Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

Transkript

1 Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 Obsah Úloha Úloha. a 4 a 7 8 a = b ( b = c c ) : (c ) = Úloha 4 4 Úloha s = 0, 5 (t + u) t + z = Úloha V tabulce dopl te chyb jící hodnoty funkce Sestrojte graf funkce f pro x > Pro kterou hodnotu prom nné x je y =? Úloha log log x = = (5 x ) Úloha Úloha Úloha Úloha 0 8

2 Úloha 8. x+ = x x = x x = x 6 = Úloha 0 Úloha 4 Úloha 4 5 Úloha 5 6 Úloha 6 7 Úloha Úloha Úloha Úloha Rozdíl mezi dv ma sousedními leny je a = V²echny leny jsou v t²í neº Sou et ty nejmen²ích len je Úloha Vyzna te na íselné ose obrazy ísel a 5 6. max. body [novamaturita.cz]. Zjistíme si, jaká hodnota p ipadá na jeden dílek: jsou na 8. dílku. Tzn. na jeden dílek p ipadá hodnota 8 = 8 = 4 =. Dále zjistíme, kolikrát se vejde do. Zjistíme tak, kolik dílk má v sob. má v sob 6 dílk, je tedy na ²estém polí ku. = = = 6

3 . Dále zjistíme, kolikrát se vejde do 5 6. Zjistíme tak, kolik dílk má v sob má v sob 0 dílk, je tedy na desátém polí ku. 4. Výsledek zakreslíme na osu. = 5 6 = 5 = 0 Pozn.: Lze postupovat i intuitivn bez sloºitého po ítání. Tím, ºe známe m ºeme si zakreslit, která leºí uprost ed mezi a 0, tj. na tvrtém dílku. Uº víme, ºe zabírá 4 dílky, tak si m ºeme zakreslit, coº je vlastn. pak leºí p esn uprost ed mezi 0 a, tj. na ²estém dílku. Pro zakreslení 5 6 pot ebujeme v d t, kde se nachází. je polovina z, tj. je p esn uprost ed mezi a 0, tj. na druhém dílku zabírá tedy dílky. 5 bude zabírat 6 5 = 0 dílk. Takºe na 0. dílku zakreslíme 5. 6 Dal²í moºný zp sob jak postupovat, je p evést poºadované zlomky na spole ného jmenovatele. Pro zlomky:,, 5 je spole ným jmenovatelem 6. P evedeme tedy zlomky na ²estiny. 6 =, 6 = 4, = 5. Hlavním 6 úkolem je te najít na ose. najdeme tak, ºe je najdeme a pak p lku z, tj.. Zjistíme tak, ºe jsou dva dílky. ˆ = 6, takºe ˆ = 4 6, takºe ˆ 5 6 = 5 6, takºe 5 6 bude zabírat = 6 dílk. budou zabírat 4 = 8 dílk. bude zabírat 5 = 0 dílk. Dal²í moºný zp sob e²ení by byl pomocí p ímé úm ry... V²e zakreslíme do osy. Úloha Zjednodu²te výrazy: [novamaturita.cz]. a 4 a 7 8 a = a 4 a 7 8 a =( 4 7 8) a = a = 5 8 a. 6b b = 6b b = 6 b = b. (c c) : (c ) = ( c c ) : (c ) = (c c) c (c ) = c(c ) (c ) = c(c+)(c ) (c ) = c (c + ) = c + c max. body

4 Úloha max. body e²te nerovnici: x 5 x + 5 Výsledek zapi²te intervalem. [novamaturita.cz] x 5 x + 5 x 5 4x + 0 x 5 ( ) x 5 x 5; + ) 4 Úloha 4 max. body Z obou následujících vztah vyjád ete prom nnou t: [novamaturita.cz] 4. s = 0, 5 (t + u) 4. t + z = s = 0, 5 (t + u) s = 0, 5t + 0, 5u s = t + u s u = t t = s u t 0 z t + z = t + z = t + zt = t zt t = t (z ) = : (z ) t = z t = z 4

5 5 Úloha 5 max. body Funkce f je dána p edpisem y = x [novamaturita.cz] 5. V tabulce dopl te chyb jící hodnoty funkce x y x y. x = y = =. x = y = = 5. Sestrojte graf funkce f pro x > 0. x 4 5 y 6 4. x = y =. x = y = = = 6 = = 4 5 5

6 5. Pro kterou hodnotu prom nné x je y =? y = x = x x x = 4 6 Úloha 6 max. 4 body e²te rovnici s neznámou x R: [novamaturita.cz] 6. log log x = = (5 x ) log log x = 4 + log x = 4 log x = 0 = x x = = (5 x ) 5 +9 = 5 x 5 = 5 x = x x = 4 6

7 7 Úloha 7 max. body Body A [ 5; ] a B [0; 5] jsou souseními vrcholy tverce ABCD. Vypo t te obsah tverce ABCD. [novamaturita.cz]. Vypo teme si délku hrany AB. AB = (b a ) + (b a ) = [0 ( 5)] + ( 5 ) = = = 74. Vypo teme obsah tverce ABCD S = a S = AB ( ) S = 74 S = 74 8 Úloha 8 max. body M ítko mapy (viz. obrázek) vyjád ete ve tvaru : x. (Tedy cm na map p edstavuje x cm ve skute nosti.) [novamaturita.cz] : x jde o pom r cm na map : x cm ve skute nosti. Podle m ítka mapy vídíme, ºe 5 cm (5 dílku) je 7,5 km. 7,5 km = 7,5 * 000 * 00 cm = cm. Jde teda o pom r mapa : skute nost 5 : : 5 : Úloha 9 max. body Kolik krok u²et íte (zaokrouhlete na desítky), p ejdete-li tvercový pozemek úhlop í n, místo abyste jej obcházeli po dvou stranách jeho obvodu celkem t emi sty kroky? [novamaturita.cz] 7

8 Obejít pozemek o dvou stranách znamená jít p es stranu a a a. Platí tedy: a + a = 00 a = 00 a = 50 Délka úhlop í ky je podle Pythagorovy v ty: u = a + a u = a u = a u = a u = 50. u =, kroků Kdyº p jdeme po úhlop í ce tak u²et íme: l = a u = 00,. = 87, 87 kroků. = 90 kroků 0 Úloha 0 max. body V kódu je na prvním míst jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dal²ích dvou pozicích je libovolné dvojciferné íslo od do 45. (Existují nap. kódy B, A45 apod.) Ur ete po et v²ech takto vytvo ených kód. [novamaturita.cz] Pro první pozici máme 4 moºnosti (A, B, C nebod) Pro dvoj íslí máme 45 0 = 5 moºností ( ísla od do 45). Ke kaºdému písmenu se p i azuje dvoj íslí, takºe zde aplikujeme kombinatorické pravidlo sou inu. Po et vytvo ených kódu tedy je: 4 5 = 40 kód Úloha max. 4 body 8

9 Ke kaºdé rovnici - 4 p i a te n který z interval (A - F), v n mº je obsaºeno e²ení dané rovnice. A) ( ; ) B) ; 0) C) ( 0, 5; 0, 5) D) (0; E) (; + ) F) rovnice nemá e²ení [novamaturita.cz]. x+ = 0 x náleºí intervalu A) x + = 0 x + = 0 x = : x = x =, 5. x x = x x = x x = x x + x = 4x = : 4 x = 4 x = 0, 75 x 0 x náleºí intervalu D). x x = x x = x x = x 0 x 0 Rovnice nemá e²ení. x pat í do moºnosti F).4 x 6 = x 6 = 6 9

10 x náleºí intervalu C) x = x = 0 : ( ) x = 0 Úloha max. 4 body Vycházejme z následujících p edpoklad : Mezi d tmi, které mají k paní hospodá ce chodit po jednom, jsou malí a velcí chlapci i malá a velká d v ata. ƒast ji neº chlapci p icházejí d v ata, malé d ti chodí více neº velké. Pravd podobnost, ºe k hospodá ce p ijde dívka, je 0,6. Pravd podobnost, ºe p ijde malá dívka, je 0,4. Malí chlapci p icházejí s pravd podobností 0,. Jaká je pravd podobnost,. ºe k hospodá ce p ijde chlapec (malý nebo velký),. ºe k hospodá ce p ijde velká dívka,. ºe k hospodá ce p ijde malé dít (chlapec nebo dívka), 4. ºe k hospodá ce nep ijde malá dívka? Ke kaºdé otázce - 4 vybírejte správnou odpov z nabídky A - F. A) 0, B) 0, C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 F) 0,7 [novamaturita.cz] Ozna íme si pravd podobnosti: P, ºe hospodá ce p ijde dívka... P (D) = 0, 6 P, ºe p ijde malá dívka... P (DM) = 0, 4 P, ºe p ijde velká dívka... P (DV ) =? P, ºe hospodá ce p ijde chlapec... P (H) =? P, ºe hospodá ce p ijde malý chlapec... P (HM) = 0, P, ºe hospodá ce p ijde velký chlapec... P (HV ) =? H jako hoch. P(dívka) = 0,4 + 0, = 0,6 P(dívka malá) = 0,4 P(dívka velká) = 0, P(hoch velký) = 0, P(hoch) = 0, + 0, = 0,4 Pravd podobnost: P(hoch malý) = 0,. ºe k hospodá ce p ijde chlapec (malý nebo velký) P (H) = P (D) = 0, 6 = 0, 4 Jde o moºnost C). 0,4 + 0, + 0, + 0, = 0

11 . ºe k hospodá ce p ijde velká dívka P (DV ) = P (D) P (DM) = 0, 6 0, 4 = 0, Jde o moºnost A).. ºe k hospodá ce p ijde malé dít (chlapec nebo dívka) P (DítěM) = P (DM) + P (HM) = 0, 4 + 0, = 0, 7 Jde o moºnost F). 4. ºe k hospodá ce nep ijde malá dívka? P (DM) = P (DM) = 0, 4 = 0, 6 Jde o moºnost E). Úloha max. body Firma si ú tuje za vybavení kancelá e ºaluziemi celkem 650 K. Z dodacího listu je patrné, ºe ºaluzie byly o 954 K draº²í neº jejich instalace. Kolik procent z ú tované ástky tvo í instalace ºaluzií? A) 4 % B) 7,5 % C) 6 % D) % E) 6,5 % [novamaturita.cz] instalace ºaluzií... x K ºaluzie... x K Celkem K Sestavíme rovnice: instalace ºaluzií K ºaluzie = 80 K instalace ºaluzií tvo í: = % Jde o moºnost D). 4 Úloha 4 x + x = 650 x = 696 : x = 848 max. body Pozemek tvaru p lkruhu je t eba oplotit. Na rovnou ást plotu se pouºije 8 metr pletiva. Kolik celých metr pletiva bude nejmén pot eba na zbytek plotu po oblouku? A) 44 metr B) 48 metr C) 5 metr

12 D) 56 metr E) jiný po et [novamaturita.cz] d = 8 m r = d= 8 = 4 m o = πr my v²ak pot ebujeme oplotit pouze polovinu kruhu, takºe: o = πr = πr = π 4 =, 4 4 =. 4, 98 =. 44 m Jde o moºnost A). 5 Úloha 5 max. body Rovnoramenný trojúhelník ABC má p i základn AB úhel velikosti α = CAB = 75 délky ramen AC = BC = 0. Jakou délku má základna c = AB? A) p ibliºn 4,9 B) p ibliºn 5, C) p ibliºn 5,5 D) p ibliºn 5,8 E) jinou délku [novamaturita.cz] a

13 Trojúhelník ABC je rovnoramenný. V rovnoramenném trojúhelníku vý²ka z vrcholu C p lí základnu a je na ní samoz ejm kolmá. Trojúhelník AP C je pravoúhlý a strana AP = c. Jde o moºnost B). cos 75 = AP AC cos 75 = cos 75 = c AC c 0 cos 75 = c 0 cos 75 = c cos 75 = c c = 0 0, 588. c = 5, 8 6 Úloha 6 max. body Jaká je vý²ka nádoby tvaru pravidelného ²estibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm, kterou t i tvrtlitrové hrnky vody naplní aº po okraj? A) 7,5 cm B) 7 cm C) 5 cm D),5 cm E) jiný výsledek

14 [novamaturita.cz] Sp = 0,5 dm v =? V = t i l hrnky = 4 l = 4 4l = 0,75 l = 0,75 dm V = Sp v 0, 75 = 0, 5 v = 50v : = v v =, 5 dm v = 5 cm Jde o moºnost C). 7 Úloha 7 max. body Koule má polom r 0, m. Kolikrát v t²í je objem koule s dvojnásobným polom rem? A) dev tkrát B) osmkrát C) ²estkrát D) t ikrát E) mén neº t ikrát [novamaturita.cz] 4

15 P vodní kouli si nazvu koule : r = 0, m V = 4 πr = 4 π0, Novou kouli si nazvu koule : r = r = 0, = 0, 6 m V = 4 πr = 4 π0, 6 Kolikrát je v t²í objem koule oprotikoule? Jde o pom r: V V = 4 π0,6 4 = 0,6 π0, 0, = ( 0,) 0, = 0, 0, = = 8 Koule s dvoujnásobným polom rem má 8-krát v t²í objem. Jde o moºnost B). 8 Úloha 8 max. body Jsou dány funkce f a g: f : y = 0, 5x g : y = 0, 5x Na kterém z obrázk A - E jsou správn sestrojeny grafy obou funkcí? 5

16 [novamaturita.cz] Funkce si p epí²eme: f : y = 0, 5x g : y = 0, 5x + Aniº bychom kreslili graf, tak z p edpisu funkce je patrné, ºe: ˆ funkce f se sm je protoºe a > 0, a = 0, 5 ˆ funkce g je klesající protoºe a < 0, a = 0, 5 a na ose y musí procházet bodem, protoºe b = T mto podmínkám vyhovuje pouze varianta E) 9 Úloha 9 max. body P ímka p procházející bodem A [0; ] má sm rový vektor u = (; ). Vyberte odpovídající rovnici p ímky p. 6

17 A) x y = 0 B) y = 0 C) x y = 0 D) x + y = 0 E) x y + = 0 [novamaturita.cz] Normálový vektor ke sm rovému vektoru u = (; ) je nap íklad vektor n = (; ) (prohodím sou adnice a u jedné zm ním znaménko).. Obecná rovnice tedy musí mít tvar ax + by + c = 0 x + y + c = 0 x + y + c = 0. Dosadíme bod A [0; ] do této rovnice za x a y a vypo ítáme c:. Obecná rovnice p ímky je tedy: x + y + c = c = 0 c = x + y = 0 (mohou vyhovovat téº libovolné násobky této rovnice) Jde o moºnost D). Pozn: Mohli bychom postupovat i rychleji. Nap íklad tak, ºe v na²em p ípadn normálový vektor musí mít ob znaménka kladná i ob záporná r zná od 0 a navíc stejné hodnoty. Tomuto p edpokladu vyhovuje pouze moºnost D). 0 Úloha 0 max. body Posloupnost tvo í sedmnáct po sob jdoucích p irozených lichých ísel se azených vzestupn od nejmen²ího k nejv t²ímu. Prost ední len a 9 je íslo. O kaºdém z následujících tvrzení rozhodn te, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne).. Rozdíl mezi dv ma sousedními leny je.. a = 9. V²echny leny jsou v t²í neº Sou et ty nejmen²ích len je 40. [novamaturita.cz] Posloupnost tvo í po sob jdoucí lichá ísla se azených vzestupn. Jde o aritmetickou rostoucí posloupnost. d = (d je kladné, protoºe ísla jdou vzestupn. Je to, protoºe ísla jdou objedno - sudá jsou vynechaná) a 9 = Uvedený úkol bychom mohli e²it i tak, ºe si ísla vypí²eme. a = 7 7

18 a = 9 a = a 4 = a 5 = 5 a 6 = 7 a 7 = 9 a 8 = a 9 = a 0 = 5 a = 7 a = 9 a = a 4 = a 5 = 5 a 6 = 7 a 7 = 9 a + a + a + a 4 = = 40 A m ºeme odpov d t na tvrzení:. Rozdíl mezi dv ma sousedními leny je. NE. a = 9 ANO. V²echny leny jsou v t²í neº 5. ANO 4. Sou et ty nejmen²ích len je 40. ANO Takovéto e²ení je ale zbab lé, zkusme na to jít v decky. 0. Rozdíl mezi dv ma sousedními leny je. Rozdíl mezi dv ma sousedními leny se rovná diverenci d =. Diference je ( leny se li²í o ), proto tvrzení není pravdivé. Odpov : NE 0. a = 9 Odpov : ANO a r = a s + (r s) d a = a 9 + ( 9) d a = + a = 9 0. V²echny leny jsou v t²í neº 5. Posloupnost je rostoucí. Najdeme tedy nejmen²í len, tj. první len a. Pokud a bude v t²í jak 5, budou této podmínce vyhovovat automaticky v²echny leny. 8

19 a > 5 v²echny leny jsou v t²í neº 5. Odpov : ANO a n = a + (n ) d a 9 = a + (9 ) d = a + 8 = a + 6 a = Sou et ty nejmen²ích len je 40. s 4 =? a 4 =? s n = n (a + a n ) s 4 = 4 (7 + a 4) a n = a + (n ) d a 4 = a + (4 ) d a 4 = 7 + a 4 = a 4 = Dopo ítáme s 4 : s 4 = 4 (7 + a 4) s 4 = (7 + ) s 4 = 0 s 4 = 40 Odpov : ANO Reference [novamaturita.cz] : Home Testy a zadání Maturitní generálka 00 Matematika Didaktický test - základní úrove obtíºnosti [online]. 00 [cit ]. Ociální stránky nové maturitní zkou²ky. Dostupné z WWW: < 9