A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Transkript

1 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině - vzájemná poloha přímek, odchylka, vzdálenost přímek Analytická geometrie - za zakladatele považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce geometrie, která řeší geometrické úlohy početně Soustava souřadnic v rovině Číselná osa O x : Kartézská soustava souřadnic O xy : bod O přímky x, y A[a 1 ; a ] počátek kartézské soustavy souřadnic souřadnicové osy souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xy. Soustava souřadnic v prostoru O xyz A[a 1 ; a ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz Příklad: 1. Zobrazte body v soustavě O x : A = [-1,5], B = [4], C = [0,5], D = [ ]

2 Analytická geometrie /15. Vyznačte na číselné ose obrazy čísel 1 a Najděte obrazy dvojic O xy [ 1 / ; 1], [ 4 / 3 ; -1], [; 0], [-; -3] 3. Vzdálenost bodů v rovině a prostoru Příklad: Určete vzdálenost bodů A[1; 3] a B[5; 6] AB = Vzdálenost bodů A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] : AB = ( b a 1 a1) + ( b ) AB = ( b a 1 a1) + ( b a ) + ( b3 3) Příklad: Určete vzdálenost bodů A[-1; 0; -] a B[1; 3; 4] AB =

3 Analytická geometrie 3/15 4. Střed úsečky Bod S AB je středem úsečky AB, právě tehdy, když platí AS = BS. A + B S = V rovině: V prostoru: a1 + b1 a + b S = ; a + b1 a + b a3 + S = ; ; 1 b3 Příklad: Najděte střed úsečky, která prochází body A[1; ; ] a B[3; 6; ]. Příklad: 1. V soustavě O xy jsou dány body A = [-1; 1], B = [1; -5], C = [1; 0]. Určete jejich vzdálenost od počátku O soustavy O xy.. Vypočtěte vzdálenost bodů A, B a střed S úsečky AB, je-li dáno: a) A = [-; 3], B = [-; 7] b) A = [0; ], B = [8; 0] c) A = [3; 0], B = [-1; -3] 3. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky: a) AB, A [-3; 6], S[-1; 4] b) PQ, Q[3; 0,8], S[-1;0,5] 4. Dokažte, že trojúhelník s vrcholy a) A = [4; -1], B = [3; 4], C = [1; ] b) K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý 5. Určete délky stran a těžnic a rozhodněte, jakého druhu je trojúhelník ABC, je-li dáno: a) A = [-3; 1], B = [; -1], C = [1; 3] b) A = [10; 14], B = [3; -10], C = [-6; ] c) A = [3; 8], B = [-1; ], C = [8; -4] 6. Na ose x najděte bod X, který má stejnou vzdálenost od počátku jako od bodu A = [-3; 6] Výsledky: 1., 13, 1. a) 4, [-, 5] b) 68, [4; 1] c)5, [1, - 3 ] 3. a)b[1;] b)p[-5;0,] 4. a)ano c přepona b) ano - k přepona a) a = 17, b = 0, c = 9, t a =, tb = 3,t c = 5, obecný 5 5 b) a = 15, b = 0, c = 5, t a = 73, t b = 5 13, t c =, pravoúhlý 6. c) a = 3 13, b = 13, c = 13, t a = 15, , t b =, tc = 130, pravoúhlý

4 Analytická geometrie 4/15 5. Vektory Vektor - množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. u = AB v = CD u = v = w = z w = EF z = GH Nulový vektor - je množina všech orientovaných úseček nulové délky, značíme o. Souřadnice vektoru: u = AB, kde A[a 1 ; a ], B[b 1 ; b ] V rovině: u = (u 1 ;u ) = (b 1 a 1 ;b a ) u = AB = B A V prostoru: u = (u 1 ;u ;u 3 ) = (b 1 a 1 ;b a ;b 3 a 3 ) Příklad: V prostoru jsou dány body A[1; ; ] a B[3; ; 5]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je určen orientovanou úsečkou AB. Zakreslování vektorů: Operace s vektory: a) Sčítání vektorů: v rovině u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ) v prostoru u + v = (u 1 + v 1 ; u + v ; u 3 + v 3 ) Příklad: Vypočítejte součet vektorů u a v, jestliže u = (1; 4) a v = AB, je-li A[-1; ], B[; -1]. Příklad: Vypočítejte součet a rozdíl vektorů u = (3; 1; 5) a v = (; -; 1).

5 Analytická geometrie 5/15 b) Násobení vektorů reálným číslem: Pro každé reálné číslo k platí: v rovině k. u = (k.u 1 ; k.u ) v prostoru k. u = (k.u 1 ; k.u ; k.u 3 ) Příklad: Zakresli vektory u = (1; ), v =. u, w = -1. u Příklad: Vypočítejte souřadnice vektoru u = v + w, kde v = (; 1; -3) a w = (; 3;1). c) Velikost vektoru u : v rovině u = ( u1, u ) u = u1 + u v prostoru u = ( u, u, u u = u + u + u 1 3) nulový vektor o = 0 jednotkový vektor u = 1 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (3; 4). 1 3 Příklad: Vypočítejte velikost vektoru u = (-4; 7). Výsledek zaokrouhlete na desetinná místa. d) Skalární součin vektorů u a v: v rovině u. v = u 1 v 1 + u v v prostoru u. v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u.v = 0 vektory jsou navzájem kolmé Příklad: Vypočítejte skalární součin vektorů u = (1; -) a v = (; -3).

6 Analytická geometrie 6/15 Příklad: Pro u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5) vypočítejte u. v. Příklad: Určete, zda vektory u a v jsou na sebe kolmé: a) u = (3; -) a v = (; -3) b) u = (3; -) a v = (; 3) c) u = (3; -) a v = (4; 6) Pravidlo: Příklad: Určete vektor v kolmý k vektoru u = (1; -). e) Odchylka vektorů Pro dva nenulové vektory u, v v rovině nebo v prostoru a jejich odchylku φ platí: u. v cos ϕ =, ϕ 0,180 u. v Příklad: Určete odchylku vektorů u = (3; -) a v = (; -3). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (; -4) a v = (; 1). Příklad: Určete odchylku vektorů u = (8; -5; 4) a v = (-8; -8; 5).

7 Analytická geometrie 7/15 Příklady: 1. Rozhodněte, zda platí rovnost AB = CD, je-li dáno: A = [3; ], B = [0; 1], C = [; 0], D = [-1; 1]. Vypočtěte souřadnice vektoru u = AB, je-li dáno: a) A = [0; ], B = [-1; 0] b) A = [0; 3; 0], B = [0; -; 0] 3. V O xy určete souřadnice vektorů a) AB, b) AC, c) BA, d) CA, e) BC, f) CB, jestliže A = [-1; 3], B = [4; ], C = [-5; 7]. 4. Určete velikosti vektorů AB, BA, AC, BC, je-li A = [-; 3], B = [-1; 4], C = [5; -]. 5. Určete souřadnice bodu B tak, aby platilo u = AB, je-li dáno A = [-1; 1], u = (-1;-). 6. Jsou-li dány souřadnice bodů A, B, C, najděte souřadnice bodu D tak. Aby platilo: AB = CD : A = [6; 3], B = [8; 0], C = [5; ] 7. Je vektor u, jehož umístěním je orientovaná úsečka AB jednotkový vektor? a) A = [5; 1], B = [4; 1] b) C = [3; sin 60 ], B = [3,5; tg 60 ] 8. Určete t R tak, aby vektory u, v byly navzájem kolmé a) u = (-; 1), v = (1; t) b) u = (-; 1; ), v = (1; 4; t) 9. Jsou dány body A = [1; ], B = [4; 3], C = [5; 5]. Určete souřadnici d bodu D = [3; d ] tak, aby vektor CD byl kolmý na vektor AB. 10. Dokažte, že trojúhelník KLM, kde K = [4; 3], L = [1; 9], M = [1; 7] je pravoúhlý. 11. Pomocí vektorů vypočtěte obsah trojúhelníku ABC a velikosti vnitřních úhlů, je-li dáno: A = [; 5], B = [-4; ], C = [9; -3]. 1. Vypočtěte úhel vektorů u, v, je-li a) u = (-1; ), v = (1; 3) b) u = (-; 1), v = (-1; -3) c) u = (1; -), v = (; 1) d) u = (; -3), v = (-3; -) 13. Jsou dány body A = [1; 1], B = [; -1], C = [3; ]. Dokažte, že body ABC tvoří trojúhelník a vypočtěte velikosti jeho vnitřních úhlů. Výsledky: 1. ne. a) (-1; -) b) (0, -5, 0) 3. a) (5; -1), b) (-4; 4), c) (-5; 1), d) (4; -4), e) (-9; 5), f) (9; -5) 4. AB =, BA =, AC = 74, BC = 6 5.[-; -1] 6. [7; -1] 7. ano, ano 8. t =, t = [3; 11] u vrcholu K 11. S = 34,5 j, α = , β = 47 36, γ = 7 47 π π π π π π π 1.,,, 13. α =, β =, γ =

8 Analytická geometrie 8/15 6. Přímka A) PARAMETRICKÉ VYJÁDŘENÍ PŘÍMKY p přímka v rovině je určena dvěma různými body A a B vektor u = B - A nazýváme směrový vektor AB určuje směr X = A + t u ; t R - parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem u - proměnná t se nazývá parametr p: A[a 1 ; a ], u = (u 1 ; u ): např.: x = a 1 + t.u 1 y = a + t.u ; t R [x; y] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky zadané body A[; 1] a B[3; 3]. Příklad: Zjistěte, zda bod P[-3; 5] leží na přímce AB, kde A[1; 1] a B[5; -3]. Příklad: Určete, jaký geometrický útvar určuje parametrické vyjádření X = A + t u, jestliže a) t <0; 1> b) t <0; ) Příklad: 1. Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u : a) A = [-; -3], u = (0; 4) b) A = [0; 3], u c) A = [0; 0], u = (1; 0) = (-7; 0) d) A = [1; 1; 0], u = (; -1; 3). Napište parametrické rovnice přímky, která prochází body: a) A = [7; ], B = [3; 5] c) E = [; -4; 5], F = [0; -10; 7] b) C = [-3; 5], D = [5; 5] d) G = [3; -1; 4], H = [1; -; 4] 3. Zjistěte, zda body A = [-3; 7], B = [0; 3], C = [-14; -1] leží na přímce, určené rovnicemi

9 Analytická geometrie 9/15 x = 1 t, y = 3t, t R. 4. Rozhodněte, který z bodů A = [13; -5; 18], B = [0; -14; -1] leží na přímce x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t, t R. 5. Napište rovnici přímky, která je určena body A = [1; 4], B = [3; 3]. Určete souřadnici c 1 bodu C = [c 1 ; ] tak, aby bod C ležel na přímce AB. Výsledky: 1. a) x = -, y = t b) x = -7t, y = 3 c) x = t, y = 0 d) x = 1 + t, y = 1 t, z = 3t. a) x = 7 4t, y = + 3t b) x = t, y = 5 c) x = t, y = -4 6t, z = 5 + t d) x = 3 t, y = -1-t, z = 4 3. B p, A, C p 4. A p, B p 5. x = 1 + t, y = 4 t, C = [5; ] B) OBECNÁ ROVNICE PŘÍMKY Rovnice ax + by + c = 0, a, b, c R, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky. Příklady obecných rovnic: Příklad: Najděte 3 body ležící na přímce vyjádřené obecnou rovnicí: x - y + 3 = 0. Příklad: Danou parametrickou rovnici přímky převeďte na obecnou rovnici: x = t, y = 3 + t Vektor kolmý ke směrovému vektoru přímky v rovině se nazývá normálový vektor této přímky. V obecné rovnici ax + by + c = 0 přímky p odpovídají koeficienty a, b souřadnicím jejího normálového vektoru n = (n 1 ; n ) a = n 1, b = n Příklad: Určete obecnou rovnici přímky p, která je určena body A[3; 1] a B[1; ].

10 Analytická geometrie 10/15 Příklad: Najděte obecnou rovnici přímky q: x = 3 - t, y = + t; t R. 1. způsob:. způsob: Příklad: Určete parametrickou rovnici přímky q: x - 3y - 4 = 0. C) SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY Rovnice y = kx + q; k, q R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. k...směrnice přímky u k = tg φ = u 1 příklad směrnicového tvaru: Příklad: Najděte pro přímku AB, kde A[0; 3], B[6; 0] parametrické vyjádření, obecnou rovnici a směrnicový tvar její rovnice.

11 Analytická geometrie 11/15 Příklady: 1. Dané parametrické rovnice přímky převeďte na tvar obecný a směrnicový: a) x = 3t, y = 1 t b) x = 4 3t, y = t. Zobrazte přímky o rovnicích: a) 4x 3y + 10 = 0 b) 6x + 3x 1 = 0 c) 3x y + = 0 d) y + = 0 e) x 1 = 0 f) x = t, y = 0 g) x = 0, y = t h) x y + 1 = 0 3 i) x = 1 + t, y = t 3. Napište směrnici a směrnicový tvar rovnice přímky určené body A = [-3; -7], B = [; -3] 4. Dokažte, že body R = [3; 4], S = [-1; ], T = [1; 3], U = [-5; 0] leží na jedné přímce. Napište rovnici této přímky. 5. Čemu se musí rovnat číslo n, aby body M = [3; -4], N = [1; n ], P = [-1; ] ležely na jedné přímce? 6. Napište obecnou rovnici přímky v E, která prochází středem úsečky AB a je kolmá na přímku AB, je-li dáno: A = [3; 1], B = [-1; 5] 7. Napište v E rovnici přímky, procházející středem úsečky AB: a) rovnoběžné s přímkou p b) kolmé na přímku p, je-li dáno: A = [3; 6], B = [1; ], p: x y + 10 = 0 8. Určete obecnou rovnici přímky v E, která je dána body A = [6; ], B = [-3; 4]. Dále určete souřadnice průsečíků této přímky se souřadnicovými osami. Tyto dva body tvoří s počátkem soustavy O xy trojúhelník. Vypočtěte jeho obsah. 9. Určete obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A = [1; 3] a průsečíkem přímek, daných rovnicemi 3x + 4y 1 = 0 a x + y 4 = Úsečka AB má krajní body A = [1; 3], B = [-4; 1]. Určete rovnici přímky, která prochází středem úsečky AB a průsečíkem přímek p, q daných rovnicemi p: x y + 4 = 0, q: 3x + 5y 7 = Trojúhelník má vrcholy A = [4; -], B = [; ], C = [-3; -1]. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží strany, těžnice a výšky tohoto trojúhelníka. Výsledky: 1. a) x + 3y 3 = 0, y = - 3 x + 1 b) x + 3y 4 = 0, y = x k = 5 4, y + 7 = 5 4 (x+3), y = 5 4 x x = 3 4t, y = 4 t, x y + 5 = 0 5. n = x y + = 0 7. a) x y + 6 = 0 b) x + y 8 = 0 8. x + 9y 30 = 0 10 X = [15; 0], Y = [0; ], S = x + y 11 = p q = P = [-1; ] p : y =- 11. BC: 3x 5y + 4 = 0 AB: x + y 6 = 0 AC: x + 7y + 10 = 0 t a : 5x + 9y = 0 t b : 7x 3y 8 = 0 t c : x 6y 3 = 0 v a : 5x + 3y 14 = 0 v b : 7x y 1 = 0 v c : x y + 1 = 0

12 Analytická geometrie 1/15 7. vzájemná poloha přímek Dvě přímky p, q v rovině mohou mít tři vzájemné polohy p q = p q = p p q = {P} rovnoběžné různé totožné různoběžné žádný společný bod společná je celá přímka jeden společný bod, bod P Příklad: Jsou dány body P[3; 5], Q[; 1] a vektory u = (1; ), v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(p, u ) a q(q, v ) rovnoběžné. Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[; -1], u = (1; ), Q[0; -], v = (1; 1). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[-1; 0], u = (1; ), Q[3; 5], v = (3; 6). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.

13 Analytická geometrie 13/15 Příklad: Jsou dány přímky p(p, u ) a q(q, v ), P[1; ], u = (1; -), Q[-1; 6], v = (-; 4). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p a q, je-li p: x - y - 1 = 0, q: 3x + 3y - 6 = 0. Jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p: x - y + 5 = 0 a q: x = 3 - t, y = + t; t R. Pokud existuje, najděte jejich průsečík. 8. Odchylka přímek Odchylka přímek p(p, u ), q(q, v ) je číslo φ <0, π/>, pro které platí: u. v cos ϕ = u. v Příklad: Jsou dány přímky p a q. Přímka p je určena body A = [; 0] a B = [1; 6] a přímka q rovnicí x - y + 1 = 0. Určete jejich odchylku. Příklad: Vypočítejte odchylku přímek p: 4x - 7y - 7 = 0 a q: 3x + 9y - 1 = 0. Výsledek zaokrouhlete na stupně.

14 Analytická geometrie 14/15 9. Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu M[m 1 ; m ] od přímky p: ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: v = Mp am1 + bm + c = a + b Příklad: Vypočítejte vzdálenost d bodu A[-1; 5] od přímky p: 3x + 4y - = Vzdálenost přímek Vzdálenost je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. Příklad: Určete vzdálenost d přímky p: 3x - 4y + 1 = 0 od přímky q: 3x - 4y + 4 = 0. Příklady: 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek p, q, j sou-li dány jejich rovnice: a) p: x-5y+6=0, q: 8x+15y+10=0 b) p: x+y-5=0, q: 3x-y+4=0 c) p: x-4y+9=0, q: x-y+9=0 d) p: x+7=0, q: 4x-9=0 e) p: y-3=0, q: 3y-5=0 f) p: x+y-7=0, q: 9x+6y-14=0 g) x+5y+9=0, q: x-3y+1=0 h) p: x-3y=6, q: 4x-6y-5=0. Dokažte, že trojúhelník, jehož strany leží v přímkách a: x-3y+1=0, b: x+y+7=0, c: x-4y-1=0, je pravoúhlý. 3. Napište rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek p: x+y-5=0, q: 3x-y+1=0 kolmo k přímce a: x+3y+7=0.

15 Analytická geometrie 15/15 4. Která přímka prochází průsečíkem přímek a: x-6y-1=0, b: x+3y=4 rovnoběžně s osou y? 5. Vypočtěte velikost výšky v a v trojúhelníku ABC, je-li A=[1;5], B[5;-5], C[3;4]. 6. V rovnici přímky ax+3y-1=0 určete a tak, aby přímka měla směrový úhel ϕ = Jsou dány tři přímky o rovnicích x+y-3=0, 3x-y-=0 a 6x+5y-c=0. Určete absolutní člen c tak, aby všechny tři přímky měly jeden společný bod. 8. Určete vrcholy a vnitřní úhly trojúhelníka, jehož strany leží v přímkách a,b,c o rovnicích: a: x+7y+11=0, b: x-3y-1=0, c: 3x+y-7=0. 9. Určete velikost výšek rovnoběžníka, jehož strany leží v přímkách o rovnicích 3x-y+5=0, 6x-y-1=0, x+y-3=0, 5x+10y+3= Jaká je rovnice přímky, která prochází daným bodem A a s danou přímkou p svírá daný úhel α? a) A=[-3;1], p: y=x 0,5, α=45 b) A=[3;-], p:.x-y+1=0, α=30 c) A=[1;3], p: 4x-7=0, α=45 d) A=[0;-9], p: 3x-7=0, α= Určete koeficient b R v rovnici přímky p 1 : 9x+by+7=0 tak, aby přímka p 1 byla rovnoběžná s přímkou p : 8x-5y-11=0. 1. Určete rovnici přímky p, která prochází průsečíkem P přímek p 1 : x-y-3=0, p : 3x+y-5=0, přičemž přímka p je a) rovnoběžná s přímkou BC, b) kolmá k přímce BC, kde B=[4; -5], C=[;3]. 13. Určete obsah trojúhelníka, omezeného přímkami p: x-y-3=0, q: x-y-1=0 a osou x. Výsledky: a) různoběžky P=[-, ], α = b) různoběžky P=[, ], π α = 4 c) různé rovnoběžky v= d) různé rovnoběžky v=5,75 e) různé rovnoběžky v=5, f) různoběžky P=[, ] 3 6 g) různoběžky P=[ 17 π 13, α = h) různé rovnoběžky v =. b je kolmé na c 3. p q=p=[1,] 3. p q=p=[1,] k:3x-y+1= P=[, ], 5x-9= v a =1,74 6. a=3 7. c = a b=[ , ]=C, vc =, γ=6 34, a c=[3;-]=b, v b = b c=[, ]=A, v a = 8 5 5, α=90 9. v 1 =1,74; v =1,61, β = a) q 1 : y= x + ; q : y=-3x-8 b) q 1 : x-3=0, q : x 3 y 3 3 = 0 3 c) q 1 : x-y+=0; q : x+y-4=0 d) q 1 : 3 x 3y 7 = 0 ; q : 3 x + 3y + 7 = b=- 1. a) q 1 : 4x+y-3=0 b) q : x-4y+9=0 13. S=9y 8