Digitální učební materiál

Transkript

1 Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A K Vitáka 45 Název DUMu Analytická geometrie lineárních útvarů Název dokumentu VY_3_INOVACE_5_8 Pořadí DUMu v sadě 8 Vedoucí skupiny/sady Petr Mikulášek Datum vytvoření 03 Jméno autora Petr Mikulášek ový kontakt na autora mikulasek@gymjevcz Ročník studia 4 Předmět nebo tematická oblast Matematický seminář Výstižný popis Materiál pro přípravu na společnou část maturitní zkoušky z matematiky způsobu využití Inovace: využití ICT, mediální techniky materiálu ve výuce

2 Analytická geometrie lineárních útvarů a) Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině Rovnice X = A + tu, t R se nazývá parametrická rovnice přímky určené bodem A, směrovým vektorem u=ab a parametrem t Pro t 0; rovnice vyjadřuje úsečku AB, pro t 0; rovnice vyjadřuje polopřímku AB Rovnice ax by c 0, kde a, b, c R a aspoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obecná rovnice přímky, n Rovnice platí: a; b se nazývá normálový vektor přímky y kx q, kde k, q R se nazývá směrnicový tvar přímky Číslo k se nazývá směrnice a u u k tg, kde je odchylka přímky od kladné poloosy x, směrového vektoruu Přímka kolmá k přímce o směrnici k má směrnici u,u jsou souřadnice k k x y Rovnice se nazývá úsekový tvar rovnice přímky Úsekový tvar lze použít tehdy, když p q přímka není rovnoběžná s žádnou osou a neprochází počátkem Vzdálenost d bodu P p p, od přímky p: ax by c 0 se vypočítá podle vzorce ap d a bp b c Odchylka přímek p, q se směrovými vektory u, v je číslo 0 ;, pro které platí cos

3 b) Analytická geometrie lineárních útvarů v prostoru Rovnice X A tu, t R se nazývá parametrická rovnice přímky určené bodem A a směrovým vektorem u AB u ; u; u3 a parametrem t Pro t 0; rovnice vyjadřuje úsečku AB, pro t 0; rovnice vyjadřuje polopřímku AB Rovnice X A tu sv, t, s R se nazývá parametrická rovnice roviny určené bodem A, směrovými vektory u u u ; u, v v ; v ;, kde vektory u a v jsou lineárně nezávislé ; 3 v3 Rovnice ax by cz d 0, a, b, c, d R kde aspoň jedno z čísel a, b, c je nenulové, se nazývá obecná rovnice roviny, n a ; b; c se nazývá normálový vektor Vzdálenost bodu P od přímky p A, u určíme jedním z následujících způsobů: a) z rovnice X P u 0, kde X je libovolný bod přímky p, b) pomocí průsečíku roviny kolmé k přímce p, která prochází bodem P Vzdálenost d bodu P[p ; p ;p 3 ] od roviny : ax by cz d 0 se vypočítá dle vzorce ap 3 d a bp b cp c d Odchylka přímek p, q se směrovými vektory u, v je číslo 0 ;, pro které platí cos Odchylka přímky p a roviny určíme jedním z následujících způsobů: a) pomocí roviny kolmé k rovině a obsahující přímku p Pak průsečnice rovin s přímkou p určují odchylku přímky p a roviny b) pomocí normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky Odchylka přímky a roviny se vypočítá podle vzorce, kde je úhel normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky Odchylka dvou rovin je dána odchylkou normálových vektorů

4 PŘÍKLADY: Sečtěte vektory v =u a w = -3u A ) 5u, B) 5u, C) u, D) Sečtěte vektory u ; 3;0, v (;7; 5) u 3 Velikost vektoru u je 3 Určete velikost vektoru a) -5u, b) u, c) -0,3u 4 4 Určete souřadnice středu úsečky AB, jestliže A 4; 9;, B ;7; 5 5 Určete souřadnice bodu B úsečky AB, která je určená bodem A 4; 9; a vektorem u ; 3;0 6 Vypočítejte skalární součin vektorů u ; 3;0, v (;7; 5) 7 Vypočítejte vektorový součin vektorů u ; 3;0, v (;7; 5) 8 Vypočítejte úhel vektorů u ; 3;0, v (;7; 5) 9 Nalezněte vektor kolmý k vektoru u ; 3 0 Rozhodněte, který z vektorů není kolmý k vektoru u ; 3 A ) ; 3, B) 3,, C) ;, D) 3 Urči odchylku rovin : x y z 0, : x y 3z 0pomocí normálových vektorů V prostoru je dána přímka p: x = + t, y = -t, z = - t, t R a rovina : x 3y z 0 Urči průsečík přímky p s rovinou 3 Určete vzájemnou polohu přímek a,b Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku a) a : x y 3 0, b : x y 6 0, b) a : x 3y 0, b : x 6y 5 0, c) a : x y 0, b : x y Určete souřadnice paty kolmice vedené bodem M [;-5] k přímce p: x 7y Určete odchylku přímek p, q, je-li: a) p : x y 0, q : 3x y 0, b) p : x y 3 0, q AB, kde A [ 0;-], B[ 4;], c) p : x 3 t, y t; t R; q : x 3 s, y 3s; s R 6 Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li: M [,4]; p : x 6 3 t, y 8 4t; t R 7 Na přímce p : 4x y 0 najděte body, které mají od přímky q : 5x y 5 0 vzdálenost 3 8 Napište obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s rovinou : x y z 0 a prochází bodem A [-3;;] 6;

5 9 Určete souřadnice paty P kolmice vedené bodem A[;0;3] k rovině : x 3y 5z Určete vzdálenost bodu M [-7;0;-] od roviny : 4x y 3z 0

6 ŘEŠENÍ: C) 3 ;4; 5 3 a) 0 3, b) S ; ; 5 B 6; ; ;0; , ; 0 A) 90 5 ; ; , c) 0,6 3 a) Různoběžné, průsečík ; 5, b) rovnoběžné různé, c) rovnoběžné totožné 4 ; 5 a) 45, b) 90, c) ; 8 x y z [,3,-] 0

7 Seznam literatury a pramenů RNDr Hruška M: Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení Nakladatelství Agentura Rubiko, s r o, Olomouc 0, ISBN Materiál je určen pro bezplatné užívání pro potřebu výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu