5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

Transkript

1 5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí n N : n D n 0 n = 0 f( n) = c. b) Dolní (horní) ita funkce f v bodě 0 je infimum (supremum) množiny M = { c R : c je částečná ita funkce f v bodě 0 } f() = inf M, f() = sup M. Definice 5.2 (Heineho inice ity). Mějme funkci f : D R a bod 0 R, který je hromadným bodem D. Řekneme, že funkce f má itu b R v bodě 0, jestliže pro každou posloupnost ( n ) platí n N : n D n 0 n = 0 f( n) = b Poznámka. Pro 0 R a b R platí f() = b právě tehdy, když f() = Definice 5.3 (Cauchyova inice ity). Mějme funkci f : D R a bod 0 R, který je hromadným bodem D. Řekneme, že funkce f má (vlastní) itu b R ve (vlastním) bodě 0 R, jestliže ε > 0 δ > 0 D : 0 < 0 < δ f() b < ε Dále pro b R inujme a) f() = b b) f() = b c) f() = + d) f() = + e) f() = + f) f() = g) f() = h) f() = ( ε > 0 h > 0 D : h < f() b < ε ), ( ε > 0 d < 0 D : < d f() b < ε ), ( ε > 0 δ > 0 D : 0 < 0 < δ 1/ε < f() ), ( ε > 0 h > 0 D : h < 1/ε < f() ), ( ε > 0 d < 0 D : < d 1/ε < f() ), ( ε > 0 δ > 0 D : 0 < 0 < δ f() < 1/ε ), ( ε > 0 h > 0 D : h < f() < 1/ε ), ( ε > 0 d < 0 D : < d f() < 1/ε ).

2 5. Limita funkce a spojitost strana 2/5 2018/KMA/MA1/přednášky Poznámka. Pro 0 R a b R platí ( f() = b ε > 0 δ > 0 D(f) : P ( 0, δ) f() U(b, ε) ), kde jsme pro δ > 0 a ε > 0 označili ( 0 δ; 0 ) ( 0 ; 0 + δ) pro 0 R, P ( 0, δ) = (1/δ; + ) pro 0 = +, ( ; 1/δ) pro 0 =, (b ε; b + ε) pro b R, U(b, ε) = (1/ε; + pro b = +, ; 1/ε) pro b =. Věta 5.1 (jednoznačnost ity). Každá funkce má v bodě nejvýše jednu itu. Věta 5.2 (algebra it). itu Potom platí Mějme funkce f a g, které mají stejný iniční obror D a mají v bodě 0 R f() = a R, g() = b R. a) (f() + g()) = a + b, b) (f() g()) = a b, pokud je pravá strana inována, pokud je pravá strana inována, f() c) g() = a, pokud D : g() 0 a pokud je pravá strana inována. b Věta 5.3 (o sevření). Mějme funkce f, g, h se stejným iničním oborem D a bod 0 R. Dále předpokládejme, že platí a) δ > 0 D P ( 0, δ) : f() g() h(), b) f() = h() = b R. Potom sevřená funkce g má také itu v bodě 0 a platí g() = b.

3 5. Limita funkce a spojitost strana 3/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.4. Mějme funkci f : D R a bod 0 R, který je hromadným bodem D. Řekneme, že a) funkce f má itu zprava b R v bodě 0, jestliže pro každou posloupnost ( n ) platí n N : n D n > 0 n = 0 f( n) = b f() = b nebo f( 0+) = b, + b) funkce f má itu zleva b R v bodě 0, jestliže pro každou posloupnost ( n ) platí n N : n D n < 0 n = 0 f( n) = b f() = b nebo f( 0 ) = b. Věta 5.4. Pro 0 R a b R platí f() = b právě tehdy, když f() = + Věta 5.5. Mějme dvě funkce f a g tak, že H(g) D(f) a bod 0 R takový, že platí a) g() = a R, b) y a f(y) = b R, c) f(a) = b nebo δ > 0 D(g) P ( 0, δ) : g() a. Potom f(g()) = b. Poznámka (ity některých funkcí). a) sin arcsin b) c) tg = 1, ( 1 + a sinh = 1, = 1, tgh arctg argsinh = 1, = 1, ) ( = e a a 1 + a ) = e a pro a R. = 1, e 1 = 1, argtgh = 1, = 1, ln(1 + ) = 1,

4 5. Limita funkce a spojitost strana 4/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.5. Mějme funkci f : D R, bod 0 D, který je hromadným bodem D. Řekneme, že a) funkce f je spojitá v bodě 0, pokud f() = f( 0 ), b) funkce f je spojitá zleva v bodě 0, pokud f() = f( 0), c) funkce f je spojitá zprava v bodě 0, pokud + f() = f( 0). Pokud 0 D je izolovaným bodem D, potom funkce f je spojitá v bodě 0. Poznámka. Funkce f je spojitá v bodě 0 D(f) právě tehdy, když ε > 0 δ > 0 D(f) : 0 < δ f() f( 0 ) < ε. Věta 5.6. Každá z následujících funkcí je spojitá funkce v každém bodě svého iničního oboru: a) y = n pro n Z, y = n pro n N, n 2, y = a pro a R, b) y = a a y = log a pro a > 0, a 1, c) y = sin, y = cos, y = tg, y = cotg, d) y = sinh, y = cosh, y = tgh, y = cotgh, e) y = arcsin, y = arccos, y = arctg, y = arccotg, f) y = argsinh, y = argcosh, y = argtgh, y = argcotgh. Věta 5.7. Mějme funkce f a g, které mají stejný iniční obor D a které jsou spojité v bodě 0 D. Potom jsou v bodě 0 spojité funkce f + g, f g a f g (pokud D : g() 0). Věta 5.8. Mějme funkci g, která je spojitá v bodě 0. Dále mějme funkci f, která je spojitá v bodě y 0 = g( 0 ). Potom složená funkce h = f g je spojitá v bodě 0. Definice 5.6. Mějme funkci f : D R a bod 0 R, pro který δ > 0 : P ( 0, δ) D. Bod 0 je bod nespojitosti funkce f, pokud funkce f v bodě 0 není spojitá. Dále řekneme, že a) 0 je bodem odstranitelné nespojitosti funkce f, pokud eistuje vlastní ita funkce f v bodě 0 a f() f( 0 ) ( včetně případu, kdy 0 D ), b) 0 je bodem nespojitosti I. druhu funkce f, pokud eistují vlastní jednostranné ity funkce f v 0 a f() f() ( rozdíl f() f() je tzv. skok funkce f v bodě 0 ), + + c) 0 je bodem nespojitosti II. druhu funkce f, pokud neeistuje vlastní ita zleva nebo vlastní ita zprava funkce f v bodě 0.

5 5. Limita funkce a spojitost strana 5/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.7. Mějme funkci f : D R a interval I D. Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I a patří-li levý (pravý) koncový bod tohoto intervalu do I, je v něm spojitá zprava (zleva). Věta 5.9 (Cauchyova věta). Mějme funkci f, která je spojitá na uzavřeném intervalu a; b a pro kterou platí f(a) f(b) < 0. Potom eistuje ξ (a; b) tak, že f(ξ) = 0. Věta 5.10 (Weierstrassova věta). Mějme funkci f, která je spojitá na uzavřeném intervalu. Potom funkce f je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm své nejmenší a největší funkční hodnoty. Věta 5.11 (Bolzanova věta). Mějme funkci f, která je spojitá na uzavřeném intervalu. Potom funkce f na tomto intervalu nabývá všech mezihodnot mezi svou nejmenší a největší funkční hodnotou.