Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Transkript

1

2 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

3 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

4 Pravděpodobnost a matematická statistika týden ( ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza (histogramy, četnosti absolutní, relativní, prosté, kumulativní), základní statistické charakteristiky (průměr, výběr.rozptyl, minimum, maximum, medián, kvartily, boxplot), sešikmenná rozdělení (vzájemná poloha mediánu a střední hodnoty), chvosty, kvantily 2. týden ( ) Princip statistické indukce, výběr, vlastnosti výběru, experiment. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a jeho souvislost s histogramem. Pravděpodobnost, pravidla pro počítání s pravděpodobností, podmíněná pravděpodobnost, závislost náhodných veličin. 3.týden ( ) Využití závislosti při stanovení pravděpodobnosti - věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta 4.týden ( ) Rozdělení chyb měření - normální rozdělení a počítání s ním. Odhady parametrů normálního rozdělení. Intervaly spolehlivosti pro normální data. Jednovýběrové testy o střední hodnotě 5.týden ( ) Výběrový poměr jako odhad pravděpodobnosti sledovaného jevu. Alternativní rozdělení, binomické rozdělení. Intervalový odhad výběrového poměru. Výběry s vracením a bez vracení (binomické a hypergeometrické rozdělení) 6.týden ( ) odpadá 7.týden ( ) Poruchy v čase (Poissonův proces). Poissonovo rozdělení, exponenciální rozdělení, jeho výhody a nevýhody, modelování doby do poruchy pomocí Weibullova rozdělení, lognormálního rozdělení, případně useknuté normální rozdělení. 8.týden ( ) Testy dobré shody, Q-Q graf (pouze vysvětlení), testy normality. Některé neparametrické testy 9.týden ( ) Dvě náhodné veličiny - srovnání dvou výběrů (dvouvýběrové testy) 10. týden ( ) Dvě náhodné veličiny. Dvourozměrné četnosti jako odhad dvourozměrného rozdělení, frekvenční tabulka. Marginální rozdělení (vše pouze diskrétně s tabulkou) 11. týden ( ) Závislost náhodných veličin, míry závislosti (kovariance, korelace), test významnosti korelačního koeficientu 12. týden ( ) Regrese, lineární regresní model (přímková, kvadratická, polynomická regrese), analýza reziduí, pásy spolehlivosti 13. týden ( ) Více výběrů, jednoduché třídění, ANOVA. 14. týden ( ) Rezerva, opakování, testy normality (náhrada za )

5 Tato přednáška je na

6 X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

7 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

8 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

9 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe známe střední hodnoty a neznáme rozptyly Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

10 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe známe střední hodnoty a neznáme rozptyly známe rozptyly a neznáme střední hodnoty Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

11 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) oba parametry v obou případech známe známe střední hodnoty a neznáme rozptyly známe rozptyly a neznáme střední hodnoty žádný z parametrů neznáme Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s 2 X = 1 n 1 n i=1 X i (X X) 2, s 2 Y = 1 n 1 Ȳ = 1 m n i=1 Y i (Y Ȳ ) 2

12 X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

13 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

14 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m test shody rozptylů X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

15 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

16 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

17 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n

18 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X 2,...,X n párový test shody středních hodnot Y : Y 1,Y 2,..., Y n

19 Dvě nezávislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,...,Y m X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) test shody rozptylů test shody středních hodnot při stejných rozptylech test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n párová pozorování párový test shody středních hodnot

20 nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

21 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

22 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

23 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? Lze považovat rozptyl dvou nezávislých měření za shodný při dané hladině významnosti? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

24 1) Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? Lze považovat rozptyl dvou nezávislých měření za shodný při dané hladině významnosti? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : σx 2 = σy 2 H A : σx 2 = σy 2 F = s2 X α s 2 Y F-test Fisherovo-Snedecorovo rozdělení F(n-1, m-1) H0 nezamítneme, když pro dané α bude F α/2 (n 1,m 1) <F <F α/2 (n 1,m 1)

25 - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

26 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

27 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

28 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? Lze považovat střední hodnoty dvou nezávislých měření za shodné při dané hladině významnosti? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

29 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? Lze považovat střední hodnoty dvou nezávislých měření za shodné při dané hladině významnosti? Lze od sebe statisticky významně odlišit dvě nezávislá měření podle jejich jejich střední hodnoty? nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná)

30 - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná) pokud σ 2 X = σ 2 Y pokud σ 2 X = σ 2 Y dvouvýběrový t-test se stejnými rozptyly dvouvýběrový t-test s nestejnými rozptyly

31 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test nulová hypotéza : alternativní hypotéza: testová statistika : hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y T = X Ȳ α s X Ȳ (oboustranná) pokud σ 2 X = σ 2 Y pokud σ 2 X = σ 2 Y dvouvýběrový t-test se stejnými rozptyly dvouvýběrový t-test s nestejnými rozptyly

32 - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2 = σ 2 s 2 X Ȳ = s2 X + s 2 Ȳ = s2 X n + s2 Y m = 1 = s 2 n + 1 m + n = s 2 m n.m dále odhadneme s 2 ze všech naměřených hodnot: s 2 1 n = (X i n + m 2 X) m 2 + (Y i Ȳ )2 = i=1 i=1 1 (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y tedy: s 2 X Ȳ = n + m 2 n + m nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y

33 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2 = σ 2 s 2 X Ȳ = s2 X + s 2 Ȳ = s2 X n + s2 Y m = 1 = s 2 n + 1 m + n = s 2 m n.m dále odhadneme s 2 ze všech naměřených hodnot: s 2 1 n = (X i n + m 2 X) m 2 + (Y i Ȳ )2 = i=1 i=1 1 (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y tedy: s 2 X Ȳ = n + m 2 n + m nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 Y

34 - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 n + m Y ta má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n+m-2) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n + m 2) kde t α (n + m 2) je (oboustranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n+m-2) stupních volnosti.

35 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test pokud σx 2 = σy 2, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ nm(n + m 2) (n 1)s 2 X +(m 1)s 2 n + m Y ta má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n+m-2) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n + m 2) kde t α (n + m 2) je (oboustranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n+m-2) stupních volnosti.

36 pokud σ 2 X = σ 2 Y - Dvouvýběrový t-test, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ 1 n s2 X + 1 m s2 Y a má rozdělení, které je směsí t-rozdělení o (n-1) a (m-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude splněna nerovnost T At α (n 1) + Bt α (m 1), kde A a B jsou váhy, A+B=1. A = 1 n s2 X 1 n s2 X + 1 m s2 Y, B = 1 m s2 Y 1 n s2 X + 1 m s2 Y

37 2) Srovnání středních hodnot dvou nezávislých měření - Dvouvýběrový t-test pokud σ 2 X = σ 2 Y, testová statistika bude mít tvar: X T = Ȳ 1 n s2 X + 1 m s2 Y a má rozdělení, které je směsí t-rozdělení o (n-1) a (m-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude splněna nerovnost T At α (n 1) + Bt α (m 1), kde A a B jsou váhy, A+B=1. A = 1 n s2 X 1 n s2 X + 1 m s2 Y, B = 1 m s2 Y 1 n s2 X + 1 m s2 Y

38 X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

39 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

40 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

41 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu měření stejných obektů za různých podmínek X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

42 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu měření stejných obektů za různých podmínek měření stejné veličiny ve dvou různých časech X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

43 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu měření stejných obektů za různých podmínek měření stejné veličiny ve dvou různých časech... X : X 1,X 2,...,X n Y : Y 1,Y 2,..., Y n X N(µ X, σ 2 X) Y N(µ Y, σ 2 Y ) Z 1 = X 1 Y 1, Z 2 = X 2 Y 2,..., Z n = X n Y n, Z N(µ X µ Y, σ 2 Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X = µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z =0

44 H 0 : µ Z = a H A : µ Z = a T = Z a n s Z T má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n 1) kde t α (n 1) je (oboustranná) α-kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti.

45 3) Párový test shody středních hodnot dvou závislých měření H 0 : µ Z = a H A : µ Z = a T = Z a s Z n T má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané α bude T t α (n 1) kde t α (n 1) je (oboustranná) α-kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti.

46 dolní nebo horní jednostranná alternativa : H 0 : µ X = µ Y H A : µ X <µ Y H 0 : µ X = µ Y H A : µ X >µ Y H0 nezamítneme, když pro dané α bude buď T< t α (n 1) nebo T>t α (n 1) kde t α (n 1) je (jednostranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti. oboustranná α-kritická hodnota je (1 α/2) -kvantil t 1 α/2 (n 1) jednostranná α -kritická hodnota je (1 α) -kvantil t 1 α (n 1)

47 Jednostranné testy dolní nebo horní jednostranná alternativa : H 0 : µ X = µ Y H A : µ X <µ Y H 0 : µ X = µ Y H A : µ X >µ Y H0 nezamítneme, když pro dané α bude buď T< t α (n 1) nebo T>t α (n 1) kde t α (n 1) je (jednostranná) α -kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti. oboustranná α-kritická hodnota je (1 α/2) -kvantil t 1 α/2 (n 1) jednostranná α -kritická hodnota je (1 α) -kvantil t 1 α (n 1)

48 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. Lze považovat délky tyčí od různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? > x [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115] Dodavatel X:

49 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. Lze považovat délky tyčí od různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? > y [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] Dodavatel Y:

50 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 1) Vizualizace dat: Box&Whiskers diagram X Y

51 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 2) Srovnání rozptylů: F-test > var.test(x,y) F test to compare two variances data: x and y F = , num df = 119, denom df = 99, p- value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances => nulovou hypotézu nezamítáme, rozptyly se statisticky významně neliší

52 Příklad: Byly měřeny odchylky od požadované délky 4m ocelových tyčí od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 3) Srovnání středních hodnot: dvouvýběrový t-test se shodnými rozptyly > t.test(x,y, var.equal=t) Two Sample t- test data: x and y t = , df = 218, p- value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y => nulovou hypotézu nezamítáme, střední hodnoty se statisticky významně neliší

53 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 1) Data: > pred_cvicenim [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115]

54 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 1) Data: > po_cviceni [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115]

55 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 2) Grafické zobrazení

56 Dvě náhodné veličiny Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 3) Rozdíl: > rozdil = pred_cvicenim - po_cviceni > rozdil [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] [55] [61] [67] [73] [79] [85] [91] [97] [103] [109] [115]

57 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 3) Rozdíl:

58 Příklad: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 4) Párový t-test: > t.test(rozdil, mu=0) One Sample t- test data: rozdil t = , df = 119, p- value = 9.54e- 05 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x => nulovou hypotézu zamítáme, cvičení mělo vliv a rychlost reakce se statisticky významně zvýšila