K čemu slouží vektory?

Transkript

1 Fyzikálně - matematický projekt K čemu slouží vektory? Machalík Patrik Novák Michal Novotný Michal Gymnázium Jakuba Škody Septima A 2011/2012

2 Úvod Tento projekt se zabývá skládáním vektorů pomocí matematických i fyzikálních metod, které se různě odlišují. Hlavním cílem projektu bylo skloubit naše matematické a fyzikální znalosti o vektorech při pomoci primánům s tažením vozíku. Skládání vektorů jsme prováděli několika různými způsoby a zjišťovali jsme, který způsob je nejpřesnější. Další cílem bylo zjistit, která metoda je nejpřesnější pro zjištění výsledného vektoru, a které faktory ovlivňují měření. 1. Teoretická příprava z matematiky 1. Definujte pojem vektor. Vektor je veličina, která je určená velikostí (číslem)a směrem. Značí se písmeny s vodorovnými čárkami nebo šipkami. Dělení: Nulový vektor je množina všech orientovaných úseček nulové délky. Nulový vektor označujeme o. Nenulový vektor je množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou nenulovou velikost a stejný směr. Úmluva: Vektor u, určený orientovanou úsečkou AB budeme značit jako u. Zapisujeme u = AB. Je-li vektor u v rovině určen orientovanou úsečkou AB, kde A[a 1 ; a 2 ], B[b 1 ; b 2 ], nazývají se čísla u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2, souřadnice vektoru u. 2. Jak určíte velikost vektoru, znáte-li souřadnice počátečního a koncového bodu vektoru? Velikost vektoru u je velikost kterékoliv orientované úsečky určující vektor u. Velikost vektoru u se označuje symbolem u. Pro každý vektor u = (u 1 ;u 2 ) v rovině platí: = + Vzdálenost dvou bodů A[a 1 ;a 2 ], B[b 1 ;b 2 ] v rovině je dán vztahem: = + 2

3 3. Zapište postup při sčítání dvou a více vektorů. Pro každé dva vektory v rovině u = (u 1 ; u 2 ), v = (v 1 ; v 2 ) platí: u + v = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2) Vzorec pro 3 vektory: u + v + w = (u 1 + v 1 + w 1 ; u 2 + v 2 + w 3) 4. Uveďte kosinovu větu a vysvětlete, jak ji lze použít při sčítání vektorů. Kosinova věta: ( )= Použití kosinovy věty pro výpočet výsledné síly: = + ( ) = + + Tento vzorec již zobrazuje použití kosinovy pro součet dvou působících vektorů. Pomocí uvedeného vzorce se dá vypočítat výsledná síla F, působící na těleso. Do vzorce se dosadí velikosti sil F 1, F 2 a naměřený úhel α. Po dosazení do vzorce vyjde výsledek, který se porovná s praktickým měřením. Následně budou formulovány podmínky praktického měření, které dané měření ovlivňovaly. 3

4 2. Teoretická příprava z fyziky 1. Charakterizujte sílu jako fyzikální veličinu. Síla patří mezi takzvané vektorové fyzikální veličiny. To znamená, že vždy můžeme určit její velikost a směr. Síla je fyzikální veličina, která popisuje, jak na sebe vzájemně působí dvě tělesa nebo pole. Měří se siloměrem. Způsobuje změnu pohybového stavu tělesa nebo může mít deformační charakter. 2. Popište účinky síly, která působí na těleso. Vztah mezi silou a pohybem tělesa popisují Newtonovy zákony. Isaac Newton definoval tři: 1. zákon - Jestliže na těleso nepůsobí žádná vnější síla nebo je výslednice sil nulová, těleso je v klidu. (tj. není v pohybu) 2. zákon - Jestliže na těleso působí síla, pak se těleso pohybuje se zrychlením, které je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. 3. zákon - Proti každé akci vždy působí stejná reakce; jinak: vzájemná působení dvou těles jsou vždy stejně velká a míří na opačné strany. Jak již bylo zmíněno, účinky síly působící na těleso jsou pohybové nebo deformační. Tzn., síla může uvést těleso do pohybu, zastavit pohyb tělesa nebo změnit jeho tvar. 3. Objasněte pojem výslednice sil. Síla, která má na těleso stejný účinek, jako několik současně působících sil se nazývá výslednice sil. V našem projektu jsme skládali tři síly tak, aby výslednice sil byla nulová. 4. Jak jsme postupovali při grafickém skládání vektorů? Narýsovali jsme si osy x a y. Z nulového bodu jsme vedli přímku znázorňující síly F 1, F 2 a F 3 pod předem určenými úhly. Úhel se měřil od osy y. Přímky jsme také museli narýsovat ve stejném směru, jako při pokusném měření. Na každé přímce jsme si vyznačili bod v takové vzdálenosti, aby 1 cm = 1 N. Na straně, kde byly narýsovány dvě síly, jsme udělali výslednici. Poté jsme získali výslednou sílu vektorovým sečtením výslednice sil F 1 a F 2 a síly F 3. Nakonec jsme změřili velikost výslednice a porovnali jsme to s hodnotami naměřenými při pokusech a vypočítanými matematickým způsobem. 4

5 3. Praktické měření Pomůcky: dřevěná deska, hřebík, pružina, 3 siloměry, bílý papír, milimetrový papír, pravítko, lepicí páska a) Tabulka pro dvě síly: Číslo měření F 1 /N F 2 /N α 1 α 2 F V /N 1 1,50 2, ,50 2 1,50 2, ,50 3 1,50 2, ,25 4 2,25 3, ,70 5 1,00 1, ,25 Fotografie z měření: b) Tabulka pro tři síly: Číslo F 1 /N F 2 /N F 3 /N α 1 α 2 α 3 F V /N měření 1 1,50 2,50 2, ,00 2 1,50 1,50 1, ,00 3 2,00 1,50 3, ,25 4 1,50 1,50 2, ,25 5 2,00 1,00 2, ,00 5

6 Fotografie z měření: 6

7 4. Ověření výpočtem Tato část se zabývala ověřováním výsledných sil pomocí grafického znázornění na milimetrovém papíře. a) Grafy pro dvě síly:

8

9 b) Grafy pro tři síly:

10

11 5. Geogebra a) Grafy pro dvě síly: 11

12 12

13 b) Grafy pro tři síly: 13

14 14

15 15

16 6. Srovnání výsledků měření Porovnání výsledných sil naměřených různými způsoby u dvou působících sil: Číslo měření F V /N (experimentální metoda) F V /N (výpočet) F V /N (mm papír) F V /N (geogebra) 1 3,50 3,43 3,50 3,54 2 3,50 3,69 3,80 3,64 3 3,25 3,10 3,10 3,01 4 4,70 4,57 4,70 4,35 5 2,25 2,10 2,00 2,07 Porovnání výsledných sil naměřených různými způsoby u třech působících sil: Číslo měření F V /N (experimentální metoda) F V /N (výpočet) F V /N (mm papír) F V /N (geogebra) 1 4,00 3,69 3,60 3,59 2 3,00 2,58 2,60 2,79 3 4,25 4,61 3,90 4,69 4 2,25 2,24 3,00 2,38 5 3,00 2,88 2,80 3,00 7. Doplňkové úkoly Skládání sil v praxi Skládání sil se v praxi projevuje například při přetahování lanem. Dvě síly zdě působí proti sobě. Praktičtější využití, ale může být při zvedání břemen a to jak za pomocí lidské tak i mechanické síly. Je vždy potřeba vyvážit síly tak, aby břemeno nespadlo. Se skládáním sil jsme se také setkali jako děti, když nám rodiče vyprávěli pohádku o tom, jak se trhala řepa. Bylo potřeba dědečka, babičky, vnučky, psa, kočky a myši na to, aby řepu vytrhli. Výslednici sil mohou ovlivnit například přírodní faktory. Při zvedání břemene se může stát, že zafouká silný vítr a břemeno spadne. Nebo pokud chceme plout na lodi rovně, pádlujeme soupaž, ale jelikož se na vodní ploše dělají vlny, nemohu se nějak výrazně pohnout dopředu. Loď se nám může také stáčet na jinou stranu a musíme pak vyvinout mnohem větší sílu na to, abychom pluli správně. Vliv na sílu má také prostředí, ve kterém se pohybujeme. Rovněž je také dokázáno, že ve vakuu jakékoliv dva předměty (např. pírko a kladivo)spadnou na zem současně. Na pírko zde totiž nepůsobí vztlaková síla vzduchu. 16

17 8. Formulování závěru ke každému postupu Experimentální metoda - Tato metoda byla prováděna v laboratorním cvičení. Této části se zúčastnili všichni tři členové naší skupiny. Pro měření výslednic byl náš počet členů ideální. Pokud by měření bylo prováděno ve dvou členech, byl by velký problém se zapisováním výsledných sil a úhlů. Měření bylo ovlivněno především lidským faktorem a kvalitou siloměrů. Výpočet - Výpočet byl prováděn dosazováním do kosinové věty, která je uvedena výše. Nepřesnosti byly způsobeny především zaokrouhlováním, avšak tento postup nebyl ovlivněn dalšími faktory, proto byl přesný. Výpočet výsledné síly byl u třech sil výrazně těžší, než u dvou sil. Milimetrový papír - Tento postup nebyl moc přesný. Hlavním faktorem, který způsobil odchylky, bylo rýsování a následné měření. Proto je měření na milimetrovém papíře spíše orientační, pro ověření správnosti ostatních měření. Geogebra - Práce s Geogebrou se nejdříve jevila jako velice obtížná, ale nakonec jsme se ji naučili používat. Geogebra výrazně ulehčila výpočet výsledných sil. Měření pomocí Geogebry je velice přesné, protože měření není ovlivněno vnějšími faktory. Díky Geogebře jsme si také připomněli práci se složitějším programem na počítači. Závěr Dospěli jsme k závěru, že nejvýhodnější měření lze provádět pomocí Geogebry. Tento závěr podtrhuje především fakt, že práci s Geogebrou neovlivňují žádné vnější podmínky a kromě výsledné hodnoty, zobrazí také Geogebra působící síly. Nejméně přesnou metodou bylo experimentální měřením, protože tento postup ovlivňuje mnoho vnějších faktorů. Projekt nám umožnil skloubit naše dosavadní matematické a fyzikální znalosti. Toto skloubení bylo velice důležité pro zjištění, že matematika a fyzika si jsou blízké předměty, které se navzájem mohou doplňovat. Prvotním úkolem ovšem bylo zjistit, který z primánů se má postavit blíže ke směru pohybu vozíku. Nejvýhodnější je, být co nejvíce ve směru jízdy vozíku, přičemž silnější chlapec by měl táhnout pod větším úhlem. 17

18 9. Zdroje 1. Boček, Kočandrle. Matematika pro gymnázia - Analytická geometrie. 2. vydání. Praha: Prometheus, stran. ISBN Matweb.cz, [online], [cit ], Operace s vektory, dostupné z WWW: < 3. Fyzweb.cz, [online], [cit ], Síly, dostupné z WWW: < 4. Encyklopedie fyziky, [online], [cit ], Síly a její účinky na těleso, dostupné z WWW: < 18