MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

Transkript

1 MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní resp. ryze monotónní. 84. a n = 1 + n a n = 5 n 86. a n = 2 n 87. a n = cos n 88. a n = n 89. a n = tg (1/n) 90. a n = n / (n+1) 91. a n = ( 1) n / (n 2 +1) 92. a n = n 2 / (n+1) 93. a n = ( 1) n n 2 / (n+3) Je dána posloupnost a n a čísla L R, 0. Najděte přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna n N, n n 0 je a n U (L). 94. a n = 2 / n, L = 0, = a n = 2 + (sin n) / n, L = 2, = a n = 1 / n 3, L = 0, = a n = n, L = 1, = 0.02 Je dána posloupnost a n. Vypočtěte lim a n. n 98. a n = (n 5) / (2n + 3) 99. a n = (n 2 + 2n 4) / (n ) 100. a n = (2n 3 + n 2 50n)/(3n 3 + 4n 2 1) 101. a n = (2n 2 + n 3) / (n 3 + 4n 2 ) 102. a n = (n 3 + 4n 5) / (20n 2 + n + 10) 103. a n = (2n 2 + 3n + 7) / ( 2 n) 104. a n = (n+2) + n / (n+5) 105. a n = (n 3 +1) + 2n / (n 2 + 3) 106. a n = (n+4) n 107. a n = (n 2 +1) n 108. a n = (n 2 +4) 2n 109. a n = n. (n 2 +1) (n 2 1) 110. a n = ( n) / (2n 2 + 1) 111. a n = sin (n 2 +1) / n 112. a n = n cos (2n) / (2n + 5) 113. a n = (n 2 + sin n 2 ) / (3n 2 + n) 114. a n = (n+1) + cos n / (n + 2) 115. a n = (n 2 sin n 3 ) / (5n + 1) 116. a n = ( 1) n.n 2 + 3n / (2n 2 + 1) 117. a n = n.cos (n ) / (3n + 4) II.2. Základní vlastnosti funkcí Určete definiční obory následujících funkcí y = (3x 5) 119. y = (x + 2) / (x 2 4x + 3) 120. y = 1 / (x 2 4x) 121. y = (sin x) + (16 x 2 ) 122. y = ln (2x + 4) / (x 2 5x + 6) 123. y = ln (x + 3) + (10 2x) 124. y = cos (2x) / x. (x + 4) 125. y = arcsin (2x / 3) 126. y = (arcsin x) / (3x 1) 127. y = ln (x 2 3x + 3) 128. y = (2 log 4x) 129. y = (1 ln 2 x) 7

2 Určete supremum a infimum dané funkce f na množině M a rozhodněte, zda f má na M maximum resp. minimum (příp. určete jejich hodnotu). Nakreslete graf funkce y = f(x) pro x M f(x) = 2 + (x 1) 2, M = R 131. f(x) = 2 3x, M = 2, 4) 132. f(x) = 1 / (x 1) 2, M = (1, + ) 133. f(x) = (x + 2), M = 2, + ) 134. f(x) = (5 x), M = 1, 4) 135. f(x) = sin 2x, M = R 136. f(x) = 2 cos x, M = (0, 2 ) 137. f(x) = 2x 3, M = R 138. f(x) = x 1 + 2, M = (0, 5) 139. f(x) = 1 / (x 2 + 2), M = R 140. f(x) = 2 + ln (x 1), M = (1, + ) 141. f(x) = 1 + ln (3 x), M = 0, f(x) = e x+2, M = (, f(x) = 2 arctg x +, M = R 144. f(x) = arcsin (x 3), M = (2, f(x) = 3 (x 2 + 1), M = R Určete maximální intervaly, na kterých je daná funkce f ryze monotónní, a najděte k ní na těchto intervalech inverzní funkce. Určete také definiční obory inverzních funkcí f(x) = x f(x) = (x 2) f(x) = 1 / (x + 3) 149. f(x) = 2 1 / (x 1) 150. f(x) = (3 + e 2x ) 151. f(x) = ln (4 x) II.3. Limita a spojitost funkce Vypočtěte následující limity: 152. lim x 2 sin x 153. lim x cos 2x 154. lim x 2+ (x 2 + 3x 5) 155. lim x 1 (x 2 4x) 156. lim x (1 + 2 x ) 157. lim x 2 / (x + 3) 158. lim x 2 (x 2 + 5) / (x 2 3) 159. lim x 0 (x 3 3x + 4) / (x 2 2) 160. lim x (x 2 + 3x 10) / (2x 2 + 7) 161. lim x (2x 2 + x x) / (x 2 + 5x) 162. lim x (3x + 5) / (x 2 + 2x + 6) 163. lim x (x 3 + 4x 2 + 1) / (2x 2 + 5x) 164. lim x (x 3 + 8x 2) / (3x ) 165. lim x (2x + arctg x) / (x + 100) 166. lim x (x 2 + sin x 2 ) / (2x 2 3) 167. lim x (2x 2 + 1) / (x 5) 168. lim x (1 + x 2 ) 1 / x 169. lim x (x 2 1) x 170. lim x 1 (x 2 1) / (3x + 3) 171. lim x 2 (x 2 x 2) / (x 2 4) 172. lim x 4 (2x 8) / ( x 2) 173. lim x 0+ sin (3x) / x 174. lim x 0 tg (4x) / (2x) 175. lim x 0 sin (4x) / tg x 176. lim x 0 (1 cos 2 x) / (2x 2 ) 177. lim x 0 arctg x / (3x) 178. lim x 0+ (tg x sin x) / x lim x /4 (cos x sin x) / cos 2x 180. lim x 0 (3x 2 5x) / sin 3x 181. lim x 1 (1 x 2 ) / sin ( x) 182. lim x 1 (arctg x /4) / (x 1) 183. lim x 2 tg ( x) / (x + 2) 184. lim x sin x / (x + 1) 185. lim x 0 arctg (1/x 2 ) 186. lim x arcsin x / (x + 2) 187. lim x ln (x 2 5) / (x 2 + 2x) 188. lim x e x / x lim x ln x / x 190. lim x 0 ln (1 + 2x) / x 191. lim x 0+ sin x / x 8

3 Najděte maximální intervaly, v nichž je daná funkce f spojitá. Je-li c R takový bod nespojitosti, že f je definována v jeho některém prstencovém okolí (c, c) (c, c+ ), 0, zjistěte, zda funkci f lze v bodě c spojitě dodefinovat. Pokud ano, najděte odpovídající funkční hodnotu d f(x) = 1 / x 193. f(x) = sin x / x 194. f(x) = (x 2) / (x 2 2x) 195. f(x) = (x + 1) / (x 3 + 1) 196. f(x) = 1 / ln x 197. f(x) = arctg (1/x) 198. f(x) = x. arctg (1/x) 199. f(x) = x / (e x 2) II.4. Derivace funkce a její význam Vypočtěte derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je derivace definovaná y = 6x 2 3x y = 7x 5 2x 4 + x y = (x 3 + 2x 2 5x 10) y = (x 2 + 2x + 5) y = (5x 3) 205. y = (x 2 + 4) 206. y = (2x 2 x + 5) 207. y = 3 (x 2 1) 208. y = (x + 1).(2x + 5) y = (x 2). 3 (x 2 4) 210. y = 1 / (x 3) 211. y = (x 2 + 1) / (x + 1) 212. y = 3 (x + 2) / x y = (x + 1)/(x + 3) 214. y = sin 3x 215. y = cos (x 2 + 4x) 216. y = tg 5x 217. y = sin 2 (x 3 + 3x 2 1) 218. y = cotg 2 (3x) 219. y = sin (1/x) 220. y = x. cos 2 x 221. y = (1 + x + sin x) 222. y = arcsin (x 2) 223. y = arccos x y = arctg 2 (5 x) 225. y = arcsin (x + 1) 226. y = arctg x 227. y = arccotg 1 / (x 4) 228. y = e 3x y = exp (5x 2 2x+1) exp z = e z 230. y = exp ( 1/x 2 ) 231. y = (e x 2) 232. y = 2 3x (6x + 1/x) 233. y = y = ln (4x) 235. y = ln (x 2 + 3x 4) 236. y = ln (x + (1+x 2 )) 237. y = ln (ln x) 238. y = (2x) 5x 239. y = (x 2 + 1) 3x 240. y = ln (sin 3x + 2) 241. y = e 3x. (x 2 + 1) y = e 2x. sin 5x 243. y = e x. sin (x 2 + 1) Vypočtěte druhé derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je druhá derivace definovaná y = sin (3x + 1) 245. y = cos 2 x 246. y = (1 + x 2 ) 247. y = tg x 248. y = x 2. e x 249. y = (1 + x) / (1 x) 250. y = 1 / (2x + 1) y = arcsin (x/2) 9

4 Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě x 0, f(x 0 ). (Poznámka: Pro směrnice k t resp. k n tečny resp. normály ve společném bodě platí k n. k t = 1.) 252. f(x) = x 2, x 0 = f(x) = sin x, x 0 = 254. f(x) = 8 / (4 + x 2 ), x 0 = f(x) = (3x + 1) / (x + 2), x 0 = f(x) = 1 / (9 x 2 ), x 0 = f(x) = 2 x, x 0 = Najděte tečny ke grafu funkce f(x) = 4x x 2 v bodech jeho průsečíků s osou x a určete úhel, pod jakým se protínají Ve kterém bodě T paraboly y = x 2 2x + 5 je její tečna kolmá k ose prvního kvadrantu? Najděte rovnici tečny Určete koeficienty b, c v rovnici paraboly y = x 2 + bx + c tak, aby se dotýkala přímky o rovnici y = x v bodě x 0, y 0, x 0 = Pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí y = sin x a y = cos x? II. 5. Užití derivace, průběh funkce Pro danou funkci najděte lokální extrémy a intervaly, v nichž je funkce ryze monotónní. Určete také, zda je rostoucí nebo klesající f(x) = x 3 6x f(x) = 2x 3 + 3x 2 36x f(x) = x / (x 2 + 1) 265. f(x) = x + x / (x 2 1) 266. f(x) = x. ln x 267. f(x) = x 2 / (x 2 + 1) 268. f(x) = x + e x 269. f(x) = x 2. e x 270. f(x) = e x / (x 2 1) 271. f(x) = x. (1 x) Najděte maximum a minimum funkce f na intervalu I a určete, ve kterých bodech funkce těchto hodnot nabývá f(x) = x 3 3x 2 9x + 35, I = 4, f(x) = (5 4x), I = 1, f(x) = x 2. ln x, I = 1, e 275. f(x) = x / x 16, I = 1, f(x) = x x 2, I = 1, f(x) = x 2. e x, I = 3, 1/ f(x) = x 3 / (x 2 + 1), I = 2, 3 Najděte lokální i absolutní extrémy následujících funkcí (pokud existují) na jejich definičních oborech y = x 2 / (x 2) 280. y = x 3 + x 4 / y = 2x / (x 2 + 1) 282. y = x 3. ln x 283. y = x 2 / 2 3x + 2. ln x 284. y = x. ln x y = 2x + e x 286. y = arctg x x / y = 3x. (1 x) 288. y = x 2. e x 289. y = (2x x 2 ) 290. y = x / 2 + arctg (1/x) 10

5 Určete, na jakých maximálních intervalech jsou následující funkce konvexní nebo konkávní, a najděte jejich inflexní body y = x 3 5x y = 3x 5 40x x y = x / (1 + x 2 ) 294. y = 2x 2 / (1 + x 2 ) 295. y = x 2. e x 296. y = x. ln x y = ln (1+ x 2 ) 298. y = x. (2 x) 299. y = arctg x x / y = e x x 2 Najděte asymptoty následujících funkcí (pokud existují) y = 1 / x y = 3x 1 / (x 2) 303. y = x / (x 2 + 5) 304. y = (x 3 + 2) / (x 2 + 1) 305. y = 2x 1 + e x 306. y = x 3 / (2 x 2 ) 307. y = (4x 2 + x + 3) 308. y = 2x ln (x) / x 309. y = x + ln (x) / (x 2) 310. y = 2x + arctg (x/2) 11

6 Výsledky: 84. omezená zdola, rostoucí 85. omezená shora, klesající 86. omezená, klesající 87. omezená, není monotónní 88. omezená zdola, rostoucí 89. omezená, klesající 90. omezená, rostoucí 91. omezená, není monotónní 92. omezená shora, klesající 93. neomezená, není monotónní 94. n n n n / / / / / neexistuje 117. neexistuje /3, + ) , 1) (1, 3) (3, + ) 120. (, 0) (4, + ) , 0, 122. ( 2, 2) (2, 3) (3, + ) 123. ( 3, ( 4, 0) (0, + ) /2, 3/ , 1/3) (1/3, (, 1 2, + ) 128. (0, /e, e Výsledky k příkladům č : Příklad max M f sup M f min M f inf M f 130. neexistuje neexistuje neexistuje + neexistuje neexistuje neexistuje neexistuje neexistuje neexistuje /2 1/2 neexistuje neexistuje + neexistuje ln ln e 3 e 3 neexistuje neexistuje 2 neexistuje /2 /2 neexistuje / neexistuje a) (, 0, f 1 (y) = (y + 1), D(f 1 ) = 1, + ) b) 0, + ), f 1 (y) = (y + 1), D(f 1 ) = 1, + ) 147. (, + ), f 1 (y) = 2 3 y, D(f 1 ) = (, + ) 148. a) (, 3), f 1 (y) = 1/y 3, D(f 1 ) = (, 0) b) ( 3, + ), f 1 (y) = 1/y 3, D(f 1 ) = (0, + ) 149. a) (, 1), f 1 (y) = 1 + 1/(2 y), D(f 1 ) = (2, + ) b) (1, + ), f 1 (y) = 1 + 1/(2 y), D(f 1 ) = (, 2) 150. (, + ), f 1 (y) = ln (y 2 3) / 2, D(f 1 ) = ( 3, + ) 151. (, 4), f 1 (y) = 4 e y, D(f 1 ) = (, + ) / / / / / / / / / / / / /

7 192. (, 0), (0, + ); c = 0, nelze dodefinovat 193. (, 0), (0, + ); c = 0, d = (, 0), (0, 2), (2, + ); c 1 = 0, nelze dodefinovat, c 2 = 2, d 2 = 1/ (, 1), ( 1, + ); c = 1, d = 1/ (0, 1), (1, + ); c = 1, nelze dodefinovat 197. (, 0), (0, + ); c = 0, nelze dodefinovat 198. (, 0), (0, + ); c = 0, d = (, ln 2), (ln 2, + ); c = ln 2, nelze dodefinovat x 3, x R x 4 8x 3 + 2x, x R (x 3 +2x 2 5x 10).(3x 2 +4x 5), x R (x 2 + 2x + 5).(2x + 2), x R / 2. (5x 3), x (3/5, + ) 205. x / (x 2 + 4), x R 206. (4x 1) / 2. (2x 2 x + 5), x R x / 3.(x 2 1) 2/3, x R 1, (2x + 5) 7.(18x + 21), x R (x 2 4) + (2x 4) / 3.(x 2 4) 2/3, x R 2, / 2.(x 3) 3/2, x (3, + ) 211. (x 1) / (x + 1) 2. (x 2 + 1), x R ( 5x 12) / 3x 3.(x+2) 2/3, x R 2, (x+3)/(x+1) / (x+3) 2, x (, 3) ( 1, + ) cos 3x, x R 215. (2x + 4).sin (x 2 + 4x), x R / cos 2 (5x), x ( /10 + k. /5, /10 + k. /5), k celé 217. (6x x). sin (x 3 + 3x 2 1). cos (x 3 + 3x 2 1), x R cotg 3x / sin 2 (3x), x (k. /3, (k+1). /3), k celé 219. cos (1/x) / x 2, x (, 0) (0, + ) 220. cos 2 x / (2. x) 2. x. cos x. sin x, x (0, + ) 221. (1 + cos x) / 2. (1 + x + sin x), x (x 0, + ), x 0 je řešení rovnice 1 + x + sin x = / (4x x 2 3), x (1, 3) x / (1 x 4 ), x ( 1, 1) arctg (5 x) / (x 2 10x + 26), x R / 2. ( x x 2 ), x ( 1, 0) / 2. x. (1 + x), x (0, + ) / 1 + (x 4) 2, x (, 4) (4, + ) e 3x+1, x R 229. (10x 2). exp (5x 2 2x + 1), x R exp ( 1/x 2 ) / x 3, x R / 2e x. (e x 2), x (, ln 2) x. ln 2, x R 233. (6 1/x 2 ). ln 5. 5 (6x + 1/x), x R / x, x (0, ) 235. (2x + 3) / (x 2 + 3x 4), x (, 4) (1, + ) / (1 + x 2 ), x R / (x. ln x), x (1, + ) 238. (2x) 5x. (5. ln 2x + 5), x (0, + ) 239. (x 2 + 1) 3x. 3. ln (x 2 + 1) + 6x 2 / (x 2 + 1), x R cos 3x / (sin 3x + 2), x R 241. e 3x. (x 2 + 1). (3x 2 + 4x + 3), x R 242. e 2x. (2. sin 5x + 5. cos 5x), x R 243. e x. 2x. cos (x 2 + 1) sin (x 2 + 1), x R sin (3x + 1), x R cos 2x, x R 246. (1 + x 2 ) 3/2, x R sin x / cos 3 x, x /2 + k, k celé 248. (x 2 4x + 2). e x, x R / (1 x) 3, x R / (2x + 1) 4, x R 1/ x / (4 x 2 ) 3/2, x ( 2, 2) 252. t: y = 4x 4, n: y = 9/2 x/ t: y = x, n: y = x 254. t: y = 2 x/2, n: y = 2x t: y = 1/2 + 5x/4, n: y = 1/2 4x/ t: y = 5.x / 8 1/8, n: y = 17/2 8.x / t: y = 1/4 + ln 2. (x + 2) / 4, n: y = 1/4 4. (x + 2) / ln t 1 : y = 4x, t 2 : y = 16 4x, = arccos (15/17) 259. T = 1/2, 17/4, t: y = 19/4 x 260. b = 3, c = = arccos (1/3) 262. rostoucí v (, 2 a 2, + ), klesající v 2, 2, lok. max. y = pro x = 2, lok. min. y = pro x = rostoucí v (, 3 a 2, + ), klesající v 3, 2, lok. max. y = 85 pro x = 3, lok. min. y = 40 pro x = rostoucí v 1, 1, klesající v (, 1 a 1, + ), lok. max. y = 1/2 pro x = 1, lok. min. y = 1/2 pro x = 1 13

8 265. rostoucí v (, 3 a 3, + ), klesající v 3, 1), ( 1, 1) a (1, 3, lok. max. y = 3. 3 / 2 pro x = 3, lok. min. y = 3. 3 / 2 pro x = rostoucí v 1/e, + ), klesající v (0, 1/e, lok. min. y = 1/e pro x = 1/e 267. rostoucí v 0, + ), klesající v (, 0, lok. min. y = 0 pro x = rostoucí v 0, + ), klesající v (, 0, lok. min. y = 1 pro x = rostoucí v (, 2 a 0, + ), klesající v 2, 0, lok. max. y = 4e 2 pro x = 2, lok. min. y = 0 pro x = rostoucí v (, 1), ( 1, 1 2 a 1+ 2, + ), klesající v 1 2, 1) a (1, 1+ 2, lok. max. y = exp(1 2) / (2 2 2) pro x = 1 2, lok. min. y = exp(1+ 2) / (2+2 2) pro x = rostoucí v (, 2/3, klesající v 2/3, 1, lok. max. y = 2. 3 / 9 pro x = 2/3, lok. min. y = 0 pro x = max f = f( 1) = 40, min f = f( 4) = max f = f( 1) = 3, min f = f(1) = max f = f(e) = e 2, min f = f(1) = max f = f(4) = 4, min f = f(2) = max f = f(1) = 4, min f = f(0) = max f = f( 2) = 1/e, min f = f(0) = max f = f(3) = 27/10, min f = f( 2) = 8/ lok. max. y = 0 pro x = 0, lok. min. y = 8 pro x = abs. min. y = 27/4 pro x = abs. max. y = 1 pro x = 1, abs. min. y = 1 pro x = abs. min. y = 3 3. ln 3 pro x = lok. max. y = 5/2 pro x = 1, lok. min. y = 2. ln 2 4 pro x = abs. min. y = 2 1/e pro x = 1/e 285. abs. min. y = 2 2. ln 2 pro x = ln lok. max. y = /4 1/2 pro x = 1, lok. min. y = 1/2 /4 pro x = abs. max. y = 2. 3 / 3 pro x = 2/3, lok. min. y = 0 pro x = lok. max. y = 4.e 2 pro x = 2, abs. min. y = 0 pro x = abs. max. y = 1 pro x = 1, abs. min. y = 0 pro x = 0, x = lok. max. y = /4 1/2 pro x = 1, lok. min. y = /4 + 1/2 pro x = konvexní na 0, + ), konkávní na (, 0, inflexní bod konvexní na 2, 0 a 2, + ), konkávní na (, 2 a 0, 2, inflexní body 2, 0, konvexní na 3, 0 a 3, + ), konkávní na (, 3 a 0, 3, inflexní body 3, 0, konvexní na 3/3, 3/3, konkávní na (, 3/3 a 3/3, + ), inflexní body 3/3, 3/ konvexní na (, 2 2 a 2+ 2, + ), konkávní na 2 2, 2+ 2, inflexní body konvexní na (0, + ), nemá inflexní body 297. konvexní na 1, 1, konkávní na (, 1 a 1, + ), inflexní body 1, konkávní na (, 2, nemá inflexní body 299. konvexní na (, 0, konkávní na 0, + ), inflexní bod konvexní na ln 2, + ), konkávní na (, ln 2, inflexní bod x = ln svislá asymptota x = 0, šikmé asymptoty y = 3 pro x 302. svislá asymptota x = 2, šikmé asymptoty y = 3x pro x 303. šikmé asymptoty y = 0 pro x 304. šikmé asymptoty y = x pro x 305. šikmé asymptoty y = 2x 1 pro x svislé asymptoty x = 2, x = 2, šikmé asymptoty y = x pro x 307. šikmé asymptoty y = 2x 1/4 pro x, y = 2x + 1/4 pro x svislá asymptota x = 0, šikmá asymptota y = 2x + 3 pro x svislé asymptoty x = 0, x = 2, šikmá asymptota y = x pro x šikmé asymptoty y = 2x /2 pro x, y = 2x + /2 pro x + 14