Formální Metody a Specifikace (LS 2011) Formální metody pro kyber-fyzikální systémy
|
|
|
- Olga Novotná
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Formální Metody a Specifikace (LS 2011) Přednáška 7: Formální metody pro kyber-fyzikální systémy Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze 1. duben 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti tefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
2 Vestavěné systémy Převážná většina všech mikroprocesorů se nevyskytuje v desktop počítačích ale vestavěná v technických systémech (např. ve vlacích, autech, robotech, ve Vaší pračce) Náklady na elektroniku v autech brzy víc než 50% (Zpráva pro Evropskou komisi, 2005) Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
3 Další integrace Tradiční vestavěné systémy: Výpočetní technika řídí fyzikální systém, jasná hranice mezi obojí. Víc a víc: Těsná a všudypřítomná integrace mezi výpočetními a fyzikálními komponenty: Kyber-fyzikální systémy (cyber-physical systems) Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
4 Správnost kyber-fyzikálních systémů Nejen těsná integrace mezi výpočetními a fyzikálními komponenty, ale i těsná integrace do každodenního lidského života. Selhání může ohrožovat lidský život (např. letadla) Správnost nepostradatelná (safety-critical systems) Např. Airbus, velká část nákladů: Zabezpečení správnosti vestavěného kódu Obrovský zájem i o nejmenší zlepšení zabezpečení správnosti Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
5 Návrh a testování kyber-fyzikálních systémů Další problém: Izolovaný software můžeme snadno testovat. Ale: Jak otestujeme letadlo, jadernou elektrárnou? Problémy: Testování probíhá na fyzikálním systému: drahé, nebezpečné. Můžeme testovat jen konečný, a v praxi velmi malý počet možných situací. Chyby se najdou pozdě, musíme zopakovat drahé postupy. Zdlouhavý postup (time to market). Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
6 Model based design Co nejdřívější používaní modelů konečného produktu příklad Souběžný vývoj fyzikálního systému a software Hledání chyb už v modelu Automatizace práce s modelem (např. simulace, testovaní) Následky: Testování modelů levnější než testování konkretního výrobku. Chyby se najdou brzy (a nemusíme zopakovat drahé postupy). Větší paralelizace postupu, výrobek rychleji na trhu. Formální důkazy správnosti modelů. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
7 Modely kyber-fyzikálních systémů Musíme modelovat i výpočetní procesy, i fyzikální systém. tefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
8 Modely výpočetních procesů UML (unified modeling language), konečné automaty, C++ Tradiční předmět informatiky Základní objekty: konečné množiny, celá čísla, pole, seznamy a podobné datové struktury (diskrétní) Typické chyby: Array overflow, dělení nulou, ne-terminace Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
9 Modely fyzikálních procesů ẋ 1 = x 2 1 x 2 ẋ 2 = sin x 1 ẋ 3 = x 1 + x 2 Tradiční předmět řídící techniky, fyziky, a matematiky Základní objekty: reálná čísla,... (spojité, nespočetné) Typické chyby: Dosažení nebezpečných stavů, nedosažený cílového stavu. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
10 Hybridní modely Problém: oddělené modely fyzikálních a výpočetních procesů nestačí (vzájemný vliv) Např.: Termostat off x 18 on 0 x 30 x ẋ = x ẋ = x + 40 x 22 t Hybridní systém. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
11 Hybridní systémy: další příklady Občas, fyzikální systém sám má částečně diskrétní povahu. Například: fyzikální kontakt: míč diskrétní zařízení v systému: vypínač, řadicí páka diskrétní modelování: linearizace Občas se spojitost vyskytuje už v čistě výpočetních procesech: požadavky na reálný čas: protokoly (po 9.8 sekundách, udělej...) výpočet spojitých výstupů: hudba, simulace spojitých jevů spojitá abstrakce výpočetních systémů Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
12 Hybridní systémy: popis na základě logických formuĺı Konečná množina módů (např. {off, on}) Speciální proměnná mode nabývající hodnotu z těchto módů (viz. čítač programu) Konečná množina proměnných nabývajících reálné hodnoty (např. modelování teploty). Popis systému, logické formule s těmito predikáty a proměnnými: Jump (např. [mode = off x 10] [mode = on x = 0]) viz. přechodová podmínka programů Flow (např. [mode = off ẋ = x sin(x) + 1] [mode = on... ]) Podobně jako u programů můžeme na základě toho definovat jestli systém může udělat krok ze stavu s do stavu s. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
13 Vývoj hybridních systémů s s pokud s, s splňují formuli Jump, nebo je možný spojitý vývoj podle Flow. Opět: systém může vykonat libovolný počet takovýchto kroků ( ) Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
14 Specifikace chování Podobně jako u programů můžeme specifikovat žádané chování hybridních systémů: Init (e.g., mode = firstgear 0 x x 10) Safe (např. x 8000) A můžeme se zeptat jestli to systém splňuje, tj. pokud začíná v stavu splňujícím Init, a dělá libovolný počet kroků podle (tj. Jump, a Flow) bude vždy splňovat Safe? Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
15 Ověřování omezené správnosti hybridních systémů Podobně jako u programů, můžeme zakódovat správnost během omezeného počtu kroků do logické formule: v 1,..., v n. [ Init(v 1 ) Φ H [v v i, v v i+1 ] Safe(v n ) ] i=1,...,n 1 Tady, Φ H zakóduje že systém dělá jeden krok: Jump Φ Flow, přičemž Jump je přímo z popisu hybridního systému, ale Φ Flow je složitá formule (nad-aproximace diferenciálních rovnic na základě Taylorových polynómů). Celá formule je formuĺı v teoríı reálných čísel, a můžeme je dokázat příslušnou rozhodující procedurou. Tudíž: Automatický důkaz omezené správnosti hybridních systémů. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
16 Implementace správného systému Správnost modelu nutně neznamená správnost konečného produktu Může se stát i pro software pro který máme důkaz správnosti. Proč? Chybný překladač, chybný operační systém, chybný čip atd.. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
17 Neomezená správnost Ve našem výzkumu vyvíjíme metody které umí ověřovat správnost hybridních systémů přes neomezený počet kroků. Demo Příští přednáška: neomezená správnost programů. Stefan Ratschan, Tomáš Dzetkulič (FIT ČVUT) MI-FME 7 1. duben / 17
Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1 / 16
Modelování fyzikálního okoĺı Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze 25. října 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
Informatika pro záchranu života
Informatika pro záchranu života Stefan Ratschan Ústav Informatiky Akademie Věd tefan Ratschan (Ústav Informatiky Akademie Věd) 1 / 15 Katastrofický začátek. Stefan Ratschan (Ústav Informatiky Akademie
Vyhněte se katastrofám pomocí výpočetní matematiky
Vyhněte se katastrofám pomocí výpočetní matematiky Stefan Ratschan Ústav informatiky Akademie věd ČR Stefan Ratschan Vyhněte se katastrofám 1 / 29 x. x 2 = 2 Kvíz x. x 2 = 2 x. x 2 7 p q x. x 2 + px +
Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1 / 19
Modelování a Analýza Systémů Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze 19. září 2010 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Unbounded Model Checking
Unbounded Model Checking Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze 25. října 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
Temporální Logiky. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1 / 19
Temporální Logiky Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze 10. října 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 11 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU Hana Kubátov vá doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta 1 informačních
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
Matematická indukce a správnost programů. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 13
Matematická indukce a správnost programů doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS
Aplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
10. Techniky formální verifikace a validace
Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 2 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU II doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii
Cvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
Modelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11
Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Základy tvorby výpočtového modelu
Základy tvorby výpočtového modelu Zpracoval: Jaroslav Beran Pracoviště: Technická univerzita v Liberci katedra textilních a jednoúčelových strojů Tento materiál vznikl jako součást projektu In-TECH 2,
ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 1. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 2013 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
Objektově orientovaná implementace škálovatelných algoritmů pro řešení kontaktních úloh
Objektově orientovaná implementace škálovatelných algoritmů pro řešení kontaktních úloh Václav Hapla Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB-Technická univerzita Ostrava
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy
Překladač a jeho struktura
Překladač a jeho struktura Překladače, přednáška č. 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz http://fpf.slu.cz/ vav10ui Poslední aktualizace: 23. září 2008 Definice
Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.
Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
Základy algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní
Analýza problémové domény
Analýza problémové domény Ing. Jiří Mlejnek Katedra softwarového inženýrství Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Jiří Mlejnek, 2011 jiri.mlejnek@fit.cvut.cz Softwarové
Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
Aproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
Modelov an ı biologick ych syst em u Radek Pel anek
Modelování biologických systémů Radek Pelánek Modelování v biologických vědách typický cíl: pomocí modelů se snažíme pochopit, jak biologické systémy fungují model zahrnuje naše chápání simulace ukazuje,
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V
Hledání lokálního maxima funkce algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V Č R Abstrakt : Lokální maximum diferencovatelné funkce je hledáno postupnou změnou argumentu. V
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
Úvod do softwarového inženýrství a týmového vývoje
Úvod do softwarového inženýrství a týmového vývoje Ing. Jiří Mlejnek Katedra softwarového inženýrství Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Jiří Mlejnek, 2011 jiri.mlejnek@fit.cvut.cz
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
Základy algoritmizace
Algoritmus Toto je sice na první pohled pravdivá, ale při bližším prozkoumání nepřesná definice. Například některé matematické postupy by této definici vyhovovaly, ale nejsou algoritmy. Přesné znění definice
POČÍTAČOVÁ SIMULACE PODNIKOVÝCH PROCESŮ. Ing. V. Glombíková, PhD.
POČÍTAČOVÁ SIMULACE PODNIKOVÝCH PROCESŮ Ing. V. Glombíková, PhD. SIMULACE nástroj pro studium chování objektů reálného světa SYSTÉM určitým způsobem uspořádána množina komponent a relací mezi nimi. zjednodušený,
Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
Informace pro výběr bakalářského oboru
Informace pro výběr bakalářského oboru 2017.03.15 J. Matas Bakalářské obory informatika a počítačové vědy software internet věcí počítačové hry a grafika kapacita všech oborů je dostatečná pro volný výběr
Organizace předmětu, podmínky pro získání klasifikovaného zápočtu
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Organizace předmětu, podmínky pro získání klasifikovaného zápočtu Kurz A0B38FPGA Aplikace
Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
![Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),](/thumbs/62/47835194.jpg "Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),")
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT?
UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT? O ÚSKALÍCH POČÍTAČOVÉ ARITMETIKY RNDr. Iveta Hnětynková, PhD. Katedra numerické matematiky VÝPOČTY A SIMULACE Aplikace: chemie, fyzika, lekařství, statistika, ekonomie, stojírenství,...
3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
Vestavné systémy BI-VES Přednáška 1
Vestavné systémy BI-VES Přednáška 1 Ing. Miroslav Skrbek, Ph.D. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Miroslav Skrbek 2010,2011 ZS2010/11 Evropský
Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
INTELIGENTNÍ SNÍMAČE
INTELIGENTNÍ SNÍMAČE Petr Beneš Vysoké učení technické v Brně, FEKT, Ústav automatizace a měřicí techniky Kolejní 4, 612 00 Brno, benesp@feec.vutbr.cz Abstrakt: Příspěvek se věnuje problematice inteligentních
Zobrazení. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Zobrazení prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy 2.
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Moderní nástroje pro vývoj elektronických řídicích jednotek
Moderní nástroje pro vývoj elektronických řídicích jednotek Jiří Sehnal Humusoft spol. s r.o. sehnal@humusoft.com EVV 2008 Automobilová elektronika Brno, 17. - 18. 6. 2008 Jiří Sehnal, Humusoft spol. s
HYPOTÉZY. Kvantitativní výzkum není nic jiného než testování hypotéz. (Disman 2002, s. 76) DEDUKCE (kvantitativní přístup)
HYPOTÉZY Hypotéza není ničím jiným než podmíněným výrokem o vztazích mezi dvěma nebo více proměnnými. Na rozdíl od problému, který je formulován v podobě otázky explicitně, nebo implicitně vyjádřené, hypotéza
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
V t í á t V á V s ČVU V T v v P r P a r ze
Vítá Vás Fakulta informačních ních technologií ČVUT v Praze 25. 11. 2009 Den otevřených dveří FIT 1 Historie FIT je zatím velmi krátká - jsme na startu 31. 3. 2008 první info na www.cvut.cz 20. 1. 2009
Elektronické obvody analýza a simulace
Elektronické obvody analýza a simulace Jiří Hospodka katedra Teorie obvodů, 804/B3 ČVUT FEL 4. října 2006 Jiří Hospodka (ČVUT FEL) Elektronické obvody analýza a simulace 4. října 2006 1 / 7 Charakteristika
Složitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory)
Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory) Mgr. Šárka Voráčová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky voracova @ fd.cvut.cz http://www.fd.cvut.cz/department/k611/pedagog/k611tho.html Literatura Š. Voráčová,
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
Stavební inženýrství 3904R007 Inženýrství životního prostředí 4 P 31.8.2020
akalářskéstudijníprogramy a obory Uvedenéakreditovanéstudijníprogramyaoborynemusíbýtotvírány v každémakademickémroce. ližšíinformacejsouuvedenynalokálníchstránkáchfakult v Podmínkáchpřijímacíhořízenínanásledujícíakademickýrok.
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Jak testovat software v praxi. aneb šetříme svůj vlastní čas
Jak testovat software v praxi aneb šetříme svůj vlastní čas Proč testy nepíšeme Nemáme na to čas Platí v cca 5% případů Nový projekt Prototyp je třeba mít během pár dní Počítá se s tím, že další verze
Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
Návrh softwarových systémů - architektura softwarových systémů
Návrh softwarových systémů - architektura softwarových systémů Martin Tomášek, Jiří Šebek Návrh softwarových systémů (B6B36NSS) Převzato z přednášky X36AAS M. Molhanec Co je to architektura Využívá se
Inverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008
funkcí funkcí funkce Copyright c R.Fučík FJFI ČVUT Praha, 2008 funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 funkce funkcí Polynom p(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 50x + 24 T 0 (x) = 24 funkce funkcí Polynom
Virtuální ověřování výroby Robotika Process Simulate Virtual Commissioning Virtuelle Inbetriebnahme
Virtuální ověřování výroby Robotika Process Simulate Virtual Commissioning Virtuelle Inbetriebnahme Martin Baumruk Jiří Kopenec Siemens PLM Connection 2012 Česká republika 3. 5. června, Seč Dněšní workflow
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
Základy algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg
7. Popis konečného automatu
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Praktika návrhu číslicových obvodů Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Miloš
Architektura softwarových systémů
Architektura softwarových systémů Ing. Jiří Mlejnek Katedra softwarového inženýrství Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Jiří Mlejnek, 2011 jiri.mlejnek@fit.cvut.cz Softwarové
Rovnice se separovanými proměnnými
Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), (1) kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Algoritmy. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner
Algoritmy BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı ČVUT v Praze xvagner@fit.cvut.cz 3. října 2016 a 4. října 2016 Kontakt místnost
Hodnocení železničních systémů podle Evropských standardů. Doc. Dr. Ing. Tomáš Brandejský Ing. Martin Leso, PhD Fakulta dopravní ČVUT v Praze
Hodnocení železničních systémů podle Evropských standardů Doc. Dr. Ing. Tomáš Brandejský Ing. Martin Leso, PhD Fakulta dopravní ČVUT v Praze Obecné požadavky Přechod do bezpečnějšího stavu při poruše Náhodné
12. VHDL pro verifikaci - Testbench I
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 12. VHDL pro verifikaci - Testbench I Praktika návrhu číslicových obvodů Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková
Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems
Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems O. Medek 1, J. Kruis 2, Z. Bittnar 2, P. Tvrdík 1 1 Katedra počítačů České vysoké učení technické, Praha 2 Katedra stavební mechaniky
VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt
VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující
1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
GFK-2005-CZ Prosinec Rozměry pouzdra (šířka x výška x hloubka) Připojení. Provozní teplota -25 C až +55 C. Skladovací teplota -25 C až +85 C
Výstup 24 Vss, negativní logika, 0,5 A, 2 body Modul slouží pro výstup digitálních signálů 24 Vss. Specifikace modulu Rozměry pouzdra (šířka x výška x hloubka) Připojení 12,2 mm x 120 mm x 71,5 mm dvou-,
U Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren
Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren Projekt TA ČR č. TA01020457: Výzkum, vývoj a validace univerzální technologie pro potřeby moderních