8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

Transkript

1 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně v C; b) pro z = x + jy je ( ) e z = e x (cos y + j sin y); c) je e z 0; d) je e z = (e z ) 1 = e x (cos y j sin y); e) je e z 1+z 2 = e z 1.e z 2 ; f) je e z = e x = e Re z ; g) funkce je periodická s periodou 2πj, tedy e z+2kπj = e z pro celé k; h) funkce je holomorfní v C a (e z ) = e z, z C. II. Goniometrické funkce 1. Funkce sinus a kosinus jsou pro komplexní hodnoty z C definovány vztahy ( ) sin z = 1 2j ( e jz e jz), cos z = 1 ( e jz + e jz). 2 Vlastnosti funkcí sinus a kosinus: a) je sin z = ( 1) k z 2k+1, cos z = (2k + 1)! ( 1) k z 2k, z C; (2k)! b) funkce jsou holomorfní v C a (sin z) = cos z, (cos z) = sin z; 65

2 c) funkce jsou periodické s periodou 2π, tedy sin (z + 2kπ) = sin z a cos (z + 2kπ) = cos z, k Z; d) je sin (x + jy) = sin x cosh y + j cos x sinh y, cos (x + jy) = cos x cosh y j sin x sinh y; e) pro nulové body platí: sin z = 0 z = kπ, cos z = 0 z = π 2 + kπ, k Z; f) je sin 2 z + cos 2 z = Funkce tangens a kotangens jsou pro komplexní hodnoty definovány vztahy tg z = sin z cos z = ejz e jz j(e jz + e jz ) = e2jz 1 j(e 2jz + 1), z π 2 + kπ; cotg z = cos z sin z = j(ejz + e jz ) e jz e jz = j(e2jz + 1) e 2jz 1, z kπ; Vlastnosti funkcí tangens a kotangens: a) funkce jsou holomorfní na celém definičním oboru a (tg z) = 1 cos 2 z, (cotg z) = 1 sin 2 z ; b) funkce jsou periodické s periodou π, tedy tg (z + kπ) = tg z a cotg (z + kπ) = cotg z, k Z; c) tg z.cotg z = 1. III. Hyperbolické funkce 3. Funkce hyperbolický sinus a kosinus jsou pro komplexní hodnoty z C definovány vztahy ( ) sinh z = 1 2 ( e z e z), cosh z = 1 2 ( e z + e z). 66

3 Vlastnosti funkcí hyperbolický sinus a kosinus: a) je sinh z = z 2k+1 (2k + 1)!, cosh z = b) funkce jsou holomorfní v C a (sinh z) = cosh z, (cosh z) = sinh z; z 2k (2k)!, z C; c) funkce jsou periodické s periodou 2πj, tedy sinh (z + 2kπj) = sinh z a cosh (z + 2kπj) = cosh z; d) je sinh (x + jy) = sinh x cos y + jcosh x sin y, cosh (x + jy) = cosh x cos y + jsinh x sin y; e) pro nulové body platí: sinh z = 0 z = kπj, cos z = 0 z = πj 2 + kπj, k Z; f) je g) cosh 2 z sinh 2 z = 1. sin z = jsinh (jz), sin jz = jsinh z; cos z = cosh (jz), cos (jz) = cosh z. 4. Funkce hyperbolický tangens a kotangens jsou pro komplexní hodnoty definovány vztahy tgh z = sinh z cosh z = ez e z e z + e z = e2z 1 e 2z + 1, z πj 2 + kπj; cotgh z = cosh z sinh z = ez + e z e z e z = e2z + 1 e 2z 1, z kπj; Vlastnosti funkcí hyperbolický tangens a kotangens: 67

4 a) funkce jsou holomorfní na celém definičním oboru a (tgh z) = 1 cosh 2 z, (cotg z) = 1 sinh 2 z ; b) funkce jsou periodické s periodou πj, tedy tgh (z + kπj) = tgh z a cotgh (z + kπj) = cotgh z; c) tgh z.cotgh z = Inverzní funkce Definice: Je-li f : G C prostá funkce, pak funkci f 1, která je definována předpisem w = f 1 (z) z = f(w), z Hf, w Df, nazýváme inverzní funkcí k funkci f. Věta. Pro funkci a funkci inverzní platí: Df = Hf 1, Hf = Df 1, (f 1 ) 1 = f, f(f 1 (z)) = z, z Hf, f 1 (f(z)) = z, z Df. Mnohoznačné funkce V případě funkcí komplexní proměnné uvažujeme zobecnění inverzní funkce i pro případy, kdy funkce f není prostá. Pak má rovnice w = f(z) jako řešení vzor f 1 (w) = {z; w = f(z), z Df}, který je množinou několika hodnot. Takové přiřazení považujeme také za funkci, kterou nazýváme mnohoznačnou funkcí. Definice: Je-li f : G C komplexní funkcí, pak inverzní funkcí k funkci f nazýváme funkci f 1, která je definovaná předpisem f 1 (z) = {w; z = f(w), w Df, z Hf}. V případě, že f 1 (z) obsahuje více hodnot, mluvíme o mnohoznačné funkci. Pokud provedeme v množině f 1 (z) výběr jediné hodnoty, dostaneme jednoznačnou funkci, kterou nazýváme jednoznačnou větví mnohoznačné funkce f 1. 68

5 Poznámka: Mnohoznačnou funkci a její jednoznačné větve označujeme stejným symbolem. Rozlišujeme je tak, že u mnohoznačné funkce je první písmeno velké a u jednoznačné větve malé. Např. Arg, arg, arg α. IV. Odmocnina Je-li z = z (cos ϕ+j sin ϕ) komplexní číslo zapsané v goniometrickém tvaru, pak rovnice ( ( ) ( )) ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ z = w n w = z n cos + j sin n n má n různých řešní pro 0 k n 1. Tato řešení jsou hodnotami n značné funkce, která je inverzní k funkci z = w n. Nazýváme ji n-tou odmocninou a značíme ji w = n z. Pro z = 0 je n 0 = 0 a odmocnina má jedinou hodnotu. Věta. O derivaci inverzní funkce. Je-li f : G C prostá a holomorfní funkce v oblasti G, kde f (z) 0, pak je inverzní funkce v oblasti f 1 (G) holomorfní a a tedy (f 1 (w)) = 1 f, w = f(z), z G. (z) Příklad. Pro z 0 je (z n ) = nz n 1 0. Je w = z n z = n w ( n w) = 1 nz n 1 = 1 nw n 1 n = 1 n w 1 n 1. V. Logaritmus je definován jako inverzní funkce k exponenciální funkci. Protože je vždy e z 0, pak definujeme logaritmickou funkci předpisem ( ) w = Ln z z = e w, z 0. Vzorec pro hodnotu logaritmu Pro z 0 je logaritmus mnohoznačnou funkcí a Ln z = ln z + jarg z = ln z + j(arg z + 2kπ), k Z. 69

6 Funkci ln z = ln z + jarg z nazýváme hlavní hodnotou logaritmu. Jednoznačné větve logaritmu ln α z = ln z + jarg α z jsou holomorfní funkce v oblasti {z; z 0, α π < arg z < α + π} a je: (ln α z) = 1 (e w ) = 1 e w = 1 z. VI. Cyklometrické funkce dostaneme jako inverzní funkce ke goniometrickým funkcím. Odvodíme si jejich vyjádření jako množinu řešení odpovídajících rovnic, ale nebudeme hledat, kde mají jednoznačné větve. Vzorce pro derivace jsou shodné s jejich vyjádřením v případě reálné proměnné. 5. Funkce arkussinus je inverzní k funkci sinus a platí: w = Arcsin z z = sin w. w = Arcsin z = jln (jz ± ) 1 z 2, z C. 6. Funkce arkuskosinus je inverzní k funkci kosinus a platí: w = Arccos z z = cos w. ( w = Arccos z = jln z ± ) z 2 1, z C. 7. Funkce arkustangens je inverzní k funkci tangens a platí: w = Arctg z z = tg w. 70

7 w = Arctg z = j 2 Ln j + z j z, z ±j. 8. Funkce arkuskotangens je inverzní k funkci kotangens a platí: w = Arccotg z z = cotg w. w = Arccotg z = j 2 Ln z j z + j, z ±j. VII. Hyperbolometrické funkce dostaneme jako inverzní funkce k hyperbolickým funkcím. Odvodíme si jejich vyjádření jako množinu řešení odpovídajících rovnic, ale nebudeme hledat, kde mají jednoznačné větve. Vzorce pro derivace jsou shodné s jejich vyjádřením v případě reálné proměnné. 9. Funkce argument hyperbolického sinu je inverzní k funkci hyperbolický sinus a platí: w = Argsinh z z = sinh w. w = Argsinh z = Ln (z ± ) 1 + z 2, z C. 10. Funkce argument hyperbolického kosinu je inverzní k funkci hyperbolický kosinus a platí: w = Argcosh z z = cosh w. ( w = Argcosh z = Ln z ± ) z 2 1, z C. 11. Funkce argument hyperbolické tangenty je inverzní k funkci hyperbolický tangens a platí: w = Argtgh z z = tgh w. 71

8 w = Argtgh z = 1 2 Ln 1 + z 1 z, z ± Funkce argument hyperbolické kotangenty je inverzní k funkci hyperbolický kotangens a platí: w = Argcotgh z z = cotgh w. w = Argcotgh z = 1 2 Ln z + 1 z 1, z ±1. 72