ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

Transkript

1 Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny logické obvody) ale rozeznávají pouze stavy dva 0 a 1 (resp. nízkou a vysokou úroveň elektrického signálu). Veškerá čísla tak musí být interně reprezentována pouze pomocí nul a jedniček. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. V tabulce si také můžete povšimnout soustavy šestnáctkové. Jak již název napovídá, bude rozeznávat šestnáct různých stavů v jednom řádu. Protože však máme pouze deset číselných znaků, pro zápis zbylých šesti používáme písmena A až F. Tato soustava se často používá v počítačích a programech mikrokontrolérů jako přehlednější alternativa k zápisu čísel v binárním tvaru. Povšimněte si, že čtyřové číslo ve dvojkové soustavě (tedy číslo do velikosti čtyř cifer) můžeme zapsat v šestnáctkové soustavě elegantně s použitím pouze jednociferného čísla.

2 Číselné soustavy Desítková (dekadická) Dvojková (binární) Šestnáctková (hexadecimální) A B C D E F FF Vyjádření vybraných číselných hodnot ve třech různých číselných soustavách

3 Převody mezi soustavami V souladu s tím, co jsme uvedli v úvodu, můžeme např. číslo 2546 v desítkové soustavě zapsat ve tvaru: = = (Pozn.: aby bylo zřejmé, v jaké soustavě je číslo zapsáno, budeme k nim přidávat index 2, 10 nebo 16.) Ze zápisu je na první pohled vidět, že každý vyšší řád vyjadřuje desetkrát větší hodnotu. Je to dáno právě tím, že v něm přičítáme jedničku až poté, co jsme ji přičetli desetkrát v řádu nižším. V soustavě dvojkové bude postup obdobný. Každý vyšší řád však bude vyjadřovat hodnotu pouze dvakrát vyšší, protože máme pouze dvě číslice. V praxi to bude znamenat, že zde místo mocnin deseti budou mocniny dvou. Např. číslo tak můžeme zapsat ve tvaru: = (Pozn.: nultá mocnina jakéhokoliv čísla je rovna jedné, tedy 10 0 = 2 0 = 16 0 = 1.) Záměrně jsem volil trochu delší číslo, abych vám ukázal, kolik cifer potřebujete v binární soustavě k vyjádření poměrně malé číselné hodnoty. Těchto dvanáct jedniček a nul není totiž nic jiného, než binární vyjádření čísla uvedeného výše. Číslo v šestnáctkové soustavě můžeme napsat podobným způsobem. Např.: 9F2 16 = Převod čísla ze soustavy dvojkové a šestnáctkové (nebo jakékoliv jiné) do soustavy desítkové Převod do soustavy desítkové je velice snadný. Stačí totiž číslo rozepsat výše uvedeným způsobem a pak mocniny jednoduše sečíst. Ukážeme si to na příkladu.

4 Příklad 1: převeďte čísla a 6C 16 do desítkové soustavy. Řešení: = = = C 16 = = = Protože budeme u mikrokontrolérů často pracovat s binárním vyjádřením čísla, je vhodné si zapamatovat alespoň prvních osm mocnin čísla dvě. Jsou uvedeny v níže uvedené tabulce. Mocniny si lze také velice snadno odvodit. Začnete s jedničkou a všechny další dostanete jednoduše vynásobením dvěma (1, 2, 4, 8, ) (MSB) (LSB) Popis osmiového binárního čísla. MSB (most-significant ) nejvíce platný, LSB (least-significant ) nejméně platný. Osmiové binární číslo tvoří jeden byte [bajt]. Převod čísla ze soustavy desítkové do soustavy dvojkové, šestnáctkové nebo jakékoliv jiné Způsob převodu je zde o něco složitější než v předchozím případě. Nejdříve si ukážeme obecný postup, kterým lze převést číslo z desítkové do jakékoliv jiné soustavy. Spočívá v opakovaném dělení dekadického čísla v našem případě buď dvojkou pro převod do soustavy binární, nebo šestnáctkou, chceme-li číslo vyjádřit v hexadecimálním tvaru. Hledaný tvar čísla dostaneme, zapíšeme-li zbytky z dělení v opačném pořadí. Ke snazšímu pochopení poslouží následující příklad.

5 Příklad 2: Převeďte číslo do dvojkové a šestnáctkové soustavy. Řešení: 108 : 8 = 13, zbytek 4 13 : 8 = 1, zbytek 5 1 : 8 = 0, zbytek 1 Zbytky po dělení opět zapíšeme v opačném pořadí a dostáváme požadovaný výsledek, tedy: = Nezapomeňte na to, že po opakovaném dělení nám nakonec musí vyjít nula, musíme tedy dělit i čísla, která jsou menší než dělitel (viz příklad výše). Uvedený postup lze aplikovat na převod čísla z desítkové do kterékoliv jiné číselné soustavy. Kromě dvojkové, desítkové a šestnáctkové číselné soustavy se někdy můžete setkat i se soustavou osmičkovou (dnes již však spíše výjimečně). V osmičkové (oktálové) soustavě se používá pouze osm číslic 0 až 7. Jedna číslice v osmičkové soustavě odpovídá právě třem číslicím v soustavě binární. Princip převodu by byl úplně stejný, jen byste číslo dělili osmi. Převody mezi soustavou dvojkovou a šestnáctkovou Na obrázku je naznačeno, jak snadno lze realizovat převody mezi těmito dvěma soustavami. Binární číslo si zprava rozdělte na čtveřice s použitím tabulky ho snadno vyjádříte v šestnáctkovém tvaru. Stejným způsobem bychom postupovali v případě převodu opačným směrem. Nezapomeňte, že každý znak v šestnáctkové soustavě (neplatí pro ten v nejvyšším řádu) musíme nahradit čtyřmi znaky v soustavě dvojkové. Kdybychom například číslo 2 16 nahradili pouze číslem 10 2 místo bychom se k chybnému výsledku. dostali

6 Převod mezi soustavou dvojkovou a šestnáctkovou: Při převodu mezi soustavou osmičkovou a binární bychom postupovali stejným způsobem s tím rozdílem, že bychom binární číslo nerozdělili na čtveřice, ale na trojice. S použitím tabulky by nám převod neměl činit větší potíže. V praxi lze použít online převodníky na internetu např.: Nebo zadáme do vyhledávače, že hledáme převodník mezi číselnými soustavami.