A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
|
|
- Barbora Bílková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině - vzájemná poloha přímek, odchylka, vzdálenost přímek Analytická geometrie - za zakladatele považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce geometrie, která řeší geometrické úlohy početně Soustava souřadnic v rovině Číselná osa O x : Kartézská soustava souřadnic O xy : bod O přímky x, y A[a 1 ; a ] počátek kartézské soustavy souřadnic souřadnicové osy souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xy. Soustava souřadnic v prostoru O xyz A[a 1 ; a ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz Příklad: 1. Zobrazte body v soustavě O x : A = [-1,5], B = [4], C = [0,5], D = [ ]
2 Analytická geometrie /15. Vyznačte na číselné ose obrazy čísel 1 a Najděte obrazy dvojic O xy [ 1 / ; 1], [ 4 / 3 ; -1], [; 0], [-; -3] 3. Vzdálenost bodů v rovině a prostoru Příklad: Určete vzdálenost bodů A[1; 3] a B[5; 6] AB = Vzdálenost bodů A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] : AB = ( b a 1 a1) + ( b ) AB = ( b a 1 a1) + ( b a ) + ( b3 3) Příklad: Určete vzdálenost bodů A[-1; 0; -] a B[1; 3; 4] AB =
3 Analytická geometrie 3/15 4. Střed úsečky Bod S AB je středem úsečky AB, právě tehdy, když platí AS = BS. A + B S = V rovině: V prostoru: a1 + b1 a + b S = ; a + b1 a + b a3 + S = ; ; 1 b3 Příklad: Najděte střed úsečky, která prochází body A[1; ; ] a B[3; 6; ]. Příklad: 1. V soustavě O xy jsou dány body A = [-1; 1], B = [1; -5], C = [1; 0]. Určete jejich vzdálenost od počátku O soustavy O xy.. Vypočtěte vzdálenost bodů A, B a střed S úsečky AB, je-li dáno: a) A = [-; 3], B = [-; 7] b) A = [0; ], B = [8; 0] c) A = [3; 0], B = [-1; -3] 3. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky: a) AB, A [-3; 6], S[-1; 4] b) PQ, Q[3; 0,8], S[-1;0,5] 4. Dokažte, že trojúhelník s vrcholy a) A = [4; -1], B = [3; 4], C = [1; ] b) K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý 5. Určete délky stran a těžnic a rozhodněte, jakého druhu je trojúhelník ABC, je-li dáno: a) A = [-3; 1], B = [; -1], C = [1; 3] b) A = [10; 14], B = [3; -10], C = [-6; ] c) A = [3; 8], B = [-1; ], C = [8; -4] 6. Na ose x najděte bod X, který má stejnou vzdálenost od počátku jako od bodu A = [-3; 6] Výsledky: 1., 13, 1. a) 4, [-, 5] b) 68, [4; 1] c)5, [1, - 3 ] 3. a)b[1;] b)p[-5;0,] 4. a)ano c přepona b) ano - k přepona a) a = 17, b = 0, c = 9, t a =, tb = 3,t c = 5, obecný 5 5 b) a = 15, b = 0, c = 5, t a = 73, t b = 5 13, t c =, pravoúhlý 6. c) a = 3 13, b = 13, c = 13, t a = 15, , t b =, tc = 130, pravoúhlý
4 Analytická geometrie 4/15 5. Vektory Vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. u = AB v = CD u = v = w = z w = EF z = GH Nulový vektor - je množina všech orientovaných úseček nulové délky, značíme o. Souřadnice vektoru: u = AB, kde A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] V rovině: u = (u 1 ;u ) = (b 1 a 1 ;b a ) u = AB = B A V prostoru: u = (u 1 ;u ;u 3 ) = (b 1 a 1 ;b a ;b 3 a 3 ) Příklad: V prostoru jsou dány body A[1; ; ] a B[3; ; 5]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je určen orientovanou úsečkou AB. Zakreslování vektorů: Operace s vektory: a) Sčítání vektorů: v rovině u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ) v prostoru u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ; u 3 + v 3 ) Příklad: Vypočítejte součet vektorů u a v, jestliže u = (1; 4) a v = AB, je-li A[-1; ], B[; -1]. Příklad: Vypočítejte součet a rozdíl vektorů u = (3; 1; 5) a v = (; -; 1).
5 Analytická geometrie 5/15 b) Násobení vektorů reálným číslem: Pro každé reálné číslo k platí: v rovině k. u = (k.u 1 ; k.u ) v prostoru k. u = (k.u 1 ; k.u ; k.u 3 ) Příklad: Zakresli vektory u = (1; ), v =. u, w = -1. u Příklad: Vypočítejte souřadnice vektoru u = v + w, kde v = (; 1; -3) a w = (; 3;1). c) Velikost vektoru u : v rovině u = ( u1, u ) u = u1 + u v prostoru u = ( u, u, u u = u + u + u 1 3) nulový vektor o = 0 jednotkový vektor u = 1 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (3; 4). 1 3 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (-4; 7). Výsledek zaokrouhlete na desetinná místa. d) Skalární součin vektorů u a v: v rovině u. v = u 1 v 1 + u v v prostoru u. v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u.v = 0 vektory jsou navzájem kolmé Příklad: Vypočítejte skalární součin vektorů u = (1; -) a v = (; -3).
6 Analytická geometrie 6/15 Příklad: Pro u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5) vypočítejte u. v. Příklad: Určete, zda vektory u a v jsou na sebe kolmé: a) u = (3; -) a v = (; -3) b) u = (3; -) a v = (; 3) c) u = (3; -) a v = (4; 6) Pravidlo: Příklad: Určete vektor v kolmý k vektoru u = (1; -). e) Odchylka vektorů Pro dva nenulové vektory u, v v rovině nebo v prostoru a jejich odchylku φ platí: u. v cos ϕ =, ϕ 0,180 u. v Příklad: Určete odchylku vektorů u = (3; -) a v = (; -3). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (; -4) a v = (; 1). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5).
7 Analytická geometrie 7/15 Příklady: 1. Rozhodněte, zda platí rovnost AB = CD, je-li dáno: A = [3; ], B = [0; 1], C = [; 0], D = [-1; 1]. Vypočtěte souřadnice vektoru u = AB, je-li dáno: a) A = [0; ], B = [-1; 0] b) A = [0; 3; 0], B = [0; -; 0] 3. V O xy určete souřadnice vektorů a) AB, b) AC, c) BA, d) CA, e) BC, f) CB, jestliže A = [-1; 3], B = [4; ], C = [-5; 7]. 4. Určete velikosti vektorů AB, BA, AC, BC, je-li A = [-; 3], B = [-1; 4], C = [5; -]. 5. Určete souřadnice bodu B tak, aby platilo u = AB, je-li dáno A = [-1; 1], u = (-1;-). 6. Jsou-li dány souřadnice bodů A, B, C, najděte souřadnice bodu D tak. Aby platilo: AB = CD : A = [6; 3], B = [8; 0], C = [5; ] 7. Je vektor u, jehož umístěním je orientovaná úsečka AB jednotkový vektor? a) A = [5; 1], B = [4; 1] b) C = [3; sin 60 ], B = [3,5; tg 60 ] 8. Určete t R tak, aby vektory u, v byly navzájem kolmé a) u = (-; 1), v = (1; t) b) u = (-; 1; ), v = (1; 4; t) 9. Jsou dány body A = [1; ], B = [4; 3], C = [5; 5]. Určete souřadnici d bodu D = [3; d ] tak, aby vektor CD byl kolmý na vektor AB. 10. Dokažte, že trojúhelník KLM, kde K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý. 11. Pomocí vektorů vypočtěte obsah trojúhelníku ABC a velikosti vnitřních úhlů, je-li dáno: A = [; 5], B = [-4; ], C = [9; -3]. 1. Vypočtěte úhel vektorů u, v, je-li a) u = (-1; ), v = (1; 3) b) u = (-; 1), v = (-1; -3) c) u = (1; -), v = (; 1) d) u = (; -3), v = (-3; -) 13. Jsou dány body A = [1; 1], B = [; -1], C = [3; ]. Dokažte, že body ABC tvoří trojúhelník a vypočtěte velikosti jeho vnitřních úhlů. Výsledky: 1. ne. a) (-1; -) b) (0, -5, 0) 3. a) (5; -1), b) (-4; 4), c) (-5; 1), d) (4; -4), e) (-9; 5), f) (9; -5) 4. AB =, BA =, AC = 74, BC = 6 5.[-; -1] 6. [7; -1] 7. ano, ano 8. t =, t = [3; 11] u vrcholu K 11. S = 34,5 j, α = , β = 47 36, γ = 7 47 π π π π π π π 1.,,, 13. α =, β =, γ =
8 Analytická geometrie 8/15 6. Přímka A) PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY p přímka v rovině je určena dvěma různými body A a B vektor u = B - A nazýváme směrový vektor AB určuje směr X = A + t u ; t R - parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem u - proměnná t se nazývá parametr p: A[a 1 ; a ], u = (u 1 ; u ): např.: x = a 1 + t.u 1 y = a + t.u ; t R [x; y] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky zadané body A[; 1] a B[3; 3]. Příklad: Zjistěte, zda bod P[-3; 5] leží na přímce AB, kde A[1; 1] a B[5; -3]. Příklad: Určete, jaký geometrický útvar určuje parametrické vyjádření X = A + t u, jestliže a) t <0; 1> b) t <0; ) Příklad: 1. Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u : a) A = [-; -3], u = (0; 4) b) A = [0; 3], u c) A = [0; 0], u = (1; 0) = (-7; 0) d) A = [1; 1; 0], u = (; -1; 3). Napište parametrické rovnice přímky, která prochází body: a) A = [7; ], B = [3; 5] c) E = [; -4; 5], F = [0; -10; 7] b) C = [-3; 5], D = [5; 5] d) G = [3; -1; 4], H = [1; -; 4] 3. Zjistěte, zda body A = [-3; 7], B = [0; 3], C = [-14; -1] leží na přímce, určené rovnicemi
9 Analytická geometrie 9/15 x = 1 t, y = 3t, t R. 4. Rozhodněte, který z bodů A = [13; -5; 18], B = [0; -14; -1] leží na přímce x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t, t R. 5. Napište rovnici přímky, která je určena body A = [1; 4], B = [3; 3]. Určete souřadnici c 1 bodu C = [c 1 ; ] tak, aby bod C ležel na přímce AB. Výsledky: 1. a) x = -, y = t b) x = -7t, y = 3 c) x = t, y = 0 d) x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t. a) x = 7 4t, y = + 3t b) x = t, y = 5 c) x = t, y = -4 6t, z = 5 + t d) x = 3 t, y = -1-t, z = 4 3. B p, A, C p 4. A p, B p 5. x = 1 + t, y = 4 t, C = [5; ] B) OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY Rovnice ax + by + c = 0, a, b, c R, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky. Příklady obecných rovnic: Příklad: Najděte 3 body ležící na přímce vyjádřené obecnou rovnicí: x - y + 3 = 0. Příklad: Danou parametrickou rovnici přímky převeďte na obecnou rovnici: x = t, y = 3 + t Vektor kolmý ke směrovému vektoru přímky v rovině se nazývá normálový vektor této přímky. V obecné rovnici ax + by + c = 0 přímky p odpovídají koeficienty a, b souřadnicím jejího normálového vektoru n = (n 1 ; n ) a = n 1, b = n Příklad: Určete obecnou rovnici přímky p, která je určena body A[3; 1] a B[1; ].
10 Analytická geometrie 10/15 Příklad: Najděte obecnou rovnici přímky q: x = 3 - t, y = + t; t R. 1. způsob:. způsob: Příklad: Určete parametrickou rovnici přímky q: x - 3y - 4 = 0. C) SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY Rovnice y = kx + q; k, q R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. k...směrnice přímky u k = tg φ = u 1 příklad směrnicového tvaru: Příklad: Najděte pro přímku AB, kde A[0; 3], B[6; 0] parametrické vyjádření, obecnou rovnici a směrnicový tvar její rovnice.
11 Analytická geometrie 11/15 Příklady: 1. Dané parametrické rovnice přímky převeďte na tvar obecný a směrnicový: a) x = 3t, y = 1 t b) x = 4 3t, y = t. Zobrazte přímky o rovnicích: a) 4x 3y + 10 = 0 b) 6x + 3x 1 = 0 c) 3x y + = 0 d) y + = 0 e) x 1 = 0 f) x = t, y = 0 g) x = 0, y = t h) x y + 1 = 0 3 i) x = 1 + t, y = t 3. Napište směrnici a směrnicový tvar rovnice přímky určené body A = [-3; -7], B = [; -3] 4. Dokažte, že body R = [3; 4], S = [-1; ], T = [1; 3], U = [-5; 0] leží na jedné přímce. Napište rovnici této přímky. 5. Čemu se musí rovnat číslo n, aby body M = [3; -4], N = [1; n ], P = [-1; ] ležely na jedné přímce? 6. Napište obecnou rovnici přímky v E, která prochází středem úsečky AB a je kolmá na přímku AB, je-li dáno: A = [3; 1], B = [-1; 5] 7. Napište v E rovnici přímky, procházející středem úsečky AB: a) rovnoběžné s přímkou p b) kolmé na přímku p, je-li dáno: A = [3; 6], B = [1; ], p: x y + 10 = 0 8. Určete obecnou rovnici přímky v E, která je dána body A = [6; ], B = [-3; 4]. Dále určete souřadnice průsečíků této přímky se souřadnicovými osami. Tyto dva body tvoří s počátkem soustavy O xy trojúhelník. Vypočtěte jeho obsah. 9. Určete obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A = [1; 3] a průsečíkem přímek, daných rovnicemi 3x + 4y 1 = 0 a x + y 4 = Úsečka AB má krajní body A = [1; 3], B = [-4; 1]. Určete rovnici přímky, která prochází středem úsečky AB a průsečíkem přímek p, q daných rovnicemi p: x y + 4 = 0, q: 3x + 5y 7 = Trojúhelník má vrcholy A = [4; -], B = [; ], C = [-3; -1]. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží strany, těžnice a výšky tohoto trojúhelníka. Výsledky: 1. a) x + 3y 3 = 0, y = - 3 x + 1 b) x + 3y 4 = 0, y = x k = 5 4, y + 7 = 5 4 (x+3), y = 5 4 x x = 3 4t, y = 4 t, x y + 5 = 0 5. n = x y + = 0 7. a) x y + 6 = 0 b) x + y 8 = 0 8. x + 9y 30 = 0 10 X = [15; 0], Y = [0; ], S = x + y 11 = p q = P = [-1; ] p : y =- 11. BC: 3x 5y + 4 = 0 AB: x + y 6 = 0 AC: x + 7y + 10 = 0 t a : 5x + 9y = 0 t b : 7x 3y 8 = 0 t c : x 6y 3 = 0 v a : 5x + 3y 14 = 0 v b : 7x y 1 = 0 v c : x y + 1 = 0
12 Analytická geometrie 1/15 7. vzájemná poloha přímek Dvě přímky p, q v rovině mohou mít tři vzájemné polohy p q = p q = p p q = {P} rovnoběžné různé totožné různoběžné žádný společný bod společná je celá přímka jeden společný bod, bod P Příklad: Jsou dány body P[3; 5], Q[; 1] a vektory u = (1; ), v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(p, u ) a q(q, v ) rovnoběžné. Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[; -1], u = (1; ), Q[0; -], v = (1; 1). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[-1; 0], u = (1; ), Q[3; 5], v = (3; 6). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.
13 Analytická geometrie 13/15 Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[1; ], u = (1; -), Q[-1; 6], v = (-; 4). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p a q, je-li p: x - y - 1 = 0, q: 3x + 3y - 6 = 0. Jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p: x - y + 5 = 0 a q: x = 3 - t, y = + t; t R. Pokud existuje, najděte jejich průsečík. 8. Odchylka přímek Odchylka přímek p(p, u ), q(q, v ) je číslo φ <0, π/>, pro které platí: u. v cos ϕ = u. v Příklad: Jsou dány přímky p a q. Přímka p je určena body A = [; 0] a B = [1; 6] a přímka q rovnicí x - y + 1 = 0. Určete jejich odchylku. Příklad: Vypočítejte odchylku přímek p: 4x - 7y - 7 = 0 a q: 3x + 9y - 1 = 0. Výsledek zaokrouhlete na stupně.
14 Analytická geometrie 14/15 9. Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu M[m 1 ; m ] od přímky p: ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: v = Mp am1 + bm + c = a + b Příklad: Vypočítejte vzdálenost d bodu A[-1; 5] od přímky p: 3x + 4y - = Vzdálenost přímek Vzdálenost je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. Příklad: Určete vzdálenost d přímky p: 3x - 4y + 1 = 0 od přímky q: 3x - 4y + 4 = 0. Příklady: 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek p, q, j sou-li dány jejich rovnice: a) p: x-5y+6=0, q: 8x+15y+10=0 b) p: x+y-5=0, q: 3x-y+4=0 c) p: x-4y+9=0, q: x-y+9=0 d) p: x+7=0, q: 4x-9=0 e) p: y-3=0, q: 3y-5=0 f) p: x+y-7=0, q: 9x+6y-14=0 g) x+5y+9=0, q: x-3y+1=0 h) p: x-3y=6, q: 4x-6y-5=0. Dokažte, že trojúhelník, jehož strany leží v přímkách a: x-3y+1=0, b: x+y+7=0, c: x-4y-1=0, je pravoúhlý. 3. Napište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek p: x+y-5=0, q: 3x-y+1=0 kolmo k přímce a: x+3y+7=0.
15 Analytická geometrie 15/15 4. Která přímka prochází průsečíkem přímek a: x-6y-1=0, b: x+3y=4 rovnoběžně s osou y? 5. Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A=[1;5], B[5;-5], C[3;4]. 6. V rovnici přímky ax+3y-1=0 určete a tak, aby přímka měla směrový úhel ϕ = Jsou dány tři přímky o rovnicích x+y-3=0, 3x-y-=0 a 6x+5y-c=0. Určete absolutní člen c tak, aby všechny tři přímky měly jeden společný bod. 8. Určete vrcholy a vnitřní úhly trojúhelníka, jehož strany leží v přímkách a,b,c o rovnicích: a: x+7y+11=0, b: x-3y-1=0, c: 3x+y-7=0. 9. Určete velikost výšek rovnoběžníka, jehož strany leží v přímkách o rovnicích 3x-y+5=0, 6x-y-1=0, x+y-3=0, 5x+10y+3= Jaká je rovnice přímky, která prochází daným bodem A a s danou přímkou p svírá daný úhel α? a) A=[-3;1], p: y=x 0,5, α=45 b) A=[3;-], p:.x-y+1=0, α=30 c) A=[1;3], p: 4x-7=0, α=45 d) A=[0;-9], p: 3x-7=0, α= Určete koeficient b R v rovnici přímky p 1 : 9x+by+7=0 tak, aby přímka p 1 byla rovnoběžná s přímkou p : 8x-5y-11=0. 1. Určete rovnici přímky p, která prochází průsečíkem P přímek p 1 : x-y-3=0, p : 3x+y-5=0, přičemž přímka p je a) rovnoběžná s přímkou BC, b) kolmá k přímce BC, kde B=[4; -5], C=[;3]. 13. Určete obsah trojúhelníka, omezeného přímkami p: x-y-3=0, q: x-y-1=0 a osou x. Výsledky: a) různoběžky P=[-, ], α = b) různoběžky P=[, ], π α = 4 c) různé rovnoběžky v= d) různé rovnoběžky v=5,75 e) různé rovnoběžky v=5, f) různoběžky P=[, ] 3 6 g) různoběžky P=[ 17 π 13, α = h) různé rovnoběžky v =. b je kolmé na c 3. p q=p=[1,] 3. p q=p=[1,] k:3x-y+1= P=[, ], 5x-9= v a =1,74 6. a=3 7. c = a b=[ , ]=C, vc =, γ=6 34, a c=[3;-]=b, v b = b c=[, ]=A, v a = 8 5 5, α=90 9. v 1 =1,74; v =1,61, β = a) q 1 : y= x + ; q : y=-3x-8 b) q 1 : x-3=0, q : x 3 y 3 3 = 0 3 c) q 1 : x-y+=0; q : x+y-4=0 d) q 1 : 3 x 3y 7 = 0 ; q : 3 x + 3y + 7 = b=- 1. a) q 1 : 4x+y-3=0 b) q : x-4y+9=0 13. S=9y 8
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Rovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Shodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
PLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
M - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická
Kolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární
VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,
Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá
AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Metrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Základy matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Maturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
Syntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.
Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete
je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;
1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [
= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty
STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.