Obsah. x y = 1 + x y = 3x y = 2(x2 x + 1) (x 1) x 3. y = x2 + 1 x y =
|
|
|
- Otakar Urban
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28
2 Obsah y = y = y = 2(2 1) ( 1) 2 11 y = y =
3 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) Omezení na definiční obor vyplývá (1 2 ze ) 2 jmenovatele zlomku. Výraz 2 1 nesmí= být 1 nulový (1 2 ) 2 To je však zajištěno pro = 1 všechna reálná čísla. 2 (1 2 ) 2
4 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 Čitatel,, je lichá funkce, = 1 2 jmenovatel, 2 2 (1 2 ), je funkce sudá. (1 2 ) 2 Jako celek je tedy zlomek = 1 lichá funkce. 2 (1 2 ) 2
5 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 Určíme průsečík s osou a znaménko = 1 funkce na jednotlivých intervalech. 2 (1 2 ) 2
6 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 Určíme průsečík s osou a znaménko = 1 funkce na jednotlivých intervalech. 2 (1 2 ) 2
7 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 Zlomek je roven nule právě = tehdy, 1 2 když čitatel je nulový. (1 2 ) 2
8 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 Zakreslíme průsečík = na = 1 osu. Funkce nemá žádný bod nespojitosti. 2 (1 2 ) 2
9 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = Jmenovatel (1 2 ) je y = 1(1 stále 2 kladný. ) ( 2) Čitatel zlomku má proto stejné (1 2 ) znaménko 2 jako celý zlomek = (1 2 ) 2 Funkce je kladná, je-li = 1 kladné a naopak. 2 (1 2 ) 2
10 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 Určíme ity v nekonečnu. = 1 2 (1 2 ) 2
11 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = Víme, že o výsledku rozhodují y = 1(1 jenom vedoucí členy v čitateli a ve 2 ) ( 2) jmenovateli. (1 2 ) 2 Zelenou část lze vynechat. = Zbytek zkrátíme: (1 2 ) 2 = 1 2. = 1 2 (1 2 ) 2
12 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = Dosadíme. y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2
13 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 Obě hodnoty 1 = i 1 jsou nulové. (1 2 ) 2 Funkce má vodorovnou = 1 asymptotu y = pro jdoucí k ±. 2 (1 2 ) 2
14 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 Vypočteme derivaci. Derivujeme podíl podle vzorce y pro = derivaci podílu. 1 2 = 2 2
15 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 Upravíme. 1 2 y = 2 2 =
16 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 Upravíme. 1 2 y = 2 2 =
17 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Hledáme řešení rovnice y =.
18 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Dosadíme za derivaci.
19 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Zlomek je nulový, má-li nulový čitatel.
20 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = Vyjádříme 2. min MAX
21 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Vypočítáme. Dostáváme dvě řešení.
22 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 Nakreslíme osu = 2(1 a stacionární 2 )[(1 2 body. ) (1 2 )2] Nejsou žádné body nespojitosti. (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
23 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( y 1 2 = (1 2 ) 2 = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) Testujeme = 2. Dostáváme (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y 1 4 (2) = (1 2 ) kladná hodnota 4 <. = 2[ 2 ] ) 2 c Robert Mařík, 28
24 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 Testujeme =. = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y () (1 = 12 ) 4 = 2[ 1 > 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
25 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( y 1 2 = (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) Funkce má lokální minimum v bodě (1 = 2. ) 4 Funkční hodnota je = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y() = (11 () 2 ) 4 = 2 2. = 2[ 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
26 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( y 1 2 = (1 2 ) 2 = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) Testujeme = 2. Platí (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y 1 4 (2) = (1 2 ) kladná hodnota 4 <. = 2[ 2 ] ) 2 c Robert Mařík, 28
27 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( ) y 1 2 = (1 2 ) 2 Funkce má lokální = 2(1 maimum v 2 ) 2 bodě (1 = 2 )2(1 1. Funkční 2 )( hodnota 2) je (1 2 ) 4 = 2(1 y(1) = y() = 1 2 )[(1 2 ) (12, 2 )2] kde jsme využili toho, že funkce(1 je lichá 2 ) 4 a hodnota y() již byla vypočítána. = 2[ 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
28 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) Vypočteme druhou derivaci. (1 2 )
29 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 Derivuje podíl = 2[ podle vzorce 2 ] pro derivaci podílu. (1 2 ) Jmenovatel derivujeme jako složenou funkci. Tím se nezbavíme možnosti vytknout = 2 (2 v čitateli ) a zkrátit zlomek. (1 2 )
30 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) Vytkneme = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) (1 2 )
31 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) Zelené části se zkrátí. (1 Zjednodušíme 2 ) výraz v hranaté závorce.
32 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) (1 2 )
33 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Vyřešíme y =.
34 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Zlomek je nulový, je-li nulový jeho čitatel.
35 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Jsou dvě možnosti: bud =, nebo 2 =. Druhá z možností vede na rovnici 2 = = ±.
36 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Vyznačíme body na osu. Nejsou zde žádné body nespojitosti.
37 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme = 2. y 2(4 ) (2) = 2 kladná hodnota <.
38 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme =. Funkce je v tomto bodě konvení, protože je zde lokální minimum.
39 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. V bodě = je inflee. Funkční hodnota je y( ) = 1.4.
40 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme = 1. Funkce je v tomto bodě konkávní, protože je zde lokální maimum.
41 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme = 2. Dostáváme y 2(4 ) (2) = 2 něco kladného >.
42 y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Inflee v bodě =. Funkční hodnota je y( ) = 1.4.
43 min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 Vypíšeme si nejdůležitější výsledky.
44 min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1 Zakreslíme souřadný systém.
45 min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1 V bodě = je průsečík s osou. Funkční hodnoty se v tomto bodě mění z kladných na záporné.
46 min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1 Zachytíme informaci o vodorovné tečně v ±. Dáváme si pozor na znaménko funkce, musíme graf správně nakreslit nad nebo pod asymptotu.
47 min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1
48 min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1
49 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = = 1 = 1 = 1 = 1 = ± = 2 = ±
50 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = = 1 = Určíme definiční obor. 1 = 1 = Ve jmenovateli nesmí být 1nula. = ± ± = 2 =
51 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = = 1 = 1 = 1 = 1 Určíme průsečík s osou jako řešení = rovnice ± ± = y = 2 =.
52 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = = 1 = 1 = 1 = 1 = ± = 2 = ±
53 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = = 1 = 1 = 1 = 1 = ± = 2 = ±
54 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = = 1 = 1 = 1 = Funkce má s osou jediný průsečík 1 = 1 = ± ± = 2 =
55 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± Určíme znaménka funkce. 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Rozdělíme osu pomocí průsečíků a y = ( 1) 2 2( bodů nespojitosti ) na podintervaly, kde se znaménko zachovává. ( 1) = ( ) 2 6
56 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Uvažujme interval zcela vlevo. Zvolme = a vypočteme y = ( 1) 2 2( ) y() = 1 = 2 >. ( 1) = ( ) 2 6
57 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Uvažujme prostřední interval, zvolme = 1 4 a vypočteme 1 y( 1 y = ( 1) 2 2( ) 4 ) = 4 1 = = 6 <. 1 1 ( 1) = ( )
58 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = V posledním intervalu zvolme = 1 a vypočteme y = ( 1) 2 2( ) y(1) = 1 = 4 >. 1 ( 1) = ( ) 2 6
59 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) ( 1) Najdeme jednostranné ity v bodech= nespojitosti. ( ) 2 6
60 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) nenulový výraz ( 1) Dosazení = vede k výrazu typu. = ( ) 2 nula 6
61 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Z přednášky víme, že jednostranné ity jsou nevlastní. Schéma se znaménkem funkce umožňuje y = ( 1) 2 2( odhalit, ) zda se funkce blíží k plus nebo minus nekonečnu. ( 1) = ( ) 2 6
62 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 Určíme ity v nevlastních bodech. = ( ) 2 2( ) ( 1) 6
63 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) Víme, že pouze vedoucí členy jsou podstatné v itě ( tohoto 1) typu a ostatní členy můžeme vynechat. = ( ) 2 6
64 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 Zkrátíme. y = ( 1) 2 = ( ) 2 2( ) ( 1) 6
65 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 Dosadíme. y = ( 1) 2 = ( ) 2 2( ) ( 1) 6
66 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) Limita je vypočtena. ( 1) Funkce má vodorovnou asymptotu y = v ±. ( ) 2 6
67 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) c Robert Mařík, 28
68 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = ; 1 = 1 2 Derivujeme MAX podíl ( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = MAX 1 2 ( ) ( u v ) = u v uv v 2
69 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = MAX 1 2 MAX Vytknutím 1 2 rozložíme na součin. ( )
70 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = MAX Zkrátíme. Roznásobíme závorku. 1 2 MAX 1 2 ( )
71 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = MAX 1 2 MAX Zjednodušíme. 1 2 ( )
72 y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = MAX 1 2 MAX 1 Máme derivaci. 2 ( )
73 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 Máme derivaci. ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = c Robert Mařík, 28
74 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = Rovnice y = je ekvivalentní = rovnici ( 2 2) 1 =. = c Robert Mařík, 28
75 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = Vyznačíme stacionární = 6 4 bod 2 a bod nespojitosti ( 2)na osu. = c Robert Mařík, 28
76 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = y () = 2 1 = > 1 = ( 2) = c Robert Mařík, 28
77 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = y ( 1 ) <, protože funkce = mění znaménko ( z kladného na záporné. 2) = c Robert Mařík, 28
78 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 Funkce má lokální minimum v bodě = = 1. Funkční hodnota = 64 4 je 2 y( ) = 2 1 = 1 2 = = ( 2) = c Robert Mařík, 28
79 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; 1 = MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = y (1) = 1 = 9 < = ( 2) = c Robert Mařík, 28
80 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
81 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
82 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
83 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
84 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
85 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
86 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; MAX y = ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = = = ( 2) = = in. c Robert Mařík, 28
87 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2
88 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2 y = pro 2 =, t.j. = 2.
89 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2
90 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2 y () = 6 = 6 >
91 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2 y ( 1 ) = <
92 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2 Inflení bod = 2. y(2 ) =
93 y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = ; y = ; 2 = MAX in. 2 y (1) = = >
94 1 MAX 1 2 in. 2 f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 f ( 2 ).4 f (± ) =, f () =, f () = Shrneme dosažené výsledky.
95 1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () =
96 1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () =
97 1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () =
98 1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () =
99 1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () =
100 1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () =
101 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 = 2 c Robert Mařík, 28
102 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = Určíme definiční obor z podmínky Platí ( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1. = 2 c Robert Mařík, 28
103 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 Určíme průsečík 2( 2 s osou 1) y. = 2 1 ( 1) 2 = Dosadíme = a hledáme y(). 2( 2 1) = 2 = 2 c Robert Mařík, 28
104 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = Určíme průsečík 2( 2 s osou. 1) = 2 Dosadíme 1y = (a řešíme 1) 2 rovnici = 2( 2 1) 2 2 2
105 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = Čitatel musí být nula. 2( 2 1) 2 2 2
106 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = Tato kvadratická rovnice nemá řešení, protože ze vzorce 1 2( 2 1,2 = b ± b 2 4ac 1) = 2 2a 1 ( 1) 2 = Obdržíme záporný diskriminant. 2( 2 1) 2 1 D = (b 2 ) 4ac 2 = = = < 2( 2 1) 2 2 2
107 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( y 2 1 Nakreslíme osu = 2 a bod nespojitosti ( 1) 2 = 1.
108 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Víme, že y() = = 22 >. Funkce ( 1) 2 je kladná na (, 1). )
109 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( 2(4 y 2 2 1) Vypočteme y(2) = 1 >. Funkce je kladná na (1, ). = 2 (2 1) ( 1) 2 2
110 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( y 2 1 Určíme jednostranné = 2 ity ( 1) 2 v bodě nespojitosti
111 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Dosadíme = 21. ( 1) 2 )
112 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Odvodíme výsledek. = 2 ( 1) 2 )
113 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Určíme ity= v 2±. ( 1) 2 )
114 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( y 2 1 Uvažujeme jenom = 2 vedoucí ( 1) 2 členy.
115 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( Funkce má kladnou y 2 itu v 1±. Vodorovná přímka y = 2 je asymptotou ke = 2grafu v bodech ( 1) 2 ±.
116 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 Vypočteme derivaci ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = ( ) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
117 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 Užijeme vzorec pro derivaci podílu. ( 1) 4 = ( 1 ( ) u ) ( 1) u v uv =. = 2 1 v ( 1) = 2 1 v 2 Užijeme vzorec pro derivaci ( složené 1) funkce při derivování výrazu ( 1) 2. 1
118 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou Vytkneme ( 1). ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = ( ) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
119 Roznásobíme závorky a zkrátíme ( 1). 1 c Robert Mařík, 28 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = ( ) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1)
120 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou Upravíme čitatel. ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = ( ) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
121 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 Derivace je nalezena. ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = ( ) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
122 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = ( 1) = 1 = = min 1 ( ) 1 y = 2 Řešíme rovnici y =. ( 1) 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 )
123 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = ( 1) = 1 = = min 1 ( ) 1 y = 2 Čitatel musí být nula. Stacionárním ( 1) bodem je tedy =. 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 )
124 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = ( 1) = 4 2 Zakreslíme stacionární bod a bod 4 nespojitosti ( 1) 4 na reálnou osu.
125 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 Určíme y (2). min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y (2) = hodnota = = ( 1) = 4 2záp. (2 1) záp. 2 hodnota < 4 ( 1) 4
126 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 Určíme y (). min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y () = 2 1 kladná hodnota = = 2 ( 1) ( 1) = 4 záporná 2 hodnota > 4 ( 1) 4
127 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 min ( ) 1 y = 2 ( 1) = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) Lokální minimum je v bodě =. Funkční 2 hodnota je 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y() = 2(()2 () 1) = ( 1) = 4 2 = 2. ( 1) 2 4 = 2. 4 ( 1) 4 1
128 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y (2) = 2 2 = (2 ( 1) = 4 1) = 22 1 < 4 ( 1) 4
129 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Vypočteme druhou derivaci. = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 2
130 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = ( 1) = ( 1) 4 Použijeme y = 4 2 pravidlo pro derivaci podílu. Jmenovatel ( 1) ; 4 2 budeme = 2 derivovat jako složenou funkci. 2
131 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Vytkneme ( 1) 2 v čitateli. = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 2
132 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Upravíme. = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 2
133 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Obdrželi jsme druhou derivaci. 2
134 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = ( 1) 4 = 2 = = 2 in. 2 1 Řešíme y =.
135 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = ( 1) 4 = 2 = = 2 in. 2 1 Jediné řešení je = 2.
136 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 Budeme určovat intervaly konvenosti a konkavity. Zakreslíme bod, kde je druhá derivace nulová a bod nespojitosti na reálnou osu.
137 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 y 2 () = 4 kladná hodnota <
138 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 y 2 () = 4 kladná hodnota >
139 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 Inflení bod je v bodě = 2. Funkční hodnota je (Vypočtěte si sami.) y(2) = 14 9.
140 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 y 2 1 (2) = 4 kladná hodnota >
141 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f () = 2 f (2) = 14 9 Shrneme dosavadní znalosti.
142 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Nakreslíme souřadnou soustavu.
143 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Vyznačíme průsečík s osou y. Funkce v tomto bodě roste.
144 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Nakreslíme asymptoty.
145 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty.
146 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty.
147 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Nakreslíme lokální minimum funkce.
148 y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = f (1±) = f () = 2 y f (2) = Hotovo!
149 y = 2 ( 2 ) ( 2) ( ( 2 ) 2 ) c Robert Mařík, 28 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ±
150 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Definiční obor určíme y z podmínky = 2 ( 2 ) 2. (Dostáváme 2) dva body nespojitosti ±. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
151 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± = 2 ± = = 2 ± Průsečík s osou y má druhou souřadnici y = 2 y() (= 2 ) ( 2) =. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
152 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Řešením rovnice y = 2 = získáváme ( 2 ) jediný ( průsečík 2) s osou, bod 2 =. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
153 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± y = 2 ( 2 ) ( 2) Nulový bod a body nespojitosti ( vyneseme ( 2 ) 2 na ) reálnou osu
154 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± = Platí 2 y(2) = 8 y = 2 ( 2 ) 4 = 8 > ( 2) a graf funkce je nad osou ( na intervalu ( 2 (, ) 2 ) ) = ±
155 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± = Platí 2 y() = y = 2 ( 2 1 = ) 2 < ( 2) a graf funkce je pod osou ( na intervalu ( 2 ( ) 2 ), ) = ±
156 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Platí y(1) = 1 y = 2 ( 2 1 = 1 ) 2 > ( 2) a graf funkce je nad osou ( na intervalu ( 2 (, ) 2 ) )
157 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Platí y(2) = 8 y = 2 ( 4 = 8 < 2 ) ( 2) a graf funkce je pod osou ( na intervalu ( 2 () 2, ) )
158 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± y = 2 ( 2 ) ( 2) Budeme zkoumat jednostranné ( ity ( v bodech 2 ) 2 ) nespojitosti
159 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± = 2 ± = = 2 ± nenulový výraz Všechny ity jsou typu a jednostranné ity jsou nevlastní. Správné znaménko y = 2 ( snadno 2 ) zjistíme ( ze 2) schematu uvedeného výše. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
160 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± y = 2 ( 2 ) ( 2) Vypočteme ity v nevlastních ( bodech. ( 2 ) 2 ) 2 2 2
161 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Jedná se o podíl polynomů. y = 2 V (nevlastních 2 ) bodech ( 2) je podstatná pouze závislost na vedoucích členech ( polynomů ( 2 ) 2 v ) čitateli a ve jmenovateli
162 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = y = 2 ( 2 ) ( 2) ( 2 ) 2 2( ( 2 ) 2 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) = Budeme hledat derivaci funkce. ( 2 Derivujeme ) 2 podíl podle vzorce 2 2( 9 2) y = ; ( 2 ) 2 ( u ) u v u v =. v v min 2 MAX
163 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = y = 2 ( 2 ) ( 2) ( 2 ) 2 2( ( 2 ) 2 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) y Vytkneme = 2. ; ( 2 ) 2 min MAX
164 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = y = 2 ( 2 ) ( 2) ( 2 ) 2 2( ( 2 ) 2 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) y Upravíme = závorku. ; ( 2 ) 2 min MAX
165 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 2 [ ] Řešením rovnice = 2 (9 2 ) = jsou body = a = ±. Tyto stacionární body vyneseme(spolu 2 s) [ body nespojitosti na reálnou osu. ] 2 c Robert Mařík, 28
166 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) Červeně označené = výrazy v derivaci ( jsou 2 ) 4 kladné a neovlivní výsledné znaménko derivace. Stačí tedy zjišt ovat znaménko 2 [ ] výrazu (9 2 ). Pro = 4 platí = 9 2 = 9 ( 2 ) [ (4) 2 <. ] 2 c Robert Mařík, 28
167 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 2 platí 2 [ ] = 9 2 = 9 ( 2 ) [ (2) 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
168 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) V bodě = je lokální minimum. Funkční ( 2 ) 4 hodnota je 2 [279 y() 2 = ] = 9 = 27 6 = 9 2 ( 2 ) [ ] 2 c Robert Mařík, 28
169 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = platí 2 [ ] = 9 2 = 9 ( 2 ) [ () 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
170 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 1 platí 2 [ ] = 9 ( 2 = 2 ) 9 [ 1 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
171 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 2 platí 2 [ ] = 9 ( 2 = 2 ) 9 [ 2 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
172 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 4 platí 2 [ ] = 9 ( 2 = 2 ) 9 [ 4 2 <. ] 2 c Robert Mařík, 28
173 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) V bodě = je lokální maimum. Funkční ( 2 ) 4 hodnota je 2 [279 y() 2 = ] = 9 = 27 6 = 9 2 ( 2 ) [ ] 2 c Robert Mařík, 28
174 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 2 [ ] Derivujeme= funkci ( 2 ) 2 [27 2 2] (9 2 ) ( 2 ) = ( 2 ) 2 = podle vzorce ( 2 ) ( u ) 2 [27 2] u v u v =. v v 2 y = ; = ( 2 )
175 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 2 [ ] = ( 2 ) 2 [27 2] Protože jsme ve jmenovateli neroznásobovali, ale derivovali jako = složenou funkci, ( 2 nezbavili ) jsme se možnosti vytknout. Nyní tedy vytkneme 2 [27 2] členy, které se v čitateli opakují. y = ; = ( 2 )
176 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 = = = [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) ( 2 ) 4 2 [ ] ( 2 ) 2 [27 2] ( 2 ) Zkrátíme 2 [27 2] y a roznásobíme závorky. = ; = ( 2 )
177 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 = = = [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) ( 2 ) 4 2 [ ] ( 2 ) 2 [27 2] ( 2 ) Výrazy 2 [27 2] y v hranaté závorce se sečtou resp. = ; = odečtou. ( 2 )
178 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. Druhá derivace je vypočtena. Nyní hledáme řešení rovnice y =. Protože výraz (27 2 ) je stále kladný, je jediným řešením této rovnice bod =.
179 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. Na reálnou osu vyneseme bod = (y () = ) a body, kde je druhá derivace nespojitá.
180 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Platí Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 (2) [kladný výraz] záporný výraz (2) = = ( (2) 2 ) záporný výraz > a funkce je konvení na intervalu obsahujícím číslo 2.
181 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Platí Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 () [kladný výraz] záporný výraz () = = ( () 2 ) kladný výraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo.
182 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce Platí má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 1 [kladný výraz] kladný výraz (1) = = ( 1 2 ) kladný výraz > a funkce je konvení na intervalu obsahujícím číslo 1.
183 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce Platí má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 2 [kladný výraz] kladný výraz (2) = = ( 2 2 ) záporný výraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1.
184 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =.
185 min MAX f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = Shrneme nejdůležitější výsledky.
186 2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y y Zakreslíme svislé asymptoty a funkci v okolí těchto asymptot.
187 2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y y Podobně zakreslíme šikmou asymptotu a funkci v okolí této asymptoty. Dáváme pozor na konkavitu/konveitu.
188 2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y y Zakreslíme funkci v okolí stacionárního bodu, který není lokálním etrémem.
189 2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y y Zakreslíme lokální etrémy.
190 2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y y Dokreslíme celý graf.
191 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2
192 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = = 1 Určíme definiční obor ve jmenovateli nesmí 2 být nula. Řešením rovnice y = (2 1) ( 2 1) 1 = ( 2 1) ( 2 1) je = ±1. Tyto body je nutno vyloučit ( 2 z 1) definičního 2 oboru a jedná se o body nespojitosti. = 2 (2 1) ( 2 1) 2 2
193 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Dosazením = určíme y() = 1 =, 2 což je průsečík s osou y. = 2 (2 1) ( 2 1 1) 2
194 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = Rovnice y = (2 1) ( 2 1) 1 = ( 2 1) ( 2 1) nemá v oboru reálných čísel řešení (a 2 funkce 1) 2 tedy není nikdy rovna nule. Graf nemá průsečík = 2 s osou. (2 1) ( 2 1) 2
195 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = Znaménko funkce y = se (2 může 1) změnit ( 2 1) nanejvýš ( 2 v1) bodě ( 2 nespojitosti 1) (protože není průsečík s osou ). Vyneseme ( 2 1) 2 tedy body nespojitosti na reálnou osu. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
196 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Dosazením = 2 zjistíme, že y(2) = (2)2 1 ( 2 1) (2) = 5 > a funkce je kladná na intervalu = 2 obsahujícím číslo (2 1) ( ) 2
197 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = Dosazením = y = jsme (2 již1) dříve ( 2 zjistili 1) (když ( 2 jsme 1) ( počítali 2 1) průsečík s osou y), že y() = a funkce je (záporná 2 1) 2 na intervalu obsahujícím číslo. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
198 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Dosazením = 2 zjistíme, že y(2) = (2)2 1 ( 2 (2) 1) = 5 > a funkce je kladná na intervalu = 2 obsahujícím číslo (2 1) ( ) 2
199 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = Určíme jednostranné ity y = (2 1) v bodech ( 2 nespojitosti. 1) ( 2 Všechny 1) ( 2 1) jednostranné ity jsou typu 2 a výsledkem ( 2 1) 2 budou nevlastní ity, tj. nekonečno, opatřené = 2 správným znaménkem. (2 1) ( 2 1) 2
200 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Podle znamének funkce na jednotlivých ( 2 1) podintervalech 2 snadno odvodíme správné výsledky. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
201 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = = 2 = Určíme ity v nevlastních y = (2 1) bodech. ( 2 1) Protože ( 2 se 1) jedná ( 2 o 1) racionální funkci, jsou pro itu v nevlastním(bodě 2 1) rozhodující 2 pouze vedoucí členy čitatele a jmenovatele. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
202 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) ( 2 1) Derivujeme podíl = ( 2 1) ( ) 2 y = = ( 2 1) = 4 podle vzorce ( u 2 ) ( 2 1) 2 u v u v =. y 4 v = MAX v 2 ( 2 1) 2
203 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) ( 2 1) = ( 2 1) ( ) = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Dopočítáme y 4 derivace. = MAX ( 2 1) 2
204 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) ( 2 1) = ( 2 1) ( ) = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Vytkneme y 4výraz 2 v čitateli. = MAX ( 2 1) 2
205 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) ( 2 1) = ( 2 1) ( ) = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Upravíme y 4závorku. = MAX ( 2 1) 2
206 y = není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) ( 2 1) = ( 2 1) ( ) = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Dokončíme y 4 úpravy = MAX ( 2 1) 2
207 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( ) = 4 ( 2 1) 4 = ( 2 1) = ( 2 1) Derivace y je2 nula 1 pro =, což je = 4 jediný stacionární bod. Vyneseme tento stacionární ( 2 1) bod a body nespojitosti na 1 reálnou osu.
208 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( ) = 4 ( 2 1) 4 Jmenovatel zlomku je pořád nezáporný = ( 2 1) = 4 2 (jedná se o sudou mocninu). O znaménku tedy rozhoduje pouze 1čitatel zlomku. ( 2 1) Protože v čitateli je (4), má derivace přesně opačné znaménko jako y proměnná 2 1. = 4 ( 2 1) 1
209 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( ) = 4 ( 2 1) 4 = ( 2 1) = ( 2 1) V bodě y = 2 má 1 funkce lokální = 4 maimum. Funkční hodnota v tomto bodě je y() ( 2 = 1) (bylo počítáno jako průsečík 1 s osou y).
210 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 Budeme hledat druhou derivaci. ( 2 1) Derivujeme ( 2 1 podíl 4 2) = 4 y ( 2 1) = 4 4 = ( 2 1) ( 2 1) = podle vzorce ( 2 1) ( u ) u v u v y 2 1 =. = 4 v v 2 ( 2 1) 1
211 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( ) = 4 ( 2 1) 4 = ( 2 1) = ( 2 1) Protože jsme y 2 výraz 1 ( 2 1) 2 derivovali = 4 jako složenou funkci, nezbavili jsme se možnosti ( 2 1) vytknout v čitateli a poté zkrátit. 1
212 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( ) = 4 ( 2 1) 4 = ( 2 1) = ( 2 1) y 2 1 Provedeme = 4 ( 2 krácení 1) a upravíme výraz v závorce. 1
213 y = není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( ) = 4 ( 2 1) 4 = ( 2 1) = ( 2 1) y 2 1 Dokončíme = 4 ( 2 úpravy. 1) 1
214 y = není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) ( 2 1) 1 MAX 1 1 Druhá derivace není nikdy nulová, protože rovnice ( 2 1) = nemá řešení v oboru reálných čísel. Znaménko derivace se může změnit nejvýše skokem v bodě nespojitosti. Vyneseme na reálnou osu body nespojitosti.
215 y = není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) ( 2 1) 1 MAX 1 1 Funkce je konvení na intervalu (, ), protože číslo (2) leží v tomto intervalu a y (2) = 4 kladný výraz [(2) 2 1] >
216 y = není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) ( 2 1) 1 MAX 1 1 Funkce je konkávní na intervalu (, 1), protože číslo leží v tomto intervalu a funkce je v tomto bodě nutně konkávní (je zde stacionární bod a lokální maimum funkce je pod tečnou).
217 y = není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) ( 2 1) 1 MAX 1 1 Funkce je konvení na intervalu (1, ), protože číslo 2 leží v tomto intervalu a y kladný výraz (2) = 4 > (2 2 1)
218 MAX f () = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± Shrneme nejdůležitější výsledky.
219 1 2 MAX f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± y y 1 1 Zakreslíme soustavu souřadnic a asymptoty.
220 1 2 MAX f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± y y 1 1 Načrtneme funkci v okolí svislých asymptot. Využijeme monotonie.
221 1 2 MAX f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± y y 1 1 Načrtneme funkci v okolí vodorovné asymptoty. Opět využijeme schema s monotonií.
222 1 2 MAX f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± y y 1 1 Zakreslíme lokální maimum.
223 1 2 MAX f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± y y 1 1 Dokreslíme celý graf.
224 KONEC
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet
Pomůcka pro cvičení:. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet Průběh funkce balíček: plots Při vyšetřování průběhu funkce využijte dosavadních příkazů z Maple, které znáte. Nové příkazy budou postupně
Kvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
MONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)
11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
Průběh (jednorozměrné) funkce
Průběh (jednorozměrné) unkce Úlohy na vyšetřování průběhu unkcí (jedno i vícerozměrných) patří k poměrně častým úlohám dierenciálního počtu. V tomto krátkém tetu se omezím pouze na jednorozměrné unkce,
ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.
1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax
Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
![Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )](/thumbs/39/20455694.jpg "Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )")
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
Průběh funkce. Robert Mařík. 27. června 2006
Průběh funkce Robert Mařík 27. června 26 c Robert Mařík, 26 Obsah y = x 1 x 2.... 3 y = 3x 1 x 3.... 49 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2.... 11 y = x3 3 x 2.... 149 y = x2 1 x 2 1.... 191 c Robert Mařík, 26 y = x
= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Derivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
Kvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
![4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}](/thumbs/41/22269260.jpg "4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}")
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
Zlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
Asymptoty grafu funkce
Asymptoty grafu funkce Lenka Přibylová 8. července 006 Obsah Najděteasymptotygrafufunkce y = 1 x.... 3 Asymptotybezsměrnicekegrafufunkce y = 1 x : D(f) = R {} x + = 0 + = x = 0 = Funkcemáasymptotubezsměrniceajejípřímka
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů
5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Funkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem
.8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto
Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
10. Polynomy a racionálně lomenné funkce
10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková
.. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 1. Je dána funkce f(x,y,z) x 2 + y + 2z 2. Potom pro funkční hodnoty f(1,0,0), f(0,-1,0) a
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem
.7. Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: K následujícím třem hodinám je možné přistoupit dvěma způsob. Já osobně doporučuji postupovat podle učebnice. V takovém případě
4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu
4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu
IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
4 Algebraické rovnice a nerovnice
Algebraické rovnice a nerovnice Matematika je stenografie abstraktního myšlení. Je-li používána správně, nenechává prostor žádné neurčitosti ani nepřesné interpretaci. (Louis de Broglie). Základní pojmy
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
2.8.10 Rovnice s neznámou pod odmocninou a parametrem
.8.10 Rovnie s neznámou pod odmoninou a parametrem Předpoklady: 806, 808 Budeme postupovat stejně jako v předhozíh hodináh. Nejdříve si zopakujeme obený postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou
Aplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
2.1.13 Funkce rostoucí, funkce klesající I
.1.13 Funkce rostoucí, funkce klesající I Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Následující příklad je dobrý na opakování. Můžete ho studentům zadat na čas a ten kdo ho nestihne nebo nedokáže vřešit, b
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení) KVADRATICKÉ ROVNICE (početně) Teorie: Kvadratická rovnice o jedné neznámé se nazývá každá taková rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami
Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojení grafu funkce.
Přednáška č. 12 Vyšetřování průběhu funkce a užití extrémů funkcí Jiří Fišer 11. prosince 2009 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 12 11. prosince 2009 1 / 18 Průběh funkce O vyšetřování
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.
@001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
Dopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě
Rozklad na parciální zlomky
Rozklad na parciální zlomky Lenka Přibylová 23. června 2009 Obsah + 3 2.... 3 + 2 2 + 4 2.... 13 + 2 + 1 ( 1)( 2.... 24 + 2) + 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1
AUTORKA Barbora Sýkorová
ČÍSLO SADY III/2 AUTORKA Barbora Sýkorová NÁZEV SADY: Číslo a proměnná číselné označení DUM NÁZEV DATUM OVĚŘENÍ DUM TŘÍDA ANOTACE PLNĚNÉ VÝSTUPY KLÍČOVÁ SLOVA FORMÁT (pdf,, ) 1 Pracovní list číselné výrazy
Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou
.6. Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou Předpoklady: 60, 603 Pedagogická poznámka: Hlavním cílem hodiny je nácvik volby odpovídajícího postupu. Proto je dobré nechat studentům chvíli, aby si metody
Základní škola Kaznějov, příspěvková organizace, okres Plzeň-sever
Základní škola Kaznějov, příspěvková organizace, okres Plzeň-sever DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Název projektu Registrační číslo projektu UČENÍ JE SKRYTÉ BOHATSTVÍ INOVACE VÝUKY ZŠ KAZNĚJOV CZ.1.07/1.1.12/02.0029
MATEMATIKA 1. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova:
Kapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Jak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
Matematická analýza III.
4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi.
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008 1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY 2 2 2 3 3 3 a ± b ; a b ; a ± b ; a ± b 1.1. rozklad výrazů na součin: vytýkání, užití vzorců: ( ) ( ) 1.2. určování definičního
Definice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Důkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL,
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL, URČITÝ INTEGRÁL Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší
PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E
4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)
Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
3.2.4 Podobnost trojúhelníků II
3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,