Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Transkript

1 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1../34.2 Šablona: III/2 Přírodovědné předměty Sada: 3 Matematika Číslo materiálu v sadě: 6 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Název: Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Jméno autora: Ondřej Holpuch Předmět: matematika Jazyk: český Klíčová slova: nerovnice, diskuse, absolutní hodnota Cílová skupina: žáci 1. ročníku SOŠ Stupeň a typ vzdělání: 1. stupeň, SOŠ

3 Metodický list/anotace Tento digitální učební materiál slouží jako průvodce řešením lineárních nerovnic s jednou absolutní hodnotou. S jeho pomocí učitel provede žáky metodou řešení nerovnic za předpokladů kladených na výraz v jedné absolutní hodnotě. Následně spolu s žáky vyřeší příklady úloh. Na závěr žáci již samostatně řeší vybrané nerovnice. Datum vytvoření:

4 Lineárních nerovnice s absolutní hodnotou

5 Připomenutí - absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla x je definována jako jeho vzdálenost od nuly na číselné ose: =1 14 =14 R Nahrazení absolutní hodnoty korekcí znaménka Platí následující vztah: x prox³ x = -x prox< Absolutní hodnotu ze záporného čísla získáme tak, že změníme znaménko čísla. Nezáporné číslo se nemění.

6 Příklad 1 (-1) 1-1 =- = = Příklad 2 Nahraďme absolutné hodnotu výrazu korekcí znaménka: Řešení 2x- Protože x je proměnná, neznáme znaménko výrazu 2x-. Nahradit absolutní hodnotu můžeme jen tehdy, formulujeme-li předpoklad: a) Předpokládejme, že: 2 x-³ Neboli: 2 x³ x³2, Za tohoto předpokladu můžeme psát: 2x- = 2x- b) Předpokládejme, že: 2 x-< Neboli: 2 x< x<2, Za tohoto předpokladu můžeme psát: ( 2x- ) =-2x+ = x 2x- =- - 2

7 Řešení lineárních nerovnic s absolutní hodnotou Při řešení lineárních nerovnic s absolutní hodnotou postupujeme podobně jako při řešení rovnic. Za příslušných předpokladů nahrazujeme absolutní hodnotu korekcí znaménka. Úloha přejde v lineární nerovnici bez absolutní hodnoty. Příklad 3 Vyřešme v oboru R následující nerovnici: Řešení 2 x+ x ³ 9 a) Předpokládejme, že: x³ Za tohoto předpokladu můžeme nerovnici zapsat bez absolutní hodnoty takto: 2 x+x³ 9 Snadno ji vyřešíme. Řešení ovšem musí vyhovovat předpokladu. 3 x³ 9 x³ 3 Řešením jsou všechna reálná čísla splňující: x³ 3 Ùx³ Tj.: xî 3; + )

8 b) Předpokládejme, že: x< Za tohoto předpokladu můžeme nerovnici zapsat bez absolutní hodnoty takto: 2 x-x³ 9 Snadno ji vyřešíme. Řešení musí opět vyhovovat předpokladu. 2 x-x³ 9 x³ 9 Řešením jsou všechna reálná čísla splňující: x³ 9 Ùx< Žádné takové číslo však neexistuje. Tj: xîæ!! Závěr: Naší nerovnici vyhovuje každé číslo následující množiny: ) ÈÆ= 3 + ) P= 3; + ; Příklad 4 Vyřešme v oboru R následující nerovnici: 2 x+ - 4x< Řešení (následující list)

9 a) Předpokládejme, že: x+ ³ tj. Za tohoto předpokladu můžeme nerovnici zapsat bez absolutní hodnoty takto: ( x+ ) - 4x 2 < Vyřešíme ji. Řešení přitom musí vyhovovat předpokladu. 2 x+ 1-4x< - 2x< - x>2, b) Předpokládejme, že: x+ < tj. x³- Řešením jsou všechna reálná čísla splňující: x³ - Ùx> 2, Za tohoto předpokladu můžeme rovnici zapsat bez absolutní hodnoty takto: ( x+ ) x< Vyřešíme ji. Řešení musí opět vyhovovat předpokladu. - 2 x-1-4x< - 6 x<1 x>-2, x<- Tj.: xî ( 2,; + ) Řešením jsou všechna reálná čísla splňující: x> -2,Ùx<- Žádné takové číslo však neexistuje. Tj: xîæ!!

10 Závěr: Naší nerovnici vyhovuje každé číslo následující množiny: ( 2,; + ) ÈÆ= ( 2, + ) P= ; Příklad 4 Vyřešme v oboru R následující nerovnici: Řešení 4 x+ 3³ a) Předpokládejme, že: tj. 4x- 4x+ 3 > -2 x³-,7 Za tohoto předpokladu můžeme nerovnici zapsat bez absolutní hodnoty takto: ( 4 3) > 2 4x- x+ - Vyřešíme ji. Pamatujme, že případné řešení musí vyhovovat předpokladu. 4x- 4x-3> -2-3> -2 žádné číslo nevyhovuje nerovnici!!

11 4 x+ 3< b) Předpokládejme, že: tj. x<-,7 Za tohoto předpokladu můžeme nerovnici zapsat bez absolutní hodnoty takto: 4x+ 4x+ 3> -2 Vyřešíme ji. Nezapomínáme na předpoklad. 8x> - >-,62 x!! Řešením jsou všechna reálná čísla splňující: x> -,62Ùx<-, 7 Žádné takové číslo však neexistuje. Tj: xîæ a tedy: P= Æ Úlohy k samostatnému řešení x-1-x< > 4x- 3 é æ 11 öù êp = ç - ; 3 ú ë è 6 ø û x [ P=R] 2 æ 2ö 4 - -ç4x- ³ è ø - 4 x- 2 2x- 2 x [ P=R] é 3 ù êp= - ; + ) úû ë 3

12 Odkazy: