Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
|
|
- Marta Kašparová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy. Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
2 KAPITOLA : Funkce - úvod reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R zobrazení množiny A R do množiny reálných čísel R funkční hodnota... y = f (x) (x argument) definiční obor... D(f ) (= A); obor hodnot... H(f ) = { y R y = f (x) pro nějaké x A } D(g) = A 1 A = D(f ), f (x) = g(x) x D(g)... {... g zúžení funkce f ( (z A ) na A 1 ) f rozšíření funkce g ( (z A 1 ) na A )
3 Příklady: 1) D(f ) = N... posloupnost ) f (x) = a ( R)... D(f ) = R... konstantní funkce 3) f (x) = sin x... D(f ) = R; g(x) = sin x, x π, π... D(g) = π, π g zúžení funkce f, f rozšíření funkce g 4) f (x) = sgn x = 1 pro x < 0 0 pro x = 0 1 pro x > 0... signum ( znaménko )
4 graf funkce f... { (x, f (x)) x D(f )} Příklady: 1) f (x) = x (x 0 : f (x) = x; x 0 : f (x) = x) f (x) = x y = x y = x 1 ) f (x) = sgn x 1
5 3) f (x) = [x] f g na M... M D(f ) D(g) a f (x) g(x) x M (analogicky ostatní nerovnosti)
6 Operace s funkcemi h h(x) D(h) součet f + g f (x) + g(x) D(f ) D(g) rozdíl f g f (x) g(x) D(f ) D(g) součin f g f (x) g(x) D(f ) D(g) podíl f g f (x) g(x) (D(f ) D(g)) \{x g(x) = 0 } násobek a f a f (x) D(f ) ( a R )
7 složená funkce... h = g f... h(x) = g(f (x)) (musí platit H(f ) D(g)) f vnitřní funkce, g vnější funkce vliv skládání na změnu grafu funkce... viz skripta [JT-DIP] str. 8 (30), Věta 3.31
8 .1 Vlastnosti funkcí prostá funkce... f (x 1 ) f (x ) pro x 1 x ( tj. f (x 1 ) = f (x ) x 1 = x ) inverzní funkce... f 1 (x) = y f (y) = x D(f 1 ) = H(f ) ( f musí být prostá )
9 Definice: Řekneme, že funkce f je zdola omezená na množině A D(f ), jestliže existuje L R tak, že pro všechna x A platí: L f (x). Řekneme, že funkce f je shora omezená na množině A D(f ), jestliže existuje K R tak, že pro všechna x A platí: f (x) K.
10 Definice: Řekneme, že funkce f je omezená na množině A D(f ), jestliže existuje S R tak, že pro všechna x A platí: f (x) S. Funkce je omezená na A, právě když je na A omezená zdola i shora. Funkce je omezená právě tehdy, když je její obor hodnot omezená množina (analogicky funkce omezené z jedné strany). Poznámka: Je-li A = D(f ), vynecháváme v názvu: na množině A. (Podobně i u dalších pojmů.) Příklad.1: Funkce f (x) = 1 x + 1 je omezená.
11 Definice: Řekneme, že funkce f je na množině A D(f ) neklesající ( nerostoucí ), jestliže f (x 1 ) f (x ) ( f (x 1 ) f (x ) ) x 1, x A, x 1 < x, rostoucí ( klesající ), jestliže f (x 1 ) < f (x ) ( f (x 1 ) > f (x ) ) x 1, x A, x 1 < x, monotonní, je-li na A neklesající nebo nerostoucí, ryze monotonní, je-li na A rostoucí nebo klesající. rostoucí ( f (x 1 ) f (x ) ) (x 1 x ) > 0 x 1, x A, x 1 x klesající ( f (x 1 ) f (x ) ) (x 1 x ) < 0 x 1, x A, x 1 x (podobně pro nerostoucí a neklesající)
12 Platí: Je-li funkce f ryze monotonní na D(f ), pak je prostá a existuje f 1. Funkce f 1 má stejný typ monotonie jako f. Příklady: 1) f (x) = [x]... neklesající na D(f ) = R, rostoucí např. na Z nebo na { 1 + k k Z} ) f (x) = 1 ; x D(f ) = (, 0) (0, )... klesající na (, 0) a na (0, ) není ale klesající na celém D(f ) Poznámka: Budeme-li dále mluvit o intervalech, nebudeme brát v úvahu intervaly jednobodové ( tj. intervaly typu a, a ).
13 Definice: Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x D(f ) platí a) x D(f ), b) f ( x) = f (x). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x D(f ) platí a) x D(f ), b) f ( x) = f (x). sudá sudá = lichá lichá = sudá sudá lichá = lichá sudá = lichá
14 Definice: Řekneme, že funkce f je periodická s periodou T > 0, jestliže pro každé x D(f ) platí a) x ± T D(f ), b) f (x + T ) = f (x) ( = f (x T ) ). T je perioda, k N k T je perioda základní perioda... nejmenší perioda (pokud existuje) - nemají ji např.: konstantní funkce Dirichletova funkce: f (x) = 1 f (x) = 0 pro x Q pro x Q
15 . Posloupnosti posloupnost reálných čísel zobrazení množiny přirozených čísel do mn. reálných čísel n -tý člen posloupnosti... hodnota zobrazení v bodě n N (Analogicky lze definovat i posloupnost komplexních čísel.) Značení: členy posloupnosti... a n, b n apod. posloupnost... (a n ) n=1, (a n) n N, (a 1, a, a 3,... ) ( často také : {a n } n=1 apod. )
16 Obecněji: Množinu N nahradíme množinou N 0 nebo { k, k + 1, k +,... }, k N ( k Z ) apod. Platí: Posloupnost (a n ) n=1 n N platí je rostoucí právě tehdy, když pro každé a n+1 > a n neboli a n+1 a n > 0. (Analogicky pro další typy monotonie.)
17 Definice : Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 je omezená ( shora omezená zdola omezená ), jestliže je množina jejích členů omezená ( shora omezená zdola omezená ), tj. jestliže existuje K R takové, že a n K ( a n K K a n ) pro všechna n N. Poznámka : Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená shora i zdola. Poznámka : Na omezenost či neomezenost posloupnosti nemá vliv změna konečně mnoha jejích členů.
18 Definice : Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 jestliže je neklesající ( nerostoucí ), a n+1 a n ( a n+1 a n ) pro každé n N. Posloupnost nazveme monotonní, je-li neklesající nebo nerostoucí. Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 je rostoucí ( klesající ), jestliže a n+1 > a n ( a n+1 < a n ) pro každé n N. Posloupnost nazveme ryze monotonní, je-li rostoucí nebo klesající.
19 Poznámka: Pro posloupnost a n = 8(n 1)(n )(n 3) + 7n platí ( a n+1 a n = 4 n 3 ) + 1 > 0 n N, tedy je rostoucí. Pro funkci f (x) = 8(x 1)(x )(x 3) + 7x stejně platí ( f (x + 1) f (x) = 4 x 3 ) + 1 > 0 x D(f ) = R. Funkce f přesto není rostoucí. Máme totiž např > a zároveň f ( 11 5 ) = < 14 = f (). Při zkoumání monotonie funkce tedy nestačí porovnat její hodnoty v bodech x a x + 1.
20 Speciální případy posloupností konstantní posloupnost: a n = A R pro každé n N aritmetická posloupnost dáno a 1 R, d R ( d diference ) a n+1 = a n + d pro n N ( rekurentní zadání ), tj. a n = a 1 + (n 1) d pro n N ( zadání vzorcem pro n -tý člen ) Platí: a 1 + a a n = s n = (a 1 + a n ) n = (a 1 + (n 1) d) n
21 geometrická posloupnost dáno a 1 R, q R ( q kvocient ) a n+1 = a n q pro n N, tj. a n = a 1 q n 1 pro n N ( pokládáme tu q 0 = 1 pro každé q R ) Platí: a 1 + a a n = s n = a 1 1 qn 1 q pro q 1
22 geometrická posloupnost dáno a 1 R, q R ( q kvocient ) a n+1 = a n q pro n N, tj. a n = a 1 q n 1 pro n N ( pokládáme tu q 0 = 1 pro každé q R ) Platí: a 1 + a a n = s n = a 1 1 qn 1 q pro q 1 a 1 + a a n = s n = n a 1 pro q = 1
23 .3 Elementární funkce podrobně viz skripta [JT-DIP] strany (3-4) ( je potřeba znát dobře grafy! )
24 1. Mocnina. Funkce x α, a x, log a x A) OBECNÁ MOCNINA f (x) = x α... α R pevné pro α racionální: D(f ) a H(f ) závisí na α, vždy (0, ) D(f ), a pro α 0 také (0, ) H(f ) pro α iracionální: D(f ) = (0, ), H(f ) = (0, )
25 B) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE ( o základu a ) f (x) = a x... a > 0 pevné D(f ) = R, H(f ) = (0, ) pro a 1, H(f ) = {1} pro a = 1 speciálně pro a = e ( Eulerovo číslo ) značíme e x = exp(x)... exponenciální funkce ( e =., 718, definuje se předpisem e = lim n (1 + 1 n )n )
26 C) LOGARITMICKÁ FUNKCE ( o základu a ) ( inverzní funkce k exponenciální funkci ) log a x = y a y = x... a > 0, a 1 pevné D(f ) = (0, ), H(f ) = R speciálně pro a = e značíme log e x = ln x... přirozený logaritmus
27 y a > 1 1 x 0 < a < 1 graf funkce f (x) = log a x
28 Vlastnosti logaritmů ( a, b > 0, a, b 1 ; x, y > 0 ; r R ): ( ) 1 log a = log x a x log a ( x y ) = log a x + log a y ( ) x log a y = log a x log a y log a x r = r log a x log a x = log b x log b a, speciálně: log a x = ln x ln a Platí: a x = e x ln a pro a > 0, x R ( protože e x ln a = e ln ax a funkce ln x je inverzní funkce k e x )
29 . Goniometrické a cyklometrické funkce A) GONIOMETRICKÉ FUNKCE sin x... D(f ) = R, H(f ) = 1, 1, lichá, π-periodická cos x... D(f ) = R, H(f ) = 1, 1, sudá, π-periodická tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x... D(f ) = k Z( π + kπ, π + kπ), lichá, π-periodická... D(f ) = k Z(kπ, (k + 1)π), lichá, π-periodická
30 y 1 3π π π π π 3π 1 cos x sin x x grafy funkcí sin x a cos x
31 y tg x π π 0 π π cotg x x grafy funkcí tg x a cotg x
32 Vybrané vlastnosti funkcí sin x a cos x : sin x = cos (x π ) cos x = sin (x + π ) sin x + cos x = 1 sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin x = 1 (1 cos x) cos x = 1 (1 + cos x)
33 sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y sin x y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y
34 Základní hodnoty goniometrických funkcí 0 π 6 π 4 π 3 π 3π 4 π 5π 4 3π 7π 4 sin x cos x tg x cotg x
35 CYKLOMETRICKÉ FUNKCE ( inverzní ke goniometrickým zúženým na vhodný interval ) f D(f ) H(f ) f 1 D(f 1 ) H(f 1 ) sin x π, π 1, 1 arcsin x 1, 1 π, π cos x 0, π 1, 1 arccos x 1, 1 0, π tg x ( π, π ) R arctg x R ( π, π ) cotg x ( 0, π ) R arccotg x R ( 0, π )
36 Poznámka: Cyklometrické funkce nejsou inverzními funkcemi ke goniometrickým funkcím jako takovým, ale jen k jejich zúžením na určitý interval. Máme arcsin(sin 0) = arcsin 0 = 0, ale arcsin(sin(π)) = arcsin 0 = 0 π, ( ( 3 )) arcsin sin π = arcsin( 1) = π 3 π. Pro funkci arctg platí: x ( π + kπ, π + kπ), k Z = x = arctg (tg x) + kπ.
37 y π π arcsin x arccos x x 1 1 π grafy funkcí arcsin x a arccos x
38 y π π arctg x π 4 1 arccotg x x π grafy funkcí arctg x a arccotg x
39 HYPERBOLICKÉ FUNKCE f D(f ) H(f ) sinh x = ex e x R R cosh x = ex + e x R 1, ) tgh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x R ( 1, 1 ) cotgh x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x R \ { 0 } (, 1 ) ( 1 )
40 y cosh x sinh x y cotgh x 1 x 1 tgh x 1 grafy hyperbolických funkcí
41 Vybrané vlastnosti funkcí sinh x a cosh x : sinh x < cosh x cosh x sinh x = 1 sinh x = sinh x cosh x cosh x = cosh x + sinh x
42 HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE ( inverzní k hyperbolickým, případně zúženým na vhodný interval ) f D(f ) H(f ) f 1 D(f 1 ) H(f 1 ) sinh x R R argsinh x R R cosh x 0, ) 1, ) argcosh x 1, ) 0, ) tgh x R ( 1, 1 ) argtgh x ( 1, 1 ) R cotgh x R \ { 0 } R \ 1, 1 argcotgh x R \ 1, 1 R \ { 0 }
43 y cosh x sinh x y argtgh x 1 x 1 1 argcotgh x x grafy hyperbolometrických funkcí
44 Vyjádření hyperbolometrických funkcí pomocí logaritmů argsinh x = ln(x + x + 1 ), x R argcosh x = ln(x + x 1 ), x 1, ) argtgh x = 1 ( ) 1 + x ln, x ( 1, 1) 1 x ( viz Příklad. ) argcotgh x = 1 ( ) 1 + x ln, x (, 1) (1, ) x 1
45 Příklad.: Pro x < 1 vyjádřete argtgh x pomocí logaritmické funkce. Řešení: Označíme y = argtgh x. Pak x = tgh y = ey e y e y + e y. Po rozšíření zlomku výrazem e y postupně dostáváme x = ey 1 e y + 1
46 ( e y + 1)x = e y 1 (x 1) e y = 1 x e y = 1 x x 1 Tedy e y = 1 + x 1 x ( 1 + x ) y = ln. 1 x argtgh x = 1 ( 1 + x ) ln. 1 x
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceProseminář z matematiky pro fyziky
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Více5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.
5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Více2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,
. Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i)
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceKapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...
Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
Více1. Písemka skupina A1..
1. Psemka skupina A1.. Nartněte grafy funkc (v grafu oznate všechny průseky funkce s osami) 3 y y sin( ) y y log ( 1) 1 y 1 y = arccotg - 1) Urete, jestli je funkce y = - + 1 omezená zdola nebo shora?
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
. Funkce.. Funkce Verze. prosince 6 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceMatematika I Reálná funkce jedné promìnné
Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Vícefunkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i
Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VícePříklady k přednášce 3
Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceČíselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceDoporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
Funkce a základní pojmy popisující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. Protože jen výjimečně budou v této části použity jiné
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
VíceMATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceMatematická analýza 1
VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceIntegrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
VícePOSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2
POSLOUPNOSTI 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 n+1n, d) a n = n! n n 2. 2. Najděte předpis pro n-tý člen
VíceGoniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA01 M04, GA01 M03 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA01 M04, GA01 M03 REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 1 0 Typeset by
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VíceRNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.
KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4
VíceMatematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212
Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více