenci určitého objektu, zkonstruujeme jej Příklad: Dokažte, že existuje pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými délkami stran. Důkaz: Na základě Pythagorovy věty můžeme větu přeformulovat jako a,b,c : a 2 + b 2 = c 2 Pak snadno ukážeme, že pro a = 3, b = 4 a c = 5 uvedené tvrzení platí
16 Ryze existenční důkaz Dokážeme existenci požadovaného objektu, aniž bychom jej museli konstruovat Příklad: Je dán bílý čtverec 10x10cm a v něm je 101 bodů obarveno na červeno. Dokažte, že při libovolném obarvení těchto bodů existuje trojúhelník s obsahem 1cm2 který obsahuje alespoň dva červené body. Důkaz: Obsah čtverce je 100cm2, obsah trojúhelníka je 1cm2. Do čtverce lze vepsat právě 100 trojúhelníků. Kdyby v každém z nich byl 1 červený bod, museli bychom 101. bod umístit do trojúhelníka, kde už jeden červený bod je. Použili jsme tzv. Dirichletův princip
17 Ryze existenční důkaz příklad Algebraické číslo je takové komplexní číslo, které je kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty. Číslo, které není algebraické, se nazývá transcendentní. Věta: Existuje transcendentní číslo. Důkaz: Algebraických rovnic je spočetně mnoho, tedy algebraických čísel je spočetně mnoho. Reálných čísel je však nespočetně mnoho, musí mezi nimi být i taková, která jsou transcendentní. vysvětlení pojmů viz předáška o nekonečných číslech
18 Příklady Dokažte přímým důkazem n : 5 n 30 (n 3 n) n : 2 n 16 (n 4 1) Dokažte nepřímým důkazem n : 5 (n 2 +1) 5 n n : 3 (n 2 +1) 6 n Dokažte uvedená tvrzení sporem Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných reálných čísel je větší nebo roven jejich průměru geometrickému tj. Dokažte matematickou indukcí a + b 2 a b n : 6 (n 3 +11n) n : 9 (4 n +15n 1) n : 2 n > 2n + 1 Dokažte, že součet třetích mocnin každých po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti. Turista zahájí při východu slunce výstup na horu a dosáhne vrcholu při západu slunce. Následujícího dne začne po východu slunce sestupovat po stejné cestě a sestup dokončí se západem slunce. Dokažte, že existuje míso, jímž turista projde ve stejnou denní dobu jak při výstupu, tak při sestupu.
Kvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
Kvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.
9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme
3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
Kapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
Úvod do výrokové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 29
Úvod do výrokové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 29 Extenzionalita Extenze a intenze typ výrazu extenze intenze individuový výraz jednotlivý objekt individuový pojem predikát
když n < 100, n N, pak r(n) = n,
Zúžená aritmetika úvod Nad a Stehlíková Autorem netradiční aritmetické struktury, v rámci které se budeme nadále pohybovat, je Prof. Milan Hejný. Nejdříve si zavedeme základní pojmy. Základem zúžené aritmetiky
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
10. Polynomy a racionálně lomenné funkce
10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu
Rostislav Horčík. 13. října 2006
3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem
VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.
Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
Michal Sláma. Pythagorejské trojúhelníky Pythagorean triangles
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michal Sláma Pythagorejské trojúhelníky Pythagorean triangles Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Antonín
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
Matematika 9. ročník
Matematika 9. ročník Náhradník NáhradníkJ evátá třída (Testovací klíč: PFFNINW) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Geometrie / Slovní úlohy
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Buď (T, +, ) těleso. Pak soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,................................... a m1 x 1 + a m2 x
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
Hra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },
Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.
2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem
.7. Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: K následujícím třem hodinám je možné přistoupit dvěma způsob. Já osobně doporučuji postupovat podle učebnice. V takovém případě
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí
DMA Přednáška Speciální relace Nechť R je relace na nějaké množině A. Řekneme, že R je částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. V tom případě značíme relaci a řekneme,
= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
Př. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3.
1..20 Dláždění III Předpoklady: 01019 Př. 1: Najdi n ( 84,96), ( 84,96) D. 84 = 4 21 = 2 2 7 96 = 2 = 4 8 = 2 2 2 2 2 D 84,96 = 2 2 = 12 (společné části rozkladů) ( ) n ( 84,96) = 2 2 2 2 2 7 = 672 (nejmenší
Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu
4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu
15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.
Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky. Pokuste se rozhodnout o pravdivosti následujících výroků a formulujte jejich negace.
Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky 1. Matematická logika Výroky, složené výroky: konjunkce (, a zároveň ), disjukce (, nebo), negace výroků ( před nebo čárka nad označením výroku), implikace
PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2010 - I.termín
MATEMATIKA Obor: 79-41-K/81 Součet bodů: Opravil: Kontroloval: Vítáme vás na gymnáziu Omská a přejeme úspěšné vyřešení všech úloh. Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí. V matematice pracujeme s čísly
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 03 Operace v množině, vlastnosti binárních operací O čem budeme hovořit: zavedení pojmu operace binární, unární a další operace
1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
Funkce. Liché a sudé funkce, periodické funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, 2012-14. Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Liché a, periodické funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah Sudé a 1 Sudé a 3 Sudé a Sudá funkce f má vzhledem k ose o y symetrický definiční
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I
9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Domácí úkol DU01_2p MAT 4AE, 4AC, 4AI
Příklad 1: Domácí úkol DU01_p MAT 4AE, 4AC, 4AI Osm spolužáků (Adam, Bára, Cyril, Dan, Eva, Filip, Gábina a Hana) se má seřadit za sebou tak, aby Eva byly první a Dan předposlední. Příklad : V dodávce
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.
Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází
1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Řešení 3. série. typ čtverce o kolik se zvýší počet 1 x 1 2k + 1 2 x 2 2k 1 3 x 3 2k 3. . k x k 3 (k + 1) x (k + 1) 1
Řešení 3 série Řešení S-I-3-1 Než se pustíme o řešení úlohy s n x n čtvercovými poli, zkusme ohalit princip na šachovnici s konkrétním počtem polí Na šachovnici 1 x 1 je pouze 1 čtverec Na šachovnici 2
2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
Zákonitosti, vztahy a práce s daty
20mate matematika Jednotlivé kapitoly mají rozsah čtyř stran a každá kapitola je obohacena o rozšiřující učivo. sčítání a odčítání Zákonitosti, vztahy a práce s daty 1 Vyřeš úlohy. a) Součet všech čísel
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1../34.2 Šablona: III/2 Přírodovědné předměty
1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
Kruh, kružnice, válec 1. Kruh, kružnice 1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed kružnice. Stejnou vzdálenost nazýváme poloměr
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
2.1.13 Funkce rostoucí, funkce klesající I
.1.13 Funkce rostoucí, funkce klesající I Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Následující příklad je dobrý na opakování. Můžete ho studentům zadat na čas a ten kdo ho nestihne nebo nedokáže vřešit, b
Systém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
Lineární algebra. Vektorové prostory
Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE
Nové formy výuky s podporou ICT ve školách Libereckého kraje IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE Podrobný návod Autor: Mgr. Michal Stehlík IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE 1 Úvodem Tento
Analytická geometrie (3. - 4. lekce)
Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a
Finanční matematika Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Finanční matematika Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
Druhá mocnina a odmocnina Irena Budínová PDF MU budinova@ped.muni.cz
Druhá mocnina a odmocnina Irena Budínová PDF MU budinova@ped.muni.cz Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických pracovníků propojením pedagogické
Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže znáte délku jeho dvou stran (a = 5cm, b = 7cm) a poloměr kružnice jemu opsané (r = 6cm).
SÉRIE 1 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže znáte délku jeho dvou stran (a = 5cm, b = 7cm) a poloměr kružnice jemu opsané (r = 6cm). Mějme (uspořádanou) trojici čísel a, b, c. Po jednom kroku se trojice
1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105
.. Kruhový pohyb Předpoklady: 05 Předměty kolem nás se pohybují různými způsoby. Nejde pouze o přímočaré nebo křivočaré posuvné pohyby. Velmi často se předměty otáčí (a některé se přitom pohybují zároveň
derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého
Definice 6.1 Sled (z vrcholu u do vrcholu v) v grafu G je libovolná posloupnost
Kapitola 6 Cesty v grafu Tématem této kapitoly jsou cesty v grafech a různé jejich modifikace. Pomocí cest zavedeme souvislé grafy a odvodíme některé jejich vlastnosti. Představíme rovněž eulerovské a
( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2008/2009
Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 008/009 Zadavatel: Ekonomický přehled: kód 1 Matematické myšlení: kód Společensko historický přehled: kód Zadejte kód místo x do níže
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
Výroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná
Matematika pro 9. ročník základní školy
Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy
Úvod do teoretické informatiky(2015/2016) cvičení 6 1
Úvod do teoretické informatiky(2015/2016) cvičení 6 1 Cvičení 6 Příklad 1: Pro každou z následujících sekvencí symbolů rozhodněte, zda se jedná o a) term, b) formuli predikátové logiky(používejte běžné
1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Funkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení
( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP
Matematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
KONSTRUKČNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ UŽITÍM MNOŽIN BODŮ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KONSTRUKČNÍ
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.
MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah
a) Slovní úlohy o směsích b) Slovní úlohy o pohybu c) Slovní úlohy o společné práci
9. ročník a) Slovní úlohy o směsích b) Slovní úlohy o pohybu c) Slovní úlohy o společné práci d) Logické slovní úlohy Obecný postup řešení slovní úlohy: 1. Určení neznámých 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti
n) 20; 125 l) 3, 5, 7
Příklad 1 : Určete nejmenší společný násobek čísel : a) 5; 25 h) 30; 40 b) 8; 20 i) 680; 850 c) 20; 25 j) 35; 55 d) 80; 85 k) 60;84 e) 14; 21; 28 l) 72; 120 f) 3, 5, 7 m) 40; 50; 60; 120 g) 125; 200 n)
Dopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě
Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
Základy logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
Rozvrhování zaměstnanců
Rozvrhování zaměstnanců 23. dubna 2014 1 Úvod 2 Rozvrhování volných dnů 3 Rozvrhování směn 4 Cyklické rozvrhování směn 5 Rozvrhování pomocí omezujících podmínek Rozvrhování zaměstnanců Jedná se o problém
VY_42_INOVACE_MA_4A_18A Základní škola Nové Město nad Metují, Školní 1000, okres Náchod Autor: Ivana Hynková. Tematický okruh, předmět: Matematika
Název: Škola: VY_42_INOVACE_MA_4A_18A Základní škola Nové Město nad Metují, Školní 1000, okres Náchod Autor: Ivana Hynková Ročník: Tematický okruh, předmět: Téma: Číslo projektu: IV. Matematika 4. čtvrtletní