Automatizované řešení úloh s omezeními

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Automatizované řešení úloh s omezeními"

Emil Pokorný
před 9 lety
Počet zobrazení:

1 Automatizované řešení úloh s omezeními Martin Kot Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba Česká republika 25. října 2012 M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 25.

2 Šíření omezení M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

3 Šíření omezení(constraint propagation) Můžeme dokázat nekonzistentnost sítě Můžeme vyloučit některé kombinace přiřazení hodnot proměnným a tím urychlit výpočet Můžemeinajítřešení-nováomezenízpůsobí,žekaždéřešenísenajde prostým prohledáváním do hloubky, kde nenastane nikdy dead-end Většinou ale řešení problému vyvozováním(inference) je výpočetně náročné, vyžaduje přidání exponenciálního množství nových omezení Obvykle se přidávaji jen nějaká omezení, prohledávání pak může narazit na dead-end, ale končí relativně rychle Algoritmy přidávající omezený počet omezení označujeme vynucení lokální konzistentnosti(local consistency-enforcing), omezené vyvozování konzistence(bounded consistency inference) nebo šíření omezení(constraint propagation) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

vyžaduje přidání exponenciálního množství nových omezení Obvykle se přidávaji jen nějaká omezení, prohledávání pak může narazit na dead-end, ale končí relativně rychle Algoritmy přidávající omezený

4 Hranová konzistentnost V minimální síti platí, že přiřazení jakékoliv hodnoty z domény proměnné je rozšiřitelné na jakoukoliv další proměnnou Takovou vlastnost nazýváme hranová konzistentnost (arc-consistency) Může být splněna také v neminimálních sítích Může být vynucena na každé síti efektivním výpočtem, často nazývaným propagace(propagation) Definice:Prodanousíť R = {X,D,C}sR ij Cjeproměnnáx i hranověkonzistentní(arc-consistent)vzhledemkx j právětehdy, kdyžprokaždouhodnotua i D i existujehodnotaa j D j tž. (a i,a j ) R ij. Definice:Podsíť(nebohrana)definovaná {x i,x j }jehranově konzistentní,právěkdyžx i jehranověkonzistentnívzhledemkx j ax j jehranověkonzistentnívzhledemkx i Definice: Síť omezení je hranově konzistentní, právě když všechny její hrany(podsítě velikosti 2) jsou hranově konzistentní M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

Cjeproměnnáx i hranověkonzistentní(arc-consistent)vzhledemkx j právětehdy, kdyžprokaždouhodnotua i D i existujehodnotaa j D j tž. (a i,a j ) R ij.

5 Revidující procedura SlidyR.Dechter,chapter3,slide7 Převádí síť na hranově konzistentní redukcí domén proměnných v rozsahu omezení Aplikovánanax i,x j vracínejvětšídoménud i prokteroux i je hranověkonzistentnívzhledemkx j SložitostvnejhoršímpřípadějeO(k 2 ),kdekjemezvelikostidomén M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

rozsahu omezení Aplikovánanax i,x j vracínejvětšídoménud i prokteroux i je

6 Algoritmus ARC-CONSISTENCY-1(AC-1) SlidyR.Dechter,chapter3,slide9 Brute-force algoritmus zajišťující hranovou konzistentnost sítě Aplikuje revidující proceduru na všechny dvojice proměnných, které se vyskytují v omezeních dokud se nějaký doména mění Může zjistit nekonzistentnost sítě SložitostvnejhoršímpřípadějeO(enk 3 ),kdenjepočetproměnných, kjemezvelikostídomén,ejepočetomezení M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

proceduru na všechny dvojice proměnných, které se vyskytují v omezeních dokud se nějaký doména mění Může zjistit

7 Algoritmus ARC-CONSISTENCY-3(AC-3) Slidy R. Dechter, chapter 3, slide 10 Algoritmus AC-1 je možné vylepšit Když se změní jen pár domén, není potřeba procházet všechna omezení znovu Stačí udržovat frontu dvojic proměnných, které ještě zpracovány nebylynebovdoménějednéznichdošlokezměně Algoritmus označujeme ARC-CONSISTENCY-3(AC-3), AC-2 byl mezikrok SložitostjeO(ek 3 ) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

procházet všechna omezení znovu Stačí udržovat frontu dvojic proměnných, které ještě zpracovány

8 Algoritmus ARC-CONSISTENCY-4(AC-4) Slidy R. Dechter, chapter 3, slide 12 Algoritmus AC-3 stále není optimální(z hlediska časové složitosti) Pouhéověřeníkonzistentnostisítěpotřebujeek 2 operací,zajištění konzistentnosti asi nemůže jít rychleji Algoritmus AC-4 dosahuje tuto mez Nevyužívá revidující proceduru, zkoumá strukturu relace omezení Každéhodnotěa i zdoményx i přiřadípočetkonzistentníchhodnotz x j Hodnotaa i jeodebránazdomény,pokudnemávněkteréze sousedních proměnných odpovídající protějšek SložitostjeO(ek 2 ) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

operací,zajištění konzistentnosti asi nemůže jít rychleji Algoritmus AC-4 dosahuje tuto mez Nevyužívá revidující proceduru, zkoumá strukturu relace

9 Složitost Místok 2 vzniklézuniverzálnírelacemůžemeuvažovattpro maximální počet dvojic v relacích Revidující procedura potom má O(t) AC-1: O(nket) AC-3: O(ekt) AC-4: O(et) SložitostvnejlepšímpřípaděproAC-1aAC-3jeek,kdyžužproblém jehranověkonzistentní.proac-4jetoek 2,protožetoliktrváuž inicializace PřislabýchomezeníchvpraxičastoAC-1aAC-3jsourychlejšínež AC-4 M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

SložitostvnejlepšímpřípaděproAC-1aAC-3jeek,kdyžužproblém jehranověkonzistentní.

10 Konzistentnost cesty Definice:Prodanousíť R = {X,D,C}jemnožinadvouproměnných {x i,x j }konzistentnípocestě(path-consistent)vzhledemkx k právě tehdy,kdyžprokaždépřiřazení ( x i,a i, x j,a j )existujehodnota a k D k tž.přiřazení ( x i,a i, x k,a k )a( x k,a k, x j,a j )jsou konzistentní. Definice(alternativa):Prodanousíť R = {X,D,C}jebinární omezenír ij jekonzistentnícestouvzhledemkx k x j právětehdy,když prokaždýpár (a i,a j ) R ij,kdea i,a j jsouzpříslušnýchdomén, existujehodnotaa k D k tž. (a i,a k ) R ik a (a k,a j ) R kj. Definice:Podsíťnadtřemiproměnnými {x i,x j,x k }jekonzistentnípo cestáchjestližeprokaždoupermutaci (i,j,k)jer ij konzistentnípo cestěvzhledemkx k Definice: Síť omezení je konzistentní po cestách, právě když pro všechnyr ij akaždék i,jjer ij konzistentnípocestěvzhledemkx k M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

Definice(alternativa):Prodanousíť R = {X,D,C}jebinární omezenír ij jekonzistentnícestouvzhledemkx k x j právětehdy,když prokaždýpár (a i,a j ) R ij,kdea i,a j jsouzpříslušnýchdomén, existujehodnotaa

11 Revidující procedura REVISE-3 Slidy R. Dechter, chapter 3, slide 17 Beredvojiceproměnných (x,y)ajejichomezenír xy atřetí proměnnouzavracínejslabšíomezenír xysplňujícíkonzistentnostpo cestě TestujesekaždádvojicekonzistentníchhodnotR xy,jestlijemožnéji rozšířit na hodnotu z. Když ne, dvojici smaže. SložitostjeO(k 3 )neboo(tk) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

proměnnouzavracínejslabšíomezenír xysplňujícíkonzistentnostpo cestě

12 Algoritmus PATH-CONSISTENCY-1(PC-1) Slidy R. Dechter, chapter 3, slide 18 Vynutí konzistentnost po cestách pro všechny podsítě velikosti 3, výsledkem je síť konzistentní po cestách Je analogií AC-1 SložitostjeO(n 5 k 5 )neboo(n 5 t 2 k) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

podsítě velikosti 3, výsledkem je síť konzistentní po cestách Je analogií AC-1

13 Algoritmus PATH-CONSISTENCY-2(PC-2) Slidy R. Dechter, chapter 3, slide 19 Vylepšuje PC-1 udržováním fronty uspořádáných trojic ke zpracování KdyžjeomezeníR i jzměněnovymazánímněkterédvojicehodnot, všechnytrojicezahrnujícíx i ax j asniminějakoutřetíhodnotux k jsou znovu zpracovány Je analogií AC-3 SložitostjeO(n 3 k 5 )neboo(n 3 t 2 k) Také není optimální z hlediska časové složitosti, existuje optimální algoritmuspc-4sesložitostío(n 3 k 3 )neboo(n 3 tk) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

jzměněnovymazánímněkterédvojicehodnot, všechnytrojicezahrnujícíx i ax j asniminějakoutřetíhodnotux k jsou znovu zpracovány Je

14 i-konzistentnost Definice:Prosíť R = (X,D,C)jerelaceR S C,kde S =i 1, i-konzistentní(i-consistent) vzhledem k proměnné y / S právě tehdy,kdyžprokaždét R S existujehodnotaa D y tž. (t,a). Definice: Síť je i-konzistentní(i-consistent) když pro jakoukoliv instanciaci i 1 různých proměnných existuje instanciace každé ité proměnné tž. získaných i hodnot dohromady plňuje všechna omezení na těchto proměnných Revidující procedura REVISE-i slidy R. Dechter, chapter 3, slide 23 Algoritmus I-CONSISTENCY slidy R. Dechter, chapter 3, slide 23 Algoritmus je exponenciální vzhledem k i, tedy při zajišťování globální konzistentnosti(i je počet všech proměnných v síti) exponenciální vzhledem k velikosti sítě Zavádídosítěomezenínai 1proměnných,zbinárnísítětakmůže udělat nebinární M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

získaných i hodnot dohromady plňuje všechna omezení na těchto proměnných Revidující procedura REVISE-i slidy R. Dechter, chapter 3, slide 23 Algoritmus I-CONSISTENCY slidy R.

15 Zobecněná hranová konzistentnost Jedna ze dvou možností rozšíření hranové konzistentnosi na nebinární sítě Definice:Prosíť R = (X,D,C)srelacíR S C,jeproměnnáx hranověkonzistentnívzhledemkr S právětehdy,kdyžprokaždé a D x existujen-ticet R S tž.t[x] =a Definice:OmezeníR S jehranověkonzistentníprávětehdy,kdyžje hranově konzistentní vzhledem ke každé proměnné ve svém rozsahu Zajištění konzistentnosti redukuje doménu proměnné Druhý přístup je relační hranová konzistentnost, zaznamenává odvozené omezení ve formě změnou některé z relací reprezentujících omezení M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

t[x] =a Definice:OmezeníR S jehranověkonzistentníprávětehdy,kdyžje hranově konzistentní vzhledem ke každé proměnné ve svém rozsahu Zajištění konzistentnosti

16 Globální omezení Modelování reálných aplikací ve formě problému s omezeními vyžaduje specializované algoritmy šíření omezení pro často využívaná omezení alldifferent Požaduje se, aby všechny proměnné měly přiřazeny vzájemně různé hodnoty Je možné popsat binárními omezeními Aplikování hranové konzistentnosti většinou nic nepřinese, protože síť už je konzistentní(pokud nejsou jednoprvkové domény) Typicky dávají smysl nad libovolným rozsahem Další příklady: omezení součtem(jedna proměnná je součtem jiných), kumulativní omezení(kumulativní spotřeba zdrojů v čase nepřekračuje specifikovanou kapacitu) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

protože síť už je konzistentní(pokud nejsou jednoprvkové domény) Typicky dávají smysl nad libovolným rozsahem Další příklady: omezení součtem(jedna proměnná je součtem

17 Konzistentnost hranic Na velkých doménách je drahé zajistit hranovou konzistentnost Levnější je zajistit konzistentnost hranic(bounds-consistency) Idea je omezit domény intervalem a zajistit, že krajní body těchto intervalů splňují hranovou konzistentnost Slidy R. Dechter, chapter 3, slide 31 Zajištění konzistentnosti hranic při omezení typu alldifferent je možné včaseo(nlogn) M. Kot (VŠB-TUO) Automatizované řešení úloh s omezeními 25. října / 17

intervalů splňují hranovou konzistentnost Slidy R.

Podobné dokumenty

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hranová konzistence Arc consistency AC Nejprve se zabýváme binárními CSP podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hrana (V i, V j ) je hranově konzistentní, právě když pro každou hodnotu x z aktuální domény