Využitie programu Derive 6 pri vyučovaní kvadratických funkcií

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Mária Kredátusová, PhD. Využitie programu Derive 6 pri vyučovaní kvadratických funkcií Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2013

Vydavateľ: Metodicko-pedagogické centrum, Ševčenkova 11, 850 01 Bratislava Autor OPS/OSO: RNDr. Mária Kredátusová, PhD. Kontakt na autora: Názov OPS/OSO: Rok vytvorenia OPS/OSO: Odborné stanovisko vypracoval: Gymnázium J. A. Raymana, Mudroňova 20, 081 93 Prešov maria.kredatusova@gjar-po.sk, kredatusova@yahoo.com Využitie programu Derive 6 pri vyučovaní kvadratických funkcií 2013 Mgr. Róbert Truchan Za obsah a pôvodnosť rukopisu zodpovedá autor. Text neprešiel jazykovou úpravou. Táto osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe bola vytvorená z prostriedkov národného projektu Profesijný a kariérový rast pedagogických zamestnanancov. Projekt je financovaný zo zdrojov Európskej únie.

Kľúčové slová program Derive 6, kvadratické funkcie, graf kvadratickej funkcie, vrchol paraboly, priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami, vlastnosti funkcie, úprava na štvorec, predpis (rovnica) funkcie. Anotácia Práca je venovaná aplikácii programu Derive 6 do vyučovacieho predmetu Matematika pri téme Kvadratické funkcie. Opisuje sa v nej využitie uvedeného programu pri kreslení grafov kvadratických funkcií, následne pri skúmaní ich vlastností a na záver pri hľadaní predpisu kvadratickej funkcie. Práca je určená predovšetkým učiteľom matematiky na stredných školách, ale môže byť inšpiráciou aj pre učiteľov základných škôl.

OBSAH Úvod... 5 1 CHARAKTERISTIKA OPS... 7 1.1 Špecifikácie OPS... 7 1.2 Požadované kompetencie od učiteľa... 7 1.3 Požadované kompetencie od žiaka... 7 1.4 Získané kompetencie žiaka... 8 1.5 Ciele OPS... 8 2 TEORETICKÉ VÝCHODISKÁ... 9 2.1 Štátny vzdelávací program... 9 2.2 Cieľové požiadavky na vedomosti a zručnosti maturantov... 10 3 PROGRAM DERIVE 6... 12 3.1 Charakteristika programu Derive... 12 3.2 Práca s programom Derive 6... 12 4 PRAKTICKÁ ČASŤ... 17 4.1 Kvadratické funkcie - úvod... 17 4.2 Vplyv reálnych parametrov a, m, n na graf kvadratickej funkcie y=a(x+m) 2 +n 18 4.3 Významné body grafov kvadratických funkcií... 24 4.4 Grafy kvadratických funkcií a ich vlastnosti... 28 4.5 Hľadanie predpisu kvadratickej funkcie... 33 5 OVERENÉ VÝSLEDKY OPS... 39 Záver... 40 Zoznam bibliografických zdrojov... 41

ÚVOD Ľudia dneška chcú byť v živote uspešní. Byť úspešným, či už v súkromnom alebo profesionálnom živote, si vyžaduje byť schopným flexibilne, originálne, tvorivo a invenčne pristupovať k novým životným situáciám. V škole určite nie je o nové podnety núdza. Tvorivé myslenie sa očakáva od učiteľa a často sa zdôrazňuje potreba jeho rozvíjania u žiakov. Väčšina autorov zaoberajúcich sa tvorivosťou sa prikláňa k názoru, že každý človek je do určitej miery tvorivý. Tvorivý človek nepovažuje nič za konečné, uzavreté, definitívne, ale hľadá nové možnosti riešenia problémov [5]. Ak chce učiteľ u žiakov niečo dosiahnuť, mal by sa prispôsobiť do istej miery ich záujmom. To zaiste od neho vyžaduje nemalú dávku kreativity. Páčia sa mi axiómy tvorivosti, ktoré uvádza M. Zelina, 1996 [6]: 1. Každý človek môže byť tvorivý. 2. Tvorivosť sa môže prejaviť v každej činnosti, no nie každá činnosť poskytuje človeku rovnaké možnosti pre tvorivosť. 3. Tvorivosť je cvičiteľná funkcia, dá sa rozvíjať. 4. Tvorivosť je ťažká,,práca. Z toho vyplýva, že človek musí najprv mnoho vedieť, aby mohol niečo nové a hodnotné vytvoriť. Tvorivosť je najvyššou kognitívnou funkciou a v hierarchickom usporiadaní v sebe zahŕňa všetky nižšie funkcie, a to dobrú percepciu, pamäť, konvergentné myslenie, analýzu, syntézu, indukciu, abstrahovanie, atď. Aby učiteľ mohol žiaka niečo naučiť, musí v prvom rade vzbudiť jeho záujem. Motivácia je jednou z kľúčových otázok vyučovacieho procesu. Je to snaha a zároveň túžba niečo dosiahnuť. Pre vzbudenie záujmu u žiaka je dôležitá predovšetkým vnútorná motivácia. Jednostrannosť a stereotypná činnosť na vyučovaní ju znižujú. Preto M. Zelina, 1996 [6] navrhuje overovať rozličné metódy a postupy, využívať nové formy a prostriedky vyučovania, neustále sledovať spätnú väzbu o tom, ako nové metódy pôsobia na žiakov. V tejto práci nechcem preceňovať význam moderných informačných technológii vo vyučovaní matematiky na úkor klasickej tabule a kriedy. Mojím cieľom je poukázať na využitie niektorých možností programu Derive 6 pri objasňovaní a upevňovaní učiva o kvadratických funkciách. Podľa mojich skúseností je vhodné pri vyučovaní témy Kvadratické funkcie kombinovať klasické metódy vyučovania (napr. výklad učiteľa a trénovanie potrebných zručností žiakov) s modernými metódami, pri ktorých žiaci sami skúmajú, objavujú a formulujú vlastné závery pri práci s programom Derive 6, ktorý je pre nich atraktívnou formou vyučovania. Samozrejme, všetko je to možné realizovať len v prípade vhodného technického vybavenia školy, napr. k dispozícii je učebňa so žiackymi PC stanicami a učiteľským PC prepojeným na dataprojektor. Program Derive 6 bol súčasťou 3. edukačného balíka, ktorý dostali školy z projektu Infovek v roku 2004. V posledných rokoch máme v Školskom vzdelávacom programe na Gymnáziu J. A. Raymana tému Kvadratické rovnice, nerovnice a funkcie zaradenú na konci prvého ročníka. Už niekoľkokrát som mala možnosť overiť, precvičiť a upevniť učivo z tohto

tematického celku aj prácou s programom Derive 6. Žiaci tak mali možnosť prostredníctvom počítača objaviť správanie sa grafov kvadratických funkcií a neskôr overiť a uplatniť nadobudnuté poznatky o kvadratických funkciách a ich vlastnostiach. Vyučovacie hodiny som realizovala v multimediálnej učebni, kde žiaci pracovali vo dvojiciach a každá dvojica pracovala na svojom počítači. V predloženej práci popisujem prácu s pracovnými listami, ktoré som vytvorila pre žiakov k danej problematike. Čitateľom budem vďačná za akékoľvek námety, postrehy a pripomienky. V prípade otázok ma, prosím, kontaktujte na adrese maria.kredatusova@gjar-po.sk alebo kredatusova@yahoo.com.

1 CHARAKTRISTIKA OPS V predloženej práci navrhujem využitie niektorých možností programu Derive 6 pri preberaní témy Kvadratické funkcie v rámci tematického celku Kvadratické rovnice, nerovnice a funkcie. Opisujem štruktúru a priebeh jednotlivých vyučovacích hodín. 1.1 Špecifikácie OPS typ školy: gymnázium, vyššie sekundárne vzdelávanie kategória pedagogických zamestnancov: učiteľ podkategória: učiteľ pre vyššie sekundárne vzdelávanie vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami ročník: prvý predmet: Matematika témy: Kvadratické funkcie úvod, Graf kvadratickej funkcie vplyv rôznych reálnych parametrov na tvar a posun grafu, významné body grafu, vlastnosti funkcie, Predpis kvadratickej funkcie úprava kvadratického trojčlena na štvorec, hľadanie predpisu na základe daných vlastností kvadratickej funkcie. 1.2 Požadované kompetencie od učiteľa Na učiteľa sú kladené nasledujúce požiadavky: základné znalosti práce s počítačom a dataprojektorom, dobré znalosti práce s programom Derive 6, veľmi dobré znalosti práce s textovým programom MS Word pokročilé znalosti práce s niektorým programom na úpravu obrázkov. 1.3 Požadované kompetencie od žiaka Podľa môjho názoru je dôležité, aby žiak ovládal: základy práce s počítačom, základy práce s programom Derive 6, základy práce s textovým programom MS Word, základy práce s niektorým programom na spracovanie obrázkov. Z dôvodu zápisu matematického textu by bolo vhodné, keby žiak ovládal prácu s editorom rovníc, resp. s objektom Microsoft Equation 3.0. Nie je to však nevyhnutné.

1.4 Získané kompetencie žiaka Prostredníctvom tejto OPS žiak získa nasledujúce kompetencie: stáva sa aktívnym spolutvorcom vyučovacej hodiny, získa nové vedomosti a zručnosti, aplikuje naučené postupy (napr. úprava kvadratického trojčlena na súčin), využíva informačné technológie, napr. prostredníctvom programu Derive 6, spracováva a vkladá obrázky (napr. v aplikácii Skicár, ktorý je súčasťou Príslušenstva systému Windows), tvorí textové dokumenty, atď. analyzuje získané výsledky, systematizuje získané poznatky, rieši dané úlohy samostatne, príp. prácou vo dvojici. 1.5 Ciele OPS Mojim cieľom v predloženej OPS bolo pre učiteľov: 1. Poskytnúť námety a konkrétne príklady využitia programu Derive 6 vo vyučovaní matematiky pri téme Kvadratické funkcie. 2. Opísať metodiku a postup práce so štyroma pracovnými listami vytvorenými pre žiakov k danej problematike. 3. Uviesť spätnú väzbu od žiakov pri realizácii mojej OPS.

2 TEORETICKÉ VÝCHODISKÁ V predloženej práci vychádzam zo všeobecne záväzných právnych predpisov platných v Slovenskej republike, ktoré určujú obsah a rozsah vyučovania matematiky na gymnáziu, a to Štátny vzdelávací program a Cieľové požiadavky na vedomosti a zručnosti maturantov. V oboch dokumentoch sa zameriavam predovšetkým na problematiku kvadratických funkcií. Pozornosť taktiež upriamujem na ciele a kompetencie, ktoré chcem vo svojej OPS prostredníctvom vytvorených pracovných listov u žiakov rozvíjať. 2.1. Štátny vzdelávací program Podľa Štátneho vzdelávacieho programu pre gymnáziá v Slovenskej republike, ISCED 3A vyššie sekundárne vzdelávanie sa vzdelávajú žiaci gymnázií so štvorročným štúdiom a žiaci 5. až 8. ročníka gymnázií s osemročným štúdiom. Štátny vzdelávací program stanovuje povinné vyučovacie predmety, ktoré sú začlenené do jednotlivých vzdelávacích oblastí. Predmet Matematika je začlenený do vzdelávacej oblasti Matematika a práca s informáciami. Cieľom vyučovania matematiky na gymnáziách je, aby žiak získal schopnosť používať matematiku v svojom budúcom živote. Vyučovanie matematiky má umožniť študentom, aby získavali nové vedomosti, prostredníctvom riešenia úloh s rôznorodým kontextom, tvorili jednoduché hypotézy a skúmali ich pravdivosť, vedeli používať rôzne spôsoby reprezentácie matematického obsahu (text, tabuľky, grafy, diagramy), rozvíjali svoje algoritmické myslenie a schopnosť pracovať s návodmi a tvoriť ich, používali prostriedky IKT na vyhľadávanie, spracovanie, uloženie a prezentáciu informácií, čo by malo uľahčiť niektoré namáhavé výpočty alebo postupy a umožniť tak sústredenie sa na podstatu riešeného problému. Výsledkom vyučovania Matematiky na gymnáziách má byť správne používanie matematickej terminológie, symboliky a matematizácia reálnych situácií. Matematika na gymnáziách má viesť študentov k získaniu a rozvíjaniu zručností súvisiacich s procesom učenia sa, k aktivite na vyučovaní, k racionálnemu a samostatnému učeniu sa. Vyučovanie matematiky má rozvíjať študentove funkčné a kognitívne kompetencie, metakognitívne kompetencie, ďalšie kompetencie potrebné v ďalšom živote, schopnosti kooperácie a komunikácie spoluprácu v skupine pri riešení problému, a to vhodnou voľbou organizačných foriem a metód výučby. Obsah vyučovania matematiky na gymnáziu je zameraný na získanie spoločnosťou očakávanej úrovne všeobecného stredoškolského vzdelania.

Podľa výkonového štandardu v tematickom okruhu Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy má žiak vedieť: riešiť slovné úlohy vyžadujúce riešenie jednoduchých rovníc s jedným výskytom neznámej alebo sústav rovníc s dvoma neznámymi, ktoré možno previesť na jednu rovnicu, použiť vhodnú metódu riešenia kvadratickej rovnice (napr. pomocou úpravy na štvorec, diskriminantu, graficky), zostaviť lineárnu rovnicu, sústavu lineárnych rovníc, kvadratickú rovnicu alebo nerovnicu predstavujúcu matematický model slovnej úlohy, vyriešiť ju, overiť a interpretovať výsledky s ohľadom na pôvodnú slovnú úlohu, z grafu funkcie odčítať s dostatočnou presnosťou veľkosť funkčnej hodnoty a naopak zaznačiť známu veľkosť funkčnej hodnoty do grafu, z grafu funkcie rozhodnúť o raste, klesaní, extrémoch, ohraničenosti a periodičnosti, riešiť jednoduché praktické úlohy vyžadujúce čítanie grafu funkcie alebo jeho tvorbu, na základe grafického znázornenia určiť približné riešenie odhadnúť riešenie, zostrojiť graf kvadratickej funkcie podľa jej predpisu. 2.2. Cieľové požiadavky na vedomosti a zručnosti maturantov Dokument Cieľové požiadavky na maturitné skúšky definuje požiadavky na vedomosti a zručnosti maturantov z jednotlivých predmetov maturitnej skúšky. V Cieľových požiadavkách na vedomosti a zručnosti maturantov z matematiky sa k problematike kvadratických funkcií v časti Obsah spomínajú len dva pojmy kvadratická funkcia a vrchol paraboly. Pri vlastnostiach a vzťahoch sa uvádza, že grafom kvadratickej funkcie je parabola, kvadratická funkcia je jednoznačne určená funkčnými hodnotami v 3 bodoch, kvadratická funkcia má na R jediný globálny extrém, minimum v prípade kladného koeficientu pri kvadratickom člene, maximum v opačnom prípade, parabola (t.j. graf kvadratickej funkcie) je súmerná podľa rovnobežky s osou y, prechádzajúcej vrcholom paraboly. V časti Požiadavky na vedomosti a zručnosti sa píše, že žiak vie: riešiť lineárne a kvadratické rovnice, nerovnice a ich sústavy, špeciálne vie nájsť priesečníky grafov lineárnej a kvadratickej funkcie, nájsť predpis kvadratickej funkcie, ak pozná - jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch, - vrchol jej grafu a hodnotu v ďalšom bode, nájsť intervaly, na ktorých je daná kvadratická funkcia rastúca, resp. klesajúca, nájsť, pokiaľ existuje, najväčšiu a najmenšiu hodnotu kvadratickej na danom intervale, špeciálne vie nájsť vrchol grafu kvadratickej funkcie, ak pozná jej predpis.

Na iných miestach spomínaných Cieľových požiadaviek na vedomosti a zručnosti maturantov z matematiky nájdeme ešte s kvadratickými funkciami súvisiace Pojmy: doplnenie do štvorca (pre kvadratický mnohočlen), lineárny (kvadratický) člen, koeficient lineárneho (kvadratického) člena, Vlastnosti a vzťahy: doplniť kvadratický trojčlen do štvorca Požiadavky na vedomosti a zručnosti Žiak vie načrtnúť grafy funkcií a + f(x), f(a + x), -f(x), a. f(x), ak pozná graf funkcie f a opísať, ako vznikne uvedený graf z grafu funkcie f, nájsť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode, určiť jej priesečníky so súradnicovými osami, nájsť všetky riešenia kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.

3 PROGRAM DERIVE 6 3.1. Charakteristika programu Derive Derive je jednoduchý program pre symbolické výpočty, ktorý umožňuje napríklad: počítať jednoduché numerické a symbolické výpočty, upravovať výrazy, riešiť rovnice a matice, derivovať a integrovať, kresliť 2D a 3D grafy funkcií... Jeho výhodou je jednoduché ovládanie. Jednotlivé operácie možno vyvolať zo systému Menu alebo kliknutím na tlačidlo z panelu nástrojov. Nie je nutné pamätať si žiadne zložité príkazy. Medzi jeho nevýhody patrí obmedzená možnosť symbolicého zápisu, preto je problematické jeho využitie pre zložitejšie výpočty. V súčasnosti je súčasťou mnohých grafických kalkulačiek. Matematický programový systém Derive je určený predovšetkým študentom. Jednoduchosť programu a nízke hardwérové požiadavky ho umožňujú používať prakticky na akomkoľvek počítači. 3.2. Práca s programom Derive 6 V tejto kapitole stručne popíšem len tie časti práce s programovým systémom Derive 6, ktoré využijem vo vytvorených pracovných listoch v nasledujúcej kapitole. Podrobnejší opis práce s uvedeným programom možno nájsť v publikáciách vydaných Slovenskou technickou univerzitou v Bratislave [1, 2] a ďalšie možnosti jeho využitia aj v OPS Kontuľová, J. z roku 2012 [11]. Po spusení programu sa otvorí základná obrazovka okno Algebra. V ňom zadávame príkazy a prevádzame výpočty. Zhora nadol ho tvorí (obrázok 1): 1. riadok s ponukou Menu 2. panel nástrojov ikony jednotlivých príkazov 3. náhľad samotného okna Algebra 4. stavový riadok 5. príkazový riadok 6. grécka abeceda a matematické znaky.

1. 2. 3. 4. 5. 6. Obrázok 1 Štruktúra okna Algebra Pri kreslení grafov a práci s nimi je potrebné otvoriť aj grafické okno okno Grafika 2D. Od okna Algebra a líši riadkom s ponukou Menu (1.), panelom nástrojov (2.) a stavovým riadkom (4.). V stavovom riadku je možné sledovať polohu krížika, teda určiť súradnice ľubovoľného bodu, v ktorom sa krížik (grafický kurzor) práve nachádza. Obrázok 2 Štruktúra okna Grafika 2D

Pri súčasnej práci s oboma oknami odporúčam usporiadať obe okná vedľa seba. Obrázok 3 Usporiadanie okien vedľa seba Podľa potreby je možné zväčšiť / zmenšiť rozsah okna Algebra a grafického okna. Obrázok 4 Súčasné využitie okien Algebra a Grafika 2D

Pri hľadaní súradníc vrchola parboly a priesečníkov grafu kvadratickej funkcie so súradnicovými osami je možné možné využiť polohu krížika, čiže pomocou súradníc grafického kurzora v grafickom okne zistiť súradnice hľadaných bodov. Obrázok 5 Súradnice vrchola paraboly [-1, -4] využitie súradníc grafického kurzora Pri hľadaní súradníc priesečníkov grafu kvadratickej funkcie s osou x môžeme tiež využiť riešenie rovnice f(x) = 0 v okne Algebra. Využijeme tlačidlo Riešiť (resp. Solve ), zvolíme riešiť sústavu (resp. System ), udáme počet rovníc (v tomto prípade 1), napíšeme príslušnú rovnicu, udáme premennú riešenia (x) a stlačíme riešiť. V prípade, že existuje priesečník grafu funkcie s osou x, program Derive 6, ho uvedie ako lineárnu rovnicu v tvare x = číslo. Obrázok 6 Súradnice priesečníkov grafu funkcie s osou x [-3, 0] a [1, 0]

V prípade, že priesečník grafu kvadratickej funkcie s osou x neexistuje, graf kvadratickej funkcie nepretne os x a program Derive 6 v riešení rovnice f(x) = 0 uvedie výsledok v obore komplexných čísel. Obrázok 7 Súradnice vrchola paraboly [1, -2] využitie súradníc grafického kurzora Obrázok 8 Súradnice priesečníkov grafu funkcie s osou x neexistujú Pri hľadaní predpisu kvadratickej funkcie tiež využijeme riešenie sústavy rovníc v okne Algebra. Rovnako, ako pri hľadaní priesečníkov grafu funkcie s osou x, využijeme tlačidlo Riešiť (resp. Solve ), zvolíme riešiť sústavu (resp. System ), udáme počet rovníc (v tomto prípade 2 alebo 3), napíšeme príslušné rovnice sústavy, udáme premenné riešenia (napr. p, q alebo a, b, c) a stlačíme riešiť.

4 PRAKTICKÁ ČASŤ 4.1. Kvadratické funkcie - úvod Tému Kvadratické funkcie máme v Školskom vzdelávacom programe na Gymnáziu J. A. Raymana v Prešove v predmete Matematika zaradenú v 1. ročníku. Nasleduje po učive o funkciách (vo všeobecnosti) a tiež po lineárnych funkciách. Východiskovými poznatkami sú spôsoby zadania funkcií a ich vlastnosti (definičný obor, obor hodnôt, párnosť / nepárnosť, monotónnosť, extrémy a ohraničenie) a poznatky o lineárnych funkciách. Bezprostredne nadväzuje na tému kvadratické rovnice a nerovnice. Teda žiak už vie v množine reálnych čísel riešiť kvadratické rovnice rôznymi spôsobmi. Vie, koľko koreňov má kedy kvadratická rovnica a kvadratické nerovnice vie riešiť rozkladom na súčin, resp. metódou nulových bodov na číselnej osi. Úvodný vstup (nie je potrebná celá vyučovacia hodina) zvyknem realizovať s kriedou, resp. fixou a na tabuli. Najprv zavedeniem pojem kvadratická funkcia každá funkcia definovaná predpisom y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, pričom a 0. Jej grafom je osovo súmerná krivka parabola. Následne spolu so žiakmi odvodím, ako vyzerá parabola najjednoduchšej (základnej) kvadratickej funkcie y = x 2. Najprv vypočítame a do tabuľky zapíšeme niekoľko funkčných hodnôt: Tabuľka 1 Funkčné hodnoty funkcie y = x 2 x 4 3 2 1 y = x 2 16 9 4 1 1 2 1 4 Následne načrtneme graf tejto funkcie: 1 4 0 1 16 0 1 2 1 4 1 4 1 16 1 2 3 4 1 4 9 16 Obrázok 9 Graf funkcie y = x 2

Na základe načrtnutého grafu vysvetlím pojem vrchol paraboly a určíme, ktorá priamka je osou súmernosti základnej kvadratickej funkcie ide o priamku x = 0. Následne žiakom poviem, že každú kvadratickú funkciu danú predpisom y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, pričom a 0 možno upraviť na tvar y = a(x + m) 2 + n, kde a, m, n R a túto úpravu predpisu nazývame úprava na štvorec (úprava na druhú mocninu dvojčlena). Spomenutú úpravu sa naučíme neskôr (asi o 2 vyučovacie hodiny) a na nasledujúcej hodine budeme skúmať vplyv rôznych hodnôt čísel a, m, n R na graf základnej kvadratickej funkcie. 4.2. Vplyv reálnych parametrov a, m, n na graf kvadratickej funkcie y=a(x+m) 2 +n Ide o druhú vyučovaciu hodinu, na ktorej sa budeme venovať kvadratickým funkciám. Na začiatku hodiny žiaci dostanú prvý pracovný list s inštrukciami (obrázok 10). Nakoľko to nie je ich prvé stretnutie s programom Derive 6, nemusím podrobne vysvetľovať prácu s ním, len pripomeniem, ako sa v ňom zadávajú príkazy (predpisy jednotlivých funkcií) a kreslia grafy. Okrem práce s programom Derive 6, v ktorom kreslia grafy kvadratických funkcií, majú žiaci za úlohu vytvoriť wordovský dokument, do ktorého skopírujú vlastné nakreslené grafy, resp. skupiny grafov. Ich wordovský dokument je väčšinou 2-stranový a majú v ňom vynechané miesto na pozorovanie. Závery pozorovaní, ktoré si majú premyslieť za domácu úlohu, budú úvodným vstupom nasledujúcej vyučovacej hodiny. Samozrejme, vlastné vytlačené dokumenty formátu MS Word si majú žiaci priniesť na nasledujúcu hodinu. Kopírovanie grafov odporúčam žiakom realizovať pomocou tlačidla PrintScreen a základných úprav v aplikácii Skicár, ktorý je súčasťou Príslušenstva sytému Windows. V Skicári si žiaci graf uložia do niektorého z grafických formátov, príp. len vystrihnutý graf vložia do pripraveného wordovského dokumentu. Počas vyučovacej hodiny upozorním žiakov, aby do spoločnej súradnicovej sústavy zobrazovali skupiny grafov tak, ako sú uvedené v pokynoch na pracovnom liste. Pripomeniem im vkladanie názvu grafu - celého predpisu alebo len jeho označenia pomocou písmena. Vyučovaciu hodinu zvyknem realizovať v multimediálnej učebni, kde dvojice žiakov pracujú samostatne pri jednom počítači. Pomocou dataprojektora prenášam obraz učiteľského počítača na plátno. Počas hodiny fungujem ako poradca pre žiakov, ktorí pracujú vo dvojiciach.

Grafy kvadratických funkcií Kvadratické funkcie I. V programe Derive 6 nakreslite do spoločnej súradnicovej sústavy grafy daných funkcií: 1. y = x 2, 2. y = x 2, 3. y = x 2, 4. y = x 2, 5. y = x 2, y = x 2. y = 2x 2, y = 4x 2, y = 10x 2, y = 2x 2, y = 4x 2, y = 10x 2, 1 y = x 2, 2 1 y = x 2, 4 1 y = x 2, 2 1 y = x 2, 4 y = 10 1 x 2, y = 10 1 x 2, Pozorovanie: Aký vplyv má parameter a na graf funkcie y = a.x 2 v porovnaní s grafom y = x 2? V programe Derive 6 nakreslite do spoločnej súradnicovej sústavy grafy funkcií: 6. y = x 2, 7. y = x 2, 2 1 y = x, 2 y = (x+2) 2, y = (x+4) 2, Pozorovanie: y = (x 1) 2, 2 3 y = x, 2 y = (x 3) 2, Aký vplyv má parameter m na graf funkcie y = (x m) 2 v porovnaní s y = x 2? V programe Derive 6 nakreslite do spoločnej súradnicovej sústavy grafy funkcií: 8. y = x 2, y = x 2 + 1, 9. y = x 2, y = x 2 2, y = x 2 + 2 5, y = x 2 2 5, y = x 2 + 5, y = x 2 4, Pozorovanie: Aký vplyv má parameter n na graf funkcie y = x 2 n v porovnaní s y = x 2? Vytvorte dokument vo formáte MS Word. Do vytvoreného dokumentu skopírujte a vložte postupne všetky svoje grafy. Nechajte priestor na závery pozorovaní. Dokument vytlačte a doneste na budúcu hodinu. Premyslite si výsledky svojho pozorovania. Obrázok 10 Pracovný list č. 1

Tabuľka 2 Metodický list k pracovnému listu č.1 Téma Grafy kvadratických funkcií (tvar a posun v súradnicovej sústave) Tematický celok Kvadratické rovnice, nerovnice a funkcie Ročník prvý ročník G4, piaty ročník G8 Špecifický cieľ - využitie programu Derive 6 - vytvorenie textového dokumentu v programe MS Word Ciele - spoznať a rozoznať vplyv rôznych hodnôt jednotlivých Žiak sa naučí parametrov na graf kvadratickej funkcie - formulovať závery vlastného pozorovania - transformovať výsledky získané prácou v programe Derive 6 do zmysluplných slov a viet v texte - aplikovať získané poznatky o vplyve rôznych hodnôt jednotlivých parametrov na graf akejkoľvek Východiská Od žiaka sa vopred očakáva Kompetencie Žiak si osvojí Didaktické problémy Žiak sa bude zaoberať Pomôcky Metódy a formy práce kvadratickej funkcie - ovládanie práce s programom Derive 6 - základná znalosť práce s vystrihovaním, úpravou a vkladaním obrázkov - ovládanie práce s programom MS Word - poznanie grafu základnej kvadratickej funkcie y = x 2 - chápanie pojmu parameter, resp. hodnota parametra - využívanie práce s programom Derive 6 - rozvoj matematického myslenia a vyjadrovania sa - rozvoj analytického a kritického myslenia - podporu vlastností vedúcich k samostatnosti, vytrvalosti, systematickosti a dôvere vo vlastné schopnosti - tvorbou grafov kvadratických funkcií - praktickým skúmaním vplyvov rôznych hodnôt jednotlivých parametrov na grafy kvadratických funkcií - tvorbou dokumentu v programe MS Word - orientovaním sa vo vlastných grafických výsledkoch - formulovaním vlastných záverov o vplyve jednotlivých parametrov na graf kvadratickej funkcie - vytlačené pracovné listy pre žiakov - učiteľský počítač s dataprojektorom - počítače pre žiakov - tlačiareň - motivačný rozhovor - heuristický rozhovor - projektová metóda - výučba podporovaná počítačom - samostatná práca a práca v skupine (vo dvojici) - diskusia 20

Výsledkom práce žiakov s prvým pracovným listom sú skupiny grafov (obrázok 11 obrázok 19). V úvode nasledujucej vyučovacej hodiny si spolu zhrnieme, k akým záverom žiaci prišli a na vynechané miesto vo wordovskom dokumente si každý dopíše výsledky pozorovania vplyvu jednotlivých reálnych parametrov a, m, n na graf kvadratickej funkcie y=a(x+m) 2 +n. Uvedený dokument si žiaci vlepia do zošita ako súčasť poznámok. Obrázok 11 Vplyv záporného parametra a na graf kvadratickej funkcie y=ax 2 Obrázok 12 Vplyv parametra a, 1 na graf kvadratickej funkcie y=ax 2 Obrázok 13 Vplyv parametra a funkcie y=ax 2 1, 0 na graf kvadratickej 21

Obrázok 14 Vplyv parametra a 0, 1 na graf kvadratickej funkcie y=ax 2 Obrázok 15 Vplyv parametra a funkcie y=ax 2 1, na graf kvadratickej Pozorovanie: Reálny parameter a ovplyvňuje tvar paraboly y=ax 2. V prípade, že a < 0, graf kvadratickej funkcie y=ax 2 sa otáča okolo osi x - parabola má tvar kopca. a < 1, graf základnej kvadratickej funkcie y=x 2 sa a-krát rozšíri. a > 1, graf základnej kvadratickej funkcie y=x 2 sa a-krát zúži. Obrázok 16 Vplyv parametra m > 0 na graf kvadratickej funkcie y = (x + m) 2 22

Obrázok 17 Vplyv parametra m < 0 na graf kvadratickej funkcie y = (x + m) 2 Pozorovanie: Reálny parameter m ovplyvňuje posun paraboly y = (x + m) 2 v smere osi x. V prípade, že m < 0, graf základnej kvadratickej funkcie y=x 2 sa posúva doprava o m jednotiek. m > 0, graf základnej kvadratickej funkcie y=x 2 sa posúva doľava o m jednotiek. Obrázok 18 Vplyv parametra n < 0 na graf kvadratickej funkcie y=x 2 +n Obrázok 19 Vplyv parametra n > 0 na graf kvadratickej funkcie y=x 2 +n Pozorovanie: Reálny parameter n ovplyvňuje posun paraboly y=x 2 +n v smere osi y. V prípade, že n < 0, graf základnej kvadratickej funkcie y=x 2 sa posúva dole o n jednotiek. n > 0, graf základnej kvadratickej funkcie y=x 2 sa posúva hore o n jednotiek. 23

4.3. Významné body grafov kvadratických funkcií Po skúsenostiach s grafmi kvadratických funkcií s predpisom v tvare y=a(x+m) 2 +n, kde a, m, n R, prejdeme postupne na funkcie dané rovnicou y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, pričom a 0. Najprv však uvediem pokračovanie tretej vyučovacej hodiny venovanej kvadratickým funkciám. (V jej úvode sme zhrnuli vplyv rôznych hodnôt reálnych parametrov a, m, n na tvar a posun základnej kvadratickej funkcie.) Na základe získaných skúseností spolu so žiakmi načrtnem na tabuľu graf funkcie, ktorá bude naraz obsahovať všetky tri reálne parametre a, m, n. Spolu zdôvodníme postupnosť jednotlivých pomocných grafov prv, než načrtneme samostný výsledný graf funkcie. Pripomeniem žiakom pojmy vrchol paraboly a os súmernosti paraboly. Príklad Načrtnite grafy funkcií a: y = 2(x + 1) 2 3, b: y = (x + 2) 2 + 4, c: y = 0,5(x 1) 2 + 5, d: y = 3(x 2) 2 1. Na tomto mieste uvediem len riešenie prvého príkladu, nakoľko nejde o využitie programu Derive 6, na aplikáciu ktorého je moja práca zameraná. Pred samotným zostrojením grafu funkcie a napíšem predpisy a načrtnem grafy troch pomocných funkcií: a1: y = x 2... základná kvadratická funkcie a2: y = 2x 2... 2-násobné zúženie funkcie a1 a3: y = 2(x + 1) 2... posun funkcie a2 na osi x o 1 doľava a: y = 2(x + 1) 2 3... posun funkcie a3 na osi y o 3 dole (Zatiaľ nevenujem pozornosť presnosti grafu ohľadom priesečníkov so súradnicovými osami.) Obrázok 20 Grafy jednotlivych funkcií z riešenia príkladu funkcie a Vrchol paraboly funkcie a má súradnice [ 1, 3] a os súmernosti je priamka x = 1. Následne po načrtnutí grafov ostatných funkcií b, c, d zovšeobecním, že pri funkcii v tvare y=a(x+m) 2 +n má vrchol paraboly súradnice [ m, n] a jej os prechádza x-ovou súradnicou jej vrchola rovnobežne s osou y, teda má rovnicu x = m. Na konci hodiny sa so žiakmi dohodnem, že v budúcnosti nebude potrebné pri kreslení grafov kvadratických funkcií zakaždým posúvať, otáčať, rozširovať / zužovať základnú kvadratickú funkciu. Avšak bude potrebné pre dostatočnú presnosť grafu určiť a v súradnicovej sústave vyznačiť významné body každej paraboly, a to jej vrchol, a priesečníky so súradnicovými osami (samozrejme, pokial tie s osou x existujú). Cieľom štvrtej vyučovacej hodiny venovanej kvadratickým funkciám bude objavenie súvislosti medzi súradnicami vrchola paraboly a jej priesečníkov s osami súradnicovej sústavy a jej predpisom v tvare y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, pričom a 0. 24

Na začiatku hodiny žiaci dostanú druhý pracovný list (obrázok 21). Ich úlohou bude nájsť vyššie opísanú súvislosť s využitím programu Derive 6. Významné body grafov kvadratických funkcií Kvadratické funkcie II. V programe Derive 6 nakreslite graf danej funkcie, zistite a zapíšte súradnice vrcholu paraboly a súradnice priesečníkov grafu so súradnicovými osami. Vytvorte dokument vo formáte MS Word. Do vytvoreného dokumentu skopírujte a vložte postupne všetky svoje grafy a doplňte k nim zistené súradnice bodov. Dokument vytlačte a doneste na budúcu hodinu. 1. a: y = x 2 4x + 4, 2. b: y = x 2 + 2x 3, 3. c: y = x 2 4, 4. d: y = x 2 6x + 11, 5. e: y = x 2 + 1, 6. f: y = x 2 2, 7. g: y = x 2 4x, 8. h: y = x 2 + 2x, 9. i: y = x 2 + 2x 3, 10. j: y = 2x 2 20x + 42, 1 11. k: y = x 2 + 4x 6. 2 Porozmýšľajte, ako súvisí predpis kvadratickej funkcie v tvare y = ax 2 + bx + c so súradnicami vrcholu paraboly V[m, n], so súradnicami P x priesečníka s osou x, so súradnicami P y priesečníka s osou y.? Obrázok 21 Pracovný list č. 2 25

Tabuľka 3 Metodický list k pracovnému listu č.2 Téma Významné body grafov kvadratických funkcií (vrchol a priesečníky so súradnicovými osami) Tematický celok Kvadratické rovnice, nerovnice a funkcie Ročník prvý ročník G4, piaty ročník G8 Špecifický cieľ - využitie programu Derive 6 - vytvorenie textového dokumentu v programe MS Word Ciele - spoznať ako súvisí x-ová súradnica vrcholu paraboly Žiak sa naučí s koeficientom lineárneho (resp. aj kvadratického) člena predpisu kvadratickej funkcie - určiť počet priesečníkov s x-ovou osou v závislosti od predpisu kvadratickej funkcie - spoznať súvislosť medzi y-ovou súradnicou priesečníka paraboly s osou y a absolútnym členom predpisu kvadratickej funkcie - formulovať závery vlastného pozorovania - transformovať výsledky získané prácou v programe Derive 6 do zmysluplných slov a viet v texte - aplikovať získané poznatky o významných bodoch grafu na Východiská Od žiaka sa vopred očakáva Kompetencie Žiak si osvojí Didaktické problémy Žiak sa bude zaoberať Pomôcky predpis akejkoľvek kvadratickej funkcie - ovládanie práce s programom Derive 6 - základná znalosť práce s vystrihovaním, úpravou a vkladaním obrázkov - ovládanie práce s programom MS Word - poznanie grafu kvadratickej funkcie y = a(x m) 2 n - chápanie pojmu vrchol paraboly a priesečníky grafu so súradnicovými osami - ovládanie pojmov kvadratický, lineárny a absolútny člen (resp. koeficient) kvadratického trojčlena - využívanie práce s programom Derive 6 - rozvoj matematického myslenia a vyjadrovania sa - rozvoj analytického a kritického myslenia - podporu vlastností vedúcich k samostatnosti, vytrvalosti, systematickosti a dôvere vo vlastné schopnosti - tvorbou grafov kvadratických funkcií - praktickým skúmaním súvislostí medzi hodnotami jednotlivých členov (resp. ich koeficientov) v predpise kvadratickej funkcie a súradnicami významných bodov grafov kvadratických funkcií - tvorbou dokumentu v programe MS Word - orientovaním sa vo vlastných grafických výsledkoch - formulovaním vlastných záverov o súradniciach vrcholu a priesečníkov grafu so súradnicovými osami v závislosti od predpisu kvadratickej funkcie - vytlačené pracovné listy pre žiakov - učiteľský počítač s dataprojektorom - počítače pre žiakov - tlačiareň 26

Metódy a formy práce - motivačný rozhovor - heuristický rozhovor - projektová metóda - výučba podporovaná počítačom - samostatná práca a práca v skupine (vo dvojici) - diskusia Opäť okrem práce s programom Derive 6, v ktorom nakreslia grafy zadaných kvadratických funkcií, majú žiaci za úlohu vytvoriť wordovský dokument, do ktorého skopírujú vlastné grafy. (Stači skopírovat grafické okno.) Obrázky grafov funkcií nemusia byť veľké, na jednu stranu formátu A4 môžu vložiť 3 x 2, teda spolu 6 grafov a na opačnú zvyšné 3 + 2 grafy. Každý graf odporúčam žiakom pomenovať v programe Derive 6 (buď číslom úlohy alebo pomocou zadanej premennej), alebo napísať predpis zadanej funkcie priamo vo vytvorenom textovom dokumente. Pod každým grafom navrhujem nechať priestor na doplnenie súradníc hľadaných bodov. Pri ich hľadaní odporúčam žiakom využiť funkciu krížik v grafickom okne programu Derive 6. V závere hodiny si hodnoty zistených súradníc spoločne skontrolujeme. Kopírovanie grafov odporúčam žiakom realizovať pomocou tlačidla PrintScreen a základných úprav v aplikácii Skicár, ktorý je súčasťou Príslušenstva sytému Windows. Vyučovaciu hodinu zvyknem realizovať v multimediálnej učebni, kde dvojice žiakov pracujú pri jednom počítači. Pomocou dataprojektora môžem prenášať obraz z učiteľského počítača na plátno. Počas hodiny opäť fungujem ako poradca pre žiakov. Ďalej uvádzam numerické výsledky všetkých úloh z druhého pracovného listu: 1. V[2, 0] Px[2, 0] Py[0, 4] 2. V[ 1, 4] Px1[ 3, 0] a Px2[1, 0] Py[0, 3] 3. V[0, 4] Px1[ 2, 0] a Px2[2, 0] Py[0, 4] 4. V[3, 2] Px nemá Py[0, 11] 7. V[ 2, 4] Px1[ 4, 0] a Px2[0, 0] Py[0, 0] 10. V[5, 8] Px1[3, 0] a Px2[7, 0] Py[0, 42] 5. V[0, 1] Px1[ 1, 0] a Px2[1, 0] Py[0, 1] 8. V[1, 1] Px1[0, 0] a Px2[2, 0] Py[0, 0] 11. V[4, 2] Px1[2, 0] a Px2[6, 0] Py[0, 6] 6. V[0, 2] Px nemá Py[0, 2] 9. V[1, 2] Px nemá Py[0, 3] Vysvetlivky označenia V vrchol paraboly Px priesečník s osou x Py priesečník s osou y Z priestorových dôvodov na tomto mieste neuvádzam grafické výsledky všetkych úloh. Grafické riešenie príkladu 2 je na obrázku 5 a príkladu 9 na obrázku 7. 27

Za domácu úlohu majú žiaci vytlačiť svoj dokument a porozmýšľať nad prepojením medzi súradnicami vrcholu paraboly a jej priesečníkov s osami súradnicovej sústavy a jej predpisom v tvare f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, pričom a 0. Mali by si všimnúť, že príklady č. 3, 5 a 6 sú zároveň v tvare aj y = ax 2 + bx + c, aj y=a(x+m) 2 +n, pričom b, resp. m sú nulové, teda x-ová súradnica vrcholu paraboly je nula a ten je totožný s priesečníkom s osou y, v príkladoch 1, 2 a 4 je x-ová súradnica vrcholu paraboly opačným číslom k polovici lineárneho koeficientu b, v príkladoch 7, 8 a 9 je x-ová súradnica vrcholu paraboly polovicou hodnoty lineárneho koeficientu b, v každom príklade má priesečník s osou y súradnice v tvare [0, c] a spomenúť si, že je funkčnou hodnotou f(0). Aspoň niektorí by si mohli uvedomiť, že každá parabola má najviac dva priesečníky s osou x, a teda ich počet súvisí s počtom koreňov kvadratickej rovnice f(x) = 0. Piata hodina k téme kvadratických funkcií bude venovaná klasickému mechanickému natrénovaniu úpravy kvadratického trojčlena na štvorec, teda na druhú mocninu dvojčlena. Príklady k tejto problematike na tomto mieste neuvádzam, nakoľko tu neviem využiť program Derive 6, uplatneniu ktorého sa venujem v tejto práci. 4.4. Grafy kvadratických funkcií a ich vlastnosti Na ďalšej vyučovacej hodine stmelíme doteraz získané vedomosti a zručnosti (úprava predpisu kvadratickej funkcie na štvorec, určenie súradníc vrcholu paraboly a jej priesečníkov so súradnicovými osami, načrtnutie grafu funkcie) a pripomenieme si vlastnosti funkcií napríklad na niektorej z funkcií z predošlej hodiny z pracovného listu č. 2 (definičný obor, obor hodnôt, párnosť / nepárnosť, monotónnosť, extrémy a ohraničenie funkcie). Po oboznámení žiakov s obsahom práce na vyučovacej hodine dostanú tretí pracovný list (obrázok 22). Ich úlohou bude upraviť predpis každej z daných funkcií na štvorec, zistiť súradnice vrcholu paraboly a jej priesečníkov so súradnicovými osami, načrtnúť jej graf a na základe grafu určiť vlastnosti danej funkcie. Svoje riešenia si zapisujú do zošitov a pomocou programu Derive 6 si samostatne, príp. v dvojiciach skontrolujú svoje grafy. Taktiež si môžu v programe Derive 6 skontrolovať súradnice priesečníkov s osou x, napr. pomocou riešenia rovnice f(x) = 0. Jednotlivé funkcie sa postupne riešia aj na tabuli, takže svoje výsledky si žiaci priebežne kontrolujú. Vyučovaciu hodinu som znova realizovala v multimediálnej učebni, kde dvojice žiakov pracovali pri jednom počítači. Nebolo potrebné prenášať obraz učiteľského počítača na plátno. 28

Grafy kvadratických funkcií a ich vlastnosti Kvadratické funkcie III. Dané sú funkcie: a: y = x 2 + 8x + 15, b: y = x 2 4x + 7, c: y = x 2 + x, d: y = x 2 + 6x 8, e: y = 3x 2 3, f: y = 2x 2 + 4x + 3, 1 g: y = x 2 + x + 4, 2 h: y = 3 1 x 2 + 2x + 3. 1. Predpis každej z funkcií upravte na štvorec (druhú mocninu dvojčlena) a určte súradnice jej vrcholu. 2. Zistite súradnice priesečníkov grafu každej z funkcií so súradnicovými osami. 3. Načrtnite graf každej funkcie. 4. Určte vlastnosti každej funkcie. Skontrolujte si Vaše grafy v programe Derive 6. Domáca úloha uč. Funkcie I. 46 / 2.9! Obrázok 22 Pracovný list č. 3 Tabuľka 4 Metodický list k pracovnému listu č.3 Téma Grafy kvadratických funkcií a ich vlastnosti Tematický celok Kvadratické rovnice, nerovnice a funkcie Ročník prvý ročník G4, piaty ročník G8 Špecifický cieľ využitie programu Derive 6 Ciele Žiak sa naučí - určovať vlastnosti kvadratickej funkcie na základe jej grafu - porovnať výsledky získané prácou v programe Derive 6 so svojimi vlastnými výsledkami 29

Východiská Od žiaka sa vopred očakáva Kompetencie Žiak si osvojí Didaktické problémy Žiak sa bude zaoberať Pomôcky Metódy a formy práce - ovládanie práce s programom Derive 6 - znalosť úpravy predpisu kvadratickej funkcie na štvorec - schopnosť načrtnúť graf ľubovoľnej kvadratickej funkcie - určenie súradníc významných bodov grafu kvadratickej funkcie (vrchol, priesečníky so súradnicovými osami) - chápanie pojmu vlastnosti funkcie - využívanie práce s programom Derive 6 - rozvoj matematického myslenia a vyjadrovania sa - rozvoj analytického a kritického myslenia - podporu vlastností vedúcich k samostatnosti, vytrvalosti, systematickosti a dôvere vo vlastné schopnosti - úpravou predpisu kvadratických funkcií na štvorec - určovaním súradníc vrcholu a priesečníkov grafu kvadratickej funkcie s osami súradníc - tvorbou grafov kvadratických funkcií - orientovaním sa vo vlastných grafických výsledkoch - určovaním vlastností kvadratických funkcií na základe ich grafov - vytlačené pracovné listy pre žiakov - učiteľský počítač s dataprojektorom (nemusí byť) - tabuľa - počítače pre žiakov - zošity - motivačný rozhovor - heuristický rozhovor - výučba podporovaná počítačom - samostatná práca a práca v skupine (vo dvojici) - diskusia Ďalej uvádzam riešenia jednotlivých funkcií z pracovného listu č. 3. a: y = (x + 4) 2 1, V[ 4, 1], Px1[ 5, 0], Px2[ 3, 0], Py[0, 15] Da = R Ha = 1, nie je párna, ani nepárna klesajúca na, 4 rastúca na 4, minimum v 4 ohraničená zdola Obrázok 23 Graf funkcie y = x 2 + 8x + 15 30

b: y = (x 2) 2 + 3, V[2, 3], Px nemá, Py[0, 7] Da = R Ha = 3, nie je párna, ani nepárna klesajúca na, 2 rastúca na 2, minimum v 2 ohraničená zdola Obrázok 24 Graf funkcie y = x 2 4x + 7 c: y = (x 0,5) 2 + 0,25, V[0,5; 0,25], Px1[0, 0], Px2[1, 0], Py[0, 0] Da = R Ha =, 1 4 nie je párna, ani nepárna rastúca na ; 0, 5 klesajúca na 0,5; maximum v 0,5 ohraničená zhora Obrázok 25 Graf funkcie y = x 2 + x d: y = (x 3) 2 + 1, V[3, 1], Px1[2, 0], Px2[4, 0], Py[0, 8] Da = R Ha =, 1 nie je párna, ani nepárna rastúca na, 3 klesajúca na 3, maximum v 3 ohraničená zhora Obrázok 26 Graf funkcie y = x 2 + 6x 8 31

e: y = 3x 2 3, V[0, 3], Px1[ 1, 0], Px2[1, 0], Py[0, 3] Da = R Ha = 3, je párna, nie je nepárna klesajúca na, 0 rastúca na 0, minimum v 0 ohraničená zdola Obrázok 27 Graf funkcie y = 3x 2 3 f: y = 2(x + 1) 2 + 1, V[ 1, 1], Px nemá, Py[0, 3] Da = R Ha = 1, nie je párna, ani nepárna klesajúca na, 1 rastúca na 1, minimum v 1 ohraničená zdola Obrázok 28 Graf funkcie y = 2x 2 + 4x + 3 g: y = 0,5(x 1) 2 + 4,5; V[1; 4,5], Px1[ 2, 0], Px2[4, 0], Py[0, 4] Da = R Ha = ; 4, 5 nie je párna, ani nepárna rastúca na, 1 klesajúca na 1, maximum v 1 ohraničená zhora Obrázok 29 Graf funkcie y = 1 x 2 x 4 2 32

y 1 2 3 ; V[3, 6], 3 3, 0], Px2[ 3 3 2, 0], Py[0, 3] h: x 3 6 Px1[ 2 Da = R Ha =, 6 nie je párna, ani nepárna rastúca na, 3 klesajúca na 3, maximum v 3 ohraničená zhora Obrázok 30 Graf funkcie y = 1 x 2 2 x 3 3 4.5. Hľadanie predpisu kvadratickej funkcie Záverom problematiky kvadratických funkcií je zostavenie predpisu (rovnice) funkcie, ktorej vlastnosti poznáme. Jedná sa najčastejšie o dané súradnice bodov, ktorými prechádza jej graf, resp. dané funkčné hodnoty. V každom prípade je pri riešení úlohy potrebné zostaviť sústavu rovníc, ktorej koreňmi sú hľadané hodnoty kvadratického, lineárneho a absolútneho člena kvadratického trojčlena. Program Derive 6 tu možno využiť pri riešení sústav rovníc. Na obrázku 31 je posledný pracovný list, ktorý som pripravila pre svojich žiakov. Hľadanie predpisu kvadratickej funkcie Kvadratické funkcie IV. 1. Určte hodnoty parametrov p, q v predpise kvadratickej funkcie f: y = x 2 + px + q tak, aby jej graf prechádzal danými bodmi: a) A 0, 2 ; B 2, 4, b) C 5,14 ; D, 14 2. 2. Určte hodnoty parametrov p, q v predpise kvadratickej funkcie f: y = x 2 + px + q tak, aby platilo: a) f (1) = 1; f ( 1) = 5, b) f ( 6) = 7; f ( 3) = 2. 3. Nájdite predpis kvadratickej funkcie f tak, aby jej graf prechádzal danými bodmi: a) K 0, 5 ; L 3, 4 ; M, 0 b) P 1, 6 ; R 0, 7 ; S 3,16. 1, 4. Nájdite predpis kvadratickej funkcie f tak, aby platilo: a) f (1) = 4; f ( 1) = 12; f (0) = 5, b) f (2) = 6; f ( 6) = 10; f (4) = 0. 33

5. Nájdite predpis kvadratickej funkcie tak, aby platilo: a) graf funkcie pretína os y v obraze čísla 6, os x v obrazoch čísel 2 a 3, b) graf funkcie pretína os y v obraze čísla 6, os x v obrazoch čísel 2 a 3. 6. Nájdite predpis kvadratickej funkcie tak, aby platilo: a) graf funkcie pretína os x v obrazoch čísel 4 a 6, pričom koeficient lineárneho člena je 4, b) graf funkcie pretína os x v obrazoch čísel 1 a 3, pričom koeficient kvadratického člena je 2. Zostavte sústavy rovníc, ktoré vedú k riešeniu jednotlivých úloh. V programe Derive 6: si v skontrolujte svoje výsledky v úlohách a) riešte úlohy b). Obrázok 31 Pracovný list č. 4 Tabuľka 5 Metodický list k pracovnému listu č.4 Téma Hľadanie predpisu kvadratickej funkcie Tematický celok Kvadratické rovnice, nerovnice a funkcie Ročník prvý ročník G4, piaty ročník G8 Špecifický cieľ využitie programu Derive 6 Ciele Žiak sa naučí - nájsť predpis kvadratickej funkcie na základe jej daných vlastností - porovnať výsledky získané prácou v programe Derive 6 so Východiská Od žiaka sa vopred očakáva Kompetencie Žiak si osvojí svojimi vlastnými výsledkami - vedieť zostaviť sústavy rovníc vedúce k nájdeniu predpisu kvadratickej funkcie na základe jej daných vlastností - vedieť vyriešiť sústavy rovníc vedúce k nájdeniu predpisu hľadanej kvadratickej funkcie - ovládanie práce s programom Derive 6 - znalosť pojmov predpis (rovnica) kvadratickej funkcie, bod grafu funkcie, funkčná hodnota, priesečník grafu funkcie so súradnicovou osou (x aj y) a jeho súradnice, koeficient kvadratického a lineárneho člena kvadratického trojčlena - využívanie práce s programom Derive 6 - rozvoj matematického myslenia, zápisu a vyjadrovania sa - rozvoj analytického a kritického myslenia - podporu vlastností vedúcich k samostatnosti, vytrvalosti, systematickosti a dôvere vo vlastné schopnosti 34

Didaktické problémy Žiak sa bude zaoberať Pomôcky Metódy a formy práce - zostavovaním rovníc vyjadrujúcich dané vlastnosti kvadratických funkcií - riešením zostavených sústav rovníc - zostavením predpisu kvadratických funkcií na základe zistenia koreňov sústav rovníc - orientovaním sa vo vlastných numerických výsledkoch - porovnaním svojich numerických výsledkov s výsledkami v programe Derive 6 - overovaním správnosti svojich výsledkov - vytlačené pracovné listy pre žiakov - učiteľský počítač s dataprojektorom - tabuľa - počítače pre žiakov - zošity - motivačný rozhovor - heuristický rozhovor - výučba podporovaná počítačom - samostatná práca a práca v skupine (vo dvojici) - diskusia Keďže na posledných hodinách sme pracovali hlavne s grafmi, ktoré umožňuje kresliť program Derive 6, je potrebné žiakom pripomenúť, ako sa v uvedenom programe riešia sústavy rovníc. Podobne ako predošlé vyučovacie hodiny, aj túto som realizovala v multimediálnej učebni, kde žiaci vo dvojiciach pracovali pri jednotlivých počítačoch. V úvode hodiny som im pripomenula a pomocou dataprojektora premietla postup, ako sa zapíšu a riešia sústavy rovníc (dvoch s dvoma neznámymi, resp. troch s tromi neznámymi) v programe Derive 6. Sústavy lineárnych rovníc, ktoré vedú k nájdeniu funkcie so zadanými vlastnosťami, by mali žiaci vedieť zostaviť sami. V priebehu hodiny riešime jednotlivé sústavy rovníc aj ručne na tabuľu, pričom využívame rôzne spôsoby ich riešenia. Ďalej najprv uvádzam sústavy, ktoré vedú k riešeniu jednotlivých úloh a výsledný predpis hľadanej funkcie z pracovného listu č. 4. 1. a) 2 = q 4 = 4 + 2p + q f: y = x 2 x +2 1. b) 14 = 25 5p + q 14 = 4 + 2p + q f: y = x 2 x 16 2. a) 1 = 1 + p + q 5 = 1 p + q f: y = x 2 2x +2 2. b) 7 = 36 6p + q 2 = 9 3p + q f: y = x 2 + 12x +29 V úlohách 3. 5. riešime sústavu v tvare y = ax 2 + bx + c, pričom hľadáme 3. a) y = ax 2 + bx + c 3. b) y = ax 2 + bx + c 5 = c 6 = a + b + c 4 = 9a + 3b + c 7 = c 0 = a + b + c 16 = 9a + 3b + c f: y = x 2 6x +5 f: y = 2x 2 3x +7 a, b, c R 35

4. a) y = ax 2 + bx + c 6 = 4a + 2b + c 10 = 36a 6b + c 0 = 16a + 4b + c f: y = 2 1 x 2 8 4. b) y = ax 2 + bx + c 4 = a + b + c 12 = a b + c 5 = c f: y = x 2 8x +5 5. a) y = ax 2 + bx + c 6 = c 0 = 4a 2b + c 0 = 9a 3b + c f: y = x 2 + 5x +6 6. a) y = ax 2 4x + c 0 = 16a + 16 + c 0 = 36a 24 + c f: y = 2x 2 4x 48 5. b) y = ax 2 + bx + c 6 = c 0 = 4a 2b + c 0 = 9a 3b + c f: y = x 2 5x 6 6. b) y = 2x 2 + bx + c 0 = 2 b + c 0 = 18a + 3b + c f: y = 2x 2 + 4x +6 Nakoniec uvádzam ukážky riešenia niektorých sústav z pracovného listu č. 4 v programe Derive 6. Obrázok 32 Zadanie sústavy rovníc z príkladu 1b) 36

Obrázok 33 Riešenie sústavy rovníc z príkladu 1b) Obrázok 34 Zadanie sústavy rovníc z príkladu 3b) 37

Obrázok 35 Riešenie sústavy rovníc z príkladu 3b) 38

5 OVERENÉ VÝSLEDKY OPS Moje skúsenosti potvrdzujú, že realizácia netradičného vyučovania kvadratických funkcií aj s využitím programu Derive 6 (v porovnaní s len klasickým vyučovaním) je väčšinou pozitívne hodnotená zo strany žiakov. Dôvodov je hneď niekoľko. Vo vyjadreniach svojich názorov žiaci uviedli napríklad, že práca s programom Derive 6 pre nich znamenala atraktívnu formu vyučovania matematiky, využitie IKT namiesto obyčajnej kriedy a tabule, možnosť samostatného objavenia nových poznatkov možnosť individuálneho overenia už známych poznatkov, prácu individuálnym tempom, možnosť sebarealizácie aj pre slabších žiakov. Na druhej strane však musím pripustiť, že sa nájdu aj žiaci, pre ktorých nie je práca s počítačom a programom Derive 6 zaujímavá. Svoj negatívny postoj vysvetlili napríklad tým, že funkcie nie sú ich obľúbenou témou, to nie je len hranie sa s počítačovou technikou, nestihnú všetko dokončiť počas vyučovacej hodiny a popoludní sa im nechce ostať v škole dlhšie. Vyššie uvedené názory žiakov som získala na základe rozhovorov s nimi počas jednotlivých vyučovacích hodín a po samotnej realizácii popísaných vyučovacích hodín. Rovnako sa k spomínaným vyučovacím hodinám vrátili aj pri písomnom anonymnom vyjadrení svojich názorov a postojov k vyučovaniu matematiky v dotazníku na konci školského roka.

ZÁVER V tejto práci som opísala niektoré možnosti aplikácie programu Derive 6 do vyučovania matematiky pri téme kvadratických funkcií. K danej problematike som pre žiakov vytvorila štyri pracovné listy a bližšie som opísala prácu s nimi. Vychádzala som pri tom zo všeobecne záväzných právnych dokumentov, ktoré platia v Slovenskej republike. Zároveň som predpokladala, že žiaci sa už s uvedeným programom niekedy v minulosti stretli a práca s ním nie je pre nich úplnou novinkou. Väčšinu žiakov práca s programom Derive 6 zaujala a nadchla. Bola pre nich niečím novým a inovatívnym v porovnaní s väčšinou klasických vyučovacích hodín. Verím, že pre učiteľov by mohla byť moja osvedčená pedagogická skúsenosť z edukačnej praxe východiskom a inšpiráciou na vytvorenie podobných učebných materiálov. 40

ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ZDROJOV 1. Gabková, J., Omachelová, M. 2008. DERIVE TM 6 ako na to. Slovenská technická univerzita v Bratislave. 2008. 334s. ISBN: 80-969562-3-X 2. Gabková, J., Omachelová, M. 2006. DERIVE TM 6 pre stredoškolských učiteľov. Slovenská technická univerzita v Bratislave. 2006. 134s. ISBN: 80-967305-3-3 3. Holéczyová, S. 2007. Matematika pre stredoškolákov, Zbierka úloh 1. AKTUELL, Bratislava. 2007. 327s. ISBN: 978-80-89153-31-2 4. Odvárko, O. 1990. Funkcie I. pre 1. ročník gymnázia. SPN, Bratislava. 1990. 120s. ISBN: 80-08-00524-6 5. Portik, M., Krajčovičová, M., Mihoková, S. 2009. Základy tvorivosti. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta. 2009. 93s. ISBN: 978-80-8068-941-4 6. Zelina, M. 1996. Stratégie a metódy rozvoja osobnosti. IRIS, Bratislava. 1996. ISBN: 80-967013-4-7. INTERNETOVÉ ZDROJE 7. Štátny vzdelávací program pre gymnáziá. cit. 1.7.2013 Dostupné na www: http://www.statpedu.sk/sk/statny-vzdelavaci-program/statny-vzdelavaci-program-pregymnaziaisced-3a.alej 8. Štátny vzdelávací program pre gymnáziá Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami. cit. 1.7.2013 Dostupné na www: http://www.statpedu.sk/sk/statny-vzdelavaci-program/statny-vzdelavaci-program-pregymnaziaisced-3a/matematika-a-praca-s-informaciami.alej 9. Štátny vzdelávací program Matematika Príloha ISCED 3A. cit. 1.7.2013 Dostupné na www: http://www.statpedu.sk/files/documents/svp/gymnazia/vzdelavacie_oblasti/matematika_isc ed3a.pdf 10. Cieľové požiadavky na vedomosti a zručnosti maturantov z matematiky. cit. 1.7.2013 Dostupné na www: http://www.statpedu.sk/files/documents/katalog%20cielovych%20poziadaviek/matematika _cp.pdf 11. Kontuľová, J. 2012. Derive vo vyučovaní matematiky. MPC Bratislava. 2012. 44s. cit. 1.7.2013 Dostupné na www: http://shared.mpcedu.sk/web/opsoso%20iii.%20kolo%20vyzvy%20na%20poziciu%20odborny%20por adca%20vo%20vzdelavani/ops_kontulova%20jana%20- %20Derive%20vo%20vyucovani%20matematiky.pdf 12. Zoznam kníh a CD-ROM edukačného balíka z Infoveku. cit. 5.7.2013 Dostupné na www: http://www.gjar-po.sk/studium/edu_balik_infovek.htm