ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

Transkript

1 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii na středoškolské úrovni rozčlenit na: analytickou geometrii na přímce (triviální, nebudeme se jí zabývat) analytickou geometrii v rovině analytickou geometrii v prostoru (složitější, až na výjimky se jí nebudeme zabývat) Pro studium geometrických objektů v rovině či prostoru je třeba zavést některé nové pojmy. K tomu nám poslouží kapitola vektorová algebra. Vektorová algebra Kartézská soustava souřadnic (kss) v rovině je tvořena dvěma navzájem kolmými číselnými osami x a y se společným počátkem O a se stejnými jednotkami měření. Každému bodu X v rovině tak můžeme přiřadit jednoznačně jeho souřadnice. Zapisujeme X = [x; y], kde x je x ová souřadnice bodu X, y je y ová souřadnice bodu X. Kss v prostoru je tvořena třemi navzájem kolmými číselnými osami x, y, z se společným počátkem O a se stejnými jednotkami měření. Každému bodu X v prostoru přiřadíme souřadnice [x; y; z]. Vzdálenost dvou bodů a) v rovině Máme body A = [x 1 ; y 1 ], B = [x ; y ]. Jejich vzdálenost vypočteme ze vztahu: AB x x y Tento vztah lze odvodit užitím Pythagorovy věty. 1 y1 b) v prostoru Mějme body A = [x 1 ; y 1 ; z 1 ], B = [x ; y ; z ]. Jejich vzdálenost vypočteme ze vztahu: AB x x y y z Taktéž. 1 1 z1 Př. 1. Určete vzdálenost bodů A = [; ], B = [-1; 1]. Řešení: Body mají dvě souřadnice, jsme tedy v rovině. AB AB = 6 1 AB = 7 1 1

2 Vektory Orientovaná úsečka úsečka, jejíž jeden krajní bod zveme počáteční, druhý koncový. Graficky znázorňujeme orientovanou úsečku úsečkou se šipkou u koncového bodu. Všechny orientované úsečky, které mají stejnou velikost (vzdálenost jejich krajních bodů) a jsou souhlasně rovnoběžné (šipky u koncových bodů směřují na stejnou stranu), určují tentýž vektor. Všechny nulové orientované úsečky (tj. úsečky, kde počáteční bod splývá s koncovým) určují nulový vektor o. Vektory budeme v následujícím textu značit u, v, w atd. Pozn. U vektoru jsou tedy důležité pouze jejich velikost a směr. Umístění vektoru může být různé, existuje nekonečně mnoho dvojic bodů, které určují týž vektor. Máme-li body A = [x 1 ; y 1 ], B = [x ; y ], pak vektor u = AB určíme ze vztahu u = B A. Souřadnice vektoru pak zapíšeme do kulatých závorek, tj. u = (x x 1 ; y y 1 ). Body A, B určují také vektor v = BA = A B = (x 1 x ; y 1 y ). Oba tyto vektory mají stejnou velikost a zveme je vektory opačnými. Velikost vektoru u = (u 1 ; u ) je dána vztahem: u (jedná se v podstatě o určení vzdálenosti krajních bodů úsečky AB) u 1 u Budeme-li pracovat v prostoru, A = [x 1 ; y 1 ; z 1 ], B = [x ; y ; z ], pak vektor u = AB bude mít tři souřadnice (x x 1 ; y y 1 ; z z 1 ) = (u 1 ; u ; u ). Jeho velikost vypočteme ze vztahu: u u 1 u u Vektor, jehož velikost je rovna 1 zveme jednotkový. Př.. Určete velikost vektoru u = AB, je-li A = [-;, 0], B = [7; 1; ]. Řešení: Nejdříve zjistíme souřadnice vektoru u ze vztahu u = B A. Potom určíme jeho velikost. u = (7 ( ); 1 ; 0) = (10; 1; ) 1 u 10 = 16 Uvažujme na chvíli opačný vektor v = BA = A B. Ukážeme si, že jeho velikost bude rovna velikosti vektoru u. v = ( 7; 1; 0 ) = ( 10; 1; ) 10 1 v = 16

3 Př.. Určete souřadnice bodu B = [x 1 ; y 1 ], víte li že A = [1; 8], u = AB = (; ). Řešení: u = B A B = A + u B = [1; 8] + (; ) = [1 + ; 8 + ] = [6; 6] Provedeme zkoušku. Máme body A, B, určíme vektor u = AB. u = B A = (6 1; 6 ( 8)) = (; ) Součet a rozdíl vektorů je opět vektor. Máme-li sečíst vektor u = (u 1 ; u ; u ) s vektorem v = (v 1 ; v ; v ), dostaneme vektor w = (w 1 ; w ; w ) = (u 1 + v 1 ; u + v ; u + v ). Analogicky bychom postupovali při rozdílu u v, v u a to i v rovině. Př. 4. Vypočtěte w = u + v, a = u v, b = v u, je-li u = (7; 1; 4), v = (0; ; ). Řešení: w = (7 + 0; 1 + ; 4 + ) = (7; 4; 1) a = (7 0; 1 ; 4 ) = (7; ; 7) b = (0 7; 1; ( 4)) = ( 7; ; 7) (vektory a a b jsou navzájem opačné) Součin vektoru u a čísla 1) w = k u, ) je-li k = 0 nebo je-li u = o, pak w = o. Nechť u = (u 1 ; u ; u ), k R je vektor w = k u rovnoběžný s vektorem u, pro který platí: k R. Pak vektor w = k u má souřadnice (ku 1 ; ku ; ku ). Pozn. Dva nenulové vektory jsou rovnoběžné právě tehdy, když jeden je násobkem druhého. Lineární závislost a nezávislost vektorů Máme-li vektory u, v, je zřejmé, že i výraz k u l v, kde k, l jsou reálná čísla, je vektor. Zveme ho lineární kombinací vektorů u a v. Dva nenulové vektory u a v zveme lineárně závislé (LZ), lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru (v = k u, k R ). Tyto vektory lze umístit na jednu přímku (jsou rovnoběžné). Př. u = (1; 4), v = ( ; 1) v = u, tj. vektory u a v jsou LZ. Nejsou-li dva vektory u a v nenulovými násobky, zveme je lineárně nezávislé (LN). Tyto vektory nelze umístit na jednu přímku a jejich lineární kombinace generují celou rovinu. Př. u = (1; 4), v = (; 1) neexistuje k R tak, aby v = k u, vektory u a v jsou LN.

4 Tři vektory u, v, w zveme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů (např. w = k u l v, kde k, l R ). Tyto tři vektory lze umístit do jedné roviny. Nejsou-li tři vektory lineárně závislé, zveme je lineárně nezávislými a nelze je umístit do jedné roviny (generují celý prostor). Pozn. Máme-li dva LN vektory v rovině, pak každý vektor roviny lze vyjádřit jako lineární kombinaci těchto dvou vektorů. Platí to i pro tři LN vektory v prostoru. Př.. Dokažte, že vektory u, v jsou lineárně nezávislé a vyjádřete vektor w jako jejich lineární kombinaci. u = (; 1); v = (; 4); w = (; ) Řešení: Kdyby byly vektory u a v LZ, existovalo by reálné číslo k tak, že v = by tedy platit: = k (pro x ové souřadnice) 4 = 1k (pro y ové souřadnice) k u. Muselo Z první rovnice dostaneme k, z druhé k = 4. Evidentně tedy žádné takové k R neexistuje a vektory jsou tudíž LN. Jsou-li vektory u a v LN, pak každý další vektor roviny lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci. Najdeme tedy čísla k, l R, pro která bude platit: w = k u l v Tuto rovnici rozepíšeme po souřadnicích. = k + l = 1k + 4l Vyřešíme jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Dostaneme: 7 k, l w 7 u v ZK: u v ;1 ; 4 ; ; ; ; w Př. 6. Jsou dány čtyři body A[0; ; 4], B[; ; ], C[; 4; 4], D[8; 1; d ]. Určete třetí souřadnici bodu D tak, aby tyto body ležely v jedné rovině. Řešení: Nejdříve sestavíme pomocí těchto čtyř bodů libovolné tři vektory, např. u = B A, v = C A, w = D A. u = (; 7; 9) v = (; ; 0) w = (8; ; d 4) Mají-li body A, B, C, D ležet v jedné rovině, musí ležet v jedné rovině i vektory u, v, w, takže libovolný z těchto tří vektorů lze vyjádřit jako lineární kombinaci zbylých dvou. Např.: w = k u l v Rozepíšeme po souřadnicích. 8 = k + l = 7k l d 4 = 9k Dostali jsme jednoduchou soustavu tří rovnic o třech neznámých.

5 Z prvních dvou rovnic vypočítáme neznámou k (neznámou l potřebovat nebudeme) a ze třetí rovnice pak dopočítáme hledanou souřadnici d. Po sečtení prvních dvou rovnic dostaneme: 11 10k k 1, 1 d 4 = 9,9 d =,9 Hledaná souřadnice bodu D d =,9. Úhel dvou vektorů a skalární součin dvou vektorů Jsou-li u = (u 1 ; u ), v = (v 1 ; v ) dva nenulové vektory, pak jejich úhel se vypočítá podle vzorce: u1v1 u v cos u v 0; 180 Jsme-li v prostoru, tedy u = (u 1 ; u ; u ), v = (v 1 ; v ; v ), pak má vzorec tvar: u1v cos 1 u v u v u v Skalární součin dvou nenulových vektorů u = (u 1 ; u ), v = (v 1 ; v ) je reálné číslo které platí: u v = u v cos, kde φ je úhel vektorů u, v. Je-li alespoň jeden z vektorů u, v nulový, definujeme: u v = 0. u v, pro Podle vzorce pro počítání úhlu vektorů tedy platí: u v = u 1 v 1 + u v (v rovině) u v = u 1 v 1 + u v + u v (v prostoru) Skalární součin dvou nenulových vektorů je roven 0, právě když vektory svírají pravý úhel. Př. 7. Ověřte, že vektory u = (; ; 1), v = (; ; 0) jsou navzájem kolmé. Řešení: Mají-li být vektory u a v kolmé, musí být jejich skalární součin roven nule, tedy: u v = u 1 v 1 + u v + u v = 0 Dosadíme příslušné hodnoty. u v = 1 0 = 0 Vektory u a v jsou kolmé.

6 Př. 8. Určete chybějící souřadnici vektoru u = ( 7; ; u ) tak, aby byl vektor u kolmý k vektoru v = (1; 1; 6). Řešení: Mají-li být vektory u a v kolmé, musí být jejich skalární součin roven nule. u v = u 1 v 1 + u v + u v = 0 Dosadíme příslušné hodnoty u = 0 Dostali jsme lineární rovnici s neznámou u. Hledaná souřadnice u =. 6u 1 u = Př. 9. Jaký úhel svírají vektory u = ( 1; 8) a v = (;,)? Řešení: Souřadnice obou vektorů dosadíme do vzorce pro úhel dvou vektorů. u1v1 uv 1 8, cos u v 1 8, cos 0, , 6 106, 6, 0,8 Pro ilustraci přikládám ještě obrázek s oběma vektory (umístěnými do počátku soustavy souřadnic) a digitálním úhloměrem ukazujícím jejich úhel.