PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 5-

Transkript

1 1 Math50-LS04-2.nb PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 5- Vojt ch Bartík ást 2 Dokumenty v prost edí MS Windows Základní prvky jazyka Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice) Používání d ívejších výsledk Relace a logické operace ísla Matematické konstanty Aritmetické operace Elementární funkce N které další funkce Dokumenty v prost edí MS Windows Po uknutí na ikonu programu Mathematica 5 se nejprve spustí tzv. FRONTEND - uživatelské rozhraní, jehož prost ednictvím s programem Mathematica v prost edí MS Windows komunikujeme. Na jeho konfiguraci záleží, zda-li se vlastní program Mathematica, zv. KERNEL, na te do pam ti po íta e ihned nebo až po odeslání prvního p íkazu, kterým m že být také kliknutí na položku "Start Kernel Local" v rolet "Kernel" v nabídkové lišt. P i práci se systémem Mathematica 5 v prost edí MS Windows obvykle vytvá íme dokument, kterému se v tomto systému íká NOTEBOOK. Extenze každého dokumentu je "nb". Uživatelské rozhraní nám po startu nabídne istý dokument nazvaný "Untitled-1", ale m žeme si také vybrat z již existujících dokument. Bu ky a skupiny bun k Základními jednotkou dokumentu je BU KA (CELL). Nová bu ka se otevírá napsáním jakéhokoliv znaku mimo oblast již existujících bun k a má automaticky styl "Input" a atributy "Editable" a "Evaluatable". Bu ky m žeme v p ípad pot eby d lit na menší nebo spojovat ve v tší a také je sdružovat do skupin pomocí p íkaz v okénku "Cell Grouping" rolety "Cell". Zvolíme-li "Automatic Grouping", sdružování do skupin provádí FrontEnd automaticky podle schématu {Title, } {Subtitle, } {Subsubtitle, } {Section, } {Subsection, } } {Subsubsection, {Text, Small Text, {Input, Output}} Každá bu ka a skupina bun k je u pravého okraje obrazovky vyzna ena hranatou závorkou.

2 Math50-LS04-2.nb 2 Atributy a stylové parametry bu ky Každá bu ka má své ATRIBUTY a STYL. Atributy m žeme specifikovat pomocí p íkaz v okénku "Cell Cell Properties". Styl a r zné parametry stylu m žeme m nit pomocí p íkaz v okénku "Style" rolety "Format", editací stylového archu (Style Sheet), který otev ete kliknutím na položku "Edit Style Sheet" v rolet "Format" a pomocí utility"option Inspector", kterou najdeme v rolet "Format" nabídkové lišty a kterou m žeme otev ít také kliknutím na poslední položku "Preferences" v rolet "Edit". Bu ky, jejichž obsah vidíte na obrazovce, mají atribut "Open". P ítomnost bu ky, které tento atribut odeberete, signalizuje pouze malá závorka u pravého okraje obrazovky. Nap. následující textová bu ka obsahuje stejný text jako tato, ale je uzav ená a proto žádný text nevidíme: Bu ky s atributem "Editable" m žeme editovat, bu ky bez tohoto atributu se editovat nedají a nelze m nit ani jejich atributy a stylové parametry krom atributu "Editable". Bu ky s atributem "Edit Duplicate" p i jakémkoliv pokusu o jejich editaci automaticky produkují editovatelnou kopii. Tento atribut je implicitn nastaven u všech výstupních bun k, tj. u bun k majících styl "Output". Bu ky s atributem "Evaluatable" Mathematica vyhodnocuje, bu ky bez tohoto atributu ignoruje. Bu ky s atributem "Initialization" mohou být vyhodnoceny automaticky p i na ítání dokumentu. Ze styl, které m že bu ka mít, jsou pro nás zatím d ležité pouze "Input" a "Output", jejichž význam je jasný. Každá bu ka mající styl "Input" má automaticky atribut "Evaluatable". Z obsahu vstupní bu ky Mathematica ignoruje pouze text za ínající znakem (* a kon ící znakem *). Chceme-li zjistit, jaké atributy, styl a stylové parametry bu ka má, ozna íme ji kliknutím na její závorku a podíváme se do p íslušných okének: atributy, styl a stylové parametry bu ky jsou v t chto okéncích zaškrtnuty. Podobn postupujeme, chceme-li n které atributy bu ky zm nit. Atribut "Active" aktivuje n které prvky bu ky, jako jsou nap. tla ítka, palety a hyperlinky. Nap. následující dv bu ky obsahují totéž tla ítko Expand Expand První bu ka je neaktivní, a proto po kliknutí na tla ítko v ní obsažené se nic ned je. Druhá bu ka je aktivní a proto kliknutí na ni okopíruje její obsah na místo, kde se nachází kurzor. Aktivní elementy bu ky nelze editovat, pokud má bu ka atribut "Active". U vstupních a výstupních bun k m žeme m nit ješt "Input Format" resp. "Output Format". Pro každý z nich máme t i možnosti: "Input Form", "Standard Form" a "Traditional Form". Format ur uje zp sob formátování matematických formulí. Implicitn je formát u vstupních i výstupních bun k nastaven na "Standard Form", což je forma p esn odpovídající syntaktickým pravidl m jazyka systému Mathematica. "Traditional Form" je bližší obvyklé matematické symbolice, ale na rozdíl od "Standard Form" ne vždy jednozna n p eložitelná do "Input Form", kterou umí Mathematica jednozna n interpretovat. N které atributy a formát bu ky lze poznat z tvaru její závorky. Vid li jsme nap., že u závorky aktivní bu ky je písmeno "A". Všechny bu ky, které nemají atribut "Evaluateble", mají stejnou závorku jako tato textová bu ka. Závorka 1. bu ky v následující skupin signalizuje, že je to vstupní bu ka s atributy "Editable" a "Evaluatable" a formátem "Standard Form", a závorka 2. bu ky íká, že jde o výstupní bu ku s atributem "Editable" a formátem "Standard Form": Sin 2 1 ArcCos 2 1 Sin 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ArcCos " 1 $# 2

3 2 2 Math50-LS04-2.nb Závorka 1. bu% ky v další skupin& ' íká, že bu% ka má atributy "Editable" a "Evaluatable" a formát "Input Form", a závorka 2. bu% ky ukazuje na výstupní bu% ku s atributem "Editable" a formátem "Traditional Form": Sin[Pi^2 + 1]/ArcCos[E^2-1] Sin 1 ( ) 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** ** ** ** * * * * ArcCos + 1 ($, 2 Atribut "Edit Duplicate" nelze z tvaru závorky vy- íst. Následující bu% ka má podle závorky formát "Standard Form" a chybí jí jak atribut "Editable", tak atribut "Evaluatable": Sin. 2 / ArcCos Exp Vyhodnocení (evaluace) bu ky nebo skupiny bun4 k K vyhodnocení (evaluaci) jsou ur- eny pouze vstupní bu% ky, tj. s atributy "Input" a "Evaluatable". Chceme-li nechat takovou bu% ku vyhodnotit, umístíme do ní kurzor nebo ji ozna- íme kliknutím na její závorku a pak stiskneme sou- asn& klávesy nebo pouze klávesu 8 v pravém dolním rohu rozší' ené klávesnice. Stejnými klávesami dáme p' íkaz k vyhodnocení všech vstupních bun& k s atributem "Evaluatable" obsažených v ozna- ené skupin& bun& k. 9 9 Evaluaci lze p' erušit nebo zrušit kliknutím na nabídku "Interrupt Evaluation" resp."abort Evaluation" v rolet& "Kernel". Totéž lze ud& lat také z klávesnice pomocí +, resp. +.. N& kdy však trvá dosti dlouho, než Mathematica zareaguje. Používání palet Mathematica 5 nabízí celkem 9 palet, které usnad% ují jak používání mnoha matematických a technických symbol:, které nenajdete na klávesnici, tak používání nejb& žn& jších vestav& ných funkcí - i operací. Jsou to tyto palety: Další palety si m: žete vytvá' et sami. 1. OpenAuthorTools 2. AlgebraicManipulation. BasicCalculations 4. BasicInput 5. BasicTypesetting 6. CompleteCharacters 7. CreateSlideShow 8. InternationalCharacters 9. NotebookLauncher Palety 4, 5, 6, 8 obsahují r: zné typy písma, ' ecká a jiná písmena, nejr: zn& jší matematické a technické symboly a šablony pro psaní zlomk:, mocnin, odmocnin, derivací, neur- itých i ur- itých integrál:, sou- t:, sou- in:, matic a jiných matematických výraz:. Kliknutím na "tla- ítko" palety se objekt na ní zobrazený okopíruje na poslední pozici kurzoru. Palety nejsou jediným prost' edkem, jak r: zné typy písma a symboly za' adit do textu. Nap'. ;=<?> dostanete také v p' ípad&, že napíšete bez mezer za zp& tnými lomítky nap'. ' et& zec "\ [Alpha]\ [Beta]\ [Gamma]". m: žete získat také napsáním ' et& zce A alphaa, symbol B získáte napsáním A infa, dvojitou hranatou závorku získáte napsáním A [[A, atd. Jak lze to - i onen znak tímto zp: sobem získat, se v& tšinou dozvíte, když si ho najdete v palet& a ukážete na n& j kurzorem.

4 Math50-LS04-2.nb 4 Paleta 2 obsahuje názvy nc kterých nejd astc ji používaných algebraických úprav spolu s volným místem pro argument a funguje odlišnc. NapE. v ní najdete tlad ítko s nápisem Expand F, které funguje takto: vyberu pomocí kurzoru formuli nebo její podformuli, nape. a G b 2 G c Potom kliknu na uvedené tlad ítko a dostanu na stejném místc Formule se mh že nacházet v jakékoliv bui ce. a 2 G 2 a b G b 2 G c Stejná a další tlad ítka najdete v paletc, která však funguje jinak. Vyberu-li nape. pomocí kurzoru stejnou formuli jako výše a pak kliknu na tlad ítko Expand[F ] v této paletc, dostanu na stejném místc Kliknu-li místo toho na tlad ítko FKJKL, dostanu Expand a G b 2 G c a G b 2 G$MNG c Umístím-li však kurzor za podformuli a J b 2 a pak kliknu na toto tlad ítko, dostanu a G b 2 M$G$MNG c pe id emž kurzor je na pozici D erného (prvního) D tvered ku. Poslední paleta 9 slouží k otevírání nových dokumenth s pe eddefinovaným stylem. NapE. tento dokument má svh j vlastní stylový arch, který vznikl importováním stylu "Textbook" a jeho následnou úpravou. Základní prvky jazyka Základními prvky jazyka jsou symboly, celá D ísla, reálná D ísla, komplexní D ísla a E etc zce. Tyto prvky se souhrnnc nazývají ATOMY. Symbolem je každé slovo sestávající z D íslic, písmen a libovolných grafických znakh, které mají charakter písmen (letter-like forms) a které Mathematica rozpoznává, jehož první znak není D íslicí. Co jsou celá D ísla je jasné, o reálných D íslech a komplexních D íslech si povíme za chvíli a E etc zec je libovolná posloupnost písmen, D íslic a libovolných grafických znakh, které Mathematica rozpoznává, zad ínající a kond ící uvozovkami. Znak " mh že být v E etc zci zastoupen jako \", znak \ mh že být zadán jako \\. Z atomh vytváe íme rekurzivnc VÝRAZY (EXPRESSIONS). Výraz je buo atom nebo posloupnost znakh tvaru f a 1, a 2,..., a n kde f, a 1, a 2,..., a n jsou výrazy. Výraz f se nazývá ZÁHLAVÍ nebo HLAVIP KA (HEAD), výrazy a 1, a 2,..., a n jsou jeho ARGUMENTY nebo prvky. P íslo n se nazývá DÉLKA (LENGTH) výrazu a mh že být rovno nule, tj. výraz mh že mít tvar f[ ]. HlaviD ka nc kteréch výrazh mh že být skrytá. NapE. symboly mají skrytou hlavid ku Symbol, textové E etc zce mají skrytou hlavid ku String. Skryté hlavid ky mají i rh zné typy D ísel. To, co bylo právc E ed eno o výrazech, se týká jejich vnite ní reprezentace, nikoliv jejich vstupního nebo výstupního tvaru, které jsou pokud možno uzph sobeny matematickým zvyklostem a závisejí také na tom, zda formát bui ky je "InputForm", "OutputForm", "StandardForm" nebo "TraditionalForm". NapE. f expr mh žeme zadat v tzv. prefixové notaci jako fq expr nebo v tzv. postfixové notaci jako expr f a f expr1, expr2 mh žeme zadat v prefixové notaci jako nebo v postfixové notaci jako f #, expr2 & Q expr1, f expr1, # & Q expr2 expr1 f #, expr2 &, expr2 f expr1, # & nebo v infixové notaci jako expr1 R f R expr2.

5 X Y 5 Math50-LS04-2.nb VnitS ní tvar každého výrazu mt žeme získat ps íkazem FullForm a jeho záhlaví ps íkazem Head. Expression FullForm Head U U U V V U U U W U U U W V a2b27 a2b27 Symbol Real 2 7 Rational 2, 7 InputForm 7 2 Rational 7, 2 Rational 2 I Complex 2, Complex a, b, c List a, b, c List 2abc7e "2abc7e" String 2 x 2 x 2 a b Plus a, b Plus a b Times a, b Times 1 a Power a, 1 Power a 2 Power a, 2 Power b a Times Power a, 1, b Times a 2 4 a, b, c a 2 4 a, b, c a 2 4 a 2 4 a b, 2 c a 2 4 Plus a, b, Times 2, c a 2 4 \[Alpha] Symbol \[CapitalPhi] Symbol Existuje S ada ps íkazt, jejichž pomocí mt žeme získávat rt zné informace o struktus e výrazt. NapS. TreeForm[expr] nám ukáže stromovou strukturu výrazu expr: TreeForm Sin x Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ ZZ Z 2 Z Z Z Z ZZ Z Z ZZ Cos x [ 1 Times Power Plus 1, Power Cos x,, W 1, Sin Power x, 2 Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice) V zásad\ lze jako prom\ nnou použít jakýkoliv výraz. Mohou však nastat potíže, pokud záhlaví obsahuje jméno, které používá Mathematica. K ur] itým ú] elt m však lze použít pouze symboly. JMÉNA VŠECH VESTAV^ NÝCH FUNKCÍ, OPERACÍ A P_ ÍKAZ` ZAa ÍNAJÍ VELKÝM PÍSMENEM. a Plus b 4, a c a Plus 2, c Times b 5, c c Times, a Plus c Times 4, 16 a, 5, c U U U U 5, 20 x, y, z b 1, 2, a 2 1, 2, a 2

6 Math50-LS04-2.nb 6 2 a d 6 Set::write : Tag Integer in 2 a is Protected. More 6 Okamžité pe ie azení má tvar expr1 = expr2 nebo ekvivalentnf Set[expr1, expr2]. Odložené pe ie azení má tvar expr1 := expr2 nebo ekvivalentnf SetDelayed[expr1, expr2]. Pe i expr1 = expr2 se expr2 vyhodnotí okamžitf, pe i expr1 := expr2 až pe i použití. Clear a, b, c ; x1 d Expand a g b 2 ; x2 :d Expand a g b 2 ; x1, x2 a 2 h 2 a b h b 2, a 2 h 2 a b h b 2 a d c g 1; x1, x2 b 2 h 2 b 1 h c h 1 h c 2, 1 h 2 b h b 2 h 2 c h 2 b c h c 2 random1 d Random Integer, 0, 100 ; Table random1, 10 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47 random2 :d Random Integer, 0, 100 ; Table random2, 10 7, 22, 6, 74, 45, 18, 1, 51, 72, 56 Odložené pe ie azení je nutné, závisí-li na podmínce. Clear y1 ; y1 :d If a i 0, 1, j 1, 0 ; a d 1; y1, a dkj 1; y1, a d.; y1 1, k 1, 0 Clear y1 ; y1 d If a i 0, 1, j 1, 0 ; a d 1; y1, a dkj 1; y1, a d.; y1 0, 0, 0 d d d Pe ie azení zrušíme pe íkazem expr =. nebo ekvivalentnf Unset[expr]. Pe íkaz Clear[symbol] ruší všechna pe ie azení a definice spojené se symbolem kromf atributl. Pe íkaz ClearAll[symbol] ruší i atributy. f 1 1; f 2 2; f ; f 1, f 2, f 1, 2,

7 v 7 Math50-LS04-2.nb f 1 m 1; f 2 m.; f m ; f 1, f 2, f 1, f 2, Clear f ; f 1, f 2, f f 1, f 2, f Používání d ív jších výsledk Mathematica n ísluje všechny vstupy a výstupy a urn itý pon et posledních vstupo a výstupo, který je dán hodnotou globálního parametru $HistoyLength, si pamatuje. Implicitní nastavení je $HistoyLength=Infinity. Kliknutím na položku "Show In/Out Names" v roletp "Kernel" lze zaq ídit, aby toto n íslování bylo resp. nebylo vidp t ar už na obrazovce nebo na tiskárnp. Pq íkazem In[n] lze použít n-tý vstup a pq íkazem Out[n] nebo %n n-tý výstup. Na poslední výstup se lze odkázat pq íkazem % nebo Out[-1], na pq edposlední pq íkazem %% nebo Out[-2], na pq edpq edposlední pq íkazem %%% nebo Out[-], atd. Textový tvar n-tého vstupu lze získat pq íkazem InString[n]. a m 4 4 c m 5 5 %, %, InString s 1, %%, %%, InString s 2 5, 5, \ c t \u 5\, 4, 4, \ a t 4\ Relace a logické operace Relace Relace FullForm Význam x x twt y Equal x, y x se rovná y x y Unequal x, y x se nerovná y x twtyt y SameQ x, y x, y jsou identické x t{z t y UnsameQ x, y x, y nejsou identické

8 Š Math50-LS04-2.nb 8 Clear x, y, z ; x } y, x ~w~y~ y, x ~ 1, y ~ 2, z ~ 2., x ~w~ y, y } z, y ~w~y~ z x y, False, 1, 2, 2., False, True, False Relace FullForm Význam ƒ x y Greater x, y x je v tší než y x y GreaterEqual x, y x je v tší nebo rovno y x y Less x, y x je menší než y x y LessEqual x, y x je menší nebo rovno y x w y w z Equal x, y, z x, y, z se rovnají x y z Unequal x, y, z x, y, z jsou vzájemn r zné x y z x y z zˆ ejmý Logické operace Operace FullForm Význam p, p Not p logická negace p && q, p q And p, q konjunkce p q r And p, q, r konjunkce p q, p q Or p, q disjunkce p q r Or p, q, r disjunkce Xor p, q Xor p, q vyluœ ovací disjunkce Xor p, q, r Xor p, q, r vyluœ ovací disjunkce If p, t, f If p, t, f t pro p w True, f pro p w False If p, t, f, u If p, t, f, u t pro p w True, f pro p w False, jinak u P íklady: Clear p, q, r ; p && q && r, p q r, p ~ True, q ~ True, r ~ False, p q r p && q && r, p && q && r, True, True, False, False Clear p, q, r ; p q r, p q r, p ~ True, q ~ False, r ~ False, p q r p q r, p q r, True, False, False, True Clear p, q, r, s, t ; Xor p, q, r, p ~ q ~ r ~ True, s ~ t ~ u ~ False, Xor p, q, r, Xor p, r, s, Xor p, s, t, Xor s, t, u p Ž q Ž r, True, False, True, False, True, False

9 9 Math50-LS04-2.nb ísla a matematické konstanty Typy ísel Integer... celá ísla s libovolným po tem cifer Rational... racionální ísla, tj. zlomky integer integer v základním tvaru Real... Complex... ísla ve tvaru kone ného dekadického rozvoje s desetinnou te kou, nap. 5., 0.786, ísla tvaru number number I, kde number je typu Integer, Rational nebo Real a I je symbol pro imaginární jednotku Chceme-li zjistit, k jakému typu Mathematica íslo x adí, m žeme to zjistit p íkazem Head[x] nebo Head[x]===type: Head 1, Head 2, Head 6, Head 1. Integer, Rational, Integer, Real Head 1 0 I, Head 1. 0 I, Head 1 0. I Integer, Real, Complex Celá a racionální ísla jsou tzv. exaktní i p esná ísla, s nimiž Mathematica provádí všechny operace p esn. ísla typu Real jsou p ibližná ísla. P ibližná ísla jsou vlastn dvojího druhu: machine-precision numbers - strojov p esná ísla a arbitrary-precision numbers - ísla se zadanou p esností. P i po ítání s ísly se zadanou p esností Mathematica sleduje vliv zaokrouhlovacích chyb, p i práci se strojov p esnými se o to nestará. Komplexní ísla mohou být jak exaktní, tak p ibližná. š strojov p esné íslo na tomto po ita i po et cifer $MachinePrecision `... strojov p esné íslo na všech po ita ích ` íslo se zadanou p esností se 100 platnými ciframi `` íslo se zadanou p esností se 100 platnými ciframi za desetinnou te kou 1.24*^6... strojov p esné íslo ^6 v tzv. v decké notaci 1.24`100*^6... íslo v tzv. v decké notaci se 100 platnými ciframi

10 œ «Math50-LS04-2.nb 10 œ Symboly pro n které ž íselné množiny Algebraics... Complexes... Integers... Primes... Rationals... Reals... reprezentuje množinu všech algebraických Ÿ ísel, tj. Ÿ ísel, která jsou ko eny polynom s racionálními koeficienty reprezentuje množinu všech komplexních Ÿ ísel reprezentuje množinu všech celých Ÿ ísel reprezentuje množinu všech prvoÿ ísel reprezentuje množinu všech racionálních Ÿ ísel reprezentuje množinu všech reálných Ÿ ísel Výsledkem test expr domain, expr domain Simplify, expr domain FullSimplify kde domain je n který z výše uvedených symbol, je True nebo False, pokud je Mathematica schopna rozhodnout, zda expr reprezentuje Ÿ íslo pat ící do množiny reprezentované tímto symbolem: Integers, Integers Simplify 1 2 ª 2 Integers, True expr 1 7 expr, expr 2 Sin 12 Rationals, expr ; Algebraics ª 1 ª, ª 1 ª Rationals, True expr Rationals Simplify, expr Rationals FullSimplify 1 7 ª ª Rationals, False Matematické konstanty Ÿ Ÿ Infinity,... nevlastní íslo I,... imaginární jednotka Pi,... íslo "pí" E,... základ p irozených logaritm

11 à º ¾ 11 Math50-LS04-2.nb Degree,... ± 180,p² evodní koeficient ze stup³ ové do obloukové míry GoldenRatio µ ,pom r délek ástí tzv. zlatého ² ezu úse ky Indeterminate... symbol pro neur ité numerické výrazy jako nap². 0 0 Krom t chto konstant zná Mathematica ješt n které další matematické konstanty, nap². EulerGamma Catalan lim n¹»º k¼ 0 n k¼ 1 1 ½ ½ ½ ½ k ¾ 1 k ln n µ , ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½½ µ k 1 2 a jiné, viz Help/Mathematical Functions/Mathematical Constants. Konstanta EulerGamma je známa jako Eulerova konstanta a zpravidla se zna í C. S matematickými konstantami Mathematica po ítá jako se symboly resp. formálními výrazy, ví však, že až na symboly pro nevlastní ísla a neur ité výrazy reprezentují p² esn definovaná exaktní reálná ísla: Head À Á, Â, Degree, GoldenRatio, Indeterminate Symbol, Symbol, Symbol, Symbol, Symbol NumericQ À Á, Â, Degree, GoldenRatio, Indeterminate True, True, True, True, False Symbol I je zkratka pro Complex[0,1] a Infinity je zkratka pro DirectedInfinity[1]. Proto Head I, Head Unevaluated I, NumericQ I Complex, Symbol, True Funkce N a pä ibližné hodnoty exaktních Å ísel a konstant P² ibližnou hodnotu exaktního ísla, matematické konstanty nebo matematického výrazu expr reprezentujícího exaktní reálné nebo komplexní íslo najdeme pomocí funkce N, která mæ že mít jeden nebo dva argumenty. P² íkaz N expr znamená, že Mathematica použije k výpo tu strojov p² esná ísla (machine-precision numbers). Ta jsou reprezentována jako "double-precision floating-point numbers" opera ního systému, jež jsou ukládána v 64 binárních bitech a zpravidla vedou k mantise s 16-ti dekadickými ciframi. P² i práci s nimi Mathematica pln využívá možnosti, které pro po ítání s "double-precision floating-point numbers" nabízí opera ního systém a hardware po íta e. Hlavní p² edností výpo tæ provád ných se strojov p² esnými ísly je rychlost. Nevýhodou jsou absence informace o po tu platných cifer výsledku a jeho závislost na použitém po íta i: s hlediska matematiky stejný výpo et mæ že vést na ræ zných po íta ích k pon kud odlišným výsledkæ m. P² íkaz N expr,n naproti tomu znamená, že Mathematica se bude provád t numerické výpo ty tak, aby výsledek m l pokud možno n platných cifer. Aby Mathematica usp la, musí n kdy provád t interní mezivýpo ty s p² esností NÇ n. Rozdíl N ¾ n je omezen hodnotou globálního parametru $MaxExtraPrecision, kterou lze ale m nit:

12 Ù Ì Ì Math50-LS04-2.nb 12 N È, N È, , N É Sin 10 40, N #, 0 & É Sin , Ê Sin N, Sin N #, 0 & N::meprec : Internal precision limit $MaxExtraPrecision Ë 50.` reached while evaluating Sin Í More 0., 0. $MaxExtraPrecision Î 100; N Sin , 0, $MaxExtraPrecision Î 50. N::meprec : Internal precision limit $MaxExtraPrecision Ë 100.` reached while evaluating Sin Í More Ê , 50. $MaxExtraPrecision Î 101; N Sin , 0, $MaxExtraPrecision Î 50. Ê , 50. Funkci N lze aplikovat i na výrazy nereprezentující reálná nebo komplexní Ï ísla. V takovém pð ípadñ se N aplikuje na všechny podvýrazy reprezentující Ï ísla: x Î.; N ÈÓÒ Ô 2 x 2, N ÈÕÒ Ô 2 x 2, 20 Ö Ö x 2, x 2 Pokud výraz resp. podvýraz reprezentující Ï íslo obsahuje alespo jedno pð ibližné Ï íslo, funkce N se aplikuje automaticky: x Î.;.14159`20 Ò Ô 2, Ò Ô 2 x 2,.14159`20 Ò Ô 2 x , Ö$Ø 2 x 2, Ö$Ø 2 x 2 PÚ esnost pú ibližných výsledkû a funkce Accuracy a Precision Je-li x exaktní Ï íslo nebo matematická konstanta, je Accuracy x Î Precision x Î Ü. Je-li x pð ibližné reálné Ï íslo se zadanou pð esností, pak Accuracy x Î a znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu xý Þ 2,xÒ Þ 2, kde Þ Î 10ß a, a Precision x Î p znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu xý Þ 2,xÒ Þ 2, kde Þ Î x 10ß a. Pro strojovñ pð esná Ï ísla x má Precision x vždy hodnotu MachinePrecision, kde

13 ê 1 Math50-LS04-2.nb a pro Accuracy x platí vztah N MachinePrecision à $MachinePrecision á , Accuracy x à $MachinePrecision â Log 10, Abs x, kde Log 10, Abs x je dekadický logaritmus absolutní hodnoty ã ísla x. Oznaã íme-li n celou ã ást reálného ã ísla n, pak lze ä íci, že podle Mathematica 5 Book platí: Accuracy x å a... a æ poã et cifer za desetinnou teã kou v pä ibližném ã ísle x, které Mathematica považuje za platné, pokud Precision x je vç tší než MachinePrecision Precision x å p... p æ poã et cifer v pä ibližném ã ísle x, které Mathematica považuje za platné, pokud Precision x je vç tší než MachinePrecision x å N è, Accuracy x, Precision x.14159, , MachinePrecision x å N è, 0, Accuracy x, Precision x , , 0. x å.14 20, Accuracy x, Precision x é 10 9, 6.016, MachinePrecision x å.14`20 20, Accuracy x, Precision x é 10 9, , x å Sin N #, 0 &, Accuracy x, Precision x â , , 0. Zvýšení pë esnosti numerických výpoì tí Mají-li vstupní data výpoã tu pä esnost nejvýše n, tç žko mî žeme požadovat, aby výsledek mç l pä esnost vyšší: x å.14, x 0, Precision x, Accuracy x.14, é 10 14, MachinePrecision, Chceme-li tedy zvýšit pä esnost výpoã tu, musíme zvýšit pä esnost vstupních dat. Pä esnost pä ibližného ã ísla zvç tšíme pä ipsáním nul do jeho rozvoje nebo pä íkazem SetPrecision x,n. Po tomto pä íkazu Mathematica pä idá do binárního rozvoje ã ísla x potä ebný poã et nul a považuje x za ã íslo s pä esností n. Uvedené možnosti nejsou ale ekvivalentní, tj. vedou k

14 û Math50-LS04-2.nb 14 rï zným ð íslï m s pñ esností n. Pñ íkazem SetPrecision x,n však mï žeme pñ esnost ð ísla x také snížit. x1 ò SetPrecision.14, 0, Precision x1, Accuracy x , 0., x2 ò.14`0, Precision x2, Accuracy x , 0., x1 ò x1 0, Precision x1, Accuracy x ó 10 14, , x2 ò x2 0, Precision x2, Accuracy x ó 10 14, , x1 ô x2, x1 0 ô x2 0 False, False SetPrecision expr,n automaticky mõ ní pñ esnost každého ð ísla ve výrazu expr: ø Clear x ; SetPrecision.25 x ö x 2 Sin 2.17 x, x ù x 2 ú Sin x SetPrecision.25`25 x ö x 2 ø Sin 2.17`50 x, x ù x 2 ú Sin x SetPrecision.25`25 x ö x 2 ø Sin 2.17`50 x, MachinePrecision.25 x ù x 2 ú 1. Sin 2.17 x Parametr PrintPrecision a funkce AccountingForm, InputForm a NumberForm Poð et cifer strojovõ pñ esných ð ísel, které Mathematica zobrazuje, je urð en skrytým parametrem PrintPrecision grafického rozhraní. Jeho nastavení zjistíme pñ íkazem Options $FrontEnd, PrintPrecision PrintPrecision ü 6

15 15 Math50-LS04-2.nb a zmý níme je pþ íkazem SetOptions $FrontEnd, PrintPrecision ÿ n. Zmý na ovšem ovlivní všechny výstupní bu ky. Po et zobrazovaných cifer strojový pþ esných ísel m žeme zmý nit i v jednotlivých výstupních bu kách tak, že je ozna íme, otevþ eme Option Inspector v roletý Format a zmý níme hodnotu položky Selection Expression Formating Display Options PrintPrecision. Parametr PrintPrecision se však uplat uje pouze v pþ ípadý, že jiný parametr grafického rozhraní, NumberMarks, je nastaven na hodnotu False. Tu lze též mý nit globálný i lokálný podobný jako po et zobrazovaných cifer. Po et zobrazovaných pþ ibližných ísel s pþ esností vý tší než MachinePrecision je dán jejich pþ esností. InputForm nám ukáže všechny cifry ísla x, které Mathematica uchovává v pamý ti. Je-li x íslo se zadanou pþ esností, obsahuje InputForm x také údaj o jeho pþ esnosti. AccountingForm zobrazí všechny cifry nalevo od desetinné te ky. NumberForm x,n zobrazí n cifer ísla x, pokud jich x nemá méný ; druhý argument lze vynechat, není však jasné, co za ný j Mathematica dosadí. Aplikujeme-li ný kterou z uvedených tþ í funkcí na libovolný výraz, aplikuje se automaticky na na každé íslo ve výrazu. Example 1 x.14 20, InputForm x , *^9 AccountingForm x, AccountingForm x, 12, AccountingForm x, , , NumberForm x, NumberForm x, 6, NumberForm x, 12, NumberForm x, , , , InputForm x Head, AccountingForm x Head, NumberForm x Head InputForm, AccountingForm, NumberForm Example 2 x.14`20 20, InputForm x , ` *^9

16 Math50-LS04-2.nb 16 AccountingForm x, AccountingForm x, 15, AccountingForm x, , , NumberForm x, NumberForm x, 20, NumberForm x, 15, NumberForm x, , , , Example Clear x ; expr `20 20 x Sin 1 17 x x x 2 Sin 1 17 InputForm expr *^ ` *^9* x - x^2*sin[1/17] Out x x 2 Sin 1 17 AccountingForm expr x x 2 Sin 1 17 Out x x 2 Sin 1 17 NumberForm expr x x 2 Sin 1 17 Out x x 2 Sin 1 17

17 17 Math50-LS04-2.nb ísla v íselných soustavách o základu b 10 a funkce BaseForm íslo lze zadat i v jiné než dekadické soustav. Základem m že být kterékoliv íslo z množiny {2,, 6}. Je-li základ v tší než 10, jako dodate né íslice slouží písmena a - z nebo A - Z. 2^^ ^^ ^^ `... 2^^ ` ^^ `` ^^ ^6... 2^^ `50^6... celé íslo v binární soustav strojov p esné íslo na tomto po ita i v binární soustav strojov p esné íslo na všech po ita ích v binární soustav íslo se zadanou p esností s 50 ti platnými binárními ciframi íslo se zadanou p esností s 50 ti platnými binárními ciframi za ádovou te kou strojov p esné íslo v tzv. v decké notaci íslo s 50 ti platnými binárními ciframi za ádovou te kou v tzv. v decké notaci x1, x2 2^^aCgh48ghhk, 2^^aCgh457.8ghhk` , BaseForm x,b... representace ísla x v soustav o základu b BaseForm 2^^aCgh48ghhk, 2, BaseForm 2^^aCgh457.8ghhk`20, 2 acgh48ghhk 2, a.cgh4578ghhk BaseForm x1, 2, BaseForm x2, 2 acgh48ghhk 2, a.cgh4578ghhk Aritmetické operace Operace FullForm Input forms Sou et... Plus[2,] Plus[a,b,c] a+b+c Rozdíl... Plus[2,-] Plus[Times[-1,a],b]... b-a 1 Plus[Rational[-1,],a]... a-1/, a Sou in... Times[2,]... 2*, 2 Times[a,b,c] a*b*c, a b c Podíl... Rational[2,-]... 2, -2/ Times[a,Power[b,-1]... a/b, a b

18 " " Math50-LS04-2.nb 18 Mocnina... Power[2,]... 2^, 2 Power[x,-2]... x 2, x^2 Power[x,Times[-1,y]]... x^-y, x y Power[x,Power[y,z]]... x^y^z, x yz Odmocnina... Power[x,Rational[1,2]]... Sqrt[x], x, x , , Power[x,Rational[1,]]... x 1, Power::infy : Infinite expression 1 0, , 1 0 encountered. More x , , , , ComplexInfinity 4 2, 4 2, , 6556, , `25, 2.1` , , ! 2,! 2.,! 2.`25 2, 0. # ", "! 8,! 8 ComplexExpand,! 8.,! 8.`25 2 $ 1 1, 1 #, 1. # ", # " 2 1% I, 2 1% I ComplexExpand 2 1& ', 2 Cos Log 2 # 2 " Sin Log % I, 2 1.% I, 21% 1. I # ", # ", # " 2.`25 1% I, 2 1.`25% I, 21% 1.`25 I # ", # ", # "

19 19 Math50-LS04-2.nb ( 2 1) I, ( 2 1) I ComplexExpand * 2 1+,, * 2 -/.10 Cos Log 2 * 2 2-/.10 Sin Log 2 ( 2. 1) I, ( 2 1.) I, ( 2 1) 1. I * * , * * , * * ( 2.`25 1) I, ( 2 1.`25) I, ( 2 1) 1.`25 I * * , * * , * * Mocninu Power[x,y] pro x záporné a komplexní Mathematica po4 ítá pomocí hlavní v5 tve p6 irozeného logaritmu. Elementární funkce 4 Exp x,e x,7 x... exponenciální funkce Log x... p6 irozený logaritmus Log b,x... ogaritmus o základu b Power x,a,x a... obecná mocnina, a nemusí být celé íslo 8 8 Sin x... sin x ArcSin x... arcsin x Cos x... cos x ArcCos x... arccos x Tan x... tg x ArcTan x... arctg x Cot x... cotg x ArcCot x... arccotg x Sec x... sec x 1 cos x ArcSec x... arccos 1 x Csc x... cosec x 1 sin x ArcCsc x... arcsin 1 x ArcTan x,y... argument komplexního 4 ísla x9 Iy, leží v intervalu (;:,: a nerovná se (;: Sinh x... sinh x ArcSinh x... argsinh1 x Cosh x... cosh x ArcCosh x... argcosh x Tanh x... tgh x ArcTanh x... argtgh x Coth x... cotgh x ArcCoth x... argcotgh x Všechny tyto funkce mohou mít komplexní argument. Obecná mocnina, logaritmus, cyklometrické a hyperbolometrické funkce jsou v komplexním oboru vícezna4 néfunkce. Výše uvedené funkce znamenají ve skute4 nosti jejich hlavní v5 tve.

20 < Math50-LS04-2.nb 20 N které další funkce Numerické funkce reálné prom= nné > A > > > > > > > > Abs x... absolutní hodnota ísla x Sign x... 1 pro x? 0, 0 pro x@ 0, 1 pro xb 0 IntegerPart x... celá ást ísla x FractionalPart x... zlomková ást ísla x Floor x... nejvc tší celé íslo ne vc tší než x Ceiling x... nejmenší celé íslo ne menší než x Round x... celé íslo nejbližší íslu x 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x 4 D D D D, D 4 D D D 1, 1, 1, D D D D, 1, 2, 1 N 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x 1., 1., 1, 1, 0., 1, 2, 1 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x G D 4 D D D, D 4 D D D, G 1, G 1, G D 1 D D D, G 2, G 1, G 1 N 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x G 1., 1., G 1, G 1, G 0., G 2, G 1, G 1 7 H, Abs x, Sign x, Round x, Floor x, Ceiling x 7 I, 7 I, 1, 22, 21, 22 7 H, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x 7 I, 7 I, 1, 21, G 21 J 7 I, 21, 22, 22

21 R 21 Math50-LS04-2.nb x KFL 7 M, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x N 7 O, 7 O, N 1, N 21, 21 N 7 O, N 22, N 21, N 22 Max x,y,z, maximum P ísel x,y,z,... Max x,y,z, maximum P ísel x,y,z,... Min x,y,z, minimum P ísel x,y,z,... Min x,y,z, minimum P ísel x,y,z,... x, y, z K 1, 9 7, M 2, Max x, y, z, Min x, y, z 1 Q Q Q Q, Q 9 Q Q Q 7, Q O Q Q Q 2, Q O Q Q Q 2, Q 1 Q Q Q x, y, z K M, M N, N M, 20, Max x, y, z, Min x, y, z O,.14159, ,.14159, O Numerické funkce komplexní proms nné P P P P P P P Abs z... absolutní hodnota komplexního ísla z Re z... reálná ást ísla z Im z... imaginární ást ísla z Arg z... argument komplexního ísla z Sign z... z Abs z pro zt 0 Conjugate z... komplexnu sdružené íslo zv z K 1 W X, Abs z, Re z, Im z, Arg z, Sign z, Conjugate z 1 Y[Z, 2, 1,, O Q Q Q Q z K Exp 1 W\MX 4, Abs z, Re z, Im z, Arg z, Sign z, Conjugate z ] 1^`_ba c c c cccc 4, ], ] Q Q Q QQ Q Q QQ 2, ], Q 1 Q Q Q Q Q Q QQ Q Q QQ 2 1 Y[Z, 1 N Z 2, O Q Q Q Q 4, ] c _ba c c cccc 4, ] 1d`_ba c c c cccc 4 z K Exp 1 W\MX 4 N, Abs z, Re z, Im z, Arg z, Sign z, Conjugate z Y Z, , , , , Y Z, N Z

22 Math50-LS04-2.nb 22 e Funkce celých f ísel Mod m,n... zbytek pg i dh lení ísla m íslem n, má vždy stejné znaménko jako n Quotient m,n... celá ást ísla m n, ástei ný podíl pg i dh lení ísla k íslem n GCD n 1,n 2,n, nejvh tší spolei ný dh litel ísel k,m,n,... LCM n 1,n 2,n, nejmenší spolei ný násobek ísel k,m,n,... Argumenty funkcí Mod a Quotient mohou být i reálná i ísla a matematické konstanty. Argumenty funkcí GCD a LCM mohou být i racionální i ísla r 1, r 2, r,... GCD je pak nejvh tší kladné racionální i íslo r, pro nh ž jsou všechna i ísla r i r celá a LCM je nejmenší kladné racionální i íslo r, pro nh ž jsou všechna i ísla r r i celá. Quotient 17, 4, Mod 17, 4, Quotient 17, j 4, Mod 17, j 4 4, 1, k 5, k Quotient j 17, 4, Mod j 17, 4, Quotient j 17, j 4, Mod j 17, j 4 k 5,, 4, k 1 Quotient 17 l, m, Mod 17 l, m, Quotient 17 l, jnm, Mod 17 l, jnm 19, k 19 o[p 17 q, k 20, k 20 o[p 17 q Quotient j 17 l, m, Mod j 17 l, m, Quotient j 17 l, jnm, Mod j 17 l, jnm k 20, 20 o[k 17 q, 19, 19 o[k 17 q Quotient 17. l, m, Mod 17. l, m, Quotient 17. l, jnm, Mod 17. l, jnm 19, , k 20, k Quotient j 17. l, m, Mod j 17. l, m, Quotient j 17. l, jnm, Mod j 17. l, jnm k 20, , 19, k GCD 12, 18, 24, LCM 12, 18, 24 6, 72 GCD 12 7, 18 2, 24 1, LCM 12 7, 18 2, r r r r r r r rr r r rr 4991, 72

23 { 2 Math50-LS04-2.nb Prime n... ns té prvot íslo PrimePi x... pot et prvot ísel menších než x PrimeQ n... testuje, zda n je prvot íslo FactorInteger n... seznam prvot initeluvt ísla n a jejich exponentu Divisors n... seznam kladných dw liteluxt isla n Prime 10, Prime 10 6, Prime 10 9, Prime , , , PrimePi 10, PrimePi 10 6, PrimePi 10 9, PrimePi , 78498, , n y 8468, FactorInteger n, FactorInteger s n 8468, 2, 2, 29, 1, 7, 1, z 1, 1, 2, 2, 29, 1, 7, 1 n y 8468, Divisors n 8468, 1, 2, 4, 29, 58, 7, 116, 146, 292, 2117, 424, 8468 Kombinatorické funkce Factorial n, n... faktoriál t ísla n,n Factorial2 n, n }... dvojný faktoriál t ísla n, n } Binomial n,m... binomický koeficient n~ m n m n Multinomial n 1,n 1, multinomický koeficient 1 n 2... ~ n 1 n 2... Signature i 1,i 2, znaménko permutace i 1,i 2,... vzhledem ke standardnímu uspoƒ ádání, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 6, 24, 120, 720, 5040, 4020, 62880, , , }, 4 }, 5 }, 6 }, 7 }, 8 }, 9 }, 10 }, 11 }, 12 }, 8, 15, 48, 105, 84, 945, 840, 1095, 46080

24 Math50-LS04-2.nb 24 Prvních 10 ádk Pascalova trojúhelníku Table GridBox Table Binomial n, k, k, 0, n, ColumnSpacings 1.5 DisplayForm, n, 0, 9 ColumnForm #, Center & Table Multinomial i, j, 4 ˆ i ˆ j, i, 0, 4, j, 0, Max 0, 4 ˆ i 1, 4, 6, 4, 1, 4, 12, 12, 4, 6, 12, 6, 4, 4, 1 tbl Table Multinomial i, j, 4 ˆ i ˆ j c i b j a 4Š iš j, i, 0, 4, j, 0, Max 0, 4 ˆ i 256, 256 b, 96 b 2, 16 b, b 4, 256 5, b, 48 5 b 2, 4 5 b, 480, 240 b, 0 b 2, 80 5, 20 5 b, 25 tbl. a b c 1 256, 256, 96, 16, 1, 256, 192, 48, 1, 480, 240, 0, 80, 20, 25 tbl. List Plus b b 126 b b 2 16 b 4 5 b b 4 a Œ b Œ c 4 Expand b b 126 b b 2 16 b 4 5 b b 4 Signature 1,, ˆ 2, 9, 8, 7, 6, Signature 1,, 2, 9, 8, 7, 6 1, 1

25 25 Math50-LS04-2.nb Ž Pseudonáhodná ísla Random Integer... 0 nebo 1 s pravd podobností 1 2 Random Integer,xmax... pseudonáhodné celé íslo z intervalu 0,xmax s pravd podobností 1 xmax 1 Random Integer, xmin,xmax... pseudonáhodné celé íslo z intervalu xmin,xmax s pravd podobností 1 1 xmax xmin Random Integer & Range 10 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 Table Random Integer, 50, 10 41, 4, 19, 12, 27, 20, 40, 42, 14, 1 Table Random Integer, 50, 10 2, 15, 42, 7, 49, 10, 6, 12, 11, Table Random Integer, 40, 50, 10 4, 11, 44, 4, 42, 0, 2, 16, 49, 6 Table Random Integer, 50, 40, 10 24, 16, 1, 8, 28, 7, 8, 16, 7, 28 Random... pseudonáhodné reálné íslo s rovnom rným rozd lením na intervalu 0,1 Random Real,xmax... pseudonáhodné reálné íslo s rovnom rným rozd lením na intervalu 0,xmax Random Real, xmin,xmax... pseudonáhodné reálné íslo s rovnom rným rozd lením na intervalu xmin,xmax Random & Range , , , , , Table Random Real, 50, , , 5.216, , 8.995,

26 Math50-LS04-2.nb 26 Table Random Real, 50, , 4.697, , , , Table Random Real, 40, 50, , , , , , Table Random Real, 50, 40, , , , , , Random Complex... pseudonáhodné komplexní íslo s rovnomš rným rozdš lením na tverci 0,1 œ 0,1 Random Complex,zmax... pseudonáhodné komplexní íslo s rovnomš rným rozdš lením na obdélníku s protilehlými vrcholy v bodech 0 a zmax Random Complex, zmin,zmax... pseudonáhodné komplexní íslo s rovnomš rným rozdš lením na obdélníku s protilehlými vrcholy v bodech zmin a zmax Random Complex & ž Range Ÿ , Ÿ , Ÿ Table Random Complex, 1 2 I, Ÿ 1.898, Ÿ , Ÿ Table Random Complex, 1 2 I, , , Table Random Complex, 9 5 I, 15 7 I, Ÿ , , Ÿ.6781 Table Random Complex, 15 7 I, 9 5 I, Ÿ , , Ÿ Table Random Complex, 2 I, , ,

27 27 Math50-LS04-2.nb Table Random Complex, 9 5 I, 9 7 I, , , Random type,range,n... n ciferné pseudonáhodné reálné íslo typu type s rovnom rným rozd lením na oboru range SeedRandom integer... nastavení generátoru pseudonáhodných ísel SeedRandom... nastavení generátoru pseudonáhodných ísel asovým údajem $RandomState... systémová prom nná charakterizující okamžitý stav pseudonáhodného generátoru state $RandomState $RandomState state; Table Random Real, 0, 10, 10, , , , , $RandomState state; Table Random Real, 0, 10, 10, , , , , SeedRandom ; Table Random Integer, 0, 100, 10 78, 14, 62, 0, 44, 52, 1, 79, 98, 56 SeedRandom ; Table Random Integer, 0, 100, 10 78, 14, 62, 0, 44, 52, 1, 79, 98, 56 Remove ª}ª Names "Global`«" ;