5EN306 Aplikované kvantitativní metody I

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 3 Zuzana Dlouhá

Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam popisných charakteristik 4. Vicenásobná regrese v ekonomické analýze 5. Vicenásobná regrese: DUMMY proměnné a jejich interakce 6. Difference in differences estimator 7. First Differencing a Fixed Effects 8. Instrumentální proměnné, Panelová data 9. Testy robustnosti 10. Úvod do časových řad (zbyde-li čas) témata se prolínají 2

Základy ekonometrie opakování KLRM KLRM klasický lineární regresní model příklad: určete, zda existuje závislost výše mzdy na dosaženém vzdělání předpokládáme, že závislost existuje a má lineární tvar: Y X... E( Y X ) 0 1 podmíněná střední hodnota endogenní proměnné Y je lineární funkcí exogenní proměnné X s růstem proměnné X roste v průměru i proměnná Y protože závislost neplatí zahrneme do modelu náhodnou složku Y X u 0 1 toto je hypotetický model pro celou populaci pro odhad potřebujeme nějaká data (zpravidla výběr) Yˆ b b X 0 1 Y b b X e 0 1 toto je model pro konkrétní výběr Y X 3

Základy ekonometrie opakování MNČ MNČ metoda nejmenších čtverců Jak najít přímku, tak aby co nejlépe popisovala závislost? Tj. byla co nejblíže všem bodům? Chceme minimalizovat součet čtverců odchylek (reziduí) e ee 2 T i min Y Maticový zápis KLRM obecný model (maticový zápis): yxβu X X matice (n x k) pozorování exogenních (resp. predeterminovaných) proměnných y vektor (n x 1) pozorování endogenní proměnné β vektor (k x 1) parametrů u náhodná složka, o které předpokládáme, že má normální rozdělení N(0,σ 2 ) 4

Základy ekonometrie opakování MNČ b získáme tak, že e ee 2 T i kdy je funkce minimální? první derivace funkce je nulová druhá derivace funkce je kladná min momentová matice X T X musí být symetrická, čtvercová, regulární (tj. nenulový determinant) 1 potom platí (odhadová funkce MNČ): T T 1 ( T T b X X) X y a získáme vektor odhadnutých parametrů: b ( X X) X y b T ( b0, b1,..., b k ) 5

Základy ekonometrie opakování náhodná složka Gauss-Markovy předpoklady E(u) = 0 nesystematické kolísání kolem nuly náhodné poruchy mají ve všech pozorováních nulovou střední hodnotu E(uu T ) = σ 2 I n konečný a konstantní rozptyl = homoskedasticita porušení: heteroskedasticita náhodné složky jsou sériově nezávislé porušení: autokorelace X je nestochastická matice E(X T u) = 0 veškerá náhodnost je obsažena v náhodné složce vysvětlující proměnné nemají stochastický charakter, nemají endogenní charakter vysvětlující proměnná X i je nestochastická, v případě, že je stochastická, není korelována s náhodní složkou: cov( X, u ) E X E( X ) u E( u ) 0 i i i i i i X má plnou hodnost k matice X neobsahuje žádné perfektně lineárně závislé sloupce pozorování vysvětlujících proměnných porušení: perfektní multikolinearita 6

KLRM vlastnosti odhadové funkce MNČ malý výběr malý počet pozorování (uvádí se n<30 x nelze jednoznačně stanovit) nevychýlený = nestranný = neskreslený odhad: E(b) = β b získáme z více výběrových vzorků E(b) = β + ε, kde ε > 0 odhady jsou systematicky nadhodnocovány E(b) = β + ε, kde ε < 0 odhady jsou systematicky podhodnocovány Nestrannost f(b) ß b 7

KLRM vlastnosti odhadové funkce MNČ malý výběr malý počet pozorování (uvádí se n<30 x nelze jednoznačně stanovit) vydatný = efektivní odhad: standardní chyba regresního koeficientu s b musí být minimální ve srovnání s jinými odhadovými postupy vydatná odhadová funkce poskytuje obecně nejužší intervalové odhady jako nevychýlený odhad může sloužit více statistik, z nichž nejvhodnější je ta, která má minimální rozptyl. Vydatnost f(b) ß b 8

KLRM vlastnosti odhadové funkce MNČ velký výběr počet pozorování cca n 30 konzistentní bodový odhad b je konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému = populačnímu parametru plimb n Konzistence n=1000 n=500 f(b) n=200 β b 9

KLRM vlastnosti odhadové funkce MNČ velký výběr počet pozorování cca n 30 asymptoticky nestranný je to slabší vlastnost, (pokud je odhad konzistentní, tak je i asymptoticky nestranný) plim E( b) n Asymptotická nestrannost f(b) n=500 n=200 ß E(b) 10

KLRM vlastnosti odhadové funkce MNČ velký výběr počet pozorování cca n 30 asymptotická vydatnost rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce Asymptotická vydatnost n=500 f(b) n=200 ß b 11

Odhad KLRM Kvantifikace a interpretace odhadnutý regresní model bodový odhad: Keynesova hypotéza spotřeby C i = 6500 + 0,75I i + e i C i = 6500 + 0,75Ii intervalový odhad parametrů (t-rozdělení je symetrické) P( t t ) j 2 1 t ( n k) 1 /2 / 2 t1 P / ( bj t / 2sb j bj t1 / 2 1 j b j s ) Verifikace ekonomická b 1 náleží do intervalu (0,1) absolutní pružnost relativní pružnost q x b 1 dy dx dy X dx Y b 1 X Y 12

Odhad KLRM Verifikace statistická standardní chyba standardní chyba regresních koeficientů podle následujícího vztahu 2 T 1 S( b) s ( X X) slouží k určení významnosti parametrů, k intervalovým odhadům, charakteristika přesnosti bodových odhadů odhad rozptylu náhodné složky T e e n k t-testy t-statistika slouží k testování statistické významnosti jednotlivých odhadnutých parametrů v modelu bj j bj Coefficient H 0 : β j = 0 t j t j s s b b j j Std. error H 1 : β j 0 t-stat. má při platnosti H 0 t-rozdělení s n-k stupni volnosti * t j t1 α/ 2 ( nk ) zamítám hypotézu H 0 o nevýznamnosti proměnné v modelu, proměnná je tedy statisticky významná na α * t j t1 α/ 2 ( nk ) nezamítám hypotézu H 0 o nevýznamnosti proměnné v modelu, proměnná je tedy statisticky nevýznamná na α s 2 13

Odhad KLRM Verifikace statistická koeficient vícenásobné determinace R 2 hodnotí celkovou kvalitu modelu, určuje, jak se model shoduje s daty Rozptyl Y = vysvětlený rozptyl + nevysvětlený rozptyl Rozptyl empirických hodnot celkový součet čtverců 1 CSC ( yi y) n 2 Rozptyl vyrovnaných hodnot vysvětlený součet čtverců Reziduální rozptyl 2 R 0,1 1 2 VSC ( yˆ i y) n 1 2 NSC ( y ˆ i yi) n 2 VSC NSC R 1 CSC CSC pokud je roven 1 dokonalý model, vystihli jsme modelem 100% variability vysvětlované proměnné 14

Odhad KLRM Verifikace statistická korigovaný koeficient vícenásobné determinace R 2 používá se pro srovnávání více modelů s jiným počtem vysvětlujících proměnných penalizuje vysoký počet vysvětlujících proměnných R 2 1 (1 stejná závislá proměnná a stejný počet pozorování!!! F-poměr (celkový F-test) testuje statistickou významnost modelu jako celku (využívá se Fischerovo rozdělení) H 0 : β 0 = β 1 =... β j = 0 H 1 : non H 0 R 2 n 1 ) n k F 2 R 1 R 2 ( n k) k F( k, n k) F > F* (k,n-k) zamítáme H 0 ve prospěch H 1 F F* (k,n-k) nezamítáme H 0 ve prospěch H 1 15

Odhad KLRM Verifikace ekonometrická ověřuje splnění podmínek pro použití MNČ (případně jiných odhadových technik) testuje se heteroskedasticita, autokorelace, normalita reziduí a analyzuje se kolinearita vysvětlujících proměnných 16

Multikolinearita multikolinearita = existence více než jednoho vztahu lineární závislost mezi pozorováními vysvětlujících proměnných kolinearita = existence pouze jednoho lineárního vztahu porušení G-M je pouze perfektní multikolinearita!!! pozn. většinou se v obou případech používá pojmu multikolinearita i v případě existence pouze jednoho lineárního vztahu mezi proměnnými požadavek, aby matice X neobsahovala žádné perfektně lineárně závislé sloupce pozorování vysvětlujících proměnných, takže X T X je regulární symetrická matice řádu k a existuje k ní inverze, tj. odhad MNČ je možný x det(x T X) = 0 a X T X je singulární zpravidla perfektní kolinearita příp. multikolinearita není, ale kolinearita je velmi silná, det(x T X) je blízký nule, ale nenulový a inverze matice (X T X) existuje týká se pouze jednoho konkrétního výběru, nikoliv základního souboru proto se multikolinearita NETESTUJE, jen zjišťuje a měří její významnost v jednom konkrétním výběru podstata zkoumání: intenzita závislosti mezi dvěma nebo více vysvětlujícími proměnnými zda je či není multikolinearita únosná 18

Multikolinearita příčiny tendence časových řad ekonomických ukazatelů (makroúdajů) vyvíjet se stejným směrem (např. HDP, C, I, S, Ex, Im) vykazují obdobné přírůstky průřezová analýza neexperimentální charakter dat (př. regrese spotřeby na disponibilním příjmu a likvidních aktivech za určitou skupinu domácností silná pozitivní korelace mezi vysvětlujícími proměnnými) zahrnutí zpožděných hodnot endogenní i exogenní(ch) proměnných, které jsou často silně zkorelovány chybně specifikovaný model s nula-jednotkovými proměnnými (př. modelování sezónnosti u časových řad) 19

Multikolinearita důsledky Důsledky snížená přesnost odhadů regresních koeficientů získaných z jednoho konkrétního výběru v důsledku vysokých standardních chyb odhadové funkce MNČ vysoké standardní chyby vyvolávají pochyby o správnosti specifikace modelu (můžeme také vyloučit statisticky významný parametr) koeficient vícenásobné determinace R 2 může být vysoký odhady z různých výběrů stejného rozsahu vychází jinak, což také vyvolává pochyby o specifikaci - citlivost (nestabilita) odhadové funkce MNČ i na malé změny v matici pozorování X i změny ve znaménkách odhadnutých parametrů ale odhady zůstávají nestranné, vydatné obtížná separace působení silně kolineárních proměnných nevíme, který je relevantní (dominantní) apod. 20

Multikolinearita odstranění či zeslabení zvětšení rozsahu výběru (dodatečná pozorování pomohou pouze pokud v základním souboru není multikolinearita) časové řady z ročních na čtvrtletní apod. průřezová data dodatečná pozorování, přidáme odlehlá pozorování, která normálně eliminujeme (zhorší se R 2 ) apod. zahrnutí dodatečných apriorních omezení parametrů (př. produkční funkce, spotřební funkce atd.) změna specifikace modelu (př. sezónnost atd. zavedení referenční kategorie), vynechání některých proměnných může vzniknout specifikační chyba někdy je příčinou shodný trend vysvětlujících proměnných první a vyšší diference, podíly proměnných, logaritmická transformace apod. 21

Autokorelace 2 porušení G-M předpokladu: 0 0 E(uu T ) = σ 2 I n 2 T... 0 E( uu ) 0...... 0 2 náhodné složky u i nejsou sériově nezávislé 0 0 to je způsobeno závislostí mezi hodnotami jedné proměnné dle předpokladu mají být nediagonální prvky matice E(uu T ) nulové nediagonální prvky <> 0 AUTOKORELACE (sériová korelace náhodných složek) ne nahodilé kolísání reziduí kolem nulové střední hodnoty pozitivní AK (a) negativní AK (f) lineární trendy (b), (d) kvadratický trend (e) bez AK (c) u,e 0 (a) čas u,e 0 (b) čas u,e 0 (c) čas u,e u,e u,e 0 0 čas čas 0 čas (d) (e) (f) 23

Autokorelace příčiny setrvačnost ekonomických veličin (případ ČR) hodnoty v určitém období jsou často ovlivněny svými hodnotami v minulých obdobích (svými zpožděními) př. HDP, I, ICP, atd. zpravidla pozitivní korelace chybná specifikace modelu (specifikační chyba se stává součástí náhodné složky) nezahrnutí zpoždění, kombinace stacionárních a nestacionárních časových řad chybná aproximace (chybná volba analytického tvaru funkční závislosti) př. lineární regresní funkce namísto kvadratické může vyvolat autokorelaci chyby měření vysvětlované proměnné se opět může projevit v autokorelaci náhodné složky modelu užití zpožděných vysvětlujících proměnných (příp. i endogenních) užití zprůměrovaných, vyrovnaných, interpolovaných či extrapolovaných dat, sezónně neočištěných dat atp. týká se především časových řad 24

Autokorelace důsledky odhady zůstávají nestranné a konzistentní odhady nejsou vydatné (nemají nejmenší rozptyl) ani asymptoticky vydatné vychýlené odhady rozptylu modelu a směrodatných chyb bodových odhadů (s bi ) intervaly spolehlivosti nejsou směrodatné statistické testy ztrácejí na síle přítomnost autokorelace zbytkové složky deformuje t-testy a F-testy pozitivní autokorelace podhodnocuje směrodatné chyby odhadů (vychýlené směrem k nule) a tím nadhodnocuje t-statistiky t-testy pak mohou indikovat, že parametry jsou významně odlišné od 0, ačkoliv opak je pravdou pozitivní autokorelace dále nadhodnocuje R 2 a F-statistiku 25

Autokorelace AK 1. řádu testujeme rezidua získaná z odhadu modelu v případě autokorelace 1. řádu jde o testování vztahu: u t = ρ*u t-1 + ε t, kde ρ je z intervalu <-1,1> ρ je koeficient autokorelace prvního řádu ε t je normálně rozdělená náhodná složka, vyhovující klasickým předpokladům MNČ vztah: náhodné složky jsou generovány stacionárním autoregresním stochastickým procesem prvního řádu = AR(1) procesem Vyhodnocení u t = ρ*u t-1 + ε t ρ > 0 kladná autokorelace ρ < 0 záporná autokorelace ρ = 0 sériová nezávislost náhodných složek 26

Autokorelace odstranění zkoumání správnosti specifikace modelu zahrnutí původně vynechaných vysvětlujících faktorů změna funkčního tvaru, pokud ten je původcem autokorelace dynamizace modelu vložení zpožděných hodnot endogenní proměnné transformace dat diference, poměry sezónní očištění časových řad nezabere-li nic z výše uvedeného jiné metody odhadu jako např. zobecněná MNČ, NMNČ, atd. či odhad robustních standardních chyb 27

Gretl jak na výstupy 28

Základy ekonometrie opakování náhodná složka Gauss-Markovy předpoklady E(u) = 0 nesystematické kolísání kolem nuly náhodné poruchy mají ve všech pozorováních nulovou střední hodnotu E(uu T ) = σ 2 I n konečný a konstantní rozptyl = homoskedasticita porušení: heteroskedasticita náhodné složky jsou sériově nezávislé porušení: autokorelace X je nestochastická matice E(X T u) = 0 veškerá náhodnost je obsažena v náhodné složce vysvětlující proměnné nemají stochastický charakter, nemají endogenní charakter vysvětlující proměnná Xi je nestochastická, v případě, že je stochastická, není korelována s náhodní složkou: cov( X, u ) E X E( X ) u E( u ) 0 i i i i i i X má plnou hodnost k matice X neobsahuje žádné perfektně lineárně závislé sloupce pozorování vysvětlujících proměnných porušení: perfektní multikolinearita 29

Heteroskedasticita 2 porušení G-M předpokladu: 0 0 E(uu T ) = σ 2 I n 2 T... 0 E( uu ) 0...... 0 2 0 0 porušení této podmínky ve smyslu proměnlivého rozptylu náhodné složky v jednotlivých pozorováních nazýváme heteroskedasticitou rozptyl náhodné složky není konečný a konstantní rozptyl náhodné složky je zpravidla funkcí některé vysvětlující proměnné (z toho také vychází většina testů) takže E(uu T ) = σ 2 V n 2 1 0 0 2 T... 2 0 E( uu ) 0...... 0 2 0 0 n 30

Heteroskedasticita příčiny a důsledky Příčiny chybná specifikace modelu nezahrnutí významné vysvětlující proměnné do modelu (kvaziheteroskedasticita) odhad z průřezových dat někdy značně odlišné hodnoty v rámci jednoho výběru a odlehlá pozorování kumulace chyb měření použití tříděných dat, skupinových průměrů apod. Důsledky bodové odhady parametrů zůstávají nestranné a konzistentní, ale ztrácí vydatnost i asymptotickou vydatnost odhad rozptylu a odhadnuté standardní chyby jsou vychýlené nelze je získat pomocí klasických vzorců předpokládajících homoskedasticitu pokud bychom tyto vzorce použili - intervaly spolehlivosti nejsou směrodatné a běžné statistické testy (t-testy, F-test) ztrácejí na síle, stejně jako celá diagnostická kontrola modelu 31

Heteroskedasticita testování grafický test e i homoskedasticita e i heteroskedasticita x i / y i ^ x i / y i ^ heteroskedasticita heteroskedasticita e i e i x i / y i ^ x i / y i ^ 32

Heteroskedasticita odstranění změna specifikace (zahrnutí chybějících podstatných faktorů) logaritmická transformace napomáhá snížit rozptyl, který tak může po transformaci vykazovat homoskedasticitu eliminace odlehlých pozorování jiná odhadová technika MZNČ (matice transformace), metoda vážených nejmenších čtverců, atd. modely podmíněné heteroskedasticity 33