Úvod do teoretické informatiky

Úvod do teoretické informatiky Zdeněk Sawa Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 11. února 2018 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 1/ 52

Přednášející Jméno: doc. Ing. Zdeněk Sawa, Ph.D. E-mail: zdenek.sawa@vsb.cz Místnost: EA413 Web: http://www.cs.vsb.cz/sawa/uti Na těchto stránkách najdete: Informace o předmětu Učební texty Slidy z přednášek Zadání příkladů na cvičení Aktuální informace Odkaz na stránku s animacemi Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 2/ 52

Požadavky Zápočet(22 bodů): Zápočtovápísemka(16bodů) budesepsátnacvičení Minimum pro získání zápočtu je 9 bodů. Možnost opravy za 14 bodů. Aktivita na cvičení(6 bodů) Minimum pro získání zápočtu jsou 3 body. Zkouška(78 bodů) Písemná zkouška skládající se ze tří částí po 26 bodech, přičemž zkaždéčástijenutnézískatnejméně10bodů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 3/ 52

Teoretická informatika Teoretická informatika vědní obor na pomezí mezi informatikou a matematikou zkoumání obecných otázek týkajících se algoritmů a výpočtů zkoumání různých formalismů pro popis algoritmů zkoumání různých prostředků pro popis syntaxe a sémantiky formálních jazyků(zejména s důrazem na programovací jazyky) matematický přístup k analýze a řešení problémů(dokazování obecně platných matematických tvrzení týkajících se algoritmů) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 4/ 52

Teoretická informatika Příklady některých typických otázek studovaných v teoretické informatice: Je možné daný problém řešit pomocí nějakého algoritmu? Pokud je možné daný problém řešit pomocí algoritmu, jaká je výpočetní složitost tohoto algoritmu? Existuje pro daný problém nějaký efektivní algoritmus, který ho řeší? Jak se přesvědčit o tom, že daný algoritmus je skutečně korektním řešením daného problému? Jaké instrukce musí umět vykonat stroj, který by mohl provádět daný algoritmus? Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 5/ 52

Příklad algoritmického problému Problém Hledánínejkratšícestyv(neorientovaném)grafu Vstup:Neorientovanýgraf G = (V,E)sohodnocenímhran,a dvojicevrcholů u,v V. Výstup:Nejkratšícestazvrcholu udovrcholu v. Příklad: u 12 9 14 7 13 10 12 17 11 v 10 11 6 9 10 8 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 6/ 52

Algoritmy a problémy Teoretická informatika se překrývá se s mnoha dalšími oblastmi matematiky a informatiky: teorie grafů teorie čísel výpočetní geometrie vyhledávání v textu teorie her... Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 7/ 52

Logika Logika obor zabývající se otázkami správného vyvozování a argumentace zkoumání, kdy závěr vyplývá z daných předpokladů otázky týkající se důkazů a dokazatelnosti poskytuje základní jazyk matematiky a všech na matematice založených věd souvisí se zkoumáním základů matematiky využívá se v informatice na mnoha různých úrovních Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 8/ 52

Výroková logika Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 9/ 52

Logické vyvozování -Jestližemělvlakzpožděníananádražínebylytaxíky,takHonza přišel pozdě do práce. - Honza nepřišel do práce pozdě. - Vlak měl zpoždění. - Na nádraží byly taxíky. -JestližepršeloaJananemělasseboudeštník,takzmokla. - Jana nezmokla. -Pršelo. -Janamělasseboudeštník. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 10/ 52

Logické vyvozování p Vlak měl zpoždění. Pršelo. q Na nádraží byly taxíky. Jana měla s sebou deštník. r Honza přišel pozdě do práce. Jana zmokla. Jestliže pane q,tak r. Ne r. p. q. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 11/ 52

Výroky Příklady výroků: Janazmokla. JestližepršeloaJananemělasseboudeštník,takzmokla. PařížjehlavnímměstemJaponska. Existujenekonečněmnohoprvočísel. 1+1 =3 Číslo 2jeiracionální. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 12/ 52

Logické spojky Atomický výrok nedá se rozložit na žádné menší výroky Janazmokla. Složený výrok složen z menších jednodušších výroků JestližepršeloaJananemělasseboudeštník,takzmokla. Složeno z výroků: Pršelo. Janamělasseboudeštník. Janazmokla. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 13/ 52

Logické spojky Z výroků je možné vytvářet složitější výroky pomocí logických spojek: Symbol Log. spojka Příklad použití Neformální význam negace p nenípravda p konjunkce p q pa q disjunkce p q pnebo q implikace p q jestliže p,pak q ekvivalence p q pprávětehdy,když q Atomickévýroky p, q, r,... (případněsindexy p 0, p 1, p 2,...) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 14/ 52

Logické spojky Výroky jsou reprezentovány pomocí formulí formule mají přesně danou syntaxi a sémantiku. JestližepršeloaJananemělasseboudeštník,takzmokla. Zápis pomocí formule: (p q) r Atomické výroky: p Pršelo. q Janamělasseboudeštník. r Janazmokla. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 15/ 52

Pravdivostní hodnoty 1 0 pravda nepravda ano ne true false Pro označení pravdivostních hodnot budeme používat 0 a 1. Pravdivostní hodnoty se též označují jako hodnoty booleovské. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 16/ 52

Negace Negacívýroku ϕjevýrok nenípravda,že ϕ.napříkladnegacívýroku číslo5jeprvočíslo je výrok nebo nenípravda,žečíslo5jeprvočíslo číslo5neníprvočíslo. Ve formulích se negace označuje symbolem. Formální zápis: ϕ ϕ ϕ 0 1 1 0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 17/ 52

Konjunkce Konjunkcívýroků ϕaψjevýrok ϕaψ. Příklad:Konjunkcívýroků KodaňjehlavnímměstemDánska a 2+2 =4 jevýrok KodaňjehlavnímměstemDánskaa2+2 =4. Veformulíchsekonjunkceoznačujepomocísymbolu. p q p KodaňjehlavnímměstemDánska q 2+2 =4 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 18/ 52

Konjunkce ϕ ψ ϕψ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Příklady nepravdivých výroků: Helsinky jsou hlavním městem Itálie a Karlova univerzita byla založenavroce1348. Asiejesvětadílsnejvětšírozlohoua3+5 =14. Existuje jen konečně mnoho prvočísel a Plzeň je hlavním městem USA. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 19/ 52

Disjunkce Disjunkcívýroků ϕaψjevýrok ϕnebo ψ. Příklad:Disjunkcívýroků velrybypatřímezisavce a ČRležívmírnémpodnebnémpásu jevýrok velrybypatřímezisavcenebočrležívmírnémpodnebnémpásu. Ve formulích se disjunkce označuje symbolem. p q p velrybypatřímezisavce q ČRležívmírnémpodnebnémpásu Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 20/ 52

Disjunkce Disjunkceje nebo vnevylučujícímsmyslu. ϕ ψ ϕ ψ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 21/ 52

Implikace Implikace jestliže ϕ,pak ψ ϕ předpoklad ψ závěr Příklad: Jestliže se Petr dobře připravil na zkoušku, pak z této zkoušky dostaldobrouznámku. Implikace se označuje symbolem. p q p Petrsedobřepřipravilnazkoušku q Petrdostalztétozkouškydobrouznámku Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 22/ 52

Implikace ϕ ψ ϕ ψ 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Poznámka:Formule p qjepravdiváprávěvtěchpřípadech,kdyje pravdivá formule p q. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 23/ 52

Implikace Implikace nevyjařuje příčinnou souvislost. Příklad: JestližejeWashingtonhlavnímměstemUSA,tak1+1 =2. JestližejeWashingtonhlavnímměstemUSA,tak1+1 =3. JestližejeTokiohlavnímměstemUSA,tak1+1 =2. JestližejeTokiohlavnímměstemUSA,tak1+1 =3. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 24/ 52

Implikace Příklady různých způsobů vyjádření tvrzení p q v přirozené řeči: pokud p,pak q když p,tak q q,pokud p z pplyne q zapředpokladu pplatí q pimplikuje q qplatítehdy,kdyžplatí p pplatíjentehdy,kdyžplatí q pjepostačujícípodmínkapro q qjenutnápodmínkapro p Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 25/ 52

Implikace Pokudplatí ϕ ψazároveňplatí ϕ,jemožnéztohovyvodit,žeplatí i ψ. Příklad: Pokud platí jestližejednesúterý,pakjezítrastředa dnesjeúterý lzeztohovyvodit,žeplatí zítrajestředa Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 26/ 52

Ekvivalence Ekvivalence ϕprávětehdy,když ψ Příklad: Trojúhelník ABC má všechny tři strany stejně dlouhé právě tehdy, kdyžmávšechnytřiúhlystejněvelké. Logická spojka ekvivalence se označuje symbolem p q p trojúhelník ABCmávšechnytřistranystejnědlouhé q trojúhelník ABCmávšechnytřiúhlystejněvelké Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 27/ 52

Ekvivalence ϕ ψ ϕ ψ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Poznámka:Formule p qříkávpodstatětosamécoformule (p q) (q p) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 28/ 52

Ekvivalence Alternativní způsoby vyjádření ekvivalence p q v přirozené řeči: ptehdyajentehdy,když q pjenutnouapostačujícípodmínkouproto,abyplatilo q Ekvivalence se často používá v definicích nových pojmů: Příklad: Trojúhelník je rovnoramenný právě tehdy, když alespoň dvě jeho stranyjsoustejnědlouhé. Trojúhelník je rovnoramenný, jestliže alespoň dvě jeho strany jsou stejnědlouhé. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 29/ 52

Formule výrokové logiky Syntaxe jak vypadají formule výrokové logiky Sémantika přiřazuje formulím a jednotlivým symbolům, které se v nich vyskytují, přesně definovaný význam Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 30/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Formule posloupnosti symbolů z určité abecedy: atomické výroky například symboly p, q, r, apod. logickéspojky symboly,, a závorky symboly ( a ) Ne každá posloupnost těchto symbolů je formulí. Například toto formule není: )p(( Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 31/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Definice Dobře utvořené formule výrokové logiky jsou posloupnosti symbolů vytvořené podle následujících tří pravidel: 1 Jestliže pjeatomickývýrok,pak pjedobřeutvořenáformule. 2 Jestliže ϕaψjsoudobřeutvořenéformule,paki(ϕ), (ϕψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ)a(ϕ ψ)jsoudobřeutvořenéformule. 3 Neexistují žádné další dobře utvořené formule než ty, které jsou vytvořené pomocí předchozích dvou pravidel. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 32/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Příklady dobře utvořených formulí: q (q) r ((q) r) p (p r) ((p r)) (((q) r)((p r))) Příklad sekvence symbolů, která není dobře utvořenou formulí: (p q) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 33/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Formule ψ je podformulí formule ϕ, jestliže platí alespoň jedna z následujících možností: Formule ψjestejnájakoformule ϕ(tj.jednáseojednuatutéž formuli). Pokudjeformule ϕtvaru (χ),tak ψjepodformulíformule χ. Pokudjeformule ϕtvaru (χ 1 χ 2 ), (χ 1 χ 2 ), (χ 1 χ 2 )nebo (χ 1 χ 2 ),tak ψjepodformulíformule χ 1 nebopodformulí formule χ 2. Příklad:Podformuleformule (((p q)) r): p q r (p q) ((p q)) (((p q)) r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 34/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Alternativní symboly pro logické spojky: Log. spojka Symbol Alternativní symboly negace konjunkce & implikace, ekvivalence, Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 35/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Abstraktnísyntaktickýstromformule (((q) r)((p r))): rag replacements r = q p r Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 36/ 52

ements Syntaxe formulí výrokové logiky ψ 1 ψ 2 PSfragreplacements PSfragreplacements fragreplacements p p p p (ψ 1 ) (ψ 1 ψ 2 ) (ψ 1 ψ 2 ) = p ψ 2 = ψ 1 = ψ 1 ψ 2 = ψ 1 ψ 2 fragreplacements p PSfragreplacements (ψ 1 ψ 2 ) p (ψ 1 ψ 2 ) = ψ 1 ψ 2 = ψ 1 ψ 2 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 37/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Arita logických spojek: unární spojka(arita 1): binárníspojky(arita2):,,, Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 38/ 52

Syntaxe formulí výrokové logiky Konvence pro vypouštění závorek: Vnější závorky je možno vypustit. Priorita logických spojek(od nejvyšší po nejnižší): Místo (ϕ)jemožnopsát ϕ. Příklad:Místo ((p)(r (q s)))jemožnopsát p (r q s) Poznámka: Další konvence budou uvedeny později. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 39/ 52

Sémantika výrokové logiky At množina atomických výroků Například At = {p,q,r},nebo At = {p 0,p 1,p 2,...} Definice Pravdivostní ohodnocení je přiřazení pravdivostních hodnot(tj. hodnot zmnožiny {0,1})všematomickýmvýrokůmzmnožiny At. (Formálně je možné pravdivostní ohodnocení definovat jako funkci v : At {0,1}.) Příklad:Pravdivostníohodnocení vpro At = {p,q,r},kde v(p) =1 v(q) =0 v(r) =1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 40/ 52

Sémantika výrokové logiky Pokud je množina At konečná a obsahuje n atomických výroků, existuje celkem2 n pravdivostníchohodnocení. Příklad: At = {p,q,r} v 0 : v 0 (p) =0, v 0 (q) =0, v 0 (r) =0 v 1 : v 1 (p) =0, v 1 (q) =0, v 1 (r) =1 v 2 : v 2 (p) =0, v 2 (q) =1, v 2 (r) =0 v 3 : v 3 (p) =0, v 3 (q) =1, v 3 (r) =1 v 4 : v 4 (p) =1, v 4 (q) =0, v 4 (r) =0 v 5 : v 5 (p) =1, v 5 (q) =0, v 5 (r) =1 v 6 : v 6 (p) =1, v 6 (q) =1, v 6 (r) =0 v 7 : v 7 (p) =1, v 7 (q) =1, v 7 (r) =1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 41/ 52

Sémantika výrokové logiky Formule ϕ má při pravdivostním ohodnocení v pravdivostní hodnotu 1: v = ϕ Formule ϕ má při pravdivostním ohodnocení v pravdivostní hodnotu 0: v = ϕ Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 42/ 52

Sémantika výrokové logiky Definice Pravdivostní hodnoty formulí výrokové logiky při daném pravdivostním ohodnocení v jsou definovány následujícím způsobem: Proatomickývýrok pplatí v = pprávětehdy,když v(p) =1. (Pokudjetedy v(p) =0,tak v = p.) v = ϕprávětehdy,když v = ϕ. v = ϕψprávětehdy,když v = ϕav = ψ. v = ϕ ψprávětehdy,když v = ϕnebo v = ψ. v = ϕ ψprávětehdy,když v = ϕnebo v = ψ. v = ϕ ψprávětehdy,když v = ϕav = ψ,nebokdyž v = ϕa v = ψ. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 43/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ ϕ 0 1 1 0 ϕ ψ ϕψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 44/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 p q r q q r p r (p r) ϕ ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 v = p v = q v = r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 v = p v = q v = r v = q p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 v = p v = q v = r v = q v = q r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 v = p v = q v = r v = q v = q r v = p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 1 ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 v = p v = q v = r v = q v = q r v = p r v = (p r) p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 1 0 ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky Příklad: At = {p,q,r} pravdivostníohodnocení v,kde v(p) =1, v(q) =0av(r) =1 v = p v = q v = r v = q v = q r v = p r v = (p r) v = (q r)(p r) p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 1 0 0 ϕ := (q r)(p r) Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 45/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = r q p r p q r q q r p r (p r) ϕ Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = q 0 1 r 1 1 p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = q 1 1 0 r 1 1 p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = q 0 1 1 1 r 1 1 p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = q 0 1 1 1 r 1 1 1 p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 1 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = q 0 1 1 1 r 0 1 1 1 p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 1 0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = 0 q 0 1 1 1 r 0 1 1 1 p r p q r q q r p r (p r) ϕ 1 0 1 1 1 1 0 0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) = 0 q 0 0 1 0 r 0 1 0 0 p r v 0 (p) =0 v 0 (q) =0 v 0 (r) =0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 46/ 52

Sémantika výrokové logiky ϕ := (q r)(p r) p q r q q r p r (p r) ϕ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 Ohodnocení, při kterých je daná formule pravdivá, jsou jejími modely: v 1 : v 1 (p) =0, v 1 (q) =0, v 1 (r) =1, v 3 : v 3 (p) =0, v 3 (q) =1, v 3 (r) =1, v 6 : v 6 (p) =1, v 6 (q) =1, v 6 (r) =0, Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 47/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy ϕ := ((p r) (p q)) ((p q) r) placements = p r p q p q r V abstraktním syntaktickém stromě odpovídají vrcholy všem výskytům jednotlivých podformulí. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 48/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy ϕ := ((p r) (p q)) ((p q) r) placements = p r p q p q r Alternativně můžeme formuli znázornit jako orientovaný acyklický graf. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 48/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy ϕ := ((p r) (p q)) ((p q) r) placements = p r p q p q r Nejprve hranám přiřadíme orientaci od potomků k rodičům. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 48/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy Sfrag replacements Ztotožníme všechny listy označené stejným atomickým výrokem. Následně je možné ztotožnit vrcholy, které jsou označeny stejným symbolem a mají stejné předchůdce. = Taková ztotožnění je možné provádět opakovaně když jsou některé vrcholy ztotožněny, může být možné ztotožnit některé další vrcholy. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 49/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy ϕ := ((p r) (p q)) ((p q) r) = p q r Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 50/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy Když tímto způsobem ztotožníme všechny vrcholy, které je takto možno ztotožnit, dostaneme graf, kde jednotlivé vrcholy odpovídají jednotlivým různým podformulím dané formule. Na acyklický orientovaný graf reprezentující danou formuli je možné se dívat jako na logický obvod: Vstupy vrcholy označené atomickými výroky Výstup vrchol odpovídající celé formuli Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 51/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy ϕ := ((p r) (p q)) ((p q) r) = p q r Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 52/ 52

Formule reprezentované jako orientované acyklické grafy ϕ := ((p r) (p q)) ((p q) r) 1 1 1 1 0 1 1 = p q r 0 0 0 Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 11. února 2018 52/ 52