derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x

Transkript

1 11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací unkce v bodě x ve tvaru n ( j) ( x ) Tn x) =å ( x- x j! ( j= ) j Poznámka: Polynom T n (x) se nazývá Taylorův polynom n-tého řádu unkce v bodě x Velmi často používáme Taylorův polynom unkce v bodě Z historických důvodů mu říkáme Maclaurinův polynom 2 Rovnice tečny a normály ke grau unkce 3 Věta o monotónnosti unkce 4 Vyšetřování průběhu unkce EXTRÉMY FUNKCE Pro mnohé vědní obory je důležité rozhodnout, pro které hodnoty nezávisle proměnné veličiny nabývá daná unkce extrémů tj maximální resp minimální hodnoty Budeme rozlišovat extrémy buď v okolí určitého bodu - lokální extrémy - nebo v celém deiničním oboru - globální extrémy Funkce má v čísle x lokální maximum, existuje-li okolí čísla ( x) ( ), x Funkce má v čísle x lokální minimum, existuje-li okolí čísla ( x) ( ) ³ x x tak, že xîu ( ) " je d x x tak, že xîu ( ) " je Platí-li v uvedených nerovnostech jen znaménko nerovnosti, hovoříme o ostrém lokálním x x > maximu ( ) < ( ) resp ostrém lokálním minimu ( ) ( ) x Souhrnný název pro lokální maximum a lokální minimum je lokální extrémy x d x Fermatova věta: nutná podmínka existence lokálního extrému Má-li unkce v čísle x lokální extrém a existuje-li ( ), pak ( x ) = x 1

2 Poznámka: Protože uvedená podmínka je jen podmínkou nutnou, může se stát, že ( x ) =, avšak unkce v tomto bodě extrém nemávěta opačná neplatí! 1 postačující podmínka pro existenci lokálního extrému : Mění-li 1derivace znaménko v okolí stacionárního bodu nebo bodu, v němž neexistuje derivace, potom v tomto bodě nastává extrém Metoda vyšetřování lokextrémů: 1 Najdeme všechny stacionární body dané unkce a body,v nichž neexistuje derivace 2 Vyšetříme, zda v okolí těchto bodů 1derivace mění znaménko; mění-li znaménko z (+) na (-) Þ bod lok maxima mění-li znaménko z (-) na (+) Þ bod lok minima Vyšetřování lok extrémů pomocí 2 derivace Věta: 2 postačující podmínka pro existenci extrému Nechť ( x ) = a nechť existuje ( ) je-li ( ) >, má unkce v je-li ( ) <, má unkce v Potom x x lokální minimum, x lokální maximum Poznámka: Je-li ( x ) =, větu nelze použít Věta: Nechť ( x ) = ( x ) = = ( x ) = a ( n-1) ( n) ( x ) ¹, je-li n sudé, v bodě x je lokální extrém, a to lokálníminimum, je-li lokální maximum, je-li ( n) ( x ) >, ( n) ( x ) <, je-li n liché, v bodě x není lokální extrém Shrnutí: Pokud má daná dierencovatelná unkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn derivace této unkce musí být v tomto bodě nulová (Pokud unkce v nějakých bodech tečnu, resp derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná: V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum 2

3 V bodech, kde je jak první, tak druhá derivace nulová, se nachází tzv stacionární bod, který může a nemusí být extrémem (V bodech, kde unkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria) Příklad: Najděte extrémy unkce y = x x 3

4 Konvexnost, konkávnost a inlexe křivek Konvexnost a konkávnost je označení pro změny rychlosti růstu unkce, tzn zakřivení jejího grau Pokud unkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn gra je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde unkce jako konvexní, naopak, pokud je gra zakřiven směrem dolů (a unkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), je zde unkce konkávní Přechod mezi konvexní a konkávní částí grau se označuje jako inlexní bod V inlexním bodě se mění zakřivení grau unkce a tečna grau v tomto bodě gra protíná Na obrázku je unkce konkávní např v intervalu x 1, x2, inlexním bodem je např x 4 Nechť unkce má v čísle x " xî Ud( x ), x¹ x leží bod [ x, ( x) ] nad tečnou x derivaci ( ) Existuje-li d -okolí ( ) ( x ) + ( x ) ( x ) tº y= -, x U d tak, že říkáme, že unkce je konvexní v bodě x Nechť unkce má v čísle x derivaci ( x ) Existuje-li d -okolí U d ( x ) tak, že " xî Ud( x ), x¹ x leží bod [ x, ( x) ] pod tečnou t, říkáme, že unkce je konkávní v bodě x Je-li unkce konvexní (konkávní) ve všech bodech intervalu, je konvexní (konkávní) v tomto intervalu Konvexnost resp konkávnost určíme podle znaménka 2 derivace x 4

5 Věta: Platí : je-li ( ) >, je unkce v bodě je-li ( ) <, je unkce v bodě x konvexní x konkávní Funkce má v bodě U d x tak, že v levém okolí x je unkce konvexní a v pravém okolí x je konkávní nebo naopak Geometricky to značí, že gra unkce přechází z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou nebo naopak x inlexní bod, existuje-li ( ) Poznámka: Má-li unkce druhou derivaci, pak inlexní bod může být jen v bodě, kde 4 Podmínka je nutná, není postačující, neboť např unkce y= x v x má ( ) = ( ) = y, avšak v bodě x je konvexní = Věta: postačující podmínka pro existenci inlexního bodu Má-li unkce v bodě x druhou derivaci rovnou ( ( x ) = ), přičemž v levém okolí bodu x má jiné znaménko než v pravém okolí bodu x, pak má v bodě x inlexní bod Poznámka: Inlexní bod může nastat také v bodě, v němž 1 derivace je nevlastní (tečna je rovnoběžná s osou y) V tomto bodě neexistuje druhá derivace, avšak unkce se mění z konvexní na konkávní nebo obráceně Asymptoty Asymptota (asymptotická přímka) křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje Pomocí asymptot můžeme zkoumat chování grau unkce v nevlastních bodech a v okolí bodů nespojitosti 2druhu 5

6 1 Asymptoty bez směrnice (rovnoběžné s osou y) Je-li lim ( x) = ± nebo ( x) = ± x x + unkce ( x) lim je přímka o rovnici x= x asymptotou grau x x - Asymptoty tohoto druhu mohou být jen v bodech nespojitosti unkce nebo ve vlastních koncových bodech jejího deiničního oboru 2 Asymptoty se směrnicí Přímka y = kx+ q je asymptotou grau unkce y= ( x), jestliže existují vlastní limity k ( x) = lim a q= [ ( x) - k x] x x lim (analogicky pro x - ) x Průběh unkce Vyšetřováním průběhu unkce rozumíme zjištění níže uvedených vlastností, které umožní nakreslení grau unkce Postup při vyšetřování průběhu unkce : 1 Určíme D() a obor hodnot 2 Vyšetříme, zda je sudá, lichá, periodická 3 Určíme jednostranné limity v bodech nespojitosti, případně v krajních bodech deiničních intervalů, a vyšetříme chování unkce v okolí těchto bodů 4 Stanovíme průsečíky s osami 5 Určíme intervaly monotónnosti a stacionární body (pomocí ( x) ) 6 Určíme body, v nichž nastávají lokální extrémy 7 Stanovíme inlexní body a intervaly, kde je unkce konkávní či konvexní 8 Vypočítáme rovnice asymptot se směrnicí (asymptoty bez směrnice viz bod 3) 9 Vypočítáme souřadnice několika určitých bodů na křivce a nakreslíme gra Postup při náčrtku grau: 1) osy x,y; 2) asymptoty bez směrnice; 3) asymptoty se směrnicí; 4) vyznačíme průsečíky s osami; 5) body, v nichž nastává extrém; 6) inlexní body 7) doplnit body z tabulky (bod 9) Příklad: Vyšetřujme průběh unkce y= x ln x 6

7 Fyzika Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve yzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice: Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez dierenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn druhá derivace polohy podle času Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn třetí derivace polohy podle času Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích yzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd 7