Elementární funkce. Polynomy

Transkript

1 Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce. 6. Goniometrické funkce. 7. Cklometrické funkce. 8. Hperbolické funkce. 9. Hperbolometrické funkce. Polnom 1. Definice f() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 ; a 0, a 1,..., a n R; a n 0; Dom f = R.. Příklad Určete stupeň následujících polnomů: f() = polnom stupně 3. f() = polnom stupně 0. f() = 0 polnom nedefinovaného stupně. 3. Definice Kořen polnomu f() je takové číslo r, pro které platí f(r) = 0. Polnom stupně n má n kompleních kořenů počítaje v to i jejich násobnost. Má-li polnom komplení kořen (a + b i ) má i (a b i ) kompleně sdružená čísla. Proto polnom lichého stupně mají alespoň 1 reálný kořen. Polnom 1. stupně lineární polnom (viz Obr. 1): f() = a + b; a 0. Vzorec pro výpočet kořenů: 1 = b a, křivka: přímka. f() Obrázek 1: Lineární polnom

2 Elementární funkce f() = + f() = Obrázek : reálné kořen Obrázek 3: 1 dvojnásobný reálný kořen Obrázek 4: kompleně sdružené kořen Polnom. stupně kvadratický polnom (viz Obr. 13, 3 a 4): f() = a + b + c; a 0. Vzorec pro výpočet kořenů: 1, = b ± b 4ac, křivka: parabola. a kořen: reálné 1 dvojnásobný (reálný) žádný reálný a komplení (kompleně sdružená čísla) Polnom 3. stupně kubický polnom (viz Obr. 5, 6 a 7): f() = a 3 + b + c + d; a 0. Vzorec pro výpočet kořenů: Cardanov vzorce, křivka: kubická parabola. kořen: 3 reálné 1 reálný + komplení Polnom 4. stupně (viz Obr. 8, 9 a 10): f() = a 4 + b 3 + c + d + e; a 0.

3 Elementární funkce 3 f() = f() = Obrázek 5: 3 reálné kořen Obrázek 6: 3 reálné kořen f() = Obrázek 7: 1 reálný a kompleně sdružené kořen f() = Obrázek 8: 4 komplení kořen 4. Poznámka Nelze najít vzorec pro výpořet kořenů polnomu 5. stupně. Rozklad polnomu na kořenové činitele: Rozklad je možný v komplením oboru. V reálném oboru lze každý polnom stupně alespoň 1 rozložit na součin lineárních polnomů (což jsou kořenoví součinitelé) a ireducibilních (nerozložitelných)

4 Elementární funkce 4 f() = f() = 4 Obrázek 9: 4 reálné kořen Obrázek 10: 1 reálný (čtřnásobný) kvadratických polnomů. 5. Poznámka Podmínkou rozložitelnosti kvadratického polnomu ve tvaru + p + q = 0 (normovaný tvar) je p 4q > Příklad Rozložte polnom na součin lineárních nebo kvadratických polnomů. Řešení: Je na první pohled zřejmé, že můžeme vtknout 3, čímž získáme trojnásobný kořen 1,,3 = 0. Dále zkoušíme jednoduché kořen (např. 1, 1,,, 3, 3,...): = }{{} 3 ( 0)( 0)( 0) ( ) ( ) : ( 1) = ( 3 ) (3 3) +1 ( +1) = ( )( 3 13 ) = 3 ( 1)( )( 3 13 ) 7. Příklad Rozložte v R polnom f() = Řešení: f() = = }{{} = ( + 1) = ( + + 1)( + 1) doplnění na čtverec 8. Definice Racionální funkce f() = P () ; P, Q... polnom, Q 0; Dom f = R { kořen Q()} Q() Každý polnom je racionální funkcí.racionální funkce se nazývá rzí, jestliže deg P < deg Q. Je-li tomu jinak (ted deg P deg Q), pak je racionální funkce nerzí a dá se vjádřit jako součet polnomů a rzí racionální funkce.

5 Elementární funkce 5 9. Příklad Převeďte nerze lomenou funkci f() = na součet polnomu a rze lomené + 4 funkce. Řešení: ( 7 + 1) : ( 5 + 4) = ( 7 +4 ) 5 +1 Výsledkem ted je f() = = Poznámka Rzí racionální funkce se dá vjádřit jako součet parciálních zlomků. 11. Definice Parciální zlomk mají tvar a) b) c) d) A r ; A ( r) K ; A + B + p + q, p 4q < 0; A + B ( + p + q) K, p 4q < Jak získat rzí racionální funkci: i) Rozložíme polnom Q(). ii) Jestliže je v tomto rozkladu ( r) K A 1 budeme mít parciální zlomk: ( r), A ( r),..., A K ( r) K ( +p+q) K B 1 + C 1 budeme mít parciální zlomk: ( + p + q), B + C ( + p + q),..., B K + C K ( + p + q) K iii) Zapíšeme skupink parciálních zlomků a porovnáváme polnom. 13. Příklad Rozložte f() = Řešení: Např. pomocí Hornerova schématu rozložíme na parciální zlomk. Q() = = ( + 1)( ) ( + 4). Najdeme skupink parciálních zlomků: A ( + 1) : + 1 ( ) B : + C ( ) ( D + E + 4) : = A B + C ( ) + D + E + 4 A( ) ( + 4) + B( + 1)( )( + 4) + C( + 1)( + 4) + (D + E)( + 1)( ) = = A( )+B( )+C( )+(D+E)( ) =

6 Elementární funkce 6 = A 4 4A 3 + 8A 16A + 16A + B 4 B 3 + B 4B 8B + C 3 + C + 4C + 4C + D 4 3D 3 + 4D + E 3 3E + 4E 4 : = A + B + D 3 : 7 = 4A + B + C 3D + E : 1 = 8A + B + C 3E 1 : 8 = 16A 4B + 4C + 4D 0 : 16 = 16A 8B + 4C + 4E Řešením této soustav lineárních rovnic (např. pomocí matic) získáme hodnotu jednotlivých koeficientů. a ted A = 1, B = 0, C = 1, D = 1, E = = ( ) Definice f() = a, viz Obr. 11. Mocninná funkce 3 a > 1 a = < a < 1 a = 0 a < Obrázek 11: Obecná mocninná funkce f() = a a N; f() = a = }. {{.. } ; Dom f = R (jde o polnom) a krát a Z a > 0, Dom f = R a = 0, Dom f = R {0} (0 0 nedefinováno ) 0 = 1 a < 0, Dom f = R {0} a = 1 a a = 1 n, n N; f() = a = 1 a ; Dom f = { R, pro a liché 0, + ), pro a sudé

7 Elementární funkce Definice n-tá odmocnina n je definovaná jako číslo p R takové, že p... p = ; jsou-li taková }{{} n krát čísle dvě, pak pouze to kladné z nich. 16. Příklad n = : 4 p : = 4 ( ) ( ) = 4 p = n = 3 : 3 7 p : ( 3) ( 3) ( 3) = 7 p = 3 = 4 : p neeistuje. a Q; f() = a = p q = ( p ) 1 q = q p ; Dom f = { R, pro q liché 0, + ), pro qsudé 17. Příklad ( 1) = ( 1) 1 = ( 1) 4 = 4 ( 1) = 4 1 = 1!!!!! Náš postup je ovšem špatný, neboť definice racionálního čísla říká, že p a q jsou nesoudělná, tudíž krok ( 1) 1 = ( 1) 4 bl chbný a výsledek není správný. a R; Dom f = 0, + ) a = lim a n {a n } n=1 (posloupnost racionálních čísel.) a = lim an = lim an. Eponenciální funkce 18. Definice f() = a ; a > 0; Dom f = R. Viz Obr f() = a, a > 1 1 f() = a, 0 < a < Obrázek 1: Eponenciální funkce f() = a 19. Poznámka Je-li a = e, pak jde o přirozenou eponenciální funkci f() = e (e. =, ). Logaritmické funkce 0. Definice Inverzní funkce k eponenciálním jsou logaritmické (viz Obr. 13) f() = log a ; a > 0, a 1; Dom f = (0, ).

8 Elementární funkce 8 1 f() = log a, a > f() = log a, 0 < a < 1 Obrázek 13: Logaritmická funkce f() = log a 1. Poznámka Je-li a = e, jde přirozený logaritmus, který zapisujeme jako log e = ln. Je-li a = 10 pak značíme log 10 = log. Goniometrické funkce. Jednotková kružnice Viz Obr. 14. Obrázek 14: Jednotková kružnice sin α = a c Dom f = R Im f = 1; 1 perioda: π, lichá funkce cos α = b c Dom f = R

9 Elementární funkce 9 Im f = 1; 1 perioda: π, sudá funkce tg α = a b Dom f = R { π + kπ; k Z} Im f = R perioda: π cotg α = b a = tg 1 α Dom f = R {kπ; k Z} Im f = R perioda: π sec α = 1 cos α = c b Dom f = R { π + kπ; k Z} Im f = ( ; 1 1; ) cosec α = 1 sin α = c a Dom f = R {kπ; k Z} Im f = ( ; 1 1; ) Cklometrické funkce Cklometrické funkce jsou inverzní ke goniometrickým funkcím: arc sin Dom f = 1; 1 Im f = π ; π arc cos Dom f = 1; 1 Im f = 0; π arc tg Dom f = R Im f = π ; π arc cotg Dom f = R Im f = 0; π arc sec Dom f = R ( 1; 1) Im f = 0; π { π } arc cosec Dom f = R ( 1; 1) Im f = π ; π {0} sinh = e e cosh = e + e Hperbolické funkce

10 Elementární funkce 10 tgh = sinh cosh cotgh = 1 tgh sech = 1 cosh cosech = 1 sinh Hperbolometrické funkce Hperbolometrické funkce jsou inverzní k hperbolickým funkcím: arg sinh 1 arg cosh arg tgh arg cotgh 3. Operace: f ± g = h f() ± g() = h() f g = h f() g() = h() f g = h f() g() = h() f g = h f() g() = h() f(g()) = h(); R g R f R; skládání značíme f g a čteme f po g Každá funkce je definována nejen funkčním předpisem, ale také svým definičním oborem. 4. Příklad Určete definiční obor funkce f() = ln( ) 1 + arcsin. Řešení: 1. > 0 ( 1) > 0 ( ; 0) (1; + ) 1 čteme argument hperbolického sinu

11 Elementární funkce arcsin arcsin 0 }{{} 1 + arcsin > 0 arcsin > 1 > sin( 1) > sin 1 platí vžd R 3. 1 platí vžd R ; 1 průnikem je interval Dom f = 1; 0). 5. Poznámka Nejznámější neelementární funkce jsou e, erf(), Γ().