Přepoklady KLM a Gauss Markov teorém. Blue odhad - GM. KLM Klasický lineární model. 1) Lineární v parametrech. 2) E ε = 0

Transkript

1 Heteroskedasticita

2 Přepoklady KLM a Gauss Markov teorém KLM Klasický lineární model 1) Lineární v parametrech ) E ε = 0 Blue odhad - GM Nezkreslený odhad 1) Lineární v parametrech ) E ε = 0 3) E( ȁ ε X)= 0 4) Není dokonalá multikolinearita 5) Var( ȁ ε X) = σ I 6) ε~n(0, σ ) 3) X je nestochastická (nenáhodná) matice 4) Není dokonalá multikolinearita - X má plnou hodnost 5) E εε = σ I 6) ε~n(0, σ )

3 Homoskedasticita Podmíněný rozptyl je konstatní Heteroskedasticita Podmíněný rozptyl NENÍ konstatní Var ȁ ε x = σ I Rozptyl ε, který je dán x, se nemění v závislosti se změnami x Rozptyl y, který je dán x, se nemění v závislosti se změnami x Platí Var ε i ȁx i = Var y i ȁx i = σ Rozptyl ε, který je dán x, se mění v závislosti se změnami x Rozptyl y, který je dán x, se mění v závislosti se změnami x Var ε i ȁx i = σ i wage Var( ε i ȁedu i ) = σ Podmíněný rozptyl náhodné složky se bude měnit v závislosti na hodnotě nezávislé proměnné (x) wage edu edu

4 Jak se mění rozptyl y, když se mění (roste) x? f( yȁx) y E( yȁx) = β 0 + β 1. x x 1 x x

5 Jak se mění rozptyl y, když se mění (roste) x? f( yȁx) y E( yȁx) = β 0 + β 1. x x 1 x x 3 x

6 5) E εε = σ I 5) Var( ȁ ε X) = σ I Var ε = E εε = E ε 1 ε. ε 1 ε ε 3 = ε 3 Var ȁ ε X = E ȁ εε X = E ε 1 ε. ε 1 ε ε 3 X = ε 3 = E ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε ε ε ε 3 = ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 ε 3 = E ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε ε ε ε 3 ȁx = ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 ε 3 E(ε 1 ε 1 ȁx) E(ε 1 ε ȁx) E(ε 1 ε 3 ȁx) E(ε ε 1 ȁx) E(ε ε ȁx) E(ε ε 3 ȁx) E(ε 3 ε 1 ȁx) E(ε 3 ε ȁx) E(ε 3 ε 3 ȁx) = E(ε 1 ε 1 ) E(ε 1 ε ) E(ε 1 ε 3 ) E(ε ε 1 ) E(ε ε ) E(ε ε 3 ) E(ε 3 ε 1 ) E(ε 3 ε ) E(ε 3 ε 3 ) σ σ 0 = σ 0 0 σ = σ I Nebudeme předpokládat autokorelaci Prvky mimo diagonálu budou =0

7 5) E εε = σ I Var(b) = Var(β + X X 1 X ϵ) 5) Var( ȁ ε X) = σ I Var b X = Var β + X X 1 X ϵ X Var b = Var[ X X 1 X ϵ] Var b X = Var X X 1 X ϵ X Var(b) = X X 1 X Var(ε) X X 1 X Var b X = X X 1 X Var ϵ X X X 1 X Var(b) = X X 1 X Var(ε)X X X 1 Var b = X X 1 X σ I X X X 1 X X 1 X X = I σ konstanta, lze vytknout před Var b = σ X X 1 Var b X = X X 1 X Var ϵ X X X X 1 Var b = X X 1 X σ I X X X 1 X X 1 X X = I σ konstanta, lze vytknout před Var b = σ X X 1 Pro nás reálnější předpoklad, že X je náhodná matice Můj osobní názor je, že se to pak dá i lépe pochopit Proto budu pracovat s podmíněným rozptylem, závěry jsou však stejné

8 Porušené klasického lineárního modelu heteroskedasticita Var ȁ ε X = E ȁ εε X = E ε 1 ε. ε 1 ε ε n X = ε n = E ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε n ε ε 1 ε ε ε ε n ȁx = ε n ε 1 ε n ε ε n ε n E(ε 1 ε 1 ȁx) E(ε 1 ε ȁx) E(ε 1 ε n ȁx) E(ε ε 1 ȁx) E(ε ε ȁx) E(ε ε n ȁx) E(ε n ε 1 ȁx) E(ε n ε ȁx) E(ε n ε n ȁx) = σ σ σ n = V Var ε i ȁx i = σ i = E ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε ε ε ε 3 ȁx = ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 ε 3 σ σ σ 3 = V

9 b OLS = X X 1. X y = X X 1. X Xβ + ε = β + X X 1. X ε Var ȁ b OLS X = X X 1. X. Var εȁx. X. X X 1 σ σ σ n = V Var ε X = V Var ε X = σ I Var b OLS ȁx = X X 1. X. V. X. X X 1 Var b = X X 1 X σ I X X X 1 Var b hetero = X X 1 X V X X X 1 Var b OLS ȁx = σ X X 1 Var b homo = σ X X 1 OLS již není BLUE

10 Porušené klasického lineárního modelu heteroskedasticita Var(b) = X X 1 X Var(ε)X X X 1 Var(ε) σ I Var b X = X X 1 X Var ϵ X X X X 1 Var ϵ X σ I Var(b) σ X X 1 Var b X σ X X 1 b j t = sd b j KOVARIANČNÍ MATICE 5) Var( ȁ ε X) = σ I 5) Var(ε) = σ I Var b X = σ X X 1 Var b = σ X X 1 NEPLÉST

11 Důsledky heteroskedasticity Var(b) σ X X 1 Odhad rozptylu bodového odhadu (b) je zkreslený Var b j σn i=1 σ ε x ij xҧ (1 R j ) Nelze použít t-test, F-test, LM-test Konfidenční intervaly t = b j sd b j Var b j σn i=1 σ ε x ij xҧ (1 R j ) NEMÁ DOPAD NA ODHAD PARAMETRŮ β NEOVLIVNÍ ZKRESLENOST/NEZKRESLENOST pro konečný počet pozorování Pro velký počet pozorování large sample nemá vliv na konzistenci odhadu OLS odhad již není BLUE má vliv na vydatnost odhadu Tím, že pozoruje určitý vzorec jak residua (náhodná složka) např. rostou tak jsme nepostihli všechny informace v modelu a proto nemůže být BLUE (best) Bude jiný lepší (BLUE) estimator, který postihne tuto informaci Pro large sample velký počet pozorování Var b j nebude ani asymptoticky vydatny

12 Heteroskedasticita v průřezových datech Rozptyl náhodné složky, bude funkcí nezávislé (nezávislých) proměnných Var ȁ ε x = Var ȁ y x ε~n 0, σ I Var ε i ȁx i = σ i sav = β 0 + β 1 inc + ε Homoskedasticita Var ε inc = σ Var ε i ȁinc i = σ Var Var ȁ ε i x i = σ h(x i ) ȁ ε X = σ h(x) Heteroskedasticita Var ε inc = σ. h(inc) Var sav inc = σ. h(inc) Var ε i ȁ inc i = σ i sav S rostoucím příjmem roste variabilita úspor např. více možností S rostoucím vzděláním roste možnost uplatnění a tedy i mezd inc

13 Var ε x = σ. h(x) E ε X = σ. h(x) Var ȁ ε X = E ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε ε ε 3 ቮ ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 X = E[ε 1 หX] E[ ε ε 1 ȁx] ȁ E[ε 3 ε 1 X] ȁ E[ε 1 ε X] E[ε หX] ȁ E[ε 3 ε X] ȁ E[ε 1 ε 3 X] ȁ E[ε ε 3 X] E[ε 3 หX] = E[ε 1 หX] E[ε หX] E[ε 3 หX] = σ. Ω Ω = h(x) h(x) h(x) Ω = h(inc) h(inc) h(inc)

14 sav = β Var εȁinc = σ 0 + β 1 inc + ε h(x) Var ε i ȁx i Víme = σ inc i S rostoucím příjmem roste variabilita úspor např. více možností Var ȁ ε X = E ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε 3 ε ε 3 ቮ ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 inc = E[ε 1 หinc] E[ε หinc] E[ε 3 หinc] = = σ inc inc inc 3 Ω = h(inc) h(inc) h(inc) Ω = inc inc inc 3

15 Víme sav = β Var εȁinc = σ 0 + β 1 inc + ε h(x) Var ε i ȁx i = σ inc i S rostoucím příjmem roste variabilita úspor např. více možností Var ȁ ε X = E ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε 3 ε ε 3 ቮ ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 inc = E[ε 1 หinc] E[ε หinc] E[ε 3 หinc] = = σ 0 inc 0 inc inc 3 Ω = h(inc) h(inc) h(inc) Ω = inc inc inc 3

16 b OLS = X X 1. X y = X X 1. X Xβ + ε = β + X X 1. X ε E[ε 1 หX] 0 0 Var ȁ b OLS X = X X 1. X. Var εȁx. X. X X 1 0 E[ε หX] E[ε 3 หX] = σ. Ω Var ε X = σ Ω Var ε X = σ I Ω = h(x) h(x) h(x) Var b OLS ȁx = X X 1. X. σ Ω. X. X X 1 Var b = X X 1 X σ I X X X 1 Var b hetero = σ X X 1 X Ω X X X 1 Var b OLS ȁx = σ X X 1 Var b homo = σ X X 1 OLS již není BLUE

17 Var ȁ ε x = Var ȁ y x Var ε x = σ Var sav inc = σ Var ε inc = σ y ε, e Homoskedasticita x x ε, e ε, e σ x, y x, y

18 Var ȁ ε x = Var ȁ y x y Var ε x = σ. h(x) ε, e Var sav inc = σ. h(inc) Var ε inc = σ. h(inc) Heteroskedasticita x x Nejprve předpokládejme, že známe h(x) h x = x Var ε x = σ. x ε, e ε, e h x = x Var ε x = σ. x h x = e x Var ε x = σ. e x x, y x, y

19 Příčiny existence heteroskedasticity Průřezová data Značně odlišné hodnoty v jednom modelu - outlier Variabilita závislé proměnné (y) závisí na některé nezávislé proměnné (x) Chybná specifikace modelu Vynechání důležité nezávislé proměnné Nevhodná funkční forma modelu log(wage) = β 0 + β 1 educ + ε wage = β 0 + β 1 educ + ε Chyby v měření S rostoucí hodnotou endogenní proměnné dochází ke kumulaci chyb měření to zvyšuje rozptyl endogenní proměnné a tedy i rozptyl reziduí

20 Přestože se dá usuzovat, že přímka proloží data nejlépe Po zobrazení residuí pozorujeme vzorec v residuích Zakřivení, trend atd. Uděláme log-transformaci, odmocninu Jak poznat kterou použít? Někdy matematická logika, ekonomická teorie A někdy prostě pokus/omyl Porovnat podle R - který lineární vztah je silnější pozor na rozdílné tvary závislé proměnné!!

21 brain = β 0 + β 1 weight + ε log brain = β 0 + β 1 log weight + ε

22 wage = β 0 + β 1 educ + ε log(wage) = β 0 + β 1 educ + ε

23 Var ε x = σ. h(x) Na ose y je hodnota vygenerované náhodné veličiny, ne její rozptyl!

24 Var ε x = σ. h(x)

25 Parametrické vs. Neparametrické testy Parametrické testy Známe (předpokládáme) konkrétní rozdělení základního souboru Park test Breusch-Pagan test (BP) Glejser test White test Neparametrické testy Neznáme konkrétní rozdělení základního souboru Spearman test korelace pořadí Goldfeld-Quandt test

26 Testování heteroskedasticity-parametrické testy Základní myšlenka ovlivňují nezávislé (X) proměnné rozptyl náhodné složky? y = β 0 + β 1. x 1 + β. x + + β k. x k + ε H0: Var ε x 1, x,, x k = σ H0: Var ε X = σ Var ε X = E(ε ȁx) = E ε = σ Var X = E X E X Var ε X = E ε X E ε X Reg.fce ε = γ 0 + γ 1. x 1 + γ. x + + γ k. x k + v H0: γ 1 = γ = = γ k = 0 γ 0 = σ H1: neplatí H0 F-test/LM test

27 Breusch-Pagan test Nepozorujeme náhodnou složku ε = γ 0 + γ 1. x 1 + γ. x + + γ k. x k + v H0: γ 1 = γ = = γ k = 0 H1: neplatí H0 H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita F-test/LM test e = γ 0 + γ 1. x 1 + γ. x + + γ k. x k + v LM = n. R e ~χ (k) při platnosti H0 málm asymptotické chi kvadrát rozdělení s k stupni volnosti Nevýhoda postihuje pouze lineární vztahy Rozptyl náhodné složky může záviset na X, X

28 White test Pro BP test jsme si řekli, že nepostihne nelineární vztah mezi rozptylem náhodné složky a X Jedno z možných řešení White test y = β 0 + β 1. x 1 + β. x + β 3. x 3 + ε Pomocná regrese x i x j kdy i j cross products e = α 0 + α 1 x 1 + α x + α 3 x 3 + α 4 x 1 + α 5 x + α 6 x 3 + α 7 x 1 x + α 8 x 1 x 3 + α 9 x x 3 + v Využití F testu, nebo LM testu H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita n. R ~χ (k) V případě více proměnných Snížený počet stupňů volnosti 10 x a 30 pozorování

29 V případě více proměnných snížený počet stupňů volnosti -10 x a 30 pozorování e = α 0 + α 1 y + α y + v H0: α 1 = α = 0 H1: neplatí H0 Postup: 1) Odhadnu rovnici a získám residua (e) a nafitované hodnoty y ) Pomocná regrese z kvadrátů residuí na nafitované hodnoty + jejich kvadráty 3) Vyhodnotím pomocí LM/F-testu Test lze využít i pro testování zvoleného funkčního tvaru

30 Glejser test Princip podobný jako u BP testu Má nezávislá proměnná vliv na kvadrát residuí Zde na residua v absolutní hodnotě Výhoda testu Můžeme testovat různé formy heteroskedasticity Různé funkční závislosti Vyhodnotíme na základě adjr Odhadneme pomocí MNČ e = β 0 + β 1 x + v e = β 0 + β 1 x + v e = β 0 + β 1 1 x + v e = β 0 + β 1 1 x + v H0: β 1 = 0 H1: β 1 0 homoskedasticita heteroskedasticita Jedná se o t-test

31 Heteroskedasticity-Robust inference Rozptyl bodobého odhadu (b) je v případě heteroskedasticity zkreslený Nemůžeme použít t,f,lm test, ani spoléhat na jejich asymptotické chování Potřebujeme takový odhad rozptylu, který nebude citlivý na přítomnost heteroskedasticity Říkáme, že bude robustní vůči heteroskedasticitě Například White dokázal, že pro velký počet pozorování je n Var(b 1 ) = σ i=1 σn i=1 x i xҧ e i x i xҧ Var(b 1 ) = σn i=1 σ x i xҧ Konzistentním odhadem rozptylu Můžeme tak použít t-test Pamatovat, že se však jedná o asymptotickou vlastnost t-test má pouze asymptotické t-rozdělení, F test má pouze asymptotické F rozdělení heteroskedastic robust t,lm-statistic Při malém počtu pozorování můžeme být úplně mimo Robustní odhad chyb může být větší i menší, než klasický odhad Nemusíme znát přesný tvar heteroskedasticity

32 White robust estimator Var(b 1 ) = σ n i=1 x i xҧ e i SST x Pro případ velkých výběrů je daný odhad robustní Přestože je v datech obsažena heteroskedasticita y = Xβ + ε e i residua z OLS nepozorujeme ε, tedy ani σ musíme odhadnout b = X X 1 X y b = β + X X 1 X ε Var b = X X 1 X Var(ε) X X X 1 Var b = X X 1 σ i x i x i X X 1 n i=1 n σ i x i x i i=1 Proč automaticky nevyužíváme tento robustní odhad? Asymptotické vlastnosti testů! V případě, kdy nebude přítomna heteroskedasticita A náhodná složka bude mít normální rozdělení t-test má právě studentovo rozdělení Var b = X X 1 n e i x i x i X X 1 V případě použití robustního odhadu chyb Bude mít t-test pouze asymptoticky studentovo rozdělení i=1

33 Autokorelace

34 6) Náhodné chyby jsou nekorelovaná mezi sebou E ε i ε j = 0 Corr ε i, ε j ȁx = 0 kdy i j Problém v časových řadách Náhodná chyba v čase (t), ovlivní náhodnou chybu v čase (t+1) Nezaměstnanost, HDP v 000 má vliv na HDP v 001 Corr ε i, ε j Chování souseda ovlivní další sousedy Dopad na OLS odhad: Obdobné jako heteroskedasticita Odhad parametrů stále nezkreslený a konzistentní (po splnění 1-4GM) Odhad rozptylu náhodné složky zkreslený Problém s testováním hypotéz = 0 kdy i j y y = β 0 + β 1 t + ε t

35 Dynamický charakter ekonomických veličin Minulost má dopad na přítomnost (budoucnost) Daný proces má paměť Dlouhou vs. Krátkou AR proces HDP t = γ 0 + γ 1 HDP t γ 13 HDP t 1 + v t v t ~N(0, σ v ) Dynamický charakter zajistí Zpožděná závisle proměnná (y) Zpožděná nezávisle proměnná(é) Zpožděná náhodná složka (ε)

36 Zpožděná náhodná složka Faktory obsažené v náhodné složce v čase t, závisí na předchozí(ch) hodnotě(ách) náhodné složky ε t = ρ 1 ε t 1 + v t ρ 1 koeficient autokorelace (parametr) Autokorelace není závislost mezi dvěma a více proměnnými Ale jedná se o závislost mezi různými hodnotami JEDNÉ proměnné Zde náhodné složky ε t = ρ 1 ε t 1 + v t v t ~N(0, σ v ) ρ 1 < 1 autokorelační koeficient Daný proces má paměť Dlouhou vs. Krátkou ε t = ρ 1 ε t 1 + ρ ε t + + ρ j ε t j + v t y t = β 0 + β 1 x t + ε t ε t = ρ 1 ε t 1 + v t V průřezových datech mluvíme o prostorové autokorelaci

37 ε t = 0,9ε t 1 + v t ε t = 0,9ε t 1 + v t v t Znalost náhodné složky v konkrétním okamžiku, nám pomůže určit hodnotu náhodné složky v následujícím kroku

38 ε, e ε, e ε, e t t t ε, e ε, e ε, e t t t

39 Var ȁ ε X = E ȁ εε X = E ε 1 ε. ε 1 ε ε 3 X = E ε 3 ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε 3 ε ε 1 ε ε ε ε 3 ȁx = ε 3 ε 1 ε 3 ε ε 3 ε 3 = E(ε 1 ε 1 ȁx) E(ε 1 ε ȁx) E(ε 1 ε 3 ȁx) E(ε ε 1 ȁx) E(ε ε ȁx) E(ε ε 3 ȁx) E(ε 3 ε 1 ȁx) E(ε 3 ε ȁx) E(ε 3 ε 3 ȁx) = seriová závislost/nezávislost = Var(ε 1 ) Cov(ε 1, ε ) Cov(ε 1, ε 3 ) Cov(ε, ε 1 ) Var(ε ) Cov(ε, ε 3 ) Cov(ε 3, ε 1 ) Cov(ε 3, ε ) Var(ε 3 ) σ σ 0 = σ I 0 0 σ = σ Cov(ε 1, ε ) Cov(ε 1, ε 3 ) Cov(ε, ε 1 ) σ Cov(ε, ε 3 ) Cov(ε 3, ε 1 ) Cov(ε 3, ε ) σ Cov ε, ε 1 = ε. ε 1 = 0 ε t = ρ 1 ε t 1 + v t

40 Var ȁ ε X = E ȁ εε X = E ε 1 ε. ε 1 ε ε n X = ε n = E ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε n ε ε 1 ε ε ε ε n ȁx = ε n ε 1 ε n ε ε n ε n E(ε 1 ε 1 ȁx) E(ε 1 ε ȁx) E(ε 1 ε n ȁx) E(ε ε 1 ȁx) E(ε ε ȁx) E(ε ε n ȁx) E(ε n ε 1 ȁx) E(ε n ε ȁx) E(ε n ε n ȁx) E(ε 1 ε ȁx) E(ε 1 ε n ȁx) Budeme rovnou uvažovat případ časových řad Jaký vztah je mezi náhodnou složkou v čase t a t-1 Jaký vztah je mezi náhodnou složkou v čase t a t-n ε t = ρ 1 ε t 1 + v t ε t = ρ 1 ε t 1 + ρ ε t + + ρ n ε t n + v t Bude záviset na řádu autokorelace

41 Příčiny vzniku Setrvačnost ekonomických veličin (paměť) HDP, export, import, volatilita, Zpožděná vysvětlující nezahrnutí zpožděných jak exogenních (X), tak endogenní proměnné (y) Chybná specifikace modelu Použijeme lineární model na nelineární vztah ukaž Chyby v měření Vynechaná důležitá nezávisle proměnná

42 Dopad na OLS odhad: Obdobné jako heteroskedasticita Odhad parametrů stále nezkreslený a konzistentní (po splnění 1-4GM) Odhad rozptylu náhodné složky zkreslený ε~n(0, σ ) Dopad na rozptyl bodových odhadů (b) Tím pádem i na t-test, F-test, LM test Var b je zkreslený Odhady již nejsou BLUE nejsou již vydatné (minimální rozptyl) Pro large sample ani asymptoticky vydatné

43 y t = β 0 + β 1 x t + ε t ε t = ρε t 1 + v t v t ~i. i. d. (0, σ v ) ρ < 1 b = β + X X 1 X ε E(b) = β + E X X 1 X ε E(b) = β + X X 1 X E(ε) Var b X = Var β + X X 1 X ϵ X Var b X = Var X X 1 X ϵ X Var b X = X X 1 X Var ϵ X X X X 1 Var b = X X 1 X σ I X X X 1 Var b = σ X X 1 Var b = X X 1 X σ Ω X X X 1

44 Testování autokorelace ε t = ρε t 1 + v t v t ~i. i. d. (0, σ v ) ρ < 1 autokorelační koeficient H0: ρ = 0 není sériová korelace H1: ρ 0 serivoá korelace Durbin-Watson Test-DW přísné podmínky použití Striktní exogenita nezávislých proměnných (nejsou ve zpoždění) Pouze pro autokorelaci prvního řádu Model obsahuje úrovňovou konstantu

45 Durbin-Watson Test-DW přísné podmínky použití Striktní exogenita nezávislých proměnných (nejsou ve zpoždění) Pouze pro autokorelaci prvního řádu Model obsahuje úrovňovou konstantu H0: ρ = 0 není sériová korelace H1: ρ 0 seriová korelace DW = σ n t= e t e t 1 σn t=1 e t DW. (1 ρ) H0: DW = H1: DW ρ = 0 DW ρ > 0 DW < ρ < 0 DW > okolí 4 negativní autokorelace okolí 0 pozitivní autokorelace okolí bez autokorelace DW statistika má symetrické rozdělení <0,4> se střední hodnotou = Závisí na: n-počet pozorování k-počet vysvětlujících proměnných Alfa-hladině významnosti

46 Problematické určení rozdělení DW pro H0 Máme kritické hodnoty d L dolní a d U horní DW < d L zamítneme H0 pro H1: ρ > 0 DW > d U Nezamítneme H0 d L DW d U neprukazný DW je z intervali 0, d L nebo 4 d L, 4 významná autokorelace DW je z intervali d U, 4 d U NEvýznamná autokorelace DW jinak, test je neprůkazný

47 Testy pro vyšší řády autokorelace house price = β 0 + β 1 GDP + ε ε t = ρ 1 ε t 1 + ρ ε t + ρ j ε t j + v t e t = ρ 1 e t 1 + ρ e t + ρ 3 e t 3 + ρ 4 e t 4 + v t H0: ρ 1 = ρ = ρ 3 = ρ 4 = 0 H1: neplatí H0