B-Stromy. Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol.
|
|
|
- Jarmila Ševčíková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 B-Stromy Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol., 2018 Datové struktury a algoritmy, B6B36DSA 01/2018, Lekce 11 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 1/70
2 Opakování: skončili jsme AVL stromy B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 2/70
3 Obsah Červeno-černé stromy (Red-Black trees RB) Insert Delete B-stromy (B-Trees) Motivace Search Insert Delete Založeno na: [Cormen, Leiserson, Rivest: Introduction to Algorithms, Chapter 14 and 19, McGraw Hill, 1990] [Whitney: CS660 Combinatorial Algorithms, San Diego State University, 1996] [Frederic Maire: An Introduction to Btrees, Queensland University of Technology,1998] B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 3/70
4 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 4/70
5 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 5/70
6 Vlastnosti červeno-černých stromů Jedná se o přibližně vyvážené BVS platí: h RB 2x h BVS (výška 2x výška perfektně vyváženého stromu) Každý uzel obsahuje navíc bit pro barvu {red black} Listy jsou doplněny odkazem na (neexistující potomek) = ukazatelem na - listy se stanou vnitřními uzly. 1 1 leaf inner node B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 6/70
7 Černá výška v červeno-černých stromech Kořen RB-stromu je černý. Každá větev je zakončena (černým) uzlem. Černá výška uzlu x (black-height) se značí bh(x) a je definována jako počet černých uzlů na libovolné cestě z x do listu (x se nepočítá). Pozn.: Všechny cesty jsou stejně dlouhé. Totéž platí pro kořen. Černá výška má rozsah od h/2 (kde h je výška stromu), jestliže polovina uzlů je červených do h, pokud jsou všechny uzly černé. Výška h(x) stromu s kořenem v x je maximálně dvakrát větší, než výška optimálně vyváženého stromu. h 2lg(n+1). h (lg(n)) bh(x)je v rozsahu od lg(n+1) do 2lg(n+1) B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 7/70
8 Příklad černé výšky černá výška black height bh(x) 1 5 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 8/70
9 Transformace BVS na RB-strom 4 8 black height bh(t) = B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 9/70
10 Transformace BVS na RB-strom 3 8 black height bh(t) = B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 10/70
11 Transformace BVS na RB-strom 3 8 black height bh(t) = B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 11/70
12 Transformace BVS na RB-strom 2 8 black height bh(t) = B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 12/70
13 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 13/70
14 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 14/70
15 Operace INSERT pro RB-stromy 1) Nový uzel bude červený. 2) Vložíme uzel do stromu jako do standardního BVS. 3) Jestliže je předek černý, jsme hotovi strom je Červeno- Černý. x x x 4) Jestliže nikoliv, mohou nastat 3 následující případy. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 15/70
16 Poruchy při vkládání Pokud je vrchol t červený a jeho otec je také červený, pak řekneme, že vložením t nastala porucha. Pokud nastala porucha, pak ji musíme nějak opravit. Situace je na obrázku - nejprve záleží na tom, jakou barvu má s, strýc t: d! o s t B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 16/70
17 Poruchy při vkládání (2) 1. s je červený. Pak pouze přebarvíme o, d a s podle obrázku. Nyní d může být porucha, ovšem posunutá o 2 hladiny výše. d d! o s o s t t Pro splnění poslední podmínky je ještě nutné přebarvit kořen (d) na černo. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 17/70
18 Poruchy při vkládání (3) 2. s je černý. Pak záleží na tom, zda hodnota t leží mezi hodnotami o a d nebo ne. Jinými slovy, zda cesta t-o-d obsahuje zatáčku. (a) Bez zatáčky: Provedeme rotaci a přebarvíme podle obrázku. Splněny budou podmínky 1, 2 i 3, tedy máme červeno-černý strom: d o! o s C t A d t s A B B C B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 18/70
19 Poruchy při vkládání (4) (b) Se zatáčkou. Provedeme dvojitou (LR) rotaci a přebarvíme podle obrázku. Splněny budou podmínky 1, 2 i 3, opět máme rovnou červeno-černý strom. d t A 1 o! t 2 s D o d s A B C D B C B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 19/70
20 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 20/70
21 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 21/70
22 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 22/70
23 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 23/70
24 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 24/70
25 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 25/70
26 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 26/70
27 Vkládání (Insert) v RB-stromech Časová složitost je O(log(n)). Vyžaduje maximálně dvě rotace. DEMO: (Intuitivní, dobré pro porozumění) B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 27/70
28 Operace DELETE pro RB-stromy Zatímco INSERT se příliš nelišil od své obdoby u AVL stromů, operace DELETE u červeno-černých stromů je oproti AVL stromům složitější mentálně, ovšem jednodušší časově. Situace: odstraňujeme vrchol t a jeho syna, který je list. Druhého syna t, u, dáme na místo smazaného t a začerníme ho. Tím máme splněny podmínky 1 a 2. Pokud byl ale t černý, chybí nám na cestách procházejících nyní u jeden černý vrchol. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 28/70
29 Poruchy při mazání Situace: máme červeno-černý strom, u je porucha s otcem o, bratrem b a synovci s1, s2, viz obrázek. o u b s1 s2 Oprava záleží na barvě bratra (b): B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 29/70
30 Poruchy při mazání (2) 1. Bratr je černý. Rozlišujeme dále 4 případy, z nichž jeden způsobí poruchu o hladinu výše a ostatní skončí s červenočerným stromem. (a) Otec i synovci jsou černí. Přebarvíme b na červeno, viz obrázek, a tady porucha je o hladinu výše provedli jsme tedy jakousi částečnou opravu. o o u b u b s1 s2 s1 s2 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 30/70
31 Poruchy při mazání (3) (b) Otec je červený, synovci černí. Přebarvíme otce a bratra podle obrázku a dostáváme červeno-černý strom. o o u b u b s1 s2 s1 s2 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 31/70
32 Poruchy při mazání (4) (c) Synovec s1, jehož hodnota leží mezi hodnotami otce a bratra, je černý, druhý synovec je červený. Přebarvíme a rotujeme podle obrázku, barva otce se nemění (tj., vrchol b bude mít barvu, kterou původně měl vrchol o). Dostáváme červenočerný strom. o b u A s1 b s2 u o s1 s2 C B C A B B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 32/70
33 Poruchy při mazání (5) (d) Synovec s1, jehož hodnota leží mezi hodnotami otce a bratra, je červený, druhý synovec má libovolnou barvu. Přebarvíme a RL rotací upravíme podle obrázku (tj. vrchol s1 bude mít barvu, kterou měl původně vrchol o a barva vrcholu s2 se nezmění). Dostáváme červeno-černý strom. o u 2 b s1 A o b s1 1 s2 D u s2 B C A B C D B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 33/70
34 Poruchy při mazání (6) 2. Bratr je červený. Přebarvíme a rotujeme podle obrázku. Dostáváme červeno-černý strom s poruchou, přičemž porucha je o hladinu níže. I když to tak na první pohled nevypadá, máme vyhráno, protože bratr poruchy je černý a otec červený, tedy příští oprava bude případ 1b, 1c, nebo 1d a skončíme s červeno-černým stromem. o b u A s1 b s2 u o s1 s2 C B C A B B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 34/70
35 Mazání v RB-stromě Časová složitost je O(log(n)). Jsou zapotřebí maximálně tři rotace. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 35/70
36 Důkaz výšky RB-stromu Věta: RB-strom s n interními uzly má výšku h nejvýše 2lg(n+1). Důkaz: Ukažme, že podstrom s kořenem v x obsahuje nejméně 2 bh(x) -1 interních uzlů. Indukcí dle výšky podstromu s kořenem v x: Pokud je x list, pak bh(x) = 0, 2 bh(x) -1 = 0 interních uzlů (uzel ). Předpokládejme, že výška x je h, potomci x mají výšku h -1: černá výška potomků x je buď bh(x)-1 nebo bh(x) (podle barvy), indukční předpoklad je, že potomci x mají nejméně (2 bh(x) -1)-1 interních uzlů, pak podstrom s kořenem v x obsahuje nejméně: 2 bh(x) bh(x) = 2 bh(x) - 1 interních uzlů. Nechť h je výška stromu, který rotujeme v x: bh(x) h / 2 (max ½ je červených), pak n 2h/2-1 <=> n + 1 2h/2 <=> lg(n+1) h / 2 a h 2lg(n+1). B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 36/70
37 Zhodnocení pro RB-stromy Pro binární vyhledávací červeno-černé stromy lze implementovat SEARCH, INSERT a DELETE tak, že vyžadují čas O(log n) a INSERT používá nejvýše jednu (dvojitou) rotaci a DELETE používá nejvýše dvě rotace nebo rotaci a dvojitou rotaci. RB-stromy jsou lepší než AVL stromy, které pro DELETE potřebují až log n rotací. Oproti váhově vyváženým stromům i proti AVL stromům jsou červeno-černé stromy sice jen konstantně lepší, ale i to je dobré. Při použití binárních vyhledávacích stromů ve výpočetní geometrii nese informaci i rozložení prvků ve stromě, a tato informace se musí po provedení rotace nebo dvojité rotace aktualizovat. To znamená prohledání celého stromu a tedy čas O(n) za každou rotaci a dvojitou rotaci navíc. Pro tyto problémy jsou červeno-černé stromy obzvláště vhodné, protože minimalizují počet použitých rotací a dvojitých rotací. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 37/70
38 B-stromy (B-trees) 1. Motivace 2. Více-cestné vyhledávací stromy (multiway search trees) 3. Definice B-stromu 4. Search 5. Insert 6. Delete B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 38/70
39 Motivace pro B-stromy Velká data se nevejdou do operační paměti -> používáme disky (vnější paměti s přímým přístupem). Čas přístupu na disk je určen HW a OS. Přístup na disk je MNOHEM pomalejší, v porovnání s přístupem do operační paměti: 1 diskový přístup ~ instrukcí!!!! Počet diskových operací dominuje v odhadu časové náročnosti. Přístup na disk = Disk-Read, Disk-Write DISK : 16 ms Seek 8ms + rotational delay 7200rpm 8ms Instruction: 800 MHz 1,25ns Disk je rozdělen do bloků (512, 2048, 4096, 8192 bytes), které se přenášejí jako celek. Proto se může hodit návrh více-cestných vyhledávacích stromů (multiway search trees), kde každý uzel stromu pasuje do jednoho bloku na disku. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 39/70
40 Více-cestné vyhledávací stromy Zobecnění binárních vyhledávacích stromů, kde počet následníků byl m=2. Každý uzel více-cestného stromu má nejvýše m potomků (m>2). Interní uzly obsahující n klíčů mají n+1 následníků, n < m (výjimkou může být kořen stromu). Listy nemají následníky. Strom je uspořádán. Klíče v uzlech vymezují intervaly v podstromech - viz obrázek: B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 40/70
41 Listy více-cestného vyhledávacího stromu Listy více-cestného vyhledávacího stromu nemají žádné následníky a neobsahují žádné ukazatele na podstromy. Obvykle obsahují vlastní hodnoty. Platí: k 1 <k 2 < < k 5 Frederic Maire, QUT B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 41/70
42 B-stromy (B-trees) B-strom je více-cestný vyhledávací strom stupně m, který splňuje další podmínky: Všechny listy mají stejnou výšku (B-strom je vyvážený - vybalancovaný). Pro všechny interní uzly platí: mají nejméně m/2 neprázdných potomků (precizně později) a mají nejvýše m neprázdných potomků. Kořen může mít 0 nebo 2 až m potomků: 0 m - list - tzv. plný uzel (full node) B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 42/70
43 Příklad B-stromu 999 klíčů 1 uzel má 999 klíčů 1000 následníků uzlů má klíčů 1000 následníků uzlů má klíčů B-strom stupně m=1000 výšky 2 obsahuje uzlů ( ) klíčů ~ 1 miliarda klíčů B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 43/70
44 Obsah uzlů B-stromu n počet klíčů k i uložených v uzlu. Uzel, kde n = m-1 se nazývá plný uzel (full-node). k i n klíčů, uložených v neklesajícím pořadí k 1 k 2 k n list booleovská hodnota, true pro list, false pro ostatní. c i n+1 ukazatelů na následníky (nedefinováno pro listy). Pro klíče k i v podstromech platí: keys 1 k 1 keys 2 k 2 k n keys n+1 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 44/70
45 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 45/70
46 B-strom Stupeň 5 (5-ární strom) Minimální stupeň t = 3 Based on [Cormen] and [Maire] B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 46/70
47 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 47/70
48 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 48/70
49 Operace s B-stromy Search Insert Delete B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 49/70
50 Obdobné hledání v BVS. Hledání v B-stromech V rámci uzlů se hledá sekvenčně, nebo binárně. Vstup: ukazatel na kořen stromu a klíč k Výstup: uspořádaná dvojice (y, i), kde y je uzel a i je index v rámci uzlu takový, že y.k[i] = k nebo hodnota NIL, pokud klíč k nebyl nalezen. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 50/70
51 Příklad hledání v B-stromu Hledej Hledej x not found => return NIL 18 found => return (x, 3) B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 51/70
52 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 52/70
53 Operační složitost hledání v B-stromu Počet čtení z disku: O(h) = O(log m n) kde h je výška stromu a m je stupeň stromu a n je počet uzlů stromu. Protože počet klíčů je x.n < m, celá smyčka má horní odhad O(m) a celková časová složitost je O(m log m n). B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 53/70
54 B-stromy: insert - 1.vícefázová strategie Insert do uzlu, který není zcela naplněn (not full node) Insert n=1, i=1,2 n=3, i=1,2,3 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 54/70
55 B-stromy: insert - 1.vícefázová strategie Insert do plného uzlu Insert 25 Dělení uzlu (node split) Propaguj medián nahoru median 1.Vícefázová strategie: řeš problém, až když se vyskytne B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 55/70
56 B-stromy: insert - 1.vícefázová strategie Insert (x, T) - pseudokód Najdi list pro x Fáze top-down Pokud uzel není plný, insert x a konec while (je aktuální uzel plný) (node overflow) najdi medián (z klíčů po vložení x) rozděl uzel (split node) do dvou uzlů propaguj medián směrem nahoru Fáze bottom-up aktuální uzel = rodič aktuálního uzlu B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 56/70
57 B-stromy: insert - 2.jednofázová strategie Princip: ignoruj budoucí problémy Rozděl při vstupu naplněný uzel. Pouze fáze top-down Tím si vytvoříš prostor pro budoucí medián z potomků. Fáze bottom-up není zapotřebí. Rozdělení (splitting of): kořen => strom naroste o úroveň, vnitřní uzel nebo list => rodič obdrží klíč, který je medián B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 57/70
58 B-stromy: insert - 2.jednofázová strategie Insert B Insert do nenaplněného uzlu (not full) G M P X A C D E J K N O R S T U V Y Z G M P X A B C D E J K N O R S T U V Y Z B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 58/70
59 B-stromy: insert - 2.jednofázová strategie Přeskok Insert full Q node a vložení do not full G M P X A B C D E J K N O R S T U V Y Z Rozděl RSTUV G M P T X Insert Q do RS A B C D E J K N O R S U V Y Z G M P T X A B C D E J K N O Q R S U V Y Z B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 59/70
60 B-stromy: insert - 2.jednofázová strategie Ignorování full node a vložení do not full uzlu Insert L G M P T X rozděl GMPTX výška vzroste o 1 A B C D E J K N O Q R S U V Y Z P Insert L do JK G M T X A B C D E J K N O Q R S U V Y Z P G M T X A B C D E J K L N O Q R S U V Y Z B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 60/70
61 B-stromy: insert - 2.jednofázová strategie Insert F P Rozděl ABCDE G M T X A B C D E J K L N O Q R S U V Y Z P Insert F do DE C G M T X A B D E J K L N O Q R S U V Y Z P C G M T X A B D E F J K L N O Q R S U V Y Z B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 61/70
62 B-stromy: insert - 2.jednofázová strategie Insert (x, T) - pseudokód While hledej listy x Top down phase only if (je uzel plný) najdi medián (mezi klíči naplněného uzlu) rozděl (split) uzel na dva vlož (insert) medián do rodiče (parent). Insert x a zastav. B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 62/70
63 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 63/70
64 B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 64/70
65 Strategie pro úpravy B-stromu (update) Dvě principiální strategie 1. Více-fázová strategie: řeš problém, až když se vyskytne 2. Více-fázová strategie: [Cormen] neřeš budoucí problémy Akce: Rozděl plné uzly Sluč uzly, které mají minimální obsah (méně než minimum položek). B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 65/70
66 Delete pro B-stromy Delete (x, btree) - principy Pouze více-fázová strategie Najdi (search) hodnotu, která se má zrušit. Pokud se jedná o jednoduchý uzel, pak jednoduše zruš uzel, jinak použij algoritmus zrušentry pro listy stromu a jednoduše uzel zruš (corrections of number of elements later). Pokud se jedná o vnitřní uzel, pak: Slouží jako separátor pro dva podstromy. Prohodí se buňky pomocí swap s predecessor(x) nebo successor(x) a Zruší se kořen (leaf). Pokud má list více než minimální počet položek: Jinak: Zruš x z listu a STOP. redistribuj hodnoty na správné místo (to může posunout problém do rodiče, zastaví se to v kořeni, protože nemá omezené minimum položek). B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 66/70
67 Delete (x, btree) - pseudokód B-tree delete Pouze více-průchodů if(x to be removed is not in a leaf) swap it with successor(x) currentnode = leaf while(currentnode underflow) try to redistribute entries from an immediate sibling into currentnode via its parent if(impossible) then merge currentnode with a sibling and one entry from the parent currentnode = parrent of CurrentNode B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 67/70
68 Maximální výška B-stromu h log ((N+1)/2) m / 2 Dává horní hranici přístupů na disk. Viz [Maire] nebo [Cormen] podropbnosti B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 68/70
69 References [Cormen] Cormen, Leiserson, Rivest: Introduction to Algorithms, Chapter 14 and 19, McGraw Hill, 1990 [Whitney]: CS660 Combinatorial Algorithms, San Diego State University, 1996], RedBlack, B-trees ml#rtftoc5 [Wiki] B-tree. (2006, November 24). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 20:25, December 12, 2006, from [Maire] Frederic Maire: An Introduction to Btrees, Queensland University of Technology,1998] [RB tree] John Franco - java applet [Jones] Jeremy Jones: B-Tree animation - java applet B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 69/70
70 The End B6B36DSA, 2018, Lekce 11, 70/70
Binární Vyhledávací Stromy, u kterých je. složitost operací v nejhorším. rovná O(log n)
Stromy Binární Vyhledávací Stromy, u kterých je č asová složitost operací v nejhorším případě rovná O(log n) Vlastnosti Red-Black Stromů Vlastnosti Red-Black stromů Každý uzel stromu je obarven červenou
Základní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
Stromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
AVL stromy. pro každý uzel u stromu platí, že rozdíl mezi výškou jeho levého a pravého podstromu je nejvýše 1 stromy jsou samovyvažující
Stromy 2 AVL AVL stromy jména tvůrců stromů: dva Rusové Adelson-Velskii, Landis vyvážené binární stromy pro každý uzel u stromu platí, že rozdíl mezi výškou jeho levého a pravého podstromu je nejvýše 1
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce)
13. Metody vyhledávání. Adresní vyhledávání (přímý přístup, zřetězené a otevřené rozptylování, rozptylovací funkce). Asociativní vyhledávání (sekvenční, binárním půlením, interpolační, binární vyhledávací
Algoritmy výpočetní geometrie
Algoritmy výpočetní geometrie prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
Radek Mařík
2012-03-20 Radek Mařík 1. Pravá rotace v uzlu U a) v podstromu s kořenem U přemístí pravého syna U.R uzlu U do kořene. Přitom se uzel U stane levým synem uzlu U.R a levý podstrom uzlu U.R se stane pravým
Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620
Binární vyhledávací strom pomocí směrníků Miroslav Hostaša L06620 1. Vymezení pojmů Strom: Strom je takové uspořádání prvků - vrcholů, ve kterém lze rozeznat předchůdce - rodiče a následovníky - syny.
Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom
Vyvažování a rotace v BVS, všude se předpokládá AVL strom 1. Jednoduchá levá rotace v uzlu u má operační složitost a) závislou na výšce levého podstromu uzlu u b) mezi O(1) a Θ(n) c) závislou na hloubce
Programování 3. hodina. RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015
Programování 3. hodina RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015 Umíme z minulé hodiny Implementace zásobníku a fronty pomocí
Pokročilé haldy. prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010
Pokročilé haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (I-EFA) ZS 2010/11,
ADT STROM Lukáš Foldýna
ADT STROM Lukáš Foldýna 26. 05. 2006 Stromy mají široké uplatnění jako datové struktury pro různé algoritmy. Jsou to matematické abstrakce množin, kterou v běžném životě používáme velice často. Příkladem
Dynamické datové struktury III.
Dynamické datové struktury III. Halda. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra aplikované
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n
Reprezentace aritmetického výrazu - binární strom reprezentující aritmetický výraz
Reprezentace aritmetického výrazu - binární strom reprezentující aritmetický výraz (2 + 5) * (13-4) * + - 2 5 13 4 - listy stromu obsahují operandy (čísla) - vnitřní uzly obsahují operátory (znaménka)
Stromy. Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol.
Stromy Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol., 2018, B6B36DSA 01/2018, Lekce 9 https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/b6b36dsa/start
Binární vyhledávací stromy
Binární vyhledávací stromy Definice: Binární vyhledávací strom (po domácku BVS) je buďto prázdná množina nebo kořen obsahující jednu hodnotu a mající dva podstromy (levý a pravý), což jsou opět BVS, ovšem
TGH07 - Chytré stromové datové struktury
TGH07 - Chytré stromové datové struktury Jan Březina Technical University of Liberec 5. dubna 2017 Prioritní fronta Datová struktura s operacemi: Odeber Minum (AccessMin, DeleteMin) - vrat prvek s minimálním
TGH07 - Chytré stromové datové struktury
TGH07 - Chytré stromové datové struktury Jan Březina Technical University of Liberec 1. dubna 2014 Prioritní fronta Datová struktura s operacemi: Odeber Minum (AccessMin, DeleteMin) - vrat prvek s minimálním
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 20. září 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší
Red Black strom (Red Black Tree) Úvod do programování. Rotace. Red Black strom. Rotace. Rotace
Úvod do programování Michal Krátký 1,Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Úvod do programování, 2004/2005 Red Black strom je binární strom s jedním dvouhodnotovým příznakem
Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy (binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost
Amortizovaná složitost. Prioritní fronty, haldy binární, d- regulární, binomiální, Fibonacciho), operace nad nimi a jejich složitost 1. Asymptotické odhady Asymptotická složitost je deklarována na základě
Pokročilá algoritmizace amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika
amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2009 Amortizovaná složitost Asymptotická složitost často dostatečně nevypovídá o složitosti algoritmů,
k-dimenzionálním prostoru. problém: Zkonstruovat strom, který rozděluje prostor polorovinami
kd-stromy (kd-trees) k čemu to je: ukládání vícerozměrných dat (k-dimenzionální data) vstup: Množina bodů (nebo složitějších geometrických objektů) v k-dimenzionálním prostoru. problém: Zkonstruovat strom,
BINARY SEARCH TREE
---------------------------------------- BINARY SEARCH TREE --------------------------------------------------- Je dán BVS s n uzly. Máme za úkol spočítat hodnotu součtu všech klíčů v tomto stromě. Když
Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana. Obsah. Strom
8 Podklady ředmětu ro akademický rok 2013/2014 Radim Farana Obsah 2 Dynamické datové struktury. Strom. Binární stromy. Vyhledávací stromy. Vyvážené stromy. AVL stromy. Strom 3 Název z analogie se stromy.
Algoritmy a datové struktury
Algoritmy a datové struktury Stromy 1 / 32 Obsah přednášky Pole a seznamy Stromy Procházení stromů Binární stromy Procházení BS Binární vyhledávací stromy 2 / 32 Pole Hledání v poli metodou půlení intervalu
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 19. září 2017 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší
Stromy. Jan Hnilica Počítačové modelování 14
Stromy Jan Hnilica Počítačové modelování 14 1 Základní pojmy strom = dynamická datová struktura, složená z vrcholů (uzlů, prvků) propojených hranami hrany chápeme jako orientované, tzn. vedou z uzlu A
Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy
Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný
Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39
Základy algoritmizace Michal Krátký 1, Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Základy algoritmizace, 2006/2007 Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
, strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ
Dynamické programování. Optimální binární vyhledávací strom
The complexity of different algorithms varies: O(n), Ω(n ), Θ(n log (n)), Dynamické programování Optimální binární vyhledávací strom Různé algoritmy mají různou složitost: O(n), Ω(n ), Θ(n log (n)), The
Základy algoritmizace c2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský 1/57
Základy algoritmizace Michal Krátký 1, Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Základy algoritmizace, 2006/2007 Základy algoritmizace c2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský 1/57
Dynamické datové struktury IV.
Dynamické datové struktury IV. Prioritní fronta. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra
Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy
Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří
Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 21. září 2018 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 242 / 433 Osnova přednášky
BINARY SEARCH TREE
Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný
Kapitola 11: Indexování a hešování. Základní představa
- 11.1 - Kapitola 11: Indexování a hešování Základní představa Řazené indexy (ordered indices) B+-strom indexový soubor B-strom indexový soubor Hešování Porovnání řazených indexů a hešování Definice indexů
Složitosti základních operací B + stromu
Složitosti základních operací B + stromu Radim Bača VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra informatiky ŠKOMAM 2010-1- 28/1/2010 Složitosti základních operací B +
IB108 Sada 1, Příklad 1 Vypracovali: Tomáš Krajča (255676), Martin Milata (256615)
IB108 Sada 1, Příklad 1 ( ) Složitost třídícího algoritmu 1/-Sort je v O n log O (n.71 ). Necht n = j i (velikost pole, které je vstupním parametrem funkce 1/-Sort). Lehce spočítáme, že velikost pole předávaná
vyhledávací stromové struktury
vyhledávací algoritmy Brute Force Binary Search Interpolation Search indexové soubory Dense index, Sparse index transformační funkce Perfect Hash, Close Hash Table, Open Hash Table vyhledávací stromové
Stromy. Jan Kybic.
Stromy Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 1 / 44 Stromy Binární vyhledávací stromy Množiny a mapy 2 / 44 Strom (Tree) Strom skládá se s uzlů (nodes) spojených hranami (edges).
Vyhledávací stromy. Slouží jako pomůcka pro organizaci dat umožňující efektivní vyhledávání.
Vyhledávací stromy Slouží jako pomůcka pro organizaci dat umožňující efektivní vyhledávání. Vytvářejí se vždy nad již existující datovou strukturou (zpravidla tabulkou). Vyhledávací stromy můžeme rozdělit
bin arn ı vyhled av an ı a bst Karel Hor ak, Petr Ryˇsav y 23. bˇrezna 2016 Katedra poˇ c ıtaˇ c u, FEL, ˇ CVUT
binární vyhledávání a bst Karel Horák, Petr Ryšavý 23. března 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT Příklad 1 Naimplementujte binární vyhledávání. Upravte metodu BinarySearch::binarySearch. 1 Příklad 2 Mysĺım
Datové struktury Úvod
Datové struktury Úvod Navrhněte co nejjednodušší datovou strukturu, která podporuje následující operace: 1. Insert a Delete v O(n), Search v O(log n); Datové struktury Úvod Navrhněte co nejjednodušší datovou
Datový typ prioritní fronta Semestrální práce z předmětu 36PT
Datový typ prioritní fronta Semestrální práce z předmětu 36PT Martin Tůma Cvičení 113, Út 18:00 22. května 2004 Specifikace problému Často potřebujeme přístup k informacím, tak aby tyto byly seřazeny podle
Základy řazení. Karel Richta a kol.
Základy řazení Karel Richta a kol. Přednášky byly připraveny s pomocí materiálů, které vyrobili Marko Berezovský, Petr Felkel, Josef Kolář, Michal Píše a Pavel Tvrdík Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická
autoři: Rudolf Bayer, Ed McCreight všechny vnější uzly (listy) mají stejnou hloubku ADS (abstraktní datové struktury)
definice ( tree) autoři: Rudolf Bayer, Ed McCreight vyvážený strom řádu m ( ) každý uzel nejméně a nejvýše m potomků s výjimkou kořene každý vnitřní uzel obsahuje o méně klíčů než je počet potomků (ukazatelů)
5 Rekurze a zásobník. Rekurzivní volání metody
5 Rekurze a zásobník Při volání metody z metody main() se do zásobníku uloží aktivační záznam obsahující - parametry - návratovou adresu, tedy adresu, kde bude program pokračovat v metodě main () po skončení
Dynamicky vázané metody. Pozdní vazba, virtuální metody
Dynamicky vázané metody Pozdní vazba, virtuální metody Motivace... class TBod protected: float x,y; public: int vrat_pocet_bodu() return 1; ; od třídy TBod odvodíme: class TUsecka: public TBod protected:
V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2
Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných
TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS
TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS Číslo otázky : 13. Otázka : Základní datové struktury (pole, zásobník, binární strom atd.), datové struktury vhodné pro fyzickou implementaci relačních dat v SŘBD (hašovací
2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky
Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky 25 Pole Datová struktura kolekce elementů (hodnot či proměnných), identifikovaných jedním nebo více indexy, ze kterých
Jarníkův algoritmus. Obsah. Popis
1 z 6 28/05/2015 11:44 Jarníkův algoritmus Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Jarníkův algoritmus (v zahraničí známý jako Primův algoritmus) je v teorii grafů algoritmus hledající minimální kostru ohodnoceného
Časová a prostorová složitost algoritmů
.. Časová a prostorová složitost algoritmů Programovací techniky doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Hodnocení algoritmů Programovací techniky Časová a prostorová
SQL tříhodnotová logika
SQL tříhodnotová logika Jmeno Prijmeni Student Jaroslav Novák true Josef Novotný false Jiří Brabenec SELECT * FROM OSOBA WHERE Student!= true Jaký bude výsledek? SQL tříhodnotová logika Jmeno Prijmeni
3 Algoritmy řazení. prvku a 1 je rovněž seřazená.
Specifikace problému řazení (třídění): A... neprázdná množina prvků Posl(A)... množina všech posloupností prvků z A ... prvky množiny Posl(A) q... délka posloupnosti Posl(A), přičemž Delka()
Prioritní fronta, halda
Prioritní fronta, halda Priority queue, heap Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2018 1 / 26 Prioritní fronta Halda Heap sort 2 / 26 Prioritní fronta (priority queue) Podporuje
5. Vyhledávání a řazení 1
Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 5 1 Základy algoritmizace 5. Vyhledávání a řazení 1 doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze
IB111 Úvod do programování skrze Python
Vyhledávání, řazení, složitost IB111 Úvod do programování skrze Python 2012 Otrávené studny 8 studen, jedna z nich je otrávená laboratorní rozbor dokáže rozpoznat přítomnost jedu ve vodě je drahý (je časově
Algoritmy na ohodnoceném grafu
Algoritmy na ohodnoceném grafu Dvě základní optimalizační úlohy: Jak najít nejkratší cestu mezi dvěma vrcholy? Dijkstrův algoritmus s t Jak najít minimální kostru grafu? Jarníkův a Kruskalův algoritmus
ADT prioritní fronta. Haldy. Další operace nad haldou. Binární halda. Binomické stromy. Časová složitost jednotlivých operací.
ADT prioritní fronta Haldy množina M operace Přidej(M,x) přidá prvek x do množiny M Odeber(M) odeber z množiny M prvek, který je na řadě Zásobník (LIFO), Fronta (FIFO) Prioritní fronta: Přidej(M,x) přidá
Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy
ALGORITMIZACE 2010/03 STROMY, BINÁRNÍ STROMY VZTAH STROMŮ A REKURZE ZÁSOBNÍK IMPLEMENTUJE REKURZI PROHLEDÁVÁNÍ S NÁVRATEM (BACKTRACK)
ALGORITMIZACE 2010/03 STROMY, BINÁRNÍ STROMY VZTAH STROMŮ A REKURZE ZÁSOBNÍK IMPLEMENTUJE REKURZI PROHLEDÁVÁNÍ S NÁVRATEM (BACKTRACK) Strom / tree uzel, vrchol / node, vertex hrana / edge vnitřní uzel
TGH05 - Problém za milion dolarů.
TGH05 - Problém za milion dolarů. Jan Březina Technical University of Liberec 20. března 2012 Časová složitost algoritmu Závislost doby běhu programu T na velikosti vstupních dat n. O(n) notace, standardní
Rekurzivní algoritmy
Rekurzivní algoritmy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA) ZS
UNIVERZITA PARDUBICE DIPLOMOVÁ PRÁCE
UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2011 Bc. Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Datové struktury pro uchovávání geografických
Výroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek
Hranová konzistence Arc consistency AC Nejprve se zabýváme binárními CSP podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek Hrana (V i, V j ) je hranově konzistentní, právě když pro každou hodnotu x z aktuální domény
Návrh Designu: Radek Mařík
1. 7. Najděte nejdelší rostoucí podposloupnost dané posloupnosti. Použijte metodu dynamického programování, napište tabulku průběžných délek částečných výsledků a tabulku předchůdců. a) 5 8 11 13 9 4 1
Programování v C++ 1, 16. cvičení
Programování v C++ 1, 16. cvičení binární vyhledávací strom 1 1 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2018/2019 Přehled 1 2 Shrnutí minule procvičené
NEJKRATŠÍ CESTY I. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NEJKRATŠÍ CESTY I Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 7 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
R zné algoritmy mají r znou složitost
/ / zné algoritmy mají r znou složitost Dynamické programování / / Definice funkce Otázka Program f(x,y) = (x = ) (y = ) f(x, y-) + f(x-,y) (x > ) && (y > ) f(,) =? int f(int x, int y) { if ( (x == ) (y
A4B33ALG 2010/05 ALG 07. Selection sort (Select sort) Insertion sort (Insert sort) Bubble sort deprecated. Quicksort.
A4B33ALG 2010/05 ALG 07 Selection sort (Select sort) Insertion sort (Insert sort) Bubble sort deprecated Quicksort Stabilita řazení 1 Selection sort Neseřazeno Seřazeno Start T O U B J R M A K D Z E min
Základy algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Složitost algoritmů. Třídění Přednáška 8 16. listopadu 2009 Který algoritmus je "lepší"? Různé algoritmy, které řeší stejnou úlohu zbytek = p % i; zbytek = p - p/i*i;
B3B33ALP - Algoritmy a programování - Zkouška z předmětu B3B33ALP. Marek Boháč bohacm11
333LP - lgoritmy a programování - Zkouška z předmětu 333LP Jméno Příjmení Už. jméno Marek oháč bohacm11 Zkouškový test Otázka 1 Jaká je hodnota proměnné count po vykonání následujícího kódu: data=[4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8]
Stromové struktury v relační databázi
Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury a relační databáze Zboží Procesory Intel Pentium IV Celeron Paměti AMD Duron DDR DIMM Athlon http://interval.cz/clanky/metody-ukladani-stromovych-dat-v-relacnich-databazich/
B3B33ALP - Algoritmy a programování - Zkouška z předmětu B3B33ALP. Marek Boháč bohacm11
Jméno Příjmení Už. jméno Marek oháč bohacm11 Zkouškový test Otázka 1 Jaká je hodnota proměnné count po vykonání následujícího kódu: data=[4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8] count=0 for i in range(1,len(data)):
ALGORITMIZACE 2010/03 STROMY, BINÁRNÍ STROMY VZTAH STROMŮ A REKURZE ZÁSOBNÍK IMPLEMENTUJE REKURZI PROHLEDÁVÁNÍ S NÁVRATEM (BACKTRACK)
ALGORITMIZACE 2010/03 STROMY, BINÁRNÍ STROMY VZTAH STROMŮ A REKURZE ZÁSOBNÍK IMPLEMENTUJE REKURZI PROHLEDÁVÁNÍ S NÁVRATEM (BACKTRACK) Strom / tree uzel, vrchol / node, vertex hrana / edge vnitřní uzel
Cílem kapitoly je seznámit studenta se seznamem a stromem. Jejich konstrukci, užití a základní vlastnosti.
Seznamy a stromy Cílem kapitoly je seznámit studenta se seznamem a stromem. Jejich konstrukci, užití a základní vlastnosti. Klíčové pojmy: Seznam, spojový seznam, lineární seznam, strom, list, uzel. Úvod
Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 201 / 344 Osnova přednášky
Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).
7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené
Algoritmy I, složitost
A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Třídění, vyhledávání Daniela Szturcová
Rekurze a zásobník. Jak se vypočítá rekurzivní program? volání metody. vyšší adresy. main(){... fa(); //push ret1... } ret1
Rekurze a zásobník Jak se vypočítá rekurzivní program? volání metody vyšší adresy ret1 main(){... fa(); //push ret1... PC ret2 void fa(){... fb(); //push ret2... return //pop void fb(){... return //pop
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
DobSort. Úvod do programování. DobSort Implementace 1/3. DobSort Implementace 2/3. DobSort - Příklad. DobSort Implementace 3/3
DobSort Úvod do programování Michal Krátký 1,Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Úvod do programování, 2004/2005 V roce 1980 navrhl Dobosiewicz variantu (tzv. DobSort),
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
Základní datové struktury
Základní datové struktury Martin Trnečka Katedra informatiky, Přírodovědecká fakulta Univerzita Palackého v Olomouci 4. listopadu 2013 Martin Trnečka (UPOL) Algoritmická matematika 1 4. listopadu 2013
Stromové struktury v relační databázi
Stromové struktury v relační databázi Stromové struktury a relační databáze Zboží Procesory Paměti Intel AMD DDR DIMM Pentium IV Celeron Duron Athlon http://interval.cz/clanky/metody-ukladani-stromovych-dat-v-relacnich-databazich/
8) Jaké jsou důvody pro použití víceprůchodového překladače Dříve hlavně kvůli úspoře paměti, dnes spíše z důvodu optimalizace
1) Charakterizujte křížový překladač Překlad programu probíhá na jiném procesoru, než exekuce. Hlavním důvodem je náročnost překladače na cílovém stroji by ho nemuselo být možné rozběhnout. 2. Objasněte
6. Fyzická (interní) úroveň databázového systému
6. Fyzická (interní) úroveň databázového systému 6.1. Struktura databázového systému... 2 6.2. Přístup k datům v databázi... 3 6.3. Struktura souborů... 4 6.4. Správa vyrovnávací paměti... 8 6.5. Podstata
Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.
Intervalové stromy Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme průběžně provádět tyto dvě operace: 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. 2. Zjištění součtu čísel
TÉMATICKÝ OKRUH Počítače, sítě a operační systémy
TÉMATICKÝ OKRUH Počítače, sítě a operační systémy Číslo otázky : 12. Otázka : Metody fyzické organizace dat Obsah : 1.Úvod 2.Vnější paměti 3.Sekvenční soubory 3.1 Setříděné sekvenční soubory 4.Zřetězené
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Použití dalších heuristik
Použití dalších heuristik zkracování cesty při FIND-SET UNION podle hodností Datové struktury... p[x] - předchůdce uzlu x MAKE-SET(x) p[x] := x hod[x] := 0 hod[x] - hodnost (aprox. výšky) UNION(x,y) LINK(FIND-SET(x),