Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie. Licenční studium Statistické zpracování dat

Transkript

1 Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Statistické zpracování dat Semestrální práce Klasifikace analýzou vícerozměrných dat (Diskriminační analýza, Logistická regrese, Vícerozměrného škálování a Korespondenční analýzu) 2007 Jindřich Freisleben

2 OBSAH 1. KLASIFIKACE OBJEKTŮ PODZEMNÍCH VOD NA ZÁKLADĚ HODNOT ANALYZOVANÝCH UKAZATELŮ ZADÁNÍ KRITIKA DAT NALEZENÍ DISKRIMINAČNÍHO MODELU (Z ANALYZOVANÉHO VÝBĚRU) KLASIFIKACE OBJEKTŮ ZÁVĚR NALEZENÍ STATISTICKY VÝZNAMNÝCH UKAZATELŮ PŘISPÍVAJÍCÍCH K SEPARACI OBJEKTŮ PODZEMNÍCH VOD DO 2 SKUPIN ZADÁNÍ KRITIKA DAT NALEZENÍ LOGISTICKÉHO MODELU VLASTNÍ KLASIFIKACE OBJEKTŮ PREDIKOVANÉ HODNOTY ZÁVĚR POROVNÁNÍ VYBRANÝCH STÁTŮ EVROPSKÉ UNIE NA ZÁKLADĚ HODNOT ZÁKLADNÍCH UKAZATELŮ ZNEČIŠTĚNÍ OVZDUŠÍ ZADÁNÍ KLASICKÉ METRICKÉ VÍCEROZMĚRNÉ ŠKÁLOVÁNÍ (CMDS) NEMETRICKÉ VÍCEROZMĚRNÉ ŠKÁLOVÁNÍ (NNMDS) KORESPONDENČNÍ ANALÝZA (CA) ZÁVĚR LITERATURA A SOFTWARE PŘÍLOHY

3 1. Klasifikace objektů podzemních vod na základě hodnot analyzovaných ukazatelů 1.1 Zadání V rámci monitoringu jakosti podzemních vod existují 3 základní kategorie sledovaných objektů (prameny, mělké vrty a hluboké vrty). Pokusíme se s využitím metody diskriminační analýzy (DA) zjistit u nezařazených analytických rozborů základních ukazatelů nejpravděpodobnější typ objektu podzemních vod, kde byly vzorky odebrány Data Data (viz. Příloha) jsou rozděleny na dva stejně velké výběry: Analyzovaný výběr (slouží k návrhu modelu) a klasifikovaný výběr (slouží k otestování navrženého modelu). Závisle proměnná: Typ objektu (TO) může nabývat 3 hodnot (0 = pramen, 1 = mělký vrt, 2 = hluboký vrt) 16 nezávisle proměnných (znaků, diskriminátorů): ph. ph vody v laboratoři K konduktivita v laboratoři [ms/m] T teplota vody [ C] R oxidačně redukční potenciál [mv] A absorbance (254nm,1cm) M celková mineralizace [mg/l] O2 kyslík rozpuštěný [mg/l] CHSKMn chemická spotřeba kyslíku manganistanem [mg/l] KNK4,5 kyselinová neutralizační kapacita do ph 4,5 [mmol/l] ZNK8,3 zásadová neutralizační kapacita do ph 8,3 [mmol/l] NH4 amonné ionty [mg/l] NO2 dusitany [mg/l] NO3 dusičnany [mg/l] PO4 fosforečnany [mg/l] Cl chloridy [mg/l] SO4 sírany [mg/l] 3

4 1.2 Kritika dat Průzkumová analýza diskriminátorů Tabulka 1: Základní charakteristiky diskriminátorů [2] aritmetický průměr směrodat. odchylka medián šikmost špičatost počet objektů TO ph K T R A M O2 CHSKMn KNK4.5 ZNK8.3 NH4 NO2 NO3 PO4 Cl SO4 P MV HV P MV HV P MV HV P MV HV P MV HV P MV HV Základním předpokladem diskriminační analýzy (DA) je platnost vícerozměrné normality v rámci tříd, nutnou (ne však postačující) podmínkou je normální rozdělení dat pro jednotlivé diskriminátory. Normální rozdělení v rámci základních charakteristik se projevuje blízkými hodnotami aritmetického průměru a mediánu, šikmost blízká 0 popř. špičatost blízká 3. Z tohoto hlediska není normalita splněna u všech znaků. Nejmarkantnější odchylky od normality se objevují u těchto ukazatelů: A, NH4, NO2, NO3, PO4, Cl a SO4. Z ohledem na to je nutné si uvědomit, že data v této úloze by bylo vhodné zpracovat jinou metodou např. Logistickou regresí. Dalším předpokladem DA je podobnost kovariačních matic tříd. Z tohoto vyplývá předpoklad přibližně stejně velkých směrodatných odchylek v rámci jednotlivých tříd. Větší rozdíly jsou u znaků: K, M, Cl a SO4. Nejdůležitější vlastností diskriminátoru je zda dostatečně přispívá k separaci objektů mezi třídami. To lze předpokládat na základě rozdílných hodnot průměrů v rámci jednotlivých tříd. Z ohledem na tuto vlastnost lze předběžně za nevhodné diskriminátory označit: ph, T, CHSKMn, PO4, ale ani další se nejeví ideálně. Zdá se, že lze docílit dobré separace mezi třídou MV (mělké vrty) a ostatními, ale pravděpodobnost pro správné zařazení objektů mezi třídami P (prameny) a HV (hluboké vrty) bude zřejmě nižší. 4

5 1.2.2 Korelace Tabulka 2: Korelační matice znaků [2] ph K T R A M O2 CHSKMn KNK4.5 ZNK8.3 NH4 NO2 NO3 PO4 Cl SO4 ph 1 K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO Dalším důležitým předpokladem pro metodu diskriminační analýzy je, že v datech není multikolinearita, tedy 2 a více diskriminátorů nejsou silně korelovány. Jinak totiž lze predikovat jeden diskriminátor z jiného. Není vhodné zejména při užití krokové metody. Silná korelace je mezi diskriminátory: M, K, KNK4.5 M, K a SO4 K a Cl A a CHSKMn Středně silná korelace je mezi diskriminátory: R a O2 A a PO4 M a Cl CHSKMn a ZNK8.3 CHSKMn a PO4 5

6 Graf 1: Maticový diagram silně korelované diskriminátory [2] Maticový graf jen potvrzuje naše hodnocení dat a diskriminátorů u předchozích dvou tabulek. Sledované znaky K, M, KNK4.5, SO4 a Cl lze nahradit jediným z důvodu silné korelace mezi nimi. Stejně tak dvojici znaků A a CHSKMn lze nahradit ze stejného důvodu jediným. U žádného z bodových grafů nelze pozorovat dělení mraku bodů na více shluků, tedy nelze předpokládat že by mezi nimi byl diskriminátor s dobrou separační schopností objektů do tříd. Zároveň tvary většiny histogramů ukazují spíše na rozdělení log-normální. 6

7 Graf 2: Maticový diagram ostatní diskriminátory [2] V maticovém diagramu znaků s nižšími korelacemi se jeví jako nejvhodnější diskriminátor O2, v histogramu je patrné bimodální rozdělení a v bodových grafech kombinací znaků O2 s ph a O2 s ZNK8.3 se mrak bodů trhá na více shluků. Naproti tomu rozdělení znaků NH4, NO2 a NO3 vykazuje jasné zešikmení k nižším hodnotám, což nás vede k závěru o jejich nevhodnosti pro užití v metodě diskriminační analýzy Závěr ke kritice dat Vzhledem k silné korelaci mezi některými znaky a výraznému zešikmení rozdělení u některých dalších, zredukujeme jejich počet. V další analýze budeme již využívat pouze tyto diskriminátory: K, CHSKMn, ph, T, R, O2, ZNK8.3 a NO3. 7

8 1.3 Nalezení diskriminačního modelu (z analyzovaného výběru) Vyšetření vlivu diskriminátorů Tabulka 3: Výběr vhodných diskriminátorů[2] Wilks. Lambda Parc. Lambda F na vyj (2,223) Úroveň p Toler. 1-toler. R^2 O K R CHSKMn NO ph T ZNK krok 6, počet proměnných v modelu: 6; grupovací proměnná: TO (3 skupiny); Wilks. lambda: přibliž F (12,446)= p< V rámci diskriminační analýzy byla užita kroková analýza dopředná. V šesti krocích byly nalezeny znaky s dostatečnou diskriminační silou. Vyřazení znaků, které nenáleží do modelu se provádí s využitím Wilkova kritéria λ, které nabývá hodnot od 0 (výborná diskriminační síla) do 1 (žádná diskriminační síla). Wilkova λ v tabulce odpovídají hodnotě při vypuštění daného znaku, pokud jsou větší než je příslušná hodnota Wilkova kritéria λ (v této analýze ) znamená to, že vypuštěný diskriminátor patří do modelu. Znaky s dostatečnou diskriminační silou jsou: O2, K, R, CHSKMn, NO3 a ph Klasifikační funkce Tabulka 4: Klasifikační funkce [2] G_1:0 (prameny) p = G_2:1 (mělké vrty) p = G_3:2 (hluboké vrty) p = O K R CHSKMn NO ph absolutní člen Tabulka obsahuje odhady neznámých diskriminačních koeficientů klasifikační funkce, která slouží k zařazování nových objektů do tříd. Veličina p je apriorní pravděpodobnost, to je pravděpodobnost, že bude objekt zařazen do dané třídy. 8

9 1.4 Klasifikace objektů Klasifikační matice Tabulka 5: Klasifikační matice [2] % správně zařazených objektů G_1:0 (prameny) G_2:1 (mělké vrty) G_3:2 (hluboké vrty) G_1:0 (prameny) G_2:1 (mělké vrty) G_3:2 (hluboké vrty) Celkem Ověření navržené diskriminační funkce se provádí klasifikací objektů u nichž víme do jaké třídy náleží (klasifikovaný výběr). Z ohledem na hodnoty procentuálního vyjádření správně zařazených objektů v jednotlivých třídách je navržený model nejméně účinný při klasifikaci objektů mělkých vrtů. Naopak nejnižší procento chybně zařazených objektů je v třídě pramenů Chybně zařazené objekty Tabulka 6: Přehled chybně zařazených objektů - Mahalanobisovy vzdálenosti [2] typ objektu prameny mělké vrty hluboké vrty typ objektu prameny mělké vrty hluboké vrty PO0016 pramen VP0635 mělký vrt PO1835 pramen VP0651 mělký vrt PO4006 pramen VP0672 mělký vrt PP0053 pramen VP0692 mělký vrt PP0111 pramen VP0714 mělký vrt PP0115 pramen VP1324 mělký vrt PP0148 pramen VP1576 mělký vrt PP0331 pramen VP1601 mělký vrt PP0378 pramen VP1721 mělký vrt PP0434 pramen VP1724 mělký vrt PP0462 pramen VP1942 mělký vrt PP0496 pramen VP1966 mělký vrt PP0513 pramen VP7005 hluboký vrt PP0540 pramen VP7012 hluboký vrt VB0031 mělký vrt VP7016 hluboký vrt VB0078 mělký vrt VP7215 hluboký vrt VB0095 mělký vrt VP7304 hluboký vrt VB0117 mělký vrt VP7510 hluboký vrt VB0236 mělký vrt VP7524 hluboký vrt VB0271 mělký vrt VP7614 hluboký vrt VB0295 mělký vrt VP7618 hluboký vrt VB0322 mělký vrt VP7710 hluboký vrt VB0401 mělký vrt VP7716 hluboký vrt VB9754 hluboký vrt VP7718 hluboký vrt VO0005 mělký vrt VP7720 hluboký vrt VO0016 mělký vrt VP7722 hluboký vrt VO0089 mělký vrt VP7727 hluboký vrt VP0007 mělký vrt VP7800 hluboký vrt VP0094 mělký vrt VP8206 hluboký vrt VP0119 mělký vrt VP8419 hluboký vrt VP0210 mělký vrt VP8456 hluboký vrt VP0326 mělký vrt VP8503 hluboký vrt VP0478 mělký vrt VP9500 hluboký vrt VP0485 mělký vrt VP9506 hluboký vrt

10 Tabulka obsahuje Mahalanobisovy vzdálenosti klasifikovaných objektů od Z skóre jednotlivých tříd. Objekt je zařazen do třídy, ke které je nejblíže. Vlivem toho že shluky objektů v rámci jednotlivých tříd se částečně prolínají, dochází k chybným zařazením objektů z jedné třídy, které jsou blíže k centru (Z-skóre) třídy jiné. Tabulka 7: Přehled chybně zařazených objektů - Aposteriorní pravděpodobnosti [2] typ objektu prameny mělké vrty hluboké vrty typ objektu prameny mělké vrty hluboké vrty PO0016 pramen VP0635 mělký vrt PO1835 pramen VP0651 mělký vrt PO4006 pramen VP0672 mělký vrt PP0053 pramen VP0692 mělký vrt PP0111 pramen VP0714 mělký vrt PP0115 pramen VP1324 mělký vrt PP0148 pramen VP1576 mělký vrt PP0331 pramen VP1601 mělký vrt PP0378 pramen VP1721 mělký vrt PP0434 pramen VP1724 mělký vrt PP0462 pramen VP1942 mělký vrt PP0496 pramen VP1966 mělký vrt PP0513 pramen VP7005 hluboký vrt PP0540 pramen VP7012 hluboký vrt VB0031 mělký vrt VP7016 hluboký vrt VB0078 mělký vrt VP7215 hluboký vrt VB0095 mělký vrt VP7304 hluboký vrt VB0117 mělký vrt VP7510 hluboký vrt VB0236 mělký vrt VP7524 hluboký vrt VB0271 mělký vrt VP7614 hluboký vrt VB0295 mělký vrt VP7618 hluboký vrt VB0322 mělký vrt VP7710 hluboký vrt VB0401 mělký vrt VP7716 hluboký vrt VB9754 hluboký vrt VP7718 hluboký vrt VO0005 mělký vrt VP7720 hluboký vrt VO0016 mělký vrt VP7722 hluboký vrt VO0089 mělký vrt VP7727 hluboký vrt VP0007 mělký vrt VP7800 hluboký vrt VP0094 mělký vrt VP8206 hluboký vrt VP0119 mělký vrt VP8419 hluboký vrt VP0210 mělký vrt VP8456 hluboký vrt VP0326 mělký vrt VP8503 hluboký vrt VP0478 mělký vrt VP9500 hluboký vrt VP0485 mělký vrt VP9506 hluboký vrt Jiným způsobem klasifikace objektů do tříd je využití hodnot aposteriorních pravděpodobností. Objekt je přidělen ke třídě, pro níž je hodnota pravděpodobnosti vyšší. Je zajímavé, že oba uvedené způsoby klasifikace vedly k chybnému zařazení týchž objektů, přestože u některých došlo k zařazení do odlišné nesprávné třídy Zařazení neznámých objektů Tabulka 8: Klasifikace neznámých objektů - Mahalanobisovy vzdálenosti [2] klasifikace prameny mělké vrty hluboké vrty 1 pramen pramen pramen pramen pramen hluboký vrt hluboký vrt mělký vrt mělký vrt mělký vrt hluboký vrt mělký vrt hluboký vrt mělký vrt

11 1.5 Závěr Data z chemických analýz nebyla shledána jako vhodná pro dostatečně přesné přiřazení objektů podzemních vod s využitím metody lineární diskriminační analýzy (LDA) ke třem základním skupinám. Zvláště procento správně zařazených objektů v rámci třídy mělkých vrtů je dost nízké (pouze 58 %). Příčina může být jednak v tom, že monitorované ukazatele nemají dostatečnou diskriminační sílu a rovněž to že většina z nich vykazuje jiné než normální rozdělení. 11

12 2. Nalezení statisticky významných ukazatelů přispívajících k separaci objektů podzemních vod do 2 skupin 2.1 Zadání Užitím metody logistické regrese určete, u kterých stanovovaných ukazatelů chemického rozboru vody lze výši jejich hodnot pro dva základní typy objektů podzemních vod (prameny a vrty) považovat za statisticky významně rozdílné Data Data v příloze: Tabulka I: Analyzovaný výběr objekty podzemních vod Závisle proměnná: Typ objektu (TO2) může nabývat 2 hodnot (P = pramen, V = vrt) 16 nezávisle proměnných (znaků, diskriminátorů): ph. ph vody v laboratoři K konduktivita v laboratoři [ms/m] T teplota vody [ C] R oxidačně redukční potenciál [mv] A absorbance (254nm,1cm) M celková mineralizace [mg/l] O2 kyslík rozpuštěný [mg/l] CHSKMn chemická spotřeba kyslíku manganistanem [mg/l] KNK4,5 kyselinová neutralizační kapacita do ph 4,5 [mmol/l] ZNK8,3 zásadová neutralizační kapacita do ph 8,3 [mmol/l] NH4 amonné ionty [mg/l] NO2 dusitany [mg/l] NO3 dusičnany [mg/l] PO4 fosforečnany [mg/l] Cl chloridy [mg/l] SO4 sírany [mg/l] 12

13 2.2 Kritika dat Korelace Tabulka 9: Korelační matice prediktorů [2] Abs. 1 Abs. ph K T R A M O2 CHSKMn KNK4.5 ZNK8.3 NH4 NO2 NO3 PO4 Cl SO4 ph K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO Většina metod vícerozměrné analýzy je založena na platnosti různých předpokladů o datech, což snižuje věrohodnost výsledků při zpracování dat, která taková omezení nesplňují. Výhodou metody logistické regrese je, že nemusí být splněny určité předpoklady o datech zejména o jejich rozdělení (tedy ani obvyklá podmínka vícerozměrné normality). Z tohoto důvodu je logistická regrese v určitých případech alternativou k metodě nejmenších čtverců či diskriminační analýze. To nám ovšem nebrání v tom, abychom si prohlédly, které prediktory spolu silněji korelují. 13

14 2.3 Nalezení logistického modelu Iterační přiblížení odhadů parametrů prediktorů Tabulka 10: Iterační výsledky [2] Iterace 0 Iterace 1 Iterace 2 Iterace 3 Iterace 4 Iterace 5 Iterace 6 Iterace 7 Iterace 8 Iterace 9 Abs.člen ph K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO Věrohodnost Zjemňování odhadů parametrů v průběhu iteračního postupu vede ke zvyšování hodnoty věrohodnosti Krokové zavádění prediktorů do logistického regresního modelu Tabulka 11: Věrohodnostní test typu 1 [2] Stupně volnosti Ln- věrohod. Chí- kvadrát p Abs. člen ph K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO

15 Tabulka 12: Věrohodnostní test typu 3 [2] Stupně volnosti Ln- věrohod. Chí- kvadrát p ph K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO Tabulka 13: Waldův test významnosti odhadů parametrů [2] Stupně volnosti Wald. Stat. p Abs. člen ph K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO Waldův test významnosti prediktorů je považován za nejlepší pro velké výběry dat (tj. optimálně alespoň 20 objektů na 1 testovaný prediktor, minimálně 10 objektů na 1 prediktor), což v našem případě platí, proto vezmeme za rozhodující výsledky Waldova testu. Waldova statistika představuje čtverec poměru odhadu regresního koeficientu a jeho směrodatné odchylky. Pro významné parametry platí, že hodnota pravděpodobnosti p je nižší než hladina 0.05, s kterou počítáme. Statisticky významné prediktory jsou: R (oxidačně-redukční potenciál) A (absorbance při λ 256 nm) O2 (kyslík rozpuštěný) CHSKMn (Chemická spotřeba kyslíku manganistanem) Cl (chloridy) 15

16 Tabulka 14: odhady parametrů a intervaly spolehlivosti odhadů [2] Odhad Dolní LS 95. % Horní LS 95. % Standard chyba Abs.člen ph K T R A M O CHSKMn KNK ZNK NH NO NO PO Cl SO Pokud mezi horní a dolní mezí intervalu spolehlivosti odhadů parametrů leží 0, pak je parametr statisticky nevýznamný. Pokud interval spolehlivosti 0 neobsahuje je parametr významný. Závěry o významnosti parametrů v této tabulce se dobře shodují s výsledky Waldova testu Těsnost proložení logistickým modelem Tabulka 15: Testy těsnosti proložení [2] SV Stat. Stat/sv deviance Deviance v měřítku Pearsonův chí^ P. chí^2 v měř Log-věrohodnost

17 2.4 Vlastní klasifikace objektů predikované hodnoty Klasifikace Tabulka 16: Chybně klasifikované známé objekty [2] Odezva '1' = P Před. Hodnota Lineár. Před. Směrod. Chyba Dolní LS 95. % Horní LS 95. % PB PO PP PP PP PP PP PP PP VP VP VP VP VP VP VP VP VP VP VP VP Odezva představuje skutečnou příslušnost objektu do dané třídy (1 = P tedy pramen a 0 = V tedy vrt) a Před. Hodnota je vypočtená hodnota závisle proměnné, pokud je mezi 0 až 0.5 pak je objekt přiřazen do třídy 0 (vrt), pokud je mezi 0.5 až 1, pak je objekt zařazen do třídy 1 (pramen). Z 69 pramenů bylo chybně zařazeno 9. Ze 162 vrtů bylo chybně zařazeno 12. Graf 3: P-graf reziduí [2] 17

18 V ideálním případě leží body v P-grafu rezidují těsně na přímce. Pokud tomu tak není je to důkaz toho, že nalezený model je přeurčený (redundantní), tedy obsahuje více proměnných než potřebujeme. 2.5 Závěr Metodou Logistické regrese byl nalezen model: TO2 = 7, ,279 ph + 0,239 K 0,052 T + + 0,013 R 56,245 A 0,0046 M + 0,495 O2 + 1,355 CHSKMn 1,571 KNK ,522 ZNK8.3 3,896 NH4 10,008 NO2 2,169 PO4 0,1302 Cl 0,021 SO4. Jako statisticky významné byly na základě Waldova testu shledány tyto parametry: R, A, O2, CHSKMn a Cl. Klasifikací známých objektů bylo chybně přiřazeno 21 ze 321 objektů (tj. 6,5 %) 18

19 3. Porovnání vybraných států Evropské unie na základě hodnot základních ukazatelů znečištění ovzduší 3.1 Zadání Aplikací metod vícerozměrného škálování (MDS) a korespondenční analázy (CA) nalezněte podobnost mezi vybranými státy EU s ohledem na míru znečišťujících látek v ovzduší a spotřebu primárních energetických zdrojů v roce Data Tabulka 17: Data [3] CZ SK PL HU AT DE BE PT EU15 sox nox nh co tzl data odpovídají roku 2003 sox nox nh3 co2 tzl CZ SK PL HU AT DE BE PT EU15 emise oxidů síry [kg/obyvatele] emise oxidů dusíky [kg/obyvatele] emise amoniaku [kg/obyvatele] emise skleníkových plynů [t/obyvatele] tuhé znečišťující látky [kg/obyvatele] Česká republika Slovensko Polsko Maďarsko Rakousko Dánsko Belgie Portugalsko průměr první 15 členů EU 19

20 3.2 Klasické metrické vícerozměrné škálování (CMDS) Nalezení počtu souřadnic (dimenzí) Tabulka 18: Vyšetření vlastních čísel [4] Pořadové číslo Jednotlivé Kumulativní Čárový diagram dimenze Vlastní číslo procento procento vlastních čísel IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII III I I Součet 2.73 Nejostřejší zlom v čárovém diagramu vlastních čísel je u druhé dimenze, tedy otimální počet dimenzí (souřadnic) jsou 2. První 2 dimenze vysvětlují 96,28 % proměnlivosti v datech. Což je zcela postačující Optimalizace výpočtu vzdáleností a těsnost proložení Tabulka 19: Vyčíslení kritéria stress [4] Počet Čtverec dimenzí reziduí Stress Pseudo R Počet vzdáleností 36 Průměr vzdáleností Suma čtverců vzdáleností Suma čtverců vzdáleností okolo jejich průměru Hodnota kritéria stress ukazuje na kvalitu proložení dat modelem. Kvalita proložení je dobrá, jestliže stress < 0,05 a výborná pro stress < 0,01. Pseudo R 2 ukazuje na procento sumy čtverců vzdáleností pro příslušný počet dimenzí. Hodnota vyšší než 80 % je velmi dobrá. Hodnoty stress a Pseudo R 2 pro vybrané 2 dimenze dávají předpoklad výborného proložení modelem. 20

21 Tabulka 20: Těsnost proložení statistickou analýzou reziduí [4] Skutečná Vypočtená Relativní Řádek Sloupec vzdálenost vzdálenost Rezidum rezidum [%] 7 BE 9 EU PL 4 HU AT 6 DE CZ 9 EU CZ 7 BE SK 8 PT CZ 8 PT CZ 2 SK PL 8 PT DE 7 BE AT 7 BE HU 8 PT AT 9 EU DE 9 EU SK 3 PL SK 4 HU PT 9 EU SK 9 EU SK 7 BE BE 8 PT CZ 5 AT CZ 6 DE CZ 3 PL CZ 4 HU SK 6 DE SK 5 AT PL 9 EU HU 9 EU AT 8 PT PL 7 BE HU 7 BE DE 8 PT PL 6 DE PL 5 AT HU 5 AT HU 6 DE Počet dimenzí 2 Suma čtverců vzdáleností Suma čtverců reziduí Stress Pseudo R Kvalita proložení je dána skutečnou vzdáleností vycházející z hodnot v matici proximity (vytvořená z tabulky dat před započetím vlastní analýzy) a vypočtenou vzdálenost s ohledem na vybraný počet dimenzí. Na základě znalosti vzdáleností zjistíme hodnotu kritéria stress a tím i hodnotu pro posouzení těsnosti proložení Mapa objektů Tabulka 21: Tabelární podoba mapy objektů [4] Proměnné Dimenze1 Dimenze2 Dimenze3 Dimenze4 CZ SK PL HU AT DE BE PT EU

22 Tabulka obsahuje hodnoty souřadnic (dimenzí) pro jednotlivé objekty a je vlastně cílem analýzy metodou vícerozměrného škálování. Pro porovnávání podobnosti objektů však je z hlediska názornosti lepší graf mapy objektů. Graf 4: Grafická podoba mapy objektů [4] Již z původních dat je patrné, že Česká republika nelichotivě obsazuje přední místa v rámci hodnocení plynných emisí v EU. Tím více je překvapující, že se však příliš neodlišujeme od průměru původních 15 států unie, jemuž prakticky odpovídají emise v Belgii. Pozitivně ovlivňuje průměr EU Rakousko a Dánsko. Je zajímavé, že oba státy toho dosahují diametrálně odlišným postojem k jaderné energetice. Dánsko využívá jadernou energii na obdobné úrovni jako Česká republika. Naopak negativně ovlivňuje průměr EU Portugalsko a má k němu dále než ČR. Nejpodobnější Portugalsku je Slovensko. Nepodobné ostatním jsou si blízké Polsko s Maďarskem, kteří vedou nelichotivou statistiku emisí oxidů síry. 22

23 3.3 Nemetrické vícerozměrné škálování (NNMDS) Optimalizace výpočtu pořadí vzdáleností a těsnost proložení Tabulka 22: Vyčíslení kritéria stress [4] Počet Percent Rank Proč Čárový graf dimenzí Maintained Stress ukončeno pro stress Min Stress Min Stress Max Iterations Min Stress Min Stress Oproti klasické metodě MDS založené na vzdálenosti mezi objekty, vychází neparametrická MDS z uspořádaných pořadových čísel seřazených vzdáleností mezi objekty. Z ohledem na výsledek čárového diagramu vlastních čísel z analýzy CMDS byly opět použity 2 dimenze. Opět bylo dosaženo velmi nízké hodnoty kritéria stress. Tabulka 23: Porovnání pořadí seřazených skutečných vzdáleností s vypočtenými [4] Skutečná Vypočtená Řádek Sloupec vzdálenost vzdálenost 7 BE 9 EU PL 4 HU AT 6 DE CZ 9 EU CZ 7 BE SK 8 PT CZ 8 PT CZ 2 SK PL 8 PT DE 7 BE AT 7 BE HU 8 PT AT 9 EU DE 9 EU SK 3 PL SK 4 HU PT 9 EU SK 9 EU SK 7 BE BE 8 PT CZ 5 AT CZ 6 DE CZ 3 PL CZ 4 HU SK 6 DE SK 5 AT PL 9 EU HU 9 EU AT 8 PT PL 7 BE HU 7 BE DE 8 PT PL 6 DE PL 5 AT HU 5 AT HU 6 DE

24 Dissimilarities U metody NNMDS nelze porovnávat rezidua v jednotkách vzdálenosti, protože metoda vychází z pořadových čísel a vypočtené vzdálenosti mohou být dost odlišné od zadaných. Cílem NNMDS je optimalizovat vypočítané pořadí vzdáleností, tak aby se co nejvíce blížilo zadanému. Graf 5: Skutečná vs. vypočítaná vzdálenost [4] 1.50 Dissimilarity Fit Plot Distance V grafu jsou patrné 4 shluky bodů reprezentující podobné hodnoty vypočítaných vzdáleností, což v následujícím grafu mapy objektů se projevilo v existenci 4 shluků podobných si objektů Mapa objektů Tabulka 24: Tabelární podoba mapy objektů [4] Proměnné Dimenze1 Dimenze2 CZ SK PL HU AT DE BE PT EU

25 Dim2 Graf 6: Grafická podoba mapy objektů [4] NNMDS Map 0.10 BE EU15 CZ SK PT AT DE PL HU Dim1 Mapa objektů pro metodu NNMDS potvrzuje závěry o podobnosti objektů vyřčené na základě výsledků CMDS. Podobnost států z hlediska emisních ukazatelů znečištění ovzduší: Rakousko a Dánsko, Průměr evropské 15 a Belgie s Českou republikou, Slovensko s Portugalskem, Polsko s Maďarskem. Přehlednost mapy se však zhoršuje, protože podobné objekty se překrývají. 25

26 3.4 Korespondenční analýza (CA) Data Tabulka 25: Data [3] sox nox nh3 co2 tzl CZ SK PL HU AT DE BE PT EU Tabulka dat pro korespondenční analýzu obsahuje totožná data s tabulkou dat pro vícerozměrné škálování, ale je transponovaná, protože CA vyžaduje mít objekty v řádcích a sledované znaky (proměnné) ve sloupcích Profily Tabulka 26: Řádkové profily v % [4] sox nox nh3 co2 tzl Total CZ SK PL HU AT DE BE PT EU Total Tabulka 27: Sloupcové profily v % [4] sox nox nh3 co2 tzl Total CZ SK PL HU AT DE BE PT EU Total

27 3.4.3 Hledání počtu projekčních dimenzí Tabulka 28: Čárový diagram vlastních čísel [4] Počet Individuální Kumulativní dimenzí vlastní číslo % %, Inercie Bar Chart IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIII II I Suma Počet dimenzí podle čárového diagramu jsou 2. Kumulativní procento je 95,8. Pokud by byla inercie nižší než 50 pro první 2 dimenze, pak by CA nebyla vhodnou metodou pro daná data Příspěvek do inercie a hlavní komponenty Tabulka 29: Zobrazení řádkového profilu a příspěvku inercie [4] Osa Osa Kategorie Kvalita Mass Inercie Souřadnice COR CTR Souřadnice COR CTR 1 CZ SK PL HU AT DE BE PT EU Tabulka 30: První hlavní komponenta na ose 1 [4] Kategorie Mass Inercie Vzdálenost Souřadnice COR CTR Úhel Vlastní číslo 1 CZ SK PL HU AT DE BE PT EU Tabulka 31: Druhá hlavní komponenta na ose 2 [4] Kategorie Mass Inercie Vzdálenost Souřadnice COR CTR Úhel Vlastní číslo 1 CZ SK PL HU AT DE BE PT EU

28 Factor2 (8%) Kvalita je suma hodnot COR obou os a je to díl variability v daném profilu reprodukovaném oběma osami. Hodnota kvality pro SK je menší než u ostatních. Je to jen 0,491 (tedy 49,1 %), což může vést ke zkreslení bodu v grafu. Mass je poměr řádkové a celkové četnosti tabulky. CTR je příspěvek daného profilu do inercie celé osy. COR je koeficient korelace mezi daným profilem a osou. Úhel značí úhel mezi osou a profilem Diagnostické grafy CA Graf 7: Řádkové profily [4] Correspondence Plot DE Legend Rows Columns SK PL 0.03 EU15 HU AT BE CZ PT Factor1 (88%) Jak z grafu řádkových profilů vyplývá metoda CA nedávat zcela shodné výsledky s metodou MDS. Shody s MDS: Belgie má blízko k Evropské 15 a k České republice. Dánsko je vzdáleno od ostatních. Polsko je blízko Maďarsku. Portugalsko je vzdáleno EU15 více než ČR. Rozdíly od MDS: Zejména postavení Slovenska daleko od Portugalska a blízko EU15 je dost odlišné. Také Rakousko je blíže EU15 a Belgii a daleko od Dánska. 28

29 Factor2 (8%) Graf 8: Řádkové a sloupcové profily [4] Correspondence Plot DE tzl Legend Rows Columns co2 SK PL 0.03 nh3 EU15 sox HU AT BE nox CZ PT Factor1 (88%) Vynést řádkové a sloupcové profily do jednoho grafu je zdánlivě nelogické, protože obě skupiny jsou do nové roviny promítnuty z nestejně rozměrných prostorů, proto je nutné nepřikládat poměrům vzdáleností mezi objekty a znaky zásadní význam. Ovšem obecně se dá říci, že objekt blízký některému znaku s ním pravděpodobně souvisí. I v tomto grafu jsou patrné některé oprávněně malé vzdálenosti mezi objekty a znaky: ČR má nejvyšší emise oxidů dusíku z uvedených států. Maďarsko má vysoké emise oxidů síry. Rakousko má v porovnání s ostatními státy nízké emise, ale s výjimkou oxidů dusíku k nimž má v grafu nejblíže. Totéž platí o Dánsko má vyšší hodnoty skleníkových plynů a tuhých znečišťujících látek a k oběma ukazatelům má také nejblíže. Polsko je mezi body označující emise amoniaku, oxidů síry a tuhých znečišťujících látek, což odpovídám vysokých hodnotám těchto druhů emisí pro tento stát. Portugalsko je mezi body pro oxidy síry a dusíku, to rovněž souhlasí s uvedenými daty. 3.5 Závěr Klasické i nemetrické řešení metody vícerozměrného škálování dávaly výsledky v podstatě shodné, ovšem závěry z provedené korespondenční analýzy již zcela totožné nejsou. Přesto je vhodné provádět na stejných datech více analýz s cílem získání ucelenějších informací v nich skrytých. 29

30 Literatura a software [1] ČHMÚ databáze jakosti vody ( [2] STATISTICA 7.0 ( [3] Statistická ročenka životního prostředí České republiky MŽP ČR, Praha [4] NCSS 2000 ( [5] Meloun M., Militký J., Hill M.: Počítačová analýza vícerozměrných dat v příkladech. Academia, Praha [6] Pytela O.: Chemometrie pro organické chemiky. Univerzita Pardubice, skripta, Pardubice

31 Přílohy Tabulka I: Analyzovaný výběr objekty podzemních vod [1] Objekt TO2 TO ph K T R A M O2 CHSKMn KNK4.5 ZNK8.3 NH4 NO2 NO3 PO4 Cl SO4 1 PB0016 P PB0030 P PB0075 P PB0094 P PB0113 P PB0148 P PB0174 P PB0285 P PB0337 P PB0365 P PB0371 P PB0393 P PB0415 P PB0464 P PB0472 P PO0011 P PO0017 P PO0027 P PO1804 P PO3003 P PO4008 P PO4015 P PP0026 P PP0051 P PP0056 P PP0091 P PP0114 P PP0121 P PP0157 P PP0164 P PP0191 P PP0210 P PP0232 P PP0261 P PP0271 P PP0277 P PP0285 P PP0292 P PP0300 P PP0319 P PP0327 P PP0346 P PP0360 P PP0368 P PP0379 P PP0402 P PP0427 P PP0437 P PP0456 P PP0466 P PP0477 P PP0491 P PP0498 P PP0525 P PP0533 P PP0539 P PP0542 P PP0565 P PP0574 P PP0744 P PP0754 P PP0782 P PP0789 P PP0845 P PP0848 P PP0850 P PP0853 P PP0873 P PP0880 P VB0014 V VB0044 V VB0071 V VB0090 V VB0103 V VB0147 V VB0173 V